第8卷 第5期
天津职业院校联合学报N O. 5Vol. 8需求弹性系数在价格决策中的应用
田 敏
(天津冶金职业技术学院, 天津市 300000)
摘 要: 需求弹性反映了商品需求量与价格间的关系, 也反映了价格变动对销售收入及利润的影响, 利用需求弹性系数可以测算以销售收入或总利润增加为目标的调价方向、调价幅度及范围, 测算实现收入或利润最大化时的最佳调价点, 为价格决策提供一种简便实用的定量分析方法。
关键词: 需求弹性系数; 需求弹性; 价格; 销售收入; 总利润
中图分类号:O212.4 文献标识码:A 文章编号:1673-582X (2006) 05-0123-04
一、函数的弹性
弹性, 本是一个物理名词, , , 当自变量发生相对变化时, 函数值随之发生变化的比率, 用数学语言如下描述:设函数y =() x f (, 与自变量的相对改变量之比/为f (x ) y x y x
在区间[x , x +Δx ], E d , 它表示y 对于x 的相对变化, f (x ) 的平均相对变化率。
可以证明, 函数的弹性系数与变量x 、y 的度量单位无关, 这一点使得弹性系数在经济分析中得以广泛应用。
二、需求的价格弹性系数及分类
经济学中, 弹性指的是一个经济变量对另一个经济变量相对变动所作出的反应。市场需求弹性指的就是市场需求在外力因素(经济自变量) 的相对变动影响下而发生的相对扩大或缩小。
由于影响市场需求量的因素很多, 所以, 不同的自变量有不同的市场需求弹性。其中, 最为重要的是市场需求的价格弹性, 它以需求函数中所有其它变量保持不变为假设条件, 来测定需求量对商品价格变化的反应程度。
设Q 表示某一商品的市场需求量,p 表示价格, 则E d =/为需求的价格弹性系数, 简称需求弹性系数。其经Q 0p 0
济意义是:当价格上涨(下降) 1%时, 需求量减少(增加) |E d |%。
一般来讲, 商品的需求量与价格呈反向变动关系, Δp >0(涨价) 时, ΔQ 0。因此, E d
根据计算结果, 需求弹性系数大体上有以下几种情形:
(1) |E d |>1, 表示该商品的需求量变动的百分比大于价格变动的百分比, 说明价格的涨落变动, 对需求量的减增变化影响较大, 称该需求是富有弹性的。一般的奢侈品、高档品多属此类。
(2) |E d |
(3) |E d |=1, 表示该商品的需求量变动的百分比与价格变动的百分比的比值等于1, 它表明该种商品价格变化的幅度与需求量变化的幅度基本相同, 称此需求是单一弹性的。
(4) |E d |=∞, 表示该种商品在某一既定价格下稍有变化, 市场需求量就可以无限制地任意变动, 称该需求完全有弹性。
(5) |E d |=0, 表示该商品的价格无论怎样变化, 市场的需求量也不会发生改变, 称该需求完全缺乏弹性。上述后三种情况很特殊, 实际应用中较为少见, 最为常见的是前两种情形, 我们重点对这两种情形进行研究。
三、需求弹性系数在价格决策中的应用
一般来讲, 企业调整商品销售价格的基本目标, 在于获得更多的销售收入或利润, 为此企业可利用需求弹性系数对企业的营销策略作量化分析, 测算由于商品销售价格调整给企业带来的销售收入及总利润的变化。
收稿日期:2006-04-20
作者简介:田敏(1962-) , 女, 天津市人, 天津冶金职业技术学院讲师, 主要研究经济数学。
・123・
1. 需求价格弹性系数对销售收入的影响
设单位商品的售价由p 0变为p =p 0+Δp , 销售量由Q 0变为Q =Q 0+ΔQ , 销售收入由R 0变为R =R 0+ΔR ,
令调价幅度u =, 则需求弹性E d =/u , p 0Q 0
Δp =p 0u , ΔQ =Q 0E d u , p =(u +1) p 0, Q =(E d u +1) Q 0,
于是ΔR =pQ -p 0Q 0=p 0Q 0(E d u +E d +1) u
(1) 要使ΔR >0, u >0
E d u +E d +1>0①解之得 00E d u +E d +1
即 p 0
此时 |E d |1
(2) 要使ΔR 最大, 则令ΔR =p 0Q 0(2E d u +E d +1) =0
得 u =
此时 p =(--1) 2E d (-+1) p 02E d
ΔR ″又因为 =2p 0Q 0E d
则此时ΔR max
R max 2=-p 0Q 0=-E d [--1) ]2p 0Q 04E d E d ②③2(=-p 0Q 0=-E d [1) ]004E d d
