§1.4全称量词与存在量词
1. 理解全称量词与存在量词的意义,会判定含有一个量词的全称命题、特称命题的真假;
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理解全称量词与存在量词的意义
鸟欲高飞先振翅,人求上进先读书!)
1.短语“________________”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“_____”表示.含有全称量词的命题叫做_________________. 短语“______________”“_____________”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“_____”表示。含有存在量词的命题叫做_______________.
2.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号_______________________表示, 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。 特称命题“存在M中的一个 x 0,使p(x)成立”,可用符号_______________________表示,读作“___________________________________”。 3.含有一个量词的命题的否定:【 先对量词进行变化,全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再把结论p(x)变为 p ( x )】
(1)全称命题p: x M , p ( x ), 它的否定 p:________________________________. (2)特称命题p: x M ), p:_________________________________. , p ( x它的否定4.特称命题,全称命题的真假判定:
(1)特称命题:要判断一个特称命题为真,只要在给定集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为真即可;否则为假。
(2)全称命题:要判断一个全称命题为真,必须对给定集合的每一个元素x,p(x)都为真;但要判断一个全称命题为假,只要在给定的集合中找到一个x0,使p(x0)为假即可.
o
【典例精析】(品出知识,品出题型,品出方法)
例1判断下列全称命题的真假
(1) 所有的素数是奇数 (2)xR,x211;
(3)对数函数都是单调函数 (4)有一个实数x0,使x022x030 任何一个实数除以1,仍等于这个实数;(6)存在两个相交垂直于同一条直线 变式:
1、下列全称命题中,真命题的是___________
A.末位是偶数的整数总能被2整除 B.角平分线上的点到这个角两边距离相等 C.正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等
2、下列存在性命题中,真命题的是____________
A.xR,x0 B.至少有一个整数,它既不是质数也不是合数
C.x是无理数,x是无理数 D.x是无理数,x是有理数
例2判断下列命题是全称命题还是特称命题,把非“或”表示的改成“或”表示,并判断各个命题的真假: (1) 至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;
2
2
xxx是无理数,x2是无理数;(2)
(3) x0
x
x0Z,log2x00;
(4) 有一个向量a,a的方向不定; (5)平面β外的直线m都平行于平面β.
例3 写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有能被3整除的数都是奇数;_______________________ (2)p:每一个平行四边形的四个顶点共圆;___________________ (3)p:对任意xZ,x2的个位数字不等于3.____________________
变式:写出下列全称命题的否定,并判断真假. (1) p:xR,x2x
1
0_____________________ 4
(2) p:所有的正方形都是矩形.____________________
例4 写出下列特称命题的否定:
(1) p:x0R,x022x020;____________________ (2) p:有的三角形是等边三角形;________________________ (3) p:有一个素数含有三个正因数.________________________ 变式:写出下列特称命题的否定,并判断真假.
(1) p:xR,x22x20;________________________________ (2) p:至少有一个实数x,使x310.__________________________
【当堂检测】(听过的如烟云,看过的似流星,想过的铭于心,做过的能……) 1.下列命题是全称真命题的是 ( ) A.任意xN,x0 B.任意xQ,xQ C.存在x0Z,x021 D. 任意x,yR,xy0
2.下列命题不是“存在x0R,x023”的表述方法的是 ( ) A.有一个x0R,使得x023成立 B.对有些x0R,使得x023成立 C.任选一个x0R,使得x023成立 D.至少有一个x0R,使得x023成立 3.命题“存在xZ,使x2xm0”的否定是 ( )
2
2
2
2
2
A. 存在xZ,使x22xm0 B. 不存在xZ,使x22xm0 C. 对于任意xZ,都有x22xm0 D. 对于xZ,都有x22xm0
4. 已知p:x28x200,q:x22x1a20,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围。
x24x30
5.已知p:2x9xa0,q:;且p是q的充分条件,求实数m的2
x6x80
2
取值范围。
§1.4全称量词与存在量词
1. 理解全称量词与存在量词的意义,会判定含有一个量词的全称命题、特称命题的真假;
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理解全称量词与存在量词的意义
鸟欲高飞先振翅,人求上进先读书!)
