《材料微结构及测试》
第二节 第一章 结构问题的不同侧面 （二） 第二章 晶体学 （一、二） 教材 材料分析方法，哈尔滨工业大学 周玉 课件下载202.118.70.130 董闯dong@, 84707930转11; 李晓娜lixiaona@, 84708380转8302
电子运动状态的描述
（1）用四个量子数描述电子的运动状态,如: n=2 第二电子层。 l=1 2p 能级，其电子云呈亚铃形。 m=0 2pz 轨道，沿z轴取向。 ms = +1/2 顺时针自旋。 （2）按四个量子数间的关系，可以确定每一电子层中可 能存在的电子运动状态数，即每一电子层中的电子 数目。
1.2 离子键
正、负离子间的静电库仑力
Na
Cl
Na+Cl+
1.3 共价键
共用电子对而形成 的化学键
e e
↑
↓
① σ 键：原子轨道沿键轴方向“头碰头”式重叠； ② π 键：原子轨道沿键轴方向“肩并肩”式重叠。
H
H
H2
1
1.4杂化轨道 1、sp杂化：
—— —— ——2p
4Be sp杂化
—— —— 2p —— —— sp
2、sp2杂化：
例：5B — — — 2p — 2s sp2杂化 — 2p — — — SP2
—— 2s
两个SP杂化轨道
+
3 、 sp3杂化： 例：6C — — — 2p
sp3杂化
— — — — sp3 CH4分子
— 2s
1.5 金属键：金属正离子靠自由电子的胶 合作用构成金属晶体 1.6 球的密堆积 许多固体的微观结构可用密堆积来描述。
1.8 氢键 氢键的本质： 当氢原子与电负性很大，半经很小的原子X（如F、 O、N）形成共价键，核间电子云强烈地偏向X原子，于 是氢原子好似“裸露”的原子核，它具较大的吸引力与另 一个电负性大、半经小并带有孤对电子的原子Y（如F、 O、N）相互吸引。这种作用力称氢键。
1.7分子间作用力: 范德华力，氢键
（1）极性分子之间：取向力，即级性分子的固有偶极与级 性分子的固有偶极之间的静电引力。 （2）极性分子与非极性分子之间：诱导力，级性分子的偶 极使非级性分子变形，产生诱导偶极。 （3）非极性分子之间：两个瞬时偶极处于异极相邻状态而 相互吸引，色散力
1.9晶体类型 1.9晶体类型
晶体类型
晶体 类型 原子 晶体 离子 晶体 分子 晶体 金属 晶体 结构质点 原子 正、负离 子 分子 原子和正 离子 质点间作 用力 共价键 离子键 分子间力, 或氢键 （H2O,CO2) 金属键 晶体特性 硬度大，溶点高，导 电性差 硬而脆，溶点高，熔 融态及水溶液中导电 硬度小，溶沸点低。 导电性差。 硬度不一，溶沸点有 高有低。导电性好
晶体类型不同，晶格结 点上的微粒不同，微粒 间的作用力也不同
2
2.2 对称与不对称
二，对称性
镜面反映：Z = 0 面镜像对称操作，表明了物体的P(X, Y, Z)变换 为P’(X, Y, Z’)具有等同性。 不能通过物体在空间中的现实运动来实现。 具有手性的物体，左右是相互对峙的。
2.1 对称操作
对称性：于再变换中保持不变。 对称操作 涉及数学上或物理学上的坐标变换 旋转对称操作 对称操作 反映对称操作 反演对称操作 对称操作可以组合，构成一个新的对称操作。
Z
2.3 对称元素的组合
反演对称操作：体现了正向与反向的 等同性。 P(X, Y, Z) P’(X, Y, Z) 例：以233方式组合，被称为四面体群。 以432方式组合，被称为八面体群。 以235方式组合，被称为二十面体群。 第一类对称操作：可以通过物体直接 运动来实现。 第二类对称操作：不能通过物体直接 运动来实现。 镜面反映 空间反演 旋转反轴 正多面体（柏拉图体）：多面体的每一个面都相同，由边数为p的正 多边形所构成，每个顶点也是相同的，都与q个正多边形相接，可用 符号{p, q}表示。 四面体 六面体 只有五种 八面体 十二面体 二十面体 {3，3} {4，3} {3，4} {5，3} {3，5} 二十面体群 八面体群 四面体群
三， 对称破缺-----无序与有序
考察有序与无序两种图像的对称性 问题： 1，具有严格的周期性 2，丧失严格的周期性 统计式的对称观念
值得一提的五次对称性
准晶，生物分子
从无序图像转变为有序图像，图像 结构有变化，点阵类型也有变化。
C60的分子结构：截角二十面体
3
铁磁转变中的对称性变化：
有序---无序转变的实例：
球面对称 丧失了无穷多个对称元素 自旋有特定的方向 有序相的出现是和丧失对称性相联系的，因此对称破缺导致了有序 相的出现。 前苏联物理学大师朗道（L. D. Landau）提出的对称破缺理论认为，对 称性的改变不可能是渐变的，因为对称性元素，要么存在，要么不存 在，其答案是不容摸棱两可的，因而对称破缺所导致的相变总是一种突 变。
有序--无序转变的物理根源——能与熵的角逐 F = U – ST
第二章 晶体学基础
四， 结构与信息
结构中蕴涵信息的典型材料是生物材料 生物材料的特点在于它受到结构中蕴涵的信息的控 制，因而特别灵巧，是充分智能化的。
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体
晶体：原子在空间呈有规则地周期性重复排列； 非晶体：原子无规则排列。
石英晶体
非晶体
晶体中原子排列的作用
原子排列
组织 性能 非晶体(石英玻璃)： 没有规 则的外形，各向同性，没有 固定的熔点。
研究固态物质的内部结构，即原子排列和分布规律是 了解掌握材料性能的基础，才能从内部找到改善和发 展新材料的途径。
4
1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子）在三维 空间呈周期性重复排列，即存在长程有序
1.1 空间点阵和晶胞
