三角形的有关概念与性质
第一部分 知识梳理
一、三角形的有关概念.
1、三角形的定义.
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次联结组成的平面图形.（如图（1）中，线段AB、线段AC、线段BC首尾顺次联结组成的图形）
【注】三条线段必须不在同一直线上. 2、三角形的基本元素.
（1）边：组成三角形的三条线段成为三角形的边.如图（1）所示组成三角形ABC的三条线段AB、BC、CA即为三角形的三边.
（2）顶点：点A、点B、点C称为三角形的三个顶点.如图（1）所示，顶点即为三角形两条边的公共点.
（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角.如图（1）所示，∠ABC、∠BCA、∠CAB是三角形的三个内角.
（4）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.如图（1）所示，∠ACD即为三角形的一个外角.
（5）符号：如图（1）所示，顶点为A、B、C的三角形可用符号表示为“△ABC”，读作：“三角形ABC”，△ABC的三边也可用小写字母a、b、c表示.如图（1）所示顶点A所对的边用a表示，顶点B所对的边用b表示，顶点C所对的边用c表示.
【注】①数三角形的个数时，要按照一定的规律或顺序去数，否则就会重复或遗漏.其方法有：ⅰ)按照图形的形成过程（即重新画一遍图形，按照三角形形成额额额额先后顺序去数）；ⅱ)按照三角形的大小顺序去数；ⅲ)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数；ⅳ)还
图(1)
可以先固定一个顶点，变换另两个顶点去数.
②三角形的外角还可定义为：三角形一个内角的邻补角.三角形的每一个内角有两个邻补角，因此一个三角形有六个外角.如图（2）所示，∠1、∠2、∠3、
图(2)
∠4、∠5、∠6为△ABC的六个外角.
二、三角形三边关系定理及推论
1、定理及推论.
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 2、定理及推论的作用.
（1）判断以a、b、c为边是否能组成三角形. 判断方法有三种：
① 当a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b都成立时，能组成三角形； ② 当|a-b|＜c＜a+b时，可以构成三角形. ③ 如果a≤b≤c，则只要
a+b＞c（用较短边之和与较长
边比较）,就可以组成三角形，这也是一种比较简便的方法.
（2）当已知两边时，可确定第三边长度的范围. 即：|两边之差|＜第三边＜两边之和.
图(3)
例如：如图3在△ABC中，a=2，b=5,则第三边的范围是|2-5|＜c＜2+5，即3＜c＜7. （3）证明线段不等关系.
三、三角形的三条重要线段.
1、三角形的中线.
联结三角形一个顶点与对边中点的线段，叫做三角形
的中线. 如图（4），在△ABC中，点D、E、F分别为边AC、AB、BC的中点.即：线段BD、CE、AF分别为边AC、AB、BC的中线.
图(4)
【注】①一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点. ②三角形的中线是一条线段.
③三角形一条中线将三角形分成两个三角形，由于这两个三角形等底同高，所以分成的两个三角形面积相等.如图（4）△ABF与ACF、△ABD与△CBD、△ACE与△BCE这三对三角形为等底同高面积相等的三角形. 2、三角形的角平分线.
三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段，叫做三角
形的角平分线.如图（5），线段AF、BD、CE为△ABC的角平分线. 【注】①一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，它们相交于一点.
②三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别. 3、三角形的高.
从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高.如图（6），线段AF、BD、CE为△ABC的高.
【注】①如图（7）锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的高在三角形的内部，相交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，一条高在内部，三条高所在的直线交于三角形外一点；直角三角形的两条置关系，可以判断三角形的形状.
图
(6)
图(5)
高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们交于直角顶点.根据高与三角形的位
B
图(7)
②三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线.
四、三角形的分类.
1、按角分类.
锐角三角形
三角形 直角三角形
钝角三角形
【注】锐角三角形指所有内角都是锐角的三角形；直角三角形指有一个内角是直角的三角形；钝角三角形指有一个内角是钝角的三角形. 2、按边分类.
