数学常用公式
一． 代数
1. 集合，函数
1. 元素与集合的关系
x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A .
2. 包含关系
A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A
⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R .
3．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个. 4. 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 指数式与对数式的互化式
n n n
n
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
6. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时,
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
. ⇔f (x ) >g (x ) ; log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
(2)当0
a f (x ) >a g (x )
7. 对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ; (2) log a
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) .
2. 数列
(1)数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2
(2)等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ； 其前n 项和公式为s n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
n -1
(3)等比数列的通项公式a n =a 1q
=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
其前n 项的和公式为s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
(4)等比差数列
{a n }
:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1
⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；
, q ≠1⎪q -1⎩
⎧nb +n (n -1) d ,(q =1) ⎪
其前n 项和公式为s n =⎨. d 1-q n d
(b -) +n ,(q ≠1) ⎪1-q q -11-q ⎩
3. 不等式
（1）解连不等式N
N
⇔|f (x ) -
f (x ) -N M +N M -N
|0 ⇔22M -f (x )
⇔
11>.
f (x ) -N M -N
(2) 常用不等式：
22
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
（2）a , b ∈
R ⇒
3
3
3
+
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
（3）a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0).
(3) 极值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值4. 复数
(1) 复数的相等 a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ） (2) 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +
bi |(3) 复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ;
(2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =
12s . 4
ac +bd bc -ad
+i (c +di ≠0) .
c 2+d 2c 2+d 2
(4) 复数的乘法的运算律，对于任何z 1, z 2, z 3∈C ，有
交换律:z 1⋅z 2=z 2⋅z 1.
结合律:(z 1⋅z 2) ⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3) . 分配律:z 1⋅(z 2+z 3) =z 1⋅z 2+z 1⋅z 3 . (5) 复平面上的两点间的距离公式
d =|z 1-z 2|=z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）.
5. 排列组合与二项式定理 (1) 组合恒等式
n -m +1m -1
C n ; m n m m
C n （2）C n =-1; n -m n m -1m
（3）C n =C n -1;
m
m
（1）C n =
（4）
n r
2=C ∑n ;
n
r =0
r r +1
（5）C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1.
012r n
(6)C n +C n +C n + +C n + +C n =2n . 135024(7)C n +C n +C n + =C n +C n +C n + 2n -1. 123n (8)C n +2C n +3C n + +nC n =n 2n -1. r 0r -110r r r (9)C m C n +C m C n + +C m C n =C m +n . 021222n 2n (10)(C n ) +(C n ) +(C n ) + +(C n ) =C 2n .
(2) 排列数公式
m
=n (n -1) (n -m +1) =A n
n ！*
.(n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
注:规定0! =1. (3) 排列恒等式
m m -1
(1）A n ; =(n -m +1) A n m （2）A n =
n m
A n -1; n -m
m m -1
（3）A n =nA n -1; n n +1n （4）nA n =A n -A +1n ; m m m -1（5）A n . +1=A n +mA n
(6) 1! +2⋅2! +3⋅3! + +n ⋅n ! =(n +1)! -1. (4) 组合数公式
C
m
n =
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！*
==(∈N ，m ∈N ，且m ≤n ). n m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
(5) 组合数的两个性质
m n -m
(1)C n =C n ; m m -1m (2) C n +C n =C n +1. 0注:规定C n =1.
(6) 二项式定理
0n 1n -12n -22r n -r r n n
(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ;
(7) 二项展开式的通项公式
r n -r r
1，2 ，n ) . T r +1=C n a b (r =0，
二、三角函数
1. 常见三角不等式
(1)若x ∈(0,
π
2
) ，则sin x
(0,
π
2
(3) |sin x |+|cos x |≥1. 2. 同角三角函数的基本关系式
sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=
3. 和角与差角公式
sin θ
，tan θ⋅cot θ=1. cos θ
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan(α±β) =
tan α±tan β
.