阵点
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性， 可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体 并简化，将其中每个质点抽象为规则排列于空 间的几何点，称之为阵点。 这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相 同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列 的阵列称为空间点阵，简称点阵。 具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作 为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维 的重复堆砌就构成了空间点阵。
空间点阵 晶胞
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则
选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最 多； 当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶胞、晶轴和点阵矢量 14种布拉菲点阵
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属 于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相同 “的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够 反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种，这 14种空间点阵也称布拉菲点阵。
r c a, , b
r r r棱边夹角α, β, γ 点阵矢量：a b c
点阵常数：a, b, c
5
三斜：简单三斜 a ≠ b ≠ c,
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a ≠ b ≠ c,
α = β = γ = 90o
单斜：简单单斜 a ≠ b ≠ c, 底心单斜
α = γ = 90o ≠ β
简单菱方和简单六方的关系
六方：简单六方
a1 = a2 = a3 ≠ c,
α = β = 90o , γ = 120o
菱方：简单菱方 a = b = c, α = β = γ ≠ 90o
初基六角点阵
菱方体点阵作为非初基六角点阵
立方：简单立方 体心立方 面心立方 四方：简单四方 a = b ≠ c, 体心四方
a = b = c,
α = β = γ = 90o
α = β = γ = 90o
6
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
a2 a1
为什么不存在 六方晶系的底 心点阵？
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体结构是无限的。
c
晶体结构和空间点阵的区别
b a
γ-Fe, fcc
Cu3Au, simple cubic
1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：晶体中原子的位置、原子列 的方向 晶面：阵点构成的平面 Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
•晶向指数
任意阵点P的位置可以 用矢量或者坐标来表 示。 r r r OP = u a + v b + wc 晶向指数：[ u v w]
7
晶向指数的例子
晶向指数的意义
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向； 所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反； 晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向 族，用表示
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶面指数
晶面指数标定步骤：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相 同； 2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值； 3)取各截距的倒数； 4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶面指数的例子
（010） （100） （120） （102） （111） （321）
X Y Z
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
Z
六方晶系指数
六方晶系的晶向指数和 晶面指数同样可以应用 上述方法标定，这时取 a1，a2，c为晶轴，而a1 轴与a2轴的夹角为120 度，c轴与a1，a2轴相垂 直。但这种方法标定的 晶面指数和晶向指数， 不能显示六方晶系的对 称性，同类型 晶面和晶 向，其指数却不相雷 同，往往看不出他们的 等同关系。