计算结果表明:
(1) |E d |
-(--1) 幅度范围内提价, 也即价格在(p 0, E d p 0) 内变化时, 可使销售收入增加p 0Q 0(E d u +E d +1) u; 当商品的提价幅度达(-, 也即价格由p 0上涨至E d 2E d 2(-(-+1) p 0时, 销售收入的增加额最大为-E d [-1) ]2p 0Q 0, 销售收入也最大为-E d [+E d 2E d 2E d
-1, 价格E d 1) ]2p 0Q 0, 此时价格的上涨幅度及价格恰好是使销售收入增加的二者变化范围的中点, 当二者的变化超过此中点时, 总收入的增加将减少, 直至为0; 再继续涨价, 二者的变化将超过上述两个相应的范围, 即涨价幅度超过-
上涨超过-p 0, 总收入将由增加变为减少。E d
(2) |E d |>1时, 即需求富有弹性的商品, 当价格在p 0基础上在(-
p 0, p 0) 内变化时, 可使销售收入增加如①; 当商品的降价幅度达-1, 0) 幅度范围内降价, 也即价格在(-E d E d (--1) (即降价幅度范围中点) , 也即价格由p 02E d
降至(-+1) p 0(即降价范围中点) 时, 销售收入的增加额及销售收入均最大如②③; 当降价幅度继续增大及继续2E d
降价时, 总收入的增加将减少, 直至为0; 再继续降价, 则超出了使总收入增加的调价幅度及价格的变化范围, 导致总收入的减少。
2. 需求价格弹性系数对总利润的影响
用前面符号, 并假定单位可变成本为v , 固定成本总额为F, 利润由L 0变为L =L 0+ΔL , 且L =(p -v ) Q -F , 于是ΔL =[(p -v ) Q -F]-[(p 0-v ) Q 0-F]=p 0Q 0(E d u +1+
令E d ) u p 0=α, 它是度量价格超过单位变动成本部分的比例, 为单位产品的收益价格比。p 0
ΔL =p 0Q 0(E d u +1+αE d ) u 则
(1) 要使ΔL >0, u >0④u
α>0E d u +1+E d α
解之得 0
即 p 0
・124・
此时 |E d |α
(2) 要使ΔL 最大, 则令ΔL =p 0Q 0(2E d u +1+αE d ) =0
得 u =
此时 p =(-) -α2E d [(-+1) p 0+v ]2E d
(--α]2p 0Q 02E d ΔL ″又因为 =2p 0Q 0E d
⑥
) p 0Q 0-F L max =(E d u +1) (u +α计算结果表明:(1) |E d |
E d [) (即涨价幅度范围的中点) , 价格涨至[(--α+1) p 0+v ](即涨价范围的中点) 时, 增加的利润最大为-E d 2E d (-) p 0Q F, , 利润将-α]2p 0Q 0, 总利润也最大为(E d u +1) (u +α2E d
由增加变为减少。(2) |E d |>α(时, , -E d -, 降低的价格需在-E d
(-) , 价格降至[(--α+1) p 0+v ]时, 增加的利润最2E d 2E d p 0+v , p 0) 内变化④; 当降价幅度达
大如⑤, 总利润也最大如⑥; 当价格继续下降并超出上述两个范围时, 也将使利润由增加变为减少。
上述定量分析表明:
(1) 需求弹性表明了价格变动对市场需求的影响, 也表明了对销售收入及利润的影响; 通常弹性小的商品涨价能提高收入和利润, 故应对其采取提价策略; 弹性大的商品降价能提高收入和利润, 故应对其采取降价策略。但价格策略的运用是有条件的, 提价或降价都不能无限制的进行, 超过一定的范围又会引起收入和利润的减少。
因此, 利用需求弹性测算以总收入增加或以总利润增加为目标的合理的调价方向、调价幅度及收入和利润最大化时的价格, 确定提价或降价策略, 对于增强企业的竞争力, 扩大企业经营商品的市场份额, 获得最佳经济效益, 具有重要意义。
(2) 由①、④式表明收入和利润的变化量均与初始时的价格及需求量、需求弹性及调价幅度密切相关, 且二者的最大值ΔR max 与ΔL max 均可用同一表达式-p 0Q 0E d u 2来表示, 但一般情况下, 二者不相等, 且相对应的调价幅度u 也不等。其原因在于, 在相同的调价幅度下ΔL 比ΔR 要多扣除含单位变动成本v 的项(vQ 0E d ) , 故取得ΔL max 时的u 比取得ΔR max 时的u 大, 且相差(1-α) , 即要实现ΔL max , 需在实现ΔR max 的u 之后, 再继续调整单位可变成本占22p 0