1 tan αtan β
sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式); cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
a sin α+
b cos α=α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决
定, tan ϕ=
b
). a
4. 二倍角公式
sin 2α=sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
tan 2α=
2tan α
1-tan 2α
2π
；
5. 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，函数y =cos(ωx +ϕ) ，周期T =函数y =tan(ωx +ϕ) ，周期T =6． 正弦定理
ω
π. ω
a b c
===2R . sin A sin B sin C
7. 余弦定理
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
8. 面积定理
111
ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222111
（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .
222
（3
）S ∆OAB =（1）S =
三、向量运算
1. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2. 向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a·（λb ）; (3)（a +b）·c= a ·c +b·c. 3. 向量平行的坐标表示
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则a //b(b≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
4. a与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cosθ． 5. 平面向量的坐标运算
(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2) . (2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2) .
(3)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .
(4)设a =(x , y ), λ∈R ，则λa=(λx , λy ) .
(5)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a ·b=(x 1x 2+y 1y 2) . 6. 两向量的夹角公式
cos θ=
(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).
7. 平面两点间的距离公式
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
8. 向量的平行与垂直
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 9. 线段的定比分公式
λ是实数，且PP 设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP 12的分点, 1=λPP 2，则
⎧
x =⎪⎪⎨⎪y =⎪⎩
x 1+λx 2
OP +λOP 21+λ ⇔OP =1
y 1+λy 21+λ1+λ
1
t =（）. +(1-t ) OP ⇔OP =tOP 12
1+λ
10. 点的平移公式
' ⎧x ' =x +h ⎧x =x ' -h ⎪⎪'
⇔⎨⇔OP =OP +PP ⎨' '
⎪⎪⎩y =y +k ⎩y =y -k
11. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则
2 2 2
∆ABC O （1）为的外心⇔OA =OB =OC .
（2）O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.
（3）O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .
（4）O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.
（5）O 为∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .
四、解析几何
1. 直线方程 （1）斜率公式
k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
（2）直线的五种方程
k （1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为) ．
（2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1
x y
+=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0) a b
(4)截距式
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0). （3）两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①l 1||l 2⇔
A 1B 1C 1；
=≠A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A ； 1A 2+B 1B 2=0（4）夹角公式
(1)tan α=|
k 2-k 1
|.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1) (2)tan α=|
A 1B 2-A 2B 1
|.
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A ). 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是（5）l 1到l 2的角公式
(1)tan α=
π
. 2
k 2-k 1
.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1) (2)tan α=
A 1B 2-A 2B 1
.
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A ). 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是（6）点到直线的距离
π
. 2
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
2. 两点距离
(1)空间两点间的距离公式 ，若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
d
A , B =|AB |==.
3. 圆锥曲线 (一) 圆
（1）圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
22
（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).
2
2
⎧x =a +r cos θ
（3）圆的参数方程 ⎨.
y =b +r sin θ⎩
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是
A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
（2）点与圆的位置关系
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种
若d =
222
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
（3）直线与圆的位置关系
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
2
2
2
d >r ⇔相离⇔∆
d 0.
其中d =
Aa +Bb +C A +B
2
2
（4）两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
d =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线; 0
(二) 椭圆
⎧x =a cos θx 2y 2
（1）椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b y =b sin θ⎩
x 2y 2
（2）椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式
a b
a 2a 2
PF 1=e (x +) ，PF 2=e (-x ) .
c c
（3）椭圆的的内外部
22
x 0y 0x 2y 2
（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔2+2
a b a b 22
x 0y 0x 2y 2
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔2+2>1.
a b a b
（4） 椭圆的切线方程
x x y y x 2y 2
（1）椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02+02=1.
a b a b
x 2y 2
（2）过椭圆2+2=1(a >b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
x 0x y 0y
+2=1. 2a b
x 2y 2
（3）椭圆2+2=1(a >b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是
a b
A 2a 2+B 2b 2=c 2.
(三) 双曲线
x 2y 2
（1）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式
a b
a 2a 2
PF 1=|e (x +) |，PF 2=|e (-x ) |.
c c
（2）双曲线的内外部
22
x 0y 0x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔2-2>1.
a b a b 22
x 0y 0x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔2-2
a b a b
（3）双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2y 2x 2y 2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .
a b a a b x y x y b
(2)若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.
a b a a b
2
2
x 2y 2x 2y 2
(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x
a b a b
轴上，λ
（4）双曲线的切线方程
x x y y x 2y 2
(1)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02-02=1.
a b a b
x 2y 2
（2）过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. a 2b
x 2y 2
（3）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是
a b
A 2a 2-B 2b 2=c 2.