Y X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相互 平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， Y 只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。 • 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；
X
Z
Y X
• 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
Z
8
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这 样，其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指 数的确定原则仍同前述晶 向指数可用｛u v t w｝来 表示，这里 u + v = - t。 六方晶系晶向指数的表示 方法(c轴与图面垂直)
六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
晶面位向
晶面指数确定了晶面的位向和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
晶面间距（1）
由晶面指数求面间距dhkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小 晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
h : k : l = cos α : cos β : cos γ
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
9
晶面间距（2）
晶面间距公式的推导
晶面间距（3）
正交晶系
d hkl =
1 ⎛h⎞ ⎛k ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠
2 2 2
d hkl =
a b c cos α = cos β = cos γ h k l
立方晶系
d hkl =
d hkl =
a h + k2 + l2
2
⎡⎛ h ⎞ 2 ⎛ k ⎞ 2 ⎛ l ⎞ 2 ⎤ 2 d hkl ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
2 2 cos 2 对于立方系： α + cos β + cos γ = 1
六方晶系
1 4 ⎛ h + hk + k 2 ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ a2 3⎝ ⎠ ⎝c⎠
2 2 2
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《材料微结构及测试》
第二节 第一章 结构问题的不同侧面 （二） 第二章 晶体学 （一、二） 教材 材料分析方法，哈尔滨工业大学 周玉 课件下载202.118.70.130 董闯dong@, 84707930转11; 李晓娜lixiaona@, 84708380转8302
电子运动状态的描述
（1）用四个量子数描述电子的运动状态,如: n=2 第二电子层。 l=1 2p 能级，其电子云呈亚铃形。 m=0 2pz 轨道，沿z轴取向。 ms = +1/2 顺时针自旋。 （2）按四个量子数间的关系，可以确定每一电子层中可 能存在的电子运动状态数，即每一电子层中的电子 数目。
1.2 离子键
正、负离子间的静电库仑力
Na
Cl
Na+Cl+
1.3 共价键
共用电子对而形成 的化学键
e e
↑
↓
① σ 键：原子轨道沿键轴方向“头碰头”式重叠； ② π 键：原子轨道沿键轴方向“肩并肩”式重叠。
H
H
H2
1
1.4杂化轨道 1、sp杂化：
—— —— ——2p
4Be sp杂化
—— —— 2p —— —— sp
2、sp2杂化：
例：5B — — — 2p — 2s sp2杂化 — 2p — — — SP2
—— 2s
两个SP杂化轨道
+
3 、 sp3杂化： 例：6C — — — 2p
sp3杂化
— — — — sp3 CH4分子
— 2s
1.5 金属键：金属正离子靠自由电子的胶 合作用构成金属晶体 1.6 球的密堆积 许多固体的微观结构可用密堆积来描述。
1.8 氢键 氢键的本质： 当氢原子与电负性很大，半经很小的原子X（如F、 O、N）形成共价键，核间电子云强烈地偏向X原子，于 是氢原子好似“裸露”的原子核，它具较大的吸引力与另 一个电负性大、半经小并带有孤对电子的原子Y（如F、 O、N）相互吸引。这种作用力称氢键。
1.7分子间作用力: 范德华力，氢键
（1）极性分子之间：取向力，即级性分子的固有偶极与级 性分子的固有偶极之间的静电引力。 （2）极性分子与非极性分子之间：诱导力，级性分子的偶 极使非级性分子变形，产生诱导偶极。 （3）非极性分子之间：两个瞬时偶极处于异极相邻状态而 相互吸引，色散力
1.9晶体类型 1.9晶体类型
晶体类型
晶体 类型 原子 晶体 离子 晶体 分子 晶体 金属 晶体 结构质点 原子 正、负离 子 分子 原子和正 离子 质点间作 用力 共价键 离子键 分子间力, 或氢键 （H2O,CO2) 金属键 晶体特性 硬度大，溶点高，导 电性差 硬而脆，溶点高，熔 融态及水溶液中导电 硬度小，溶沸点低。 导电性差。 硬度不一，溶沸点有 高有低。导电性好
晶体类型不同，晶格结 点上的微粒不同，微粒 间的作用力也不同
2
2.2 对称与不对称
二，对称性
镜面反映：Z = 0 面镜像对称操作，表明了物体的P(X, Y, Z)变换 为P’(X, Y, Z’)具有等同性。 不能通过物体在空间中的现实运动来实现。 具有手性的物体，左右是相互对峙的。