不等边三角形
三角形
底边和腰不相等
等腰三角形 的等腰三角形
等边三角形
【注】不等边三角形指三条边互不相等的三角形；等腰三角形是指至少有两条边相等；等边三角形指三条边都相等的三角形.
五、三角形内角和定理及其推论.
1、三角形内角和定理.
（1）定理：三角形三个内角的和等于180°.如图（8），在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
（2）作用：在三角形中已知两个内角可求出第三个内角，或已知各角之间的关系求各角. 2、三角形内角和定理的推论.
（1）推论：直角三角形两个锐角互余.如图（9），在直角三角形△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°. （2）作用：
①已知直角三角形的一个锐角求另一个锐角，或已知两锐角之间的关系求这两个角.
②常与同角（或等角）的余角相等结合，一起证角相等.
图(9)
图(8)
六、三角形的外角的概念及性质.
1、三角形外角的概念.
三角形的一边及另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.如图（10），∠ACD即为三角形的一个外角. 2、三角形外角的性质.
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图（10），△ABC的外角∠ACD=∠A+∠B.
图(10)
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图（10），△ABC的外角∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 3、三角形外角和.
（1）对于三角形的每一个内角，，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.
（2）三角形外角和等于360°.如图（11）△ABC的外角
和为∠1+∠3+∠5=360°.
第二部分 例题精讲
例1 某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）
出题意图：本题主要考查三角形三边关系.
解析：首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键. 解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3﹣2＜x＜3+2， ∴1＜x＜5， ∵x为整数， ∴x=2，3，4， 故选：C． 针对训练 1
一个三角形的两边长是2厘米和7厘米，第三边长的数值是一个偶数，求这个三角形的周长.
例2已知等腰三角形两边之长分别为a、b，且满足|a-b+2|+(2a+3b-11)=0,求此等腰三角
2
形的周长.
出题意图：考查三角形三边关系及等腰三角形的分类讨论.
解析：已知等腰三角形的两边，首先要分类讨论哪条是腰哪条是底边，最后还要考虑结果是否满足三角形三边关系.
三角形的有关概念与性质
第一部分 知识梳理
一、三角形的有关概念.
1、三角形的定义.
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次联结组成的平面图形.（如图（1）中，线段AB、线段AC、线段BC首尾顺次联结组成的图形）
【注】三条线段必须不在同一直线上. 2、三角形的基本元素.
（1）边：组成三角形的三条线段成为三角形的边.如图（1）所示组成三角形ABC的三条线段AB、BC、CA即为三角形的三边.
（2）顶点：点A、点B、点C称为三角形的三个顶点.如图（1）所示，顶点即为三角形两条边的公共点.
（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角.如图（1）所示，∠ABC、∠BCA、∠CAB是三角形的三个内角.
（4）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.如图（1）所示，∠ACD即为三角形的一个外角.
（5）符号：如图（1）所示，顶点为A、B、C的三角形可用符号表示为“△ABC”，读作：“三角形ABC”，△ABC的三边也可用小写字母a、b、c表示.如图（1）所示顶点A所对的边用a表示，顶点B所对的边用b表示，顶点C所对的边用c表示.
【注】①数三角形的个数时，要按照一定的规律或顺序去数，否则就会重复或遗漏.其方法有：ⅰ)按照图形的形成过程（即重新画一遍图形，按照三角形形成额额额额先后顺序去数）；ⅱ)按照三角形的大小顺序去数；ⅲ)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数；ⅳ)还
图(1)
可以先固定一个顶点，变换另两个顶点去数.
②三角形的外角还可定义为：三角形一个内角的邻补角.三角形的每一个内角有两个邻补角，因此一个三角形有六个外角.如图（2）所示，∠1、∠2、∠3、
图(2)
∠4、∠5、∠6为△ABC的六个外角.
二、三角形三边关系定理及推论
1、定理及推论.
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 2、定理及推论的作用.
（1）判断以a、b、c为边是否能组成三角形. 判断方法有三种：
① 当a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b都成立时，能组成三角形； ② 当|a-b|＜c＜a+b时，可以构成三角形. ③ 如果a≤b≤c，则只要
a+b＞c（用较短边之和与较长
边比较）,就可以组成三角形，这也是一种比较简便的方法.