初始价格比例的50%, 这时才使ΔL 最大; 同理实现ΔL max 与实现ΔR max 时的价格也不同, 需在实现ΔR max 时的价格的基础上再变化, 即可实现ΔL max 。由此说明, 通常情况下, 最大利润与最大收入不能同时取得, 故企业只能根据其经2
营目标确定其最佳调价点。
(3) 前面只讨论了价格对销售收入及利润的影响, 由于需求弹性反映了价格变动对市场需求的影响, 根据需求弹
p -Q 0E d +Q 0, 因此根据需求弹性的大小, 及需求量p 0性定义可推算出价格为p 时所对应的销售量的大小, 即Q =
的变化, 可测算需求量对销售收入及利润的影响, 还可以用企业的货源或生产能力与之相比较, 若能满足上述销售量的要求, 即可按前文讨论的收入或利润最大时的价格或者使二者增加时价格的变化范围定价, 否则应以现有货源或生产能力所提供的商品销售量为已知销售量反推出相应的价格。
由以上分析可知, 利用需求价格弹性系数, 可以为企业价格调整提供量化依据, 且简便易行, 不失为一种有效的定量分析方法, 但是需求价格弹性系数这一分析工具也有其局限性和片面性, 故应结合其他分析方法, 以便为企业的经营决策提供准确可靠的依据。
参考文献:
[1]刘书田. 微积分在经济学中的应用[M ].长沙:湖南大学出版社,1988.
・125・
[2]周惠中. 微观经济学[M ].上海:上海人民出版社,1997.
[3]晋自力. 商品定价应考虑价格需求弹性[J].开发研究,1995, (3) .
[4]王树华. 利用需求弹性分析价格对利润的影响[J].经济与管理,1999, (5) .
[责任编辑:刘金冷]
O n t he Application of De ma nd Elasticity Coefficie nt i n Price D ecision -ma ki ng
TIAN Min
(Tianj in Metall urgy Prof essional Technology I nstitute , Tianj in 300180China )
A b s t r a c t :Demandelasticity reveals the relationship between demand and p rice. It also reveals the influence on sales revenue and p rofit by the change of p rice. The p rice adjustment direction and range that make the increase of the sales revenue or gross p rofit as the aim can be estimated with the help of de 2mand elasticity coefficient. By this way , the best point of p rice adjustment can also be estimated and this can p rovide a simple , p ractical quantitative analysis method f or p rice decision -Ke y w o r d s :demandelasticity coefficient ; ; ; gross p rofit (上接第40页)
结 论
n 阶方阵A A 的阶数等于A 的阶数,A 的单特征值对应A 中的主对角线元素。A 的相重特征值——
—对应A 中的约当矩阵, 约当矩阵的子块数目等于其退化度的数目。在遇有模糊现象时, 可先利用式(8) 求出特征值指数, 该特征值指数就是最大约当块的阶数, 在m i ≥7时, 可借助式(9) 确定所有各阶子块的数目。
本文提出的方法避免了“试探法”和“特征向量法”的繁琐计算过程, 状态方程约当化时, 可在A 的约当化之后利用变换关系式(2) 求出变换阵P , 进而对输入矩阵B 和输出矩阵C 施行变换, 该法简单方便、概念清楚, 容易接受。参考文献:
[1]须田信英等著, 曹长修译. 自动控制中的矩阵理论[M ].科学出版社,1979.
