九年级上学期数学综合能力测试题

一．选择题（每题3分，共18分） 1

A ．1

）

B．-1 C

2．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ， A 的半径为2. 下列说法中

不正确的是（）．．．

A ．当a

3．如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P BA ，则∠PBP ’的度数是（） A．45° B．60° C ．90° D．120°

’

4．如图，在 ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE =EB =EC =a ，且a 是一元二次方程

x +2x -3=0的根，则 ABCD 的周长为（）

．4+ B

．12+

．2+ D

．2+12+5．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若

耕地面积需要551米，则修建的路宽应为（） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米 6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝8cm,BC ＝6cm ，分别以A,C 为圆心，以

A C 2

的长为半径作

圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm ． A ．24-

254π

B ．

254

π C ．24-

π D ．24-

256

二．填空题（每空3分，共36分） 7．3

最接近的整数是＿＿，的最大值为＿＿。

-5) 关于原点对称的点的坐标为＿＿＿＿；点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着8．点p (3，

的倒数是＿＿＿＿，已知-n 是正整数，则实数n

坐标原点顺时针旋转135º到点B ，那么点B 的坐标是 _______．

9．如果关于x 的方程x -x +k =0（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k =．若两

个实数根的平方和为3，则k =＿＿＿；若两个实数根的倒数和为2，则k =＿＿＿。

10．已知⊙O 的直径AB =8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC =30°，则BC ＝ cm ．弓

形（阴影部分）的面积为＿＿＿。

11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感

染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染＿＿＿台电脑。

12．矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，

当它翻滚至类似开始的位置A 1B 1C 1D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．

三．解答题（共60分） 13．（5分）先化简、再求值：

14．（8分）解方程：

（1）x +3=3(x +1) ．（2）解方程：x +2x -2=0．

a -32a -4

÷(

5a -2

-a -2) ，其中a =3-3。

15．（8分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角

坐标系.

（1）画出四边形OABC 关于y 轴对称的四边形OA 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标是 . （2）画出四边形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA 2B 2C 2，并求出点C 旋

转到点C 2经过的路径的长度.

16．（8分）已知关于x 的一元二次方程x +(2m -1) x +m =0有两个实数根x 1和x 2．

（1）求实数m 的取值范围；（2）当x 1-x 2=0时，求m 的值．

17．（8分）如图，A B 是 O 的直径，A D 是弦，∠D A B =22.5，延长A B 到点C ，使得

∠A C D =45．

（1）求证：CD 是 O 的切线；（2

）若AB =，求BC 的长．

18．（9分）如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC∥DE交BD 于点H ，

DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F. (1)求证：DF 垂直平分AC ；（2）求证：FC ＝CE ；

（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O的半径.

19．（10分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量．．．

为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为．．．．．36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少

实际耗油量进行攻关．．．．．．

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的．．．重复利用率仍然为60%．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少．．．．．千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，．．．并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加．．．

这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新1.6%．．．．．．后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？．．．

0) ，以点O 1为圆心，8为半径20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为( 4，

的圆与x 轴交于A ，B 两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以点O 2(13，5) 为圆心的圆与x 轴相切于点D ．（1）求直线l 的解析式；

（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当⊙O 2第一次与⊙O 1外切时，求

⊙O 2平移的时间．

参考答案：

1．C 2．A 3．B 4．Ａ 5．A 6．A 7．2

，

11 8．(-3, 5) (-1,－1) 9．

－1

10．4cm

(π-3

3cm ) 11、8 12．12π

13．原式=

⎡5-(a +2)(a -2) ⎤a -3a -2a -3a -2

== ÷⎢∙∙⎥2

2(a -2) ⎣(a -2) 2(a -2) (3+a )(3-a ) ⎦2(a -2) 9-a a -3

12(a +3)

当a =3-3时，原式=-

12(3-3+3)