1.短语“________________”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“_____”表示.含有全称量词的命题叫做_________________. 短语“______________”“_____________”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“_____”表示。含有存在量词的命题叫做_______________.
2.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号_______________________表示, 读作“对任意x属于M,有p(x)成立”。 特称命题“存在M中的一个 x 0,使p(x)成立”,可用符号_______________________表示,读作“___________________________________”。 3.含有一个量词的命题的否定:【 先对量词进行变化,全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再把结论p(x)变为 p ( x )】
(1)全称命题p: x M , p ( x ), 它的否定 p:________________________________. (2)特称命题p: x M ), p:_________________________________. , p ( x它的否定4.特称命题,全称命题的真假判定:
(1)特称命题:要判断一个特称命题为真,只要在给定集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为真即可;否则为假。
(2)全称命题:要判断一个全称命题为真,必须对给定集合的每一个元素x,p(x)都为真;但要判断一个全称命题为假,只要在给定的集合中找到一个x0,使p(x0)为假即可.
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【典例精析】(品出知识,品出题型,品出方法)
例1判断下列全称命题的真假
(1) 所有的素数是奇数 (2)xR,x211;
(3)对数函数都是单调函数 (4)有一个实数x0,使x022x030 任何一个实数除以1,仍等于这个实数;(6)存在两个相交垂直于同一条直线 变式:
1、下列全称命题中,真命题的是___________
A.末位是偶数的整数总能被2整除 B.角平分线上的点到这个角两边距离相等 C.正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等
2、下列存在性命题中,真命题的是____________
A.xR,x0 B.至少有一个整数,它既不是质数也不是合数
C.x是无理数,x是无理数 D.x是无理数,x是有理数
例2判断下列命题是全称命题还是特称命题,把非“或”表示的改成“或”表示,并判断各个命题的真假: (1) 至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;
2
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xxx是无理数,x2是无理数;(2)
(3) x0
x
x0Z,log2x00;
(4) 有一个向量a,a的方向不定; (5)平面β外的直线m都平行于平面β.
例3 写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有能被3整除的数都是奇数;_______________________ (2)p:每一个平行四边形的四个顶点共圆;___________________ (3)p:对任意xZ,x2的个位数字不等于3.____________________
变式:写出下列全称命题的否定,并判断真假. (1) p:xR,x2x
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0_____________________ 4
(2) p:所有的正方形都是矩形.____________________
例4 写出下列特称命题的否定:
(1) p:x0R,x022x020;____________________ (2) p:有的三角形是等边三角形;________________________ (3) p:有一个素数含有三个正因数.________________________ 变式:写出下列特称命题的否定,并判断真假.
(1) p:xR,x22x20;________________________________ (2) p:至少有一个实数x,使x310.__________________________
【当堂检测】(听过的如烟云,看过的似流星,想过的铭于心,做过的能……) 1.下列命题是全称真命题的是 ( ) A.任意xN,x0 B.任意xQ,xQ C.存在x0Z,x021 D. 任意x,yR,xy0
2.下列命题不是“存在x0R,x023”的表述方法的是 ( ) A.有一个x0R,使得x023成立 B.对有些x0R,使得x023成立 C.任选一个x0R,使得x023成立 D.至少有一个x0R,使得x023成立 3.命题“存在xZ,使x2xm0”的否定是 ( )
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A. 存在xZ,使x22xm0 B. 不存在xZ,使x22xm0 C. 对于任意xZ,都有x22xm0 D. 对于xZ,都有x22xm0
4. 已知p:x28x200,q:x22x1a20,若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围。
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5.已知p:2x9xa0,q:;且p是q的充分条件,求实数m的2
x6x80
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取值范围。