第21卷第4期 佛山科学技术学院学报(自然科学版)
2003年12月 Jou rnal of Fo shan U n iversity (N atu ral Science Editi on )
文章编号:100820171(2003) 0420016203. 21N o . 4V o l D ec . 2003
圆平行板电容器极板电流磁场的数值计算
沈华嘉, 江俊勤
(广东教育学院物理系, 广东广州510303)
摘要:用数值计算的方法研究了圆平行板电容器极板上电流的磁场, 求出传导电流(极板电流+馈线电流) 产生的磁场, 并与使用全电流环路定律在忽略边缘效应的条件下的计算结果作比较。
关键词:圆平行板电容器; 传导电流; 磁场; 数值计算
中图分类号:O 441 文献标识码:A
多年来, 在讨论麦克斯韦电磁场理论时, 电流的存在。, 再在电容器两z , 并。但是该实验的理论依据是不对的, 文献[1]从理论上作了分析, 指出, 位移电流的磁场为零。
文献[2]则进一步把圆平行板电容器实验中的传导电流分为极板电流和馈线电流两部分, 并用毕-萨定律计算了极板电流和馈线电流的磁场, 用具体的计算结果直接证实文献[1]的论断。
但是, 由于圆平行板电容器极板电流磁场的计算十分复杂, 因此文献[2]只是在x νR 和x µR 两种极端情况下对极板电流的磁场进行近似的计算。仍然存在着一些有待解决的问题。首先, 如果不是在
2附近(上述所讲实验就是在此情况下进行的) , 那么极板x νR 和x µR 两种极端情况下, 例如在x =R
电流产生的磁场是怎么样的呢? 其次, 用全电流环路定律计算磁场时, 忽略边缘效应对结果有多大的影响呢? 为了回答这些问题, 本文用数值计算的方法对传导电流的磁场进行全面的研究, 并与使用全电流环路定律在忽略边缘效应的条件下的计算结果作比较。
1 圆平行板电容器极板电流磁场的表达式和数值算法
图1所示是半径为R 的圆平行板电容器, 馈电导线沿电容器轴线
延伸到无限远。若馈线中电流随时间的变化率很小(低频电源) , 辐射效
应可忽略, 求分布在电容器极板上的传导电流在P 点产生的磁场。P
点位于两极板中间, 与轴线的距离为x , 两极板间的距离为a (a νR ) 。
图1 圆平行板电容器正视图 先求左极板上的传导电流在P 点产生的磁场。取如图2
所示坐标
系, 过极板上的P ′点作圆L , 设P ′点离圆心的距离为Θ, 流经它的电流面密度为J , 则流出圆L 的电流为2ΠΘJ (实际上应为2ΠΘbJ , b 为极板的厚度, 为了方便, 取b =1) 。依电流连续性, 有
(1) I -2ΠΘJ =d q d t ,
式中q 为圆L 所包围的电荷。在a νR 和似稳条件下, 可认为电荷在极板上时时保持均匀分布[2], 故收稿日期:2003206210
基金项目:广东省教育厅自然科学研究资助项目(Z 02083)
作者简介:沈华嘉(19632) , 女, 浙江绍兴人, 广东教育学院实验师, 从事电子电工实验、普通物理学的教学和研究
。
第4期 沈华嘉等:圆平行板电容器极板电流磁场的数值计算
q =217
R 2, (2)
式中Q 为总电荷, 与I 的关系为I =d Q d t , 得
22(3) J =I 。22ΠR Θ
而电流面密度矢量J 与P ′点到P 点的矢径r 分别为
(4) J =J co s Υi +J sin Υj ,
) i -Θ(5) r =(x -Θco s Υsin Υj +a k 。
将式(3) ～(5) 式代入毕-萨定律得
B =R
4Π0∫0
1z 2ΠJ ×d Θd Υ。3Θr (6
) 图2 左极板上传导电流的贡献 左极板上的电流在P 点产生的磁场为B 1x =B =0, B 1y =-228ΠR R 00R 2Π222222(x +a +Θ-2x Θ) 3 co s Υ由对称性得两极板上的电流在P 点产生的磁场为
B b =2B 1y =-224ΠR 00
22Π22222(x ++2x ) 3(7) 所以, 上。对Θ积分, B b --Πx x +a 2+2-222ΠR 4ΠR ) co s Υf (x , Υd Υ, 02Π(8)
222) =22式中f (x , ΥR +a +x -2R x co s Υ-2x Υ+a
222ln R -x co s Υ+R +a +x -2R x co s 。