(四) 抛物线
（1）抛物线y 2=2px 的焦半径公式
（2）抛物线y 2=2px (p >0) 焦半径CF =x 0+（3）过焦点弦长CD =x 1+
p . 2
p p
+x 2+=x 1+x 2+p . 22
2
y
（4）抛物线y 2=2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P(x , y ) ，其
2p
中 y 2=2px .
b 24ac -b 2
（5）二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +（1）(a ≠0) 的图象是抛物线：
2a 4a
2
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
, ) ；, ) ；顶点坐标为(-（2）焦点的坐标为(-（3）准2a 4a 2a 4a 4ac -b 2-1
线方程是y =.
4a
（6）抛物线的切线方程
(1)抛物线y =2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) .
（2）过抛物线y =2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
22
y 0y =p (x +x 0) .
（3）抛物线y =2px (p >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是pB =2AC . 五、立体几何
2
2
S '
(1)面积射影定理 ：S =.
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). (2)斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l , 侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱, 它的直截面的周长和面积分别是c 1和S 1, 则 ①S 斜棱柱侧=c 1l . ②V 斜棱柱=S 1l .
'
球的半径是R ，则 其体积V =
4
πR 3, 3
其表面积S =4πR 2． (3)柱体、锥体的体积
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
六、概率与统计
(1)等可能性事件的概率P (A ) =
m . n
(2)互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． (3)n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ． (4)独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
(5)n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·„· An )=P(A1) · P(A2) ·„· P(An ) ．
k k n -k (6)n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P . n (k ) =C n P (1-P )
七、极限
(1)几个常用极限
（1）lim
1
=0，lim a n =0（|a |
n →∞n →∞n
x →x 0
（2）lim x =x 0，lim (2)两个重要的极限 （1）lim
11
=. x →x 0x x 0
sin x
=1；
x →0x
x
⎛1⎫
（2）lim 1+⎪=e (e=2.718281845„).
x →∞
⎝x ⎭
(3)函数极限的四则运算法则
若lim f (x ) =a ，lim g (x ) =b ，则
x →x 0
x →x 0
(1)lim ⎡⎣f (x )±g (x )⎤⎦=a ±b ；
x →x 0
(2)lim ⎡⎣f (x )⋅g (x )⎤⎦=a ⋅b ;
x →x 0
(3)lim
x →x 0
f (x )a
=(b ≠0). g x b
(4)数列极限的四则运算法则 若lim a n =a , lim b n =b ，则
n →∞
n →∞
(1)lim (a n ±b n )=a ±b ；
n →∞
(2)lim (a n ⋅b n )=a ⋅b ；
n →∞
(3)lim
a n a
=(b ≠0)
n →∞b b n
n →∞
n →∞
n →∞
(4)lim (c ⋅a n )=lim c ⋅lim a n =c ⋅a ( c是常数). (5)特殊数列的极限
⎧0
⎪n
（1）lim q =⎨1
n →∞
⎪不存在⎩
|q |
.
⎧0(k
a k n k +a k -1n k -1+ +a 0⎪a t
（2）lim =⎨(k =t ) .
n →∞b n t +b n t -1+ +b b t t -10⎪k
⎪不存在 (k >t ) ⎩
（3）S =lim
a 11-q n
1-q
(
n →∞
)=
a 11-q
（S 无穷等比数列
{a q } (|q |
n -11
数学常用公式
一． 代数
1. 集合，函数
1. 元素与集合的关系
x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A .
2. 包含关系
A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A
⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R .
3．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个. 4. 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 指数式与对数式的互化式
n n n
n
log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
6. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时,
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
. ⇔f (x ) >g (x ) ; log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
(2)当0
a f (x ) >a g (x )
7. 对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN ) =log a M +log a N ; (2) log a
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) .