[2]黄克欧等著. 高等工程数学[M ].人民铁道出版社,1979.
[3]W. L. B RO GAN 著, 姜志宏等译. 现代控制理论[M ].大连工学院出版社,1980.
[4]邹本才. 状态方程约当化的一种方法[J].天津理工学院学报,1988, (2) .
[5]郑大钟编著. 线性系统理论基础[M ].清华大学出版社,1992.
[6]邹本才编著. 现代控制理论基础[M ].天津科学技术出版社,1995.
[责任编辑:刘金冷]
The J orda n Met hod a nd A nalysis f or State Equations
WAN G J in -ping
(Tianj in N ankai Dist rict S af f and W orkers Universit y , Tianj in 300100China )
A b s t r a c t :This paper p roposes a J ordan method for state equations. Based on the similar J ordan matrix which is composed of the algebraic multiplicity , degradation and its eigenvalue index f rom the ei 2genvalue of matrix A , transferring matrix (P ) was calculated by their linear relations of the above. The method is p roved to be simple and feasible by theory and p ractice.
Ke y w o r d s :Jordan method ; the algebraic multiplicity ; degradation ; eigenvalue index ; J ordan ・126・
第8卷 第5期
天津职业院校联合学报N O. 5Vol. 8需求弹性系数在价格决策中的应用
田 敏
(天津冶金职业技术学院, 天津市 300000)
摘 要: 需求弹性反映了商品需求量与价格间的关系, 也反映了价格变动对销售收入及利润的影响, 利用需求弹性系数可以测算以销售收入或总利润增加为目标的调价方向、调价幅度及范围, 测算实现收入或利润最大化时的最佳调价点, 为价格决策提供一种简便实用的定量分析方法。
关键词: 需求弹性系数; 需求弹性; 价格; 销售收入; 总利润
中图分类号:O212.4 文献标识码:A 文章编号:1673-582X (2006) 05-0123-04
一、函数的弹性
弹性, 本是一个物理名词, , , 当自变量发生相对变化时, 函数值随之发生变化的比率, 用数学语言如下描述:设函数y =() x f (, 与自变量的相对改变量之比/为f (x ) y x y x
在区间[x , x +Δx ], E d , 它表示y 对于x 的相对变化, f (x ) 的平均相对变化率。
可以证明, 函数的弹性系数与变量x 、y 的度量单位无关, 这一点使得弹性系数在经济分析中得以广泛应用。
二、需求的价格弹性系数及分类
经济学中, 弹性指的是一个经济变量对另一个经济变量相对变动所作出的反应。市场需求弹性指的就是市场需求在外力因素(经济自变量) 的相对变动影响下而发生的相对扩大或缩小。
由于影响市场需求量的因素很多, 所以, 不同的自变量有不同的市场需求弹性。其中, 最为重要的是市场需求的价格弹性, 它以需求函数中所有其它变量保持不变为假设条件, 来测定需求量对商品价格变化的反应程度。
设Q 表示某一商品的市场需求量,p 表示价格, 则E d =/为需求的价格弹性系数, 简称需求弹性系数。其经Q 0p 0
济意义是:当价格上涨(下降) 1%时, 需求量减少(增加) |E d |%。
一般来讲, 商品的需求量与价格呈反向变动关系, Δp >0(涨价) 时, ΔQ 0。因此, E d
根据计算结果, 需求弹性系数大体上有以下几种情形:
(1) |E d |>1, 表示该商品的需求量变动的百分比大于价格变动的百分比, 说明价格的涨落变动, 对需求量的减增变化影响较大, 称该需求是富有弹性的。一般的奢侈品、高档品多属此类。
(2) |E d |
(3) |E d |=1, 表示该商品的需求量变动的百分比与价格变动的百分比的比值等于1, 它表明该种商品价格变化的幅度与需求量变化的幅度基本相同, 称此需求是单一弹性的。
(4) |E d |=∞, 表示该种商品在某一既定价格下稍有变化, 市场需求量就可以无限制地任意变动, 称该需求完全有弹性。
(5) |E d |=0, 表示该商品的价格无论怎样变化, 市场的需求量也不会发生改变, 称该需求完全缺乏弹性。上述后三种情况很特殊, 实际应用中较为少见, 最为常见的是前两种情形, 我们重点对这两种情形进行研究。
三、需求弹性系数在价格决策中的应用
一般来讲, 企业调整商品销售价格的基本目标, 在于获得更多的销售收入或利润, 为此企业可利用需求弹性系数对企业的营销策略作量化分析, 测算由于商品销售价格调整给企业带来的销售收入及总利润的变化。
收稿日期:2006-04-20
作者简介:田敏(1962-) , 女, 天津市人, 天津冶金职业技术学院讲师, 主要研究经济数学。
・123・
1. 需求价格弹性系数对销售收入的影响
设单位商品的售价由p 0变为p =p 0+Δp , 销售量由Q 0变为Q =Q 0+ΔQ , 销售收入由R 0变为R =R 0+ΔR ,
令调价幅度u =, 则需求弹性E d =/u , p 0Q 0
Δp =p 0u , ΔQ =Q 0E d u , p =(u +1) p 0, Q =(E d u +1) Q 0,
于是ΔR =pQ -p 0Q 0=p 0Q 0(E d u +E d +1) u
(1) 要使ΔR >0, u >0
E d u +E d +1>0①解之得 00E d u +E d +1
即 p 0
此时 |E d |1
(2) 要使ΔR 最大, 则令ΔR =p 0Q 0(2E d u +E d +1) =0
得 u =
此时 p =(--1) 2E d (-+1) p 02E d
ΔR ″又因为 =2p 0Q 0E d
则此时ΔR max
R max 2=-p 0Q 0=-E d [--1) ]2p 0Q 04E d E d ②③2(=-p 0Q 0=-E d [1) ]004E d d
计算结果表明:
(1) |E d |
-(--1) 幅度范围内提价, 也即价格在(p 0, E d p 0) 内变化时, 可使销售收入增加p 0Q 0(E d u +E d +1) u; 当商品的提价幅度达(-, 也即价格由p 0上涨至E d 2E d 2(-(-+1) p 0时, 销售收入的增加额最大为-E d [-1) ]2p 0Q 0, 销售收入也最大为-E d [+E d 2E d 2E d
-1, 价格E d 1) ]2p 0Q 0, 此时价格的上涨幅度及价格恰好是使销售收入增加的二者变化范围的中点, 当二者的变化超过此中点时, 总收入的增加将减少, 直至为0; 再继续涨价, 二者的变化将超过上述两个相应的范围, 即涨价幅度超过-
上涨超过-p 0, 总收入将由增加变为减少。E d
(2) |E d |>1时, 即需求富有弹性的商品, 当价格在p 0基础上在(-
p 0, p 0) 内变化时, 可使销售收入增加如①; 当商品的降价幅度达-1, 0) 幅度范围内降价, 也即价格在(-E d E d (--1) (即降价幅度范围中点) , 也即价格由p 02E d
降至(-+1) p 0(即降价范围中点) 时, 销售收入的增加额及销售收入均最大如②③; 当降价幅度继续增大及继续2E d
降价时, 总收入的增加将减少, 直至为0; 再继续降价, 则超出了使总收入增加的调价幅度及价格的变化范围, 导致总收入的减少。
2. 需求价格弹性系数对总利润的影响
用前面符号, 并假定单位可变成本为v , 固定成本总额为F, 利润由L 0变为L =L 0+ΔL , 且L =(p -v ) Q -F , 于是ΔL =[(p -v ) Q -F]-[(p 0-v ) Q 0-F]=p 0Q 0(E d u +1+