) co s Υ非常复杂, 无法做解析计算, 必须进行数值计算。为了保证计算由于式(8) 中被积函数f (x , Υ
) co s Υ呈强峰陡坡形的精确性, 先研究被积函数在[0, 2Π]内的态性。数值研究表明在[0, 2Π]内, f (x , Υ
状, 图3给出了x =2R 和R =20a 的情况。而且这种态性随x 的增大而增强。对于这种强峰陡坡形状的
[3]被积函数, 宜采用“自适应”Si m p son 积分法计算。
2 数值结果
用自适应Si m p son 积分法对B b 进行数值计算, 图4给出了在0≤x ≤4R 范围内B b 随x 变化的数值结果。用毕-萨定律容易算出无限延伸的馈线电流在P 点产生的磁场为
B L =1-2Πx x +a 22。(9)
所以极板电流和馈线电流共同产生的磁场为B 毕=B b +B L , 其数值结果如图4所示。由于具有良好的对称性, P 点的磁场也可使用全电流环路定律
B d l =Λ∮J +0
L S ΕE 5 d S 05(10)
来计算。
在忽略边缘效应情况下, 可认为电场仅存在于电容器内部, 即当x >R 时E =0, 当x ≤R 时E =Q 2(ΠΕ0R ) , 从而有
0(当x >R 时) , (11) Ε=05t 2(当x ≤R 时) 。ΠR
将式(11) 代入式(10) 计算得
18佛山科学技术学院学报(自然科学版) 第21卷
2(当x ≤R 时) ,
2Π
R B 环=(当x ≥R 时) 。2Πx
为了比较, 也把
B 环与x 的关系画在图4中(实线所示) 。(12)
) co s Υ与Υ的关系图3 当x =2R , R =20a 时, f (x , Υ图4 R =20a 时, x 的关系
3 结论
(1) 在似稳条件下, 用毕-是一致的, R , B 毕(=B b +B L ) 比B (2) , (放在电容器内部) 里的磁场是由传导电流(极板电流和馈线电流) 产生的。极板电流的磁场B b 和馈线电流的磁场B L 都可以很大, 但方向相反, 相互抵消, 使得电容器内部总磁
(2Π场不强。数值结果表明, 当R =20a 、x ≈1. 272a 时, B b 到达最小值20. 2973Λ0I a ) , 与此同时B L 到达
(2Π最大值0. 3003Λ0I a ) ; B b 的最小值的大小(或B L 的最大值) 约为总磁场B b +B L =0. 0030Λ0I
(2Πa ) 的100倍;
(3) 在电容器外部, 极板电流的磁场极小, 磁场主要是由馈线电流产生的。
参考文献:
[1] 朱久运. 关于位移电流激发的磁场[J ]. 大学物理, 1983, 2(11) :9212
[2] 李元勋. 用毕-萨定律计算圆平行板电容器极板上电流的磁场[J ]. 大学物理, 1996, 15(1) :22224
[3] 高 崇, 罗忠禹, 王树清, 等. 常用算法BA S I C 语言应用手册[M ]. 北京:中国铁道出版社, 1993. 28, 31, 278.
【责任编辑:任小平】
The nu m er ica l ar ithm etic of the magnetic f ield
i n a c ircular para llel pla te capac itor
SH EN H ua 2jia , J I AN G J un 2qin
(D epartm en t of Physics , Guangdong In stitu te of Educati on , Guangzhou 510303, Ch ina )
Abstract :T he m agnetic field of the conductive cu rren t (the cu rren t distribu ted on the p lates of a circu lar p arallel p late cap acito r p lu s the feeder cu rren t ) is num erically studied . T he num
erical resu lt is com p ared w ith that from w ho le cu rren t law under the conditi on of igno ring bo rder effect .