2.1 对称操作
对称性：于再变换中保持不变。 对称操作 涉及数学上或物理学上的坐标变换 旋转对称操作 对称操作 反映对称操作 反演对称操作 对称操作可以组合，构成一个新的对称操作。
Z
2.3 对称元素的组合
反演对称操作：体现了正向与反向的 等同性。 P(X, Y, Z) P’(X, Y, Z) 例：以233方式组合，被称为四面体群。 以432方式组合，被称为八面体群。 以235方式组合，被称为二十面体群。 第一类对称操作：可以通过物体直接 运动来实现。 第二类对称操作：不能通过物体直接 运动来实现。 镜面反映 空间反演 旋转反轴 正多面体（柏拉图体）：多面体的每一个面都相同，由边数为p的正 多边形所构成，每个顶点也是相同的，都与q个正多边形相接，可用 符号{p, q}表示。 四面体 六面体 只有五种 八面体 十二面体 二十面体 {3，3} {4，3} {3，4} {5，3} {3，5} 二十面体群 八面体群 四面体群
三， 对称破缺-----无序与有序
考察有序与无序两种图像的对称性 问题： 1，具有严格的周期性 2，丧失严格的周期性 统计式的对称观念
值得一提的五次对称性
准晶，生物分子
从无序图像转变为有序图像，图像 结构有变化，点阵类型也有变化。
C60的分子结构：截角二十面体
3
铁磁转变中的对称性变化：
有序---无序转变的实例：
球面对称 丧失了无穷多个对称元素 自旋有特定的方向 有序相的出现是和丧失对称性相联系的，因此对称破缺导致了有序 相的出现。 前苏联物理学大师朗道（L. D. Landau）提出的对称破缺理论认为，对 称性的改变不可能是渐变的，因为对称性元素，要么存在，要么不存 在，其答案是不容摸棱两可的，因而对称破缺所导致的相变总是一种突 变。
有序--无序转变的物理根源——能与熵的角逐 F = U – ST
第二章 晶体学基础
四， 结构与信息
结构中蕴涵信息的典型材料是生物材料 生物材料的特点在于它受到结构中蕴涵的信息的控 制，因而特别灵巧，是充分智能化的。
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体
晶体：原子在空间呈有规则地周期性重复排列； 非晶体：原子无规则排列。
石英晶体
非晶体
晶体中原子排列的作用
原子排列
组织 性能 非晶体(石英玻璃)： 没有规 则的外形，各向同性，没有 固定的熔点。
研究固态物质的内部结构，即原子排列和分布规律是 了解掌握材料性能的基础，才能从内部找到改善和发 展新材料的途径。
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1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子）在三维 空间呈周期性重复排列，即存在长程有序
1.1 空间点阵和晶胞
阵点
为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性， 可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体 并简化，将其中每个质点抽象为规则排列于空 间的几何点，称之为阵点。 这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相 同的周围环境，这种由它们在三维空间规则排列 的阵列称为空间点阵，简称点阵。 具有代表性的基本单元（最小平行六面体）作 为点阵的组成单元，称为晶胞。将晶胞作三维 的重复堆砌就构成了空间点阵。
空间点阵 晶胞
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则
选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最 多； 当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶胞、晶轴和点阵矢量 14种布拉菲点阵
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属 于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相同 “的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够 反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种，这 14种空间点阵也称布拉菲点阵。
r c a, , b
r r r棱边夹角α, β, γ 点阵矢量：a b c
点阵常数：a, b, c
5
三斜：简单三斜 a ≠ b ≠ c,
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a ≠ b ≠ c,
α = β = γ = 90o
单斜：简单单斜 a ≠ b ≠ c, 底心单斜
α = γ = 90o ≠ β
简单菱方和简单六方的关系
六方：简单六方
a1 = a2 = a3 ≠ c,
α = β = 90o , γ = 120o
菱方：简单菱方 a = b = c, α = β = γ ≠ 90o
初基六角点阵
菱方体点阵作为非初基六角点阵
立方：简单立方 体心立方 面心立方 四方：简单四方 a = b ≠ c, 体心四方
a = b = c,
α = β = γ = 90o
α = β = γ = 90o
6
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