令E d ) u p 0=α, 它是度量价格超过单位变动成本部分的比例, 为单位产品的收益价格比。p 0
ΔL =p 0Q 0(E d u +1+αE d ) u 则
(1) 要使ΔL >0, u >0④u
α>0E d u +1+E d α
解之得 0
即 p 0
・124・
此时 |E d |α
(2) 要使ΔL 最大, 则令ΔL =p 0Q 0(2E d u +1+αE d ) =0
得 u =
此时 p =(-) -α2E d [(-+1) p 0+v ]2E d
(--α]2p 0Q 02E d ΔL ″又因为 =2p 0Q 0E d
⑥
) p 0Q 0-F L max =(E d u +1) (u +α计算结果表明:(1) |E d |
E d [) (即涨价幅度范围的中点) , 价格涨至[(--α+1) p 0+v ](即涨价范围的中点) 时, 增加的利润最大为-E d 2E d (-) p 0Q F, , 利润将-α]2p 0Q 0, 总利润也最大为(E d u +1) (u +α2E d
由增加变为减少。(2) |E d |>α(时, , -E d -, 降低的价格需在-E d
(-) , 价格降至[(--α+1) p 0+v ]时, 增加的利润最2E d 2E d p 0+v , p 0) 内变化④; 当降价幅度达
大如⑤, 总利润也最大如⑥; 当价格继续下降并超出上述两个范围时, 也将使利润由增加变为减少。
上述定量分析表明:
(1) 需求弹性表明了价格变动对市场需求的影响, 也表明了对销售收入及利润的影响; 通常弹性小的商品涨价能提高收入和利润, 故应对其采取提价策略; 弹性大的商品降价能提高收入和利润, 故应对其采取降价策略。但价格策略的运用是有条件的, 提价或降价都不能无限制的进行, 超过一定的范围又会引起收入和利润的减少。
因此, 利用需求弹性测算以总收入增加或以总利润增加为目标的合理的调价方向、调价幅度及收入和利润最大化时的价格, 确定提价或降价策略, 对于增强企业的竞争力, 扩大企业经营商品的市场份额, 获得最佳经济效益, 具有重要意义。
(2) 由①、④式表明收入和利润的变化量均与初始时的价格及需求量、需求弹性及调价幅度密切相关, 且二者的最大值ΔR max 与ΔL max 均可用同一表达式-p 0Q 0E d u 2来表示, 但一般情况下, 二者不相等, 且相对应的调价幅度u 也不等。其原因在于, 在相同的调价幅度下ΔL 比ΔR 要多扣除含单位变动成本v 的项(vQ 0E d ) , 故取得ΔL max 时的u 比取得ΔR max 时的u 大, 且相差(1-α) , 即要实现ΔL max , 需在实现ΔR max 的u 之后, 再继续调整单位可变成本占22p 0
初始价格比例的50%, 这时才使ΔL 最大; 同理实现ΔL max 与实现ΔR max 时的价格也不同, 需在实现ΔR max 时的价格的基础上再变化, 即可实现ΔL max 。由此说明, 通常情况下, 最大利润与最大收入不能同时取得, 故企业只能根据其经2
营目标确定其最佳调价点。
(3) 前面只讨论了价格对销售收入及利润的影响, 由于需求弹性反映了价格变动对市场需求的影响, 根据需求弹
p -Q 0E d +Q 0, 因此根据需求弹性的大小, 及需求量p 0性定义可推算出价格为p 时所对应的销售量的大小, 即Q =
的变化, 可测算需求量对销售收入及利润的影响, 还可以用企业的货源或生产能力与之相比较, 若能满足上述销售量的要求, 即可按前文讨论的收入或利润最大时的价格或者使二者增加时价格的变化范围定价, 否则应以现有货源或生产能力所提供的商品销售量为已知销售量反推出相应的价格。
由以上分析可知, 利用需求价格弹性系数, 可以为企业价格调整提供量化依据, 且简便易行, 不失为一种有效的定量分析方法, 但是需求价格弹性系数这一分析工具也有其局限性和片面性, 故应结合其他分析方法, 以便为企业的经营决策提供准确可靠的依据。
参考文献:
[1]刘书田. 微积分在经济学中的应用[M ].长沙:湖南大学出版社,1988.