Key words :circu lar p arallel p late cap acito r ; conductive cu rren t ; m agnetic field ; num erical value arithm etic
第21卷第4期 佛山科学技术学院学报(自然科学版)
2003年12月 Jou rnal of Fo shan U n iversity (N atu ral Science Editi on )
文章编号:100820171(2003) 0420016203. 21N o . 4V o l D ec . 2003
圆平行板电容器极板电流磁场的数值计算
沈华嘉, 江俊勤
(广东教育学院物理系, 广东广州510303)
摘要:用数值计算的方法研究了圆平行板电容器极板上电流的磁场, 求出传导电流(极板电流+馈线电流) 产生的磁场, 并与使用全电流环路定律在忽略边缘效应的条件下的计算结果作比较。
关键词:圆平行板电容器; 传导电流; 磁场; 数值计算
中图分类号:O 441 文献标识码:A
多年来, 在讨论麦克斯韦电磁场理论时, 电流的存在。, 再在电容器两z , 并。但是该实验的理论依据是不对的, 文献[1]从理论上作了分析, 指出, 位移电流的磁场为零。
文献[2]则进一步把圆平行板电容器实验中的传导电流分为极板电流和馈线电流两部分, 并用毕-萨定律计算了极板电流和馈线电流的磁场, 用具体的计算结果直接证实文献[1]的论断。
但是, 由于圆平行板电容器极板电流磁场的计算十分复杂, 因此文献[2]只是在x νR 和x µR 两种极端情况下对极板电流的磁场进行近似的计算。仍然存在着一些有待解决的问题。首先, 如果不是在
2附近(上述所讲实验就是在此情况下进行的) , 那么极板x νR 和x µR 两种极端情况下, 例如在x =R
电流产生的磁场是怎么样的呢? 其次, 用全电流环路定律计算磁场时, 忽略边缘效应对结果有多大的影响呢? 为了回答这些问题, 本文用数值计算的方法对传导电流的磁场进行全面的研究, 并与使用全电流环路定律在忽略边缘效应的条件下的计算结果作比较。
1 圆平行板电容器极板电流磁场的表达式和数值算法
图1所示是半径为R 的圆平行板电容器, 馈电导线沿电容器轴线
延伸到无限远。若馈线中电流随时间的变化率很小(低频电源) , 辐射效
应可忽略, 求分布在电容器极板上的传导电流在P 点产生的磁场。P
点位于两极板中间, 与轴线的距离为x , 两极板间的距离为a (a νR ) 。
图1 圆平行板电容器正视图 先求左极板上的传导电流在P 点产生的磁场。取如图2
所示坐标
系, 过极板上的P ′点作圆L , 设P ′点离圆心的距离为Θ, 流经它的电流面密度为J , 则流出圆L 的电流为2ΠΘJ (实际上应为2ΠΘbJ , b 为极板的厚度, 为了方便, 取b =1) 。依电流连续性, 有
(1) I -2ΠΘJ =d q d t ,
式中q 为圆L 所包围的电荷。在a νR 和似稳条件下, 可认为电荷在极板上时时保持均匀分布[2], 故收稿日期:2003206210
基金项目:广东省教育厅自然科学研究资助项目(Z 02083)
作者简介:沈华嘉(19632) , 女, 浙江绍兴人, 广东教育学院实验师, 从事电子电工实验、普通物理学的教学和研究
。
第4期 沈华嘉等:圆平行板电容器极板电流磁场的数值计算
q =217
R 2, (2)
式中Q 为总电荷, 与I 的关系为I =d Q d t , 得
22(3) J =I 。22ΠR Θ
而电流面密度矢量J 与P ′点到P 点的矢径r 分别为
(4) J =J co s Υi +J sin Υj ,
) i -Θ(5) r =(x -Θco s Υsin Υj +a k 。
将式(3) ～(5) 式代入毕-萨定律得
B =R
4Π0∫0
1z 2ΠJ ×d Θd Υ。3Θr (6
) 图2 左极板上传导电流的贡献 左极板上的电流在P 点产生的磁场为B 1x =B =0, B 1y =-228ΠR R 00R 2Π222222(x +a +Θ-2x Θ) 3 co s Υ由对称性得两极板上的电流在P 点产生的磁场为
B b =2B 1y =-224ΠR 00
22Π22222(x ++2x ) 3(7) 所以, 上。对Θ积分, B b --Πx x +a 2+2-222ΠR 4ΠR ) co s Υf (x , Υd Υ, 02Π(8)
222) =22式中f (x , ΥR +a +x -2R x co s Υ-2x Υ+a
222ln R -x co s Υ+R +a +x -2R x co s 。