．

14．（1）∵x +3=3(x +1) ，∴x +3=3x +3， ∴x -3x =0，

0 ∵x (x -3=) ，∴x 1=0，x 2=3．

（2

）∴x 1=-1+

x 2=-1-

15．（1）如图：B 1的坐标是（-6，2）（2）如图： L =

90⨯π⨯3

180

3π

16．（1）由题意有∆=(2m -1) -4m ≥0，解得m ≤

．即实数m 的取值范围是m ≤

．

（2）由x 1-x 2=0得(x 1+x 2)(x 1-x 2) =0．若x 1+x 2=0，即-(2m -1) =0，解得m =

．

，∴m =

不合题意，舍去．

若x 1-x 2=0，即x 1=x 2 ∴∆=0，由（1）知m =

故当x 1-x 2=0时，m =

．

17．（1）证法一：如图，连接OD ． ∠D A B =22.5，∠D O C =2∠D A B ，

∴∠D O C =45

．又 ∠A C D =45，∴∠O D C =180-∠A C D -∠D O C =90，即

O D ⊥C ．D ∴CD 是 O 的切线．

证法二：如图，连接OD ． ∠D A B =22.5，∠A C D =45，

∴∠AD C =180-∠D AB -∠AC D =112.5．又 OA =OD ，

∴∠A D O =∠D A B =22.5．∴∠O D C =∠A D C -∠A D O =90，即OD ⊥CD ． ∴CD 是 O 的切线．

（2）解：由（1）可得：△ODC 是等腰直角三角形．

AB =A B

是直径，∴OD =OB =

∴BC =OC -OB =2-

．∴OC =

=2．

18．（1）∵DE是⊙O的切线，且DF 过圆心O

∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ∴DF⊥AC ∴DF垂直平分AC （2）由（1）知：AG ＝GC 又∵AD∥BC ∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF ∴△AGD≌△CGF（ASA ）

∴AD＝FC ∵AD∥BC且AC∥DE ∴四边形ACED 是平行四边形 ∴AD＝CE ∴FC＝CE

（3）连结AO ； ∵AG＝GC ，AC ＝8cm ，∴AG＝4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD －AG ＝52-42＝3cm 设圆的半径为r ，则AO ＝r ，OG ＝r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2 有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256 ∴⊙O的半径为256cm.

19．（1）由题意，得70⨯(1-60%)=70⨯40%=28（千克）．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克．．．．

1.6%-60%⎤ 由题意，得x ⎡⎣1-(90-x ) ⎦=12．

整理，得x -65x -750=0．

解得：x 1=75，x 2=-10（舍去）．

(90-75)⨯1.6%+60%

=84%．

答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．．．．．．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为75千克，用油的重复利用．．．

率为84%．

20．（1）解：由题意得O A =|-4|+|8|=12，

∴A 点坐标为(-12，0) ．

在Rt △AOC 中，∠OAC =60°，

-． O C = ∴

C 点的坐标为(0，

⎧⎪-=b

y =kx +b 设直线l 的解析式为，由l 过A 、

C 两点，得⎨

0=-12k +b ⎪⎩

⎧⎪b =-解得⎨∴直线l

的解析式为：y =-．

⎪⎩k =（2）如图，设⊙O 2平移t 秒后到⊙O 3处与⊙O 1第一次外切于点P ，⊙O 3与x 轴相切于D 1点，连接O 1O 3．则O 1O 3=O 1P +P O ，O 3D 1=8+5=13， O 3D 1⊥x 轴，∴O 3D 1=5，在3中，O 1D 1=R t △

O 1O 3D 1

=12．

=5（秒），

O 1D =O 1O +O D =4+13=17，∴D 1D =O 1D -O 1D 1=17-12=5，∴t =∴⊙O 2平移的时间为5秒．

九年级上学期数学综合能力测试题

一．选择题（每题3分，共18分） 1

A ．1

）

B．-1 C

2．在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ， A 的半径为2. 下列说法中

不正确的是（）．．．

A ．当a

3．如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P BA ，则∠PBP ’的度数是（） A．45° B．60° C ．90° D．120°

’

4．如图，在 ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE =EB =EC =a ，且a 是一元二次方程

x +2x -3=0的根，则 ABCD 的周长为（）

．4+ B

．12+

．2+ D

．2+12+5．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若

耕地面积需要551米，则修建的路宽应为（） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米 6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝8cm,BC ＝6cm ，分别以A,C 为圆心，以

A C 2

的长为半径作

圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm ． A ．24-

254π

B ．

254

π C ．24-

π D ．24-

256

二．填空题（每空3分，共36分） 7．3

最接近的整数是＿＿，的最大值为＿＿。

-5) 关于原点对称的点的坐标为＿＿＿＿；点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着8．点p (3，

的倒数是＿＿＿＿，已知-n 是正整数，则实数n

坐标原点顺时针旋转135º到点B ，那么点B 的坐标是 _______．

9．如果关于x 的方程x -x +k =0（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k =．若两

个实数根的平方和为3，则k =＿＿＿；若两个实数根的倒数和为2，则k =＿＿＿。

10．已知⊙O 的直径AB =8cm ，C 为⊙O 上的一点，∠BAC =30°，则BC ＝ cm ．弓

形（阴影部分）的面积为＿＿＿。

11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感

染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染＿＿＿台电脑。

12．矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，

当它翻滚至类似开始的位置A 1B 1C 1D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．

三．解答题（共60分） 13．（5分）先化简、再求值：

14．（8分）解方程：

（1）x +3=3(x +1) ．（2）解方程：x +2x -2=0．

a -32a -4

÷(

5a -2

-a -2) ，其中a =3-3。

15．（8分）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角

坐标系.

转到点C 2经过的路径的长度.