a2 a1
为什么不存在 六方晶系的底 心点阵？
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体结构是无限的。
c
晶体结构和空间点阵的区别
b a
γ-Fe, fcc
Cu3Au, simple cubic
1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：晶体中原子的位置、原子列 的方向 晶面：阵点构成的平面 Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
•晶向指数
任意阵点P的位置可以 用矢量或者坐标来表 示。 r r r OP = u a + v b + wc 晶向指数：[ u v w]
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晶向指数的例子
晶向指数的意义
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向； 所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反； 晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向 族，用表示
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶面指数
晶面指数标定步骤：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相 同； 2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值； 3)取各截距的倒数； 4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶面指数的例子
（010） （100） （120） （102） （111） （321）
X Y Z
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
Z
六方晶系指数
六方晶系的晶向指数和 晶面指数同样可以应用 上述方法标定，这时取 a1，a2，c为晶轴，而a1 轴与a2轴的夹角为120 度，c轴与a1，a2轴相垂 直。但这种方法标定的 晶面指数和晶向指数， 不能显示六方晶系的对 称性，同类型 晶面和晶 向，其指数却不相雷 同，往往看不出他们的 等同关系。
Y X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相互 平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， Y 只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。 • 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；
X
Z
Y X
• 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
Z
8
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这 样，其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指 数的确定原则仍同前述晶 向指数可用｛u v t w｝来 表示，这里 u + v = - t。 六方晶系晶向指数的表示 方法(c轴与图面垂直)
六方晶系中，三轴指数和四轴指数的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
晶面位向
晶面指数确定了晶面的位向和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
晶面间距（1）
由晶面指数求面间距dhkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小 晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
h : k : l = cos α : cos β : cos γ
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
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晶面间距（2）
晶面间距公式的推导
晶面间距（3）
正交晶系
d hkl =
1 ⎛h⎞ ⎛k ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝c⎠
2 2 2
d hkl =
a b c cos α = cos β = cos γ h k l
立方晶系
d hkl =
d hkl =
a h + k2 + l2
2
⎡⎛ h ⎞ 2 ⎛ k ⎞ 2 ⎛ l ⎞ 2 ⎤ 2 d hkl ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
2 2 cos 2 对于立方系： α + cos β + cos γ = 1
六方晶系
1 4 ⎛ h + hk + k 2 ⎞ ⎛ l ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ a2 3⎝ ⎠ ⎝c⎠
2 2 2
10