2. 数列
(1)数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2
(2)等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ； 其前n 项和公式为s n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
n -1
(3)等比数列的通项公式a n =a 1q
=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
其前n 项的和公式为s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
(4)等比差数列
{a n }
:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1
⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；
, q ≠1⎪q -1⎩
⎧nb +n (n -1) d ,(q =1) ⎪
其前n 项和公式为s n =⎨. d 1-q n d
(b -) +n ,(q ≠1) ⎪1-q q -11-q ⎩
3. 不等式
（1）解连不等式N
N
⇔|f (x ) -
f (x ) -N M +N M -N
|0 ⇔22M -f (x )
⇔
11>.
f (x ) -N M -N
(2) 常用不等式：
22
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
（2）a , b ∈
R ⇒
3
3
3
+
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
（3）a +b +c ≥3abc (a >0, b >0, c >0).
(3) 极值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值4. 复数
(1) 复数的相等 a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ） (2) 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +
bi |(3) 复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ;
(2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =
12s . 4
ac +bd bc -ad
+i (c +di ≠0) .
c 2+d 2c 2+d 2
(4) 复数的乘法的运算律，对于任何z 1, z 2, z 3∈C ，有
交换律:z 1⋅z 2=z 2⋅z 1.
结合律:(z 1⋅z 2) ⋅z 3=z 1⋅(z 2⋅z 3) . 分配律:z 1⋅(z 2+z 3) =z 1⋅z 2+z 1⋅z 3 . (5) 复平面上的两点间的距离公式
d =|z 1-z 2|=z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）.
5. 排列组合与二项式定理 (1) 组合恒等式
n -m +1m -1
C n ; m n m m
C n （2）C n =-1; n -m n m -1m
（3）C n =C n -1;
m
m
（1）C n =
（4）
n r
2=C ∑n ;
n
r =0
r r +1
（5）C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1.
012r n
(6)C n +C n +C n + +C n + +C n =2n . 135024(7)C n +C n +C n + =C n +C n +C n + 2n -1. 123n (8)C n +2C n +3C n + +nC n =n 2n -1. r 0r -110r r r (9)C m C n +C m C n + +C m C n =C m +n . 021222n 2n (10)(C n ) +(C n ) +(C n ) + +(C n ) =C 2n .
(2) 排列数公式
m
=n (n -1) (n -m +1) =A n
n ！*
.(n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
注:规定0! =1. (3) 排列恒等式
m m -1
(1）A n ; =(n -m +1) A n m （2）A n =
n m
A n -1; n -m
m m -1
（3）A n =nA n -1; n n +1n （4）nA n =A n -A +1n ; m m m -1（5）A n . +1=A n +mA n
(6) 1! +2⋅2! +3⋅3! + +n ⋅n ! =(n +1)! -1. (4) 组合数公式
C
m
n =
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！*
==(∈N ，m ∈N ，且m ≤n ). n m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
(5) 组合数的两个性质
m n -m
(1)C n =C n ; m m -1m (2) C n +C n =C n +1. 0注:规定C n =1.
(6) 二项式定理
0n 1n -12n -22r n -r r n n
(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ;
(7) 二项展开式的通项公式
r n -r r
1，2 ，n ) . T r +1=C n a b (r =0，
二、三角函数
1. 常见三角不等式
(1)若x ∈(0,
π
2
) ，则sin x
(0,
π
2
(3) |sin x |+|cos x |≥1. 2. 同角三角函数的基本关系式
sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=
3. 和角与差角公式
sin θ
，tan θ⋅cot θ=1. cos θ
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan(α±β) =
tan α±tan β
.
1 tan αtan β
sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式); cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
a sin α+
b cos α=α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决
定, tan ϕ=
b
). a
4. 二倍角公式
sin 2α=sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
tan 2α=
2tan α
1-tan 2α
2π
；
5. 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，函数y =cos(ωx +ϕ) ，周期T =函数y =tan(ωx +ϕ) ，周期T =6． 正弦定理
ω
π. ω
a b c
===2R . sin A sin B sin C
7. 余弦定理
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
8. 面积定理
111
ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222111
（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .
222
（3
）S ∆OAB =（1）S =
三、向量运算
1. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2. 向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a·（λb ）; (3)（a +b）·c= a ·c +b·c. 3. 向量平行的坐标表示
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则a //b(b≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
4. a与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cosθ． 5. 平面向量的坐标运算
(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2) . (2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2) .
(3)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .
(4)设a =(x , y ), λ∈R ，则λa=(λx , λy ) .
(5)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a ·b=(x 1x 2+y 1y 2) . 6. 两向量的夹角公式
cos θ=
(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).
7. 平面两点间的距离公式
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
8. 向量的平行与垂直
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 9. 线段的定比分公式
λ是实数，且PP 设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP 12的分点, 1=λPP 2，则
⎧
x =⎪⎪⎨⎪y =⎪⎩
x 1+λx 2
OP +λOP 21+λ ⇔OP =1
y 1+λy 21+λ1+λ
1
t =（）. +(1-t ) OP ⇔OP =tOP 12
1+λ
10. 点的平移公式
' ⎧x ' =x +h ⎧x =x ' -h ⎪⎪'
⇔⎨⇔OP =OP +PP ⎨' '
⎪⎪⎩y =y +k ⎩y =y -k
11. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则
2 2 2
∆ABC O （1）为的外心⇔OA =OB =OC .
（2）O 为∆ABC 的重心⇔OA +OB +OC =0.
（3）O 为∆ABC 的垂心⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .
（4）O 为∆ABC 的内心⇔aOA +bOB +cOC =0.
（5）O 为∆ABC 的∠A 的旁心⇔aOA =bOB +cOC .
四、解析几何
1. 直线方程 （1）斜率公式
k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
（2）直线的五种方程
k （1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为) ．
（2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
（3）两点式
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1
x y
+=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0) a b
(4)截距式
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0). （3）两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①l 1||l 2⇔
A 1B 1C 1；
=≠A 2B 2C 2
②l 1⊥l 2⇔A ； 1A 2+B 1B 2=0（4）夹角公式
(1)tan α=|
k 2-k 1
|.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1) (2)tan α=|
A 1B 2-A 2B 1
|.
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A ). 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是（5）l 1到l 2的角公式
(1)tan α=
π
. 2
k 2-k 1
.
1+k 2k 1
(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1) (2)tan α=
A 1B 2-A 2B 1
.
A 1A 2+B 1B 2
(l 1:A ). 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0直线l 1⊥l 2时，直线l 1到l 2的角是（6）点到直线的距离
π
. 2
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
2. 两点距离
(1)空间两点间的距离公式 ，若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
d
A , B =|AB |==.
3. 圆锥曲线 (一) 圆
（1）圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
22
（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).
2
2
⎧x =a +r cos θ
（3）圆的参数方程 ⎨.
y =b +r sin θ⎩
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是
A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
（2）点与圆的位置关系
点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种
若d =
222
d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d
（3）直线与圆的位置关系
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
2
2
2
d >r ⇔相离⇔∆
d 0.
其中d =
Aa +Bb +C A +B
2
2
（4）两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d
d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;
r 1-r 2
d =r 1-r 2⇔内切⇔1条公切线; 0
(二) 椭圆
⎧x =a cos θx 2y 2
（1）椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b y =b sin θ⎩
x 2y 2
（2）椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式
a b
a 2a 2
PF 1=e (x +) ，PF 2=e (-x ) .
c c
（3）椭圆的的内外部
22
x 0y 0x 2y 2
（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔2+2
a b a b 22
x 0y 0x 2y 2
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔2+2>1.
a b a b
（4） 椭圆的切线方程
x x y y x 2y 2
（1）椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02+02=1.
a b a b
x 2y 2
（2）过椭圆2+2=1(a >b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
x 0x y 0y
+2=1. 2a b
x 2y 2
（3）椭圆2+2=1(a >b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是
a b
A 2a 2+B 2b 2=c 2.
