函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式，例
一次函数：y =kx +b (k ≠0) 二次函数：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 反比例函数：y =k (k ≠0) 正比例函数：y =kx (k ≠0) x
2、分段式
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。
⎧2-x , x ∈(-∞, 1]1例1、设函数f (x ) =⎨，则满足f (x ) =的x 的值4()log x , x ∈1, +∞⎩81
为 。
1得，x =2，与x ≤1矛盾； 4
1 当x ∈(1, +∞)时，由log 81x =得，x =3。 ∴ x =3 4解：当x ∈(-∞, 1]时，由2-x =
3、复合式
若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y =f (u ), u =g (x ), x ∈(a , b ) ，那么y 关于x 的函数y =f [g (x ) ], x ∈(a , b )叫做f 和g 的复合函数。
例2、已知f (x ) =2x +1, g (x ) =x +3，则f [g (x ) ]=g [f (x ) ]= 2
解：f [g (x ) ]=2g (x ) +1=2(x +3) +1=2x +7 22
g [f (x ) ]=[f (x ) ]+3=(2x +1) 2+3=4x 2+4x +4 2
二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
例3、已知二次函数y =f (x ) 满足f (x -2) =f (-x -2), 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数y =f (x ) 的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式：
① 一般式：f (x ) =ax 2+bx +c
② 顶点式：f (x ) =a (x +h ) 2+k (a ≠0) 其中a ≠0, 点(h , k )为函数的顶点
其中a ≠0, x 1与x 2是方程f (x ) =0的两根 ③ 双根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)
解法1：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，则
由y 轴上的截距为1知：f (0) =1，即c=1 ① ∴ f (x ) =ax 2+bx +1 由f (x -2) =f (-x -2) 知：a (x -2) 2+b (x -2) +1=a (-x -2) 2+b (-x -2) +1 整理得：(4a -b ) x =0, 即： 4a -b =0 ②
由被x 轴截得的线段长为22知，|x 1-x 2|=22，
22即(x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2=8. 得:(-) -4b
a 21=8. a
整理得： b -4a =8a ③
由②③得： a =2211, b =2, ∴ f (x ) =x 2+2x +1. 22
解法2：由f (x -2) =f (-x -2) 知：二次函数对称轴为x =-2，所以设f (x ) =a (x +2) 2+k (a ≠0) ；以下从略。
解法3：由f (x -2) =f (-x -2) 知：二次函数对称轴为x =-2；由被x 轴截得的线段长为22知，|x 1-x 2|=22；
易知函数与x 轴的两交点为(-2-2, 0, -2+2, 0)()，所以设f (x ) =a (x +2+2)(x +2-2)
2、换元法
例4、已知：f (1+
解：设t =1+(a ≠0) ，以下从略。 11) =2-1，求f (x ) 。 x x 11122x =，则t ≠1，代入已知得 f (t ) =-1=(t -1) -1=t -2t 2x t -1⎛1⎫ ⎪⎝t -1⎭
2∴ f (x ) =x -2x (x ≠1)
注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法
11) =x 2+2，求f (x ) 。 x x
11122解： f (x +) =x +2=(x +) -2 ∴ f (x ) =x 2-2x x x 例5、已知：f (x +(x ≥2或x ≤-2)
注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制； 2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
4、赋值（式）法
例6、已知函数f (x ) 对于一切实数x , y 都有f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 成立，且f (1) =0。(1)求f (0) 的值；(2)求f (x ) 的解析式。
解：（1） 取x =1, y =0，则f (1-0) -f (0) =(1+0+1) 1⇒f (0) =f (1) -2=0-2=-2
（2）取y =0，则有f (x -0) -f (0) =(x +0+1) x . 整理得：f (x ) =x 2+x +2
5、方程法
例7、已知：2f (x ) +f ⎪=3x , ⎛1⎫
⎝x ⎭(x ≠0) ，求f (x ) 。 解：已知：2f (x ) +f ⎪=3x , ⎛1⎫
⎝x ⎭① 113去代换①中的x 得 :2f () +f (x ) = ② x x x
1(x ≠0) . 由①×2－②得：f (x ) =2x -x 用
跟踪练习
-x ⎧2⎪1-1, x ≤01、设函数f (x ) =⎨，若f (x 0) >1，则x 0的取值范围是（ ）
2⎪⎩x , x >0
A ．(-1, 1) B．(-1, +∞) C．(-∞, -2)⋃(0, +∞) D．(-∞, -1)⋃(1，+∞)
⎧2x +3, x ≤0⎪2、（1998上海）函数y =⎨x +3, 0
⎪-x +5, x >1⎩
23、已知：f (x +1) =x +2x ，求f (x ) 。
24、已知：f (x ) 为二次函数，且f (x +1) +f (x -1) =2x -4x ，求f (x ) 。
参考答案：1、D 2、4 3、x -1 4、x -2x -1
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函数解析式的表示形式及五种确定方式
函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。