16．（8分）已知关于x 的一元二次方程x +(2m -1) x +m =0有两个实数根x 1和x 2．

（1）求实数m 的取值范围；（2）当x 1-x 2=0时，求m 的值．

17．（8分）如图，A B 是 O 的直径，A D 是弦，∠D A B =22.5，延长A B 到点C ，使得

∠A C D =45．

（1）求证：CD 是 O 的切线；（2

）若AB =，求BC 的长．

18．（9分）如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D 的切线交BC 的延长线于点E ，AC∥DE交BD 于点H ，

DO 及延长线分别交AC 、BC 于点G 、F. (1)求证：DF 垂直平分AC ；（2）求证：FC ＝CE ；

（3）若弦AD ＝5㎝，AC ＝8㎝，求⊙O的半径.

19．（10分）机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量．．．

实际耗油量进行攻关．．．．．．

0) ，以点O 1为圆心，8为半径20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为( 4，

（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当⊙O 2第一次与⊙O 1外切时，求

⊙O 2平移的时间．

参考答案：

1．C 2．A 3．B 4．Ａ 5．A 6．A 7．2

，

11 8．(-3, 5) (-1,－1) 9．

－1

10．4cm

(π-3

3cm ) 11、8 12．12π

13．原式=

⎡5-(a +2)(a -2) ⎤a -3a -2a -3a -2

== ÷⎢∙∙⎥2

2(a -2) ⎣(a -2) 2(a -2) (3+a )(3-a ) ⎦2(a -2) 9-a a -3

12(a +3)

当a =3-3时，原式=-

12(3-3+3)

．

14．（1）∵x +3=3(x +1) ，∴x +3=3x +3， ∴x -3x =0，

0 ∵x (x -3=) ，∴x 1=0，x 2=3．

（2

）∴x 1=-1+

x 2=-1-

15．（1）如图：B 1的坐标是（-6，2）（2）如图： L =

90⨯π⨯3

180

3π

16．（1）由题意有∆=(2m -1) -4m ≥0，解得m ≤

．即实数m 的取值范围是m ≤

．

（2）由x 1-x 2=0得(x 1+x 2)(x 1-x 2) =0．若x 1+x 2=0，即-(2m -1) =0，解得m =

．

，∴m =

不合题意，舍去．

若x 1-x 2=0，即x 1=x 2 ∴∆=0，由（1）知m =

故当x 1-x 2=0时，m =

．

17．（1）证法一：如图，连接OD ． ∠D A B =22.5，∠D O C =2∠D A B ，

∴∠D O C =45

．又 ∠A C D =45，∴∠O D C =180-∠A C D -∠D O C =90，即

O D ⊥C ．D ∴CD 是 O 的切线．

证法二：如图，连接OD ． ∠D A B =22.5，∠A C D =45，

∴∠AD C =180-∠D AB -∠AC D =112.5．又 OA =OD ，

∴∠A D O =∠D A B =22.5．∴∠O D C =∠A D C -∠A D O =90，即OD ⊥CD ． ∴CD 是 O 的切线．

（2）解：由（1）可得：△ODC 是等腰直角三角形．

AB =A B

是直径，∴OD =OB =

∴BC =OC -OB =2-

．∴OC =

=2．

18．（1）∵DE是⊙O的切线，且DF 过圆心O

∴DF⊥DE 又∵AC∥DE ∴DF⊥AC ∴DF垂直平分AC （2）由（1）知：AG ＝GC 又∵AD∥BC ∴∠DAG＝∠FCG 又∵∠AGD＝∠CGF ∴△AGD≌△CGF（ASA ）

∴AD＝FC ∵AD∥BC且AC∥DE ∴四边形ACED 是平行四边形 ∴AD＝CE ∴FC＝CE

（3）连结AO ； ∵AG＝GC ，AC ＝8cm ，∴AG＝4cm

在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝AD －AG ＝52-42＝3cm 设圆的半径为r ，则AO ＝r ，OG ＝r-3

在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO2＝OG2+AG2 有：r2＝(r-3)2+42解得 r＝256 ∴⊙O的半径为256cm.

19．（1）由题意，得70⨯(1-60%)=70⨯40%=28（千克）．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克．．．．

1.6%-60%⎤ 由题意，得x ⎡⎣1-(90-x ) ⎦=12．

整理，得x -65x -750=0．

解得：x 1=75，x 2=-10（舍去）．

(90-75)⨯1.6%+60%

=84%．

率为84%．

20．（1）解：由题意得O A =|-4|+|8|=12，

∴A 点坐标为(-12，0) ．

在Rt △AOC 中，∠OAC =60°，

-． O C = ∴

C 点的坐标为(0，

⎧⎪-=b

y =kx +b 设直线l 的解析式为，由l 过A 、

C 两点，得⎨

0=-12k +b ⎪⎩

⎧⎪b =-解得⎨∴直线l

的解析式为：y =-．

O 1O 3D 1

=12．

=5（秒），

O 1D =O 1O +O D =4+13=17，∴D 1D =O 1D -O 1D 1=17-12=5，∴t =∴⊙O 2平移的时间为5秒．

九年级上学期数学综合能力测试题

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