(三) 双曲线
x 2y 2
（1）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式
a b
a 2a 2
PF 1=|e (x +) |，PF 2=|e (-x ) |.
c c
（2）双曲线的内外部
22
x 0y 0x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔2-2>1.
a b a b 22
x 0y 0x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔2-2
a b a b
（3）双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2y 2x 2y 2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .
a b a a b x y x y b
(2)若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.
a b a a b
2
2
x 2y 2x 2y 2
(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x
a b a b
轴上，λ
（4）双曲线的切线方程
x x y y x 2y 2
(1)双曲线2-2=1(a >0, b >0) 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是02-02=1.
a b a b
x 2y 2
（2）过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
a b
x 0x y 0y
-2=1. a 2b
x 2y 2
（3）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是
a b
A 2a 2-B 2b 2=c 2.
(四) 抛物线
（1）抛物线y 2=2px 的焦半径公式
（2）抛物线y 2=2px (p >0) 焦半径CF =x 0+（3）过焦点弦长CD =x 1+
p . 2
p p
+x 2+=x 1+x 2+p . 22
2
y
（4）抛物线y 2=2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P(x , y ) ，其
2p
中 y 2=2px .
b 24ac -b 2
（5）二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +（1）(a ≠0) 的图象是抛物线：
2a 4a
2
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
, ) ；, ) ；顶点坐标为(-（2）焦点的坐标为(-（3）准2a 4a 2a 4a 4ac -b 2-1
线方程是y =.
4a
（6）抛物线的切线方程
(1)抛物线y =2px 上一点P (x 0, y 0) 处的切线方程是y 0y =p (x +x 0) .
（2）过抛物线y =2px 外一点P (x 0, y 0) 所引两条切线的切点弦方程是
22
y 0y =p (x +x 0) .
（3）抛物线y =2px (p >0) 与直线Ax +By +C =0相切的条件是pB =2AC . 五、立体几何
2
2
S '
(1)面积射影定理 ：S =.
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). (2)斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l , 侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱, 它的直截面的周长和面积分别是c 1和S 1, 则 ①S 斜棱柱侧=c 1l . ②V 斜棱柱=S 1l .
'
球的半径是R ，则 其体积V =
4
πR 3, 3
其表面积S =4πR 2． (3)柱体、锥体的体积
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
六、概率与统计
(1)等可能性事件的概率P (A ) =
m . n
(2)互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． (3)n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ． (4)独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
(5)n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·„· An )=P(A1) · P(A2) ·„· P(An ) ．
k k n -k (6)n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P . n (k ) =C n P (1-P )
七、极限
(1)几个常用极限
（1）lim
1
=0，lim a n =0（|a |
n →∞n →∞n
x →x 0
（2）lim x =x 0，lim (2)两个重要的极限 （1）lim
11
=. x →x 0x x 0
sin x
=1；
x →0x
x
⎛1⎫
（2）lim 1+⎪=e (e=2.718281845„).
x →∞
⎝x ⎭
(3)函数极限的四则运算法则
若lim f (x ) =a ，lim g (x ) =b ，则
x →x 0
x →x 0
(1)lim ⎡⎣f (x )±g (x )⎤⎦=a ±b ；
x →x 0
(2)lim ⎡⎣f (x )⋅g (x )⎤⎦=a ⋅b ;
x →x 0
(3)lim
x →x 0
f (x )a
=(b ≠0). g x b
(4)数列极限的四则运算法则 若lim a n =a , lim b n =b ，则
n →∞
n →∞
(1)lim (a n ±b n )=a ±b ；
n →∞
(2)lim (a n ⋅b n )=a ⋅b ；
n →∞
(3)lim
a n a
=(b ≠0)
n →∞b b n
n →∞
n →∞
n →∞
(4)lim (c ⋅a n )=lim c ⋅lim a n =c ⋅a ( c是常数). (5)特殊数列的极限
⎧0
⎪n
（1）lim q =⎨1
n →∞
⎪不存在⎩
|q |
.
⎧0(k
a k n k +a k -1n k -1+ +a 0⎪a t
（2）lim =⎨(k =t ) .
n →∞b n t +b n t -1+ +b b t t -10⎪k
⎪不存在 (k >t ) ⎩
（3）S =lim
a 11-q n
1-q
(
n →∞
)=
a 11-q
（S 无穷等比数列
{a q } (|q |
n -11