（2）当已知两边时，可确定第三边长度的范围. 即：|两边之差|＜第三边＜两边之和.
图(3)
例如：如图3在△ABC中，a=2，b=5,则第三边的范围是|2-5|＜c＜2+5，即3＜c＜7. （3）证明线段不等关系.
三、三角形的三条重要线段.
1、三角形的中线.
联结三角形一个顶点与对边中点的线段，叫做三角形
的中线. 如图（4），在△ABC中，点D、E、F分别为边AC、AB、BC的中点.即：线段BD、CE、AF分别为边AC、AB、BC的中线.
图(4)
【注】①一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点. ②三角形的中线是一条线段.
③三角形一条中线将三角形分成两个三角形，由于这两个三角形等底同高，所以分成的两个三角形面积相等.如图（4）△ABF与ACF、△ABD与△CBD、△ACE与△BCE这三对三角形为等底同高面积相等的三角形. 2、三角形的角平分线.
三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段，叫做三角
形的角平分线.如图（5），线段AF、BD、CE为△ABC的角平分线. 【注】①一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，它们相交于一点.
②三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别. 3、三角形的高.
从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高.如图（6），线段AF、BD、CE为△ABC的高.
【注】①如图（7）锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的高在三角形的内部，相交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，一条高在内部，三条高所在的直线交于三角形外一点；直角三角形的两条置关系，可以判断三角形的形状.
图
(6)
图(5)
高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们交于直角顶点.根据高与三角形的位
B
图(7)
②三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线.
四、三角形的分类.
1、按角分类.
锐角三角形
三角形 直角三角形
钝角三角形
【注】锐角三角形指所有内角都是锐角的三角形；直角三角形指有一个内角是直角的三角形；钝角三角形指有一个内角是钝角的三角形. 2、按边分类.
不等边三角形
三角形
底边和腰不相等
等腰三角形 的等腰三角形
等边三角形
【注】不等边三角形指三条边互不相等的三角形；等腰三角形是指至少有两条边相等；等边三角形指三条边都相等的三角形.
五、三角形内角和定理及其推论.
1、三角形内角和定理.
（1）定理：三角形三个内角的和等于180°.如图（8），在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
（2）作用：在三角形中已知两个内角可求出第三个内角，或已知各角之间的关系求各角. 2、三角形内角和定理的推论.
（1）推论：直角三角形两个锐角互余.如图（9），在直角三角形△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°. （2）作用：
①已知直角三角形的一个锐角求另一个锐角，或已知两锐角之间的关系求这两个角.
②常与同角（或等角）的余角相等结合，一起证角相等.
图(9)
图(8)
六、三角形的外角的概念及性质.
1、三角形外角的概念.
三角形的一边及另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.如图（10），∠ACD即为三角形的一个外角. 2、三角形外角的性质.
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图（10），△ABC的外角∠ACD=∠A+∠B.
图(10)
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图（10），△ABC的外角∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 3、三角形外角和.
（1）对于三角形的每一个内角，，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.
（2）三角形外角和等于360°.如图（11）△ABC的外角
和为∠1+∠3+∠5=360°.
第二部分 例题精讲
例1 某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（ ）
出题意图：本题主要考查三角形三边关系.
解析：首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键. 解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：
3﹣2＜x＜3+2， ∴1＜x＜5， ∵x为整数， ∴x=2，3，4， 故选：C． 针对训练 1
一个三角形的两边长是2厘米和7厘米，第三边长的数值是一个偶数，求这个三角形的周长.
例2已知等腰三角形两边之长分别为a、b，且满足|a-b+2|+(2a+3b-11)=0,求此等腰三角
2
形的周长.
出题意图：考查三角形三边关系及等腰三角形的分类讨论.
解析：已知等腰三角形的两边，首先要分类讨论哪条是腰哪条是底边，最后还要考虑结果是否满足三角形三边关系.