) co s Υ非常复杂, 无法做解析计算, 必须进行数值计算。为了保证计算由于式(8) 中被积函数f (x , Υ
) co s Υ呈强峰陡坡形的精确性, 先研究被积函数在[0, 2Π]内的态性。数值研究表明在[0, 2Π]内, f (x , Υ
状, 图3给出了x =2R 和R =20a 的情况。而且这种态性随x 的增大而增强。对于这种强峰陡坡形状的
[3]被积函数, 宜采用“自适应”Si m p son 积分法计算。
2 数值结果
用自适应Si m p son 积分法对B b 进行数值计算, 图4给出了在0≤x ≤4R 范围内B b 随x 变化的数值结果。用毕-萨定律容易算出无限延伸的馈线电流在P 点产生的磁场为
B L =1-2Πx x +a 22。(9)
所以极板电流和馈线电流共同产生的磁场为B 毕=B b +B L , 其数值结果如图4所示。由于具有良好的对称性, P 点的磁场也可使用全电流环路定律
B d l =Λ∮J +0
L S ΕE 5 d S 05(10)
来计算。
在忽略边缘效应情况下, 可认为电场仅存在于电容器内部, 即当x >R 时E =0, 当x ≤R 时E =Q 2(ΠΕ0R ) , 从而有
0(当x >R 时) , (11) Ε=05t 2(当x ≤R 时) 。ΠR
将式(11) 代入式(10) 计算得
18佛山科学技术学院学报(自然科学版) 第21卷
2(当x ≤R 时) ,
2Π
R B 环=(当x ≥R 时) 。2Πx
为了比较, 也把
B 环与x 的关系画在图4中(实线所示) 。(12)
) co s Υ与Υ的关系图3 当x =2R , R =20a 时, f (x , Υ图4 R =20a 时, x 的关系
3 结论
(1) 在似稳条件下, 用毕-是一致的, R , B 毕(=B b +B L ) 比B (2) , (放在电容器内部) 里的磁场是由传导电流(极板电流和馈线电流) 产生的。极板电流的磁场B b 和馈线电流的磁场B L 都可以很大, 但方向相反, 相互抵消, 使得电容器内部总磁
(2Π场不强。数值结果表明, 当R =20a 、x ≈1. 272a 时, B b 到达最小值20. 2973Λ0I a ) , 与此同时B L 到达
(2Π最大值0. 3003Λ0I a ) ; B b 的最小值的大小(或B L 的最大值) 约为总磁场B b +B L =0. 0030Λ0I
(2Πa ) 的100倍;
(3) 在电容器外部, 极板电流的磁场极小, 磁场主要是由馈线电流产生的。
参考文献:
[1] 朱久运. 关于位移电流激发的磁场[J ]. 大学物理, 1983, 2(11) :9212
[2] 李元勋. 用毕-萨定律计算圆平行板电容器极板上电流的磁场[J ]. 大学物理, 1996, 15(1) :22224
[3] 高 崇, 罗忠禹, 王树清, 等. 常用算法BA S I C 语言应用手册[M ]. 北京:中国铁道出版社, 1993. 28, 31, 278.
【责任编辑:任小平】
The nu m er ica l ar ithm etic of the magnetic f ield
i n a c ircular para llel pla te capac itor
SH EN H ua 2jia , J I AN G J un 2qin
(D epartm en t of Physics , Guangdong In stitu te of Educati on , Guangzhou 510303, Ch ina )
Abstract :T he m agnetic field of the conductive cu rren t (the cu rren t distribu ted on the p lates of a circu lar p arallel p late cap acito r p lu s the feeder cu rren t ) is num erically studied . T he num
erical resu lt is com p ared w ith that from w ho le cu rren t law under the conditi on of igno ring bo rder effect .
Key words :circu lar p arallel p late cap acito r ; conductive cu rren t ; m agnetic field ; num erical value arithm etic