・125・
[2]周惠中. 微观经济学[M ].上海:上海人民出版社,1997.
[3]晋自力. 商品定价应考虑价格需求弹性[J].开发研究,1995, (3) .
[4]王树华. 利用需求弹性分析价格对利润的影响[J].经济与管理,1999, (5) .
[责任编辑:刘金冷]
O n t he Application of De ma nd Elasticity Coefficie nt i n Price D ecision -ma ki ng
TIAN Min
(Tianj in Metall urgy Prof essional Technology I nstitute , Tianj in 300180China )
A b s t r a c t :Demandelasticity reveals the relationship between demand and p rice. It also reveals the influence on sales revenue and p rofit by the change of p rice. The p rice adjustment direction and range that make the increase of the sales revenue or gross p rofit as the aim can be estimated with the help of de 2mand elasticity coefficient. By this way , the best point of p rice adjustment can also be estimated and this can p rovide a simple , p ractical quantitative analysis method f or p rice decision -Ke y w o r d s :demandelasticity coefficient ; ; ; gross p rofit (上接第40页)
结 论
n 阶方阵A A 的阶数等于A 的阶数,A 的单特征值对应A 中的主对角线元素。A 的相重特征值——
—对应A 中的约当矩阵, 约当矩阵的子块数目等于其退化度的数目。在遇有模糊现象时, 可先利用式(8) 求出特征值指数, 该特征值指数就是最大约当块的阶数, 在m i ≥7时, 可借助式(9) 确定所有各阶子块的数目。
本文提出的方法避免了“试探法”和“特征向量法”的繁琐计算过程, 状态方程约当化时, 可在A 的约当化之后利用变换关系式(2) 求出变换阵P , 进而对输入矩阵B 和输出矩阵C 施行变换, 该法简单方便、概念清楚, 容易接受。参考文献:
[1]须田信英等著, 曹长修译. 自动控制中的矩阵理论[M ].科学出版社,1979.
[2]黄克欧等著. 高等工程数学[M ].人民铁道出版社,1979.
[3]W. L. B RO GAN 著, 姜志宏等译. 现代控制理论[M ].大连工学院出版社,1980.
[4]邹本才. 状态方程约当化的一种方法[J].天津理工学院学报,1988, (2) .
[5]郑大钟编著. 线性系统理论基础[M ].清华大学出版社,1992.
[6]邹本才编著. 现代控制理论基础[M ].天津科学技术出版社,1995.
[责任编辑:刘金冷]
The J orda n Met hod a nd A nalysis f or State Equations
WAN G J in -ping
(Tianj in N ankai Dist rict S af f and W orkers Universit y , Tianj in 300100China )
A b s t r a c t :This paper p roposes a J ordan method for state equations. Based on the similar J ordan matrix which is composed of the algebraic multiplicity , degradation and its eigenvalue index f rom the ei 2genvalue of matrix A , transferring matrix (P ) was calculated by their linear relations of the above. The method is p roved to be simple and feasible by theory and p ractice.
Ke y w o r d s :Jordan method ; the algebraic multiplicity ; degradation ; eigenvalue index ; J ordan ・126・