一、解析式的表达形式
解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。
1、一般式是大部分函数的表达形式，例
一次函数：y =kx +b (k ≠0) 二次函数：y =ax 2+bx +c (a ≠0) 反比例函数：y =k (k ≠0) 正比例函数：y =kx (k ≠0) x
2、分段式
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。
⎧2-x , x ∈(-∞, 1]1例1、设函数f (x ) =⎨，则满足f (x ) =的x 的值4()log x , x ∈1, +∞⎩81
为 。
1得，x =2，与x ≤1矛盾； 4
1 当x ∈(1, +∞)时，由log 81x =得，x =3。 ∴ x =3 4解：当x ∈(-∞, 1]时，由2-x =
3、复合式
若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y =f (u ), u =g (x ), x ∈(a , b ) ，那么y 关于x 的函数y =f [g (x ) ], x ∈(a , b )叫做f 和g 的复合函数。
例2、已知f (x ) =2x +1, g (x ) =x +3，则f [g (x ) ]=g [f (x ) ]= 2
解：f [g (x ) ]=2g (x ) +1=2(x +3) +1=2x +7 22
g [f (x ) ]=[f (x ) ]+3=(2x +1) 2+3=4x 2+4x +4 2
二、解析式的求法
根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。
1待定系数法
若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
例3、已知二次函数y =f (x ) 满足f (x -2) =f (-x -2), 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数y =f (x ) 的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式：
① 一般式：f (x ) =ax 2+bx +c
② 顶点式：f (x ) =a (x +h ) 2+k (a ≠0) 其中a ≠0, 点(h , k )为函数的顶点
其中a ≠0, x 1与x 2是方程f (x ) =0的两根 ③ 双根式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)
解法1：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ，则
由y 轴上的截距为1知：f (0) =1，即c=1 ① ∴ f (x ) =ax 2+bx +1 由f (x -2) =f (-x -2) 知：a (x -2) 2+b (x -2) +1=a (-x -2) 2+b (-x -2) +1 整理得：(4a -b ) x =0, 即： 4a -b =0 ②
由被x 轴截得的线段长为22知，|x 1-x 2|=22，
22即(x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2=8. 得:(-) -4b
a 21=8. a
整理得： b -4a =8a ③
由②③得： a =2211, b =2, ∴ f (x ) =x 2+2x +1. 22
解法2：由f (x -2) =f (-x -2) 知：二次函数对称轴为x =-2，所以设f (x ) =a (x +2) 2+k (a ≠0) ；以下从略。
解法3：由f (x -2) =f (-x -2) 知：二次函数对称轴为x =-2；由被x 轴截得的线段长为22知，|x 1-x 2|=22；
易知函数与x 轴的两交点为(-2-2, 0, -2+2, 0)()，所以设f (x ) =a (x +2+2)(x +2-2)
2、换元法
例4、已知：f (1+
解：设t =1+(a ≠0) ，以下从略。 11) =2-1，求f (x ) 。 x x 11122x =，则t ≠1，代入已知得 f (t ) =-1=(t -1) -1=t -2t 2x t -1⎛1⎫ ⎪⎝t -1⎭
2∴ f (x ) =x -2x (x ≠1)
注意：使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
3、配凑法
11) =x 2+2，求f (x ) 。 x x
11122解： f (x +) =x +2=(x +) -2 ∴ f (x ) =x 2-2x x x 例5、已知：f (x +(x ≥2或x ≤-2)
注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制； 2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
4、赋值（式）法
例6、已知函数f (x ) 对于一切实数x , y 都有f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x 成立，且f (1) =0。(1)求f (0) 的值；(2)求f (x ) 的解析式。
解：（1） 取x =1, y =0，则f (1-0) -f (0) =(1+0+1) 1⇒f (0) =f (1) -2=0-2=-2
（2）取y =0，则有f (x -0) -f (0) =(x +0+1) x . 整理得：f (x ) =x 2+x +2
5、方程法
例7、已知：2f (x ) +f ⎪=3x , ⎛1⎫
⎝x ⎭(x ≠0) ，求f (x ) 。 解：已知：2f (x ) +f ⎪=3x , ⎛1⎫
⎝x ⎭① 113去代换①中的x 得 :2f () +f (x ) = ② x x x
1(x ≠0) . 由①×2－②得：f (x ) =2x -x 用
跟踪练习
-x ⎧2⎪1-1, x ≤01、设函数f (x ) =⎨，若f (x 0) >1，则x 0的取值范围是（ ）
2⎪⎩x , x >0
A ．(-1, 1) B．(-1, +∞) C．(-∞, -2)⋃(0, +∞) D．(-∞, -1)⋃(1，+∞)
⎧2x +3, x ≤0⎪2、（1998上海）函数y =⎨x +3, 0
⎪-x +5, x >1⎩
23、已知：f (x +1) =x +2x ，求f (x ) 。
24、已知：f (x ) 为二次函数，且f (x +1) +f (x -1) =2x -4x ，求f (x ) 。
参考答案：1、D 2、4 3、x -1 4、x -2x -1
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