第三章：半导体激光器
3.1半导体激光器的发展与应用 3.1半导体激光器的发展与应用 3.2半导体激光器的工作原理 3.2半导体激光器的工作原理 3.3 F-P腔半导体激光器的结构及特性 F3.4半导体激光器的制造工艺 3.4半导体激光器的制造工艺 3.5*量子阱激光器 3.5*量子阱激光器
什么是Laser ？ 什么是Laser
MASER Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation 受激发射辐射的微波放大 LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 受激发射辐射的光放大
1
2
光过程（1） 光过程（1
E2 hv12
光辐射（1） 光辐射（1
1.自发辐射 1.自发辐射
E2
空穴 电子 导带上的空状态
E1
LED的工作原理基础 LED的工作原理基础 （1）自发辐射
E2 hv12 hv12 E1 E1 E2 hv12 E1
探测器的工作原理基础 （2）受激吸收
LD的工作原理基础 LD的工作原理基础 3 （3）受激辐射
自发辐射：不受外界因素作用，处于高能态的电子自发地、随 自发辐射：不受外界因素作用，处于高能态的电子自发地、随 机地跃迁到低能态，与空穴复合而发射光子，特点为发射的光 子能量相同，但方向、位相、偏振等均不相同，是一种非相干 光。
4
光辐射（2） 光辐射（2
1.受激辐射 1.受激辐射
E2
Fabry-Perot (F-P)谐振腔 Fabry(F- P)谐振腔
E1
受激辐射：是指受激发而处于高能级的电子在外界的诱发作用下，跃 受激辐射：是指受激发而处于高能级的电子在外界的诱发作用下，跃 迁到低能级与空穴复合而发射的辐射，特点为发射光子的方向、频率、 位相、偏振等均与诱发光相同，是一种相干光。在激光器中，诱发高 位相、偏振等均与诱发光相同，是一种相干光。在激光器中，诱发高 能级的电子向低能级跃迁的光来自自发辐射。
5
R1
R2
6
1
激光器激射的三个基本条件
1. 要产生足够的粒子数反转分布，即高能态的粒子 数大于低能态的粒子数。 2. 要有一个合适的谐振腔，引起反馈，使激射增生 （放大），从而产生激光振荡； 3. 要满足一定的阈值条件，以使光子增益等于或大 于光子损耗。
半导体激光器如何满足激射条件？
（ 1）给P-N结加正向偏置提供载流子注入，建立 ）给P 粒子数反转分布－电注入；（2）利用光激发提供 粒子数反转分布－电注入；（2 载流子 ，建立粒子束 反转分布－光 注入或光泵 浦； 利用垂直于 P-N 结的两个解理端面形成 F-P 谐振 腔，提供光反馈； P-N 结区的电子-空穴复合，提供光增益，使光子 结区的电子增益等于或大于损耗，满足阈值条件。
7 8
所有激光器都必须满足上面三个基本条件
粒子数反转分布
• 在恒定辐射场的作用下，低能级E1及高能级E2间的受激吸收和受激 在恒定辐射场的作用
下，低能级E 及高能级E 辐射同时存在，且两者的跃迁几率相等，哪一种过程占主导地位， 主要取决于低能级E1及高能级E2上的粒子数N1及N2的分布情况，在 主要取决于低能级E 及高能级E 上的粒子数N 热平衡状态下，粒子数的分布遵循玻耳兹曼分布律，N1＞N2，如果 热平衡状态下，粒子数的分布遵循玻耳兹曼分布律， 采用适当的激励，破坏热平衡状态，使高能态粒子数N2多于低能态 采用适当的激励，破坏热平衡状态，使高能态粒子数N 粒子数N1，这与热平衡状态的分布相反，故称为粒子数反转分布。 粒子数N ，这与热平衡状态的分布相反，故称为粒子数反转分布。 当体系处于粒子数反转状态时，受激辐射光子数多于被吸收的光子 数，因此对光子数具有放大作用。粒子数反转是激光器实现激射的 必要条件之一。 • 由于半导体是能带结构，它与分立的能级不同，产生光放大作用要 求的粒子数反转分布条件不能直接用粒子数的多少来比较，只能通 过比较导带底和价带顶被电子占据的几率的大小。
9
光跃迁速率（1） 光跃迁速率（1
1.受激发射速率 1.受激发射速率
n2
r21 ( st ) = B21n2 p1n ph ( E21 )
p1 其中，B21为单位时间从E2到E1 其中，B 为单位时间从E 的受激发射跃迁几率，n2为E2能态的电子浓度，p1为E1 的受激发射跃迁几率，n 能态的电子浓度，p 能态的空穴浓度，nph(E21)为光子密度 能态的空穴浓度，n
分别为能量为（E2）和（E1）的态密度，f1 分别为能量为（E ）和（E ）的态密度，f 和f2分别为电子占据能量为E1和E2的几率 分别为电子占据能量为E
10
(接前一页) 接前一页)
f1 = 1 1 + exp[(E1 − E Fv ) / k BT ]
光跃迁速率（2） 光跃迁速率（2
f2 = 1 1 + exp[( E2 − E Fc ) / k BT ]
2.受激吸收速率 2.受激吸收速率
p2
其中： EFc 为导带电子的准费米能级 为导带电子的准费米能级 EFv 为价带空穴的准费米能级 为价带空穴的准费米能级
r12 ( abs ) = B12 p2 n1n ph ( E21 )
1 其中，B12为单位时间从E1到E2 其中，B 为单位时间从E 的受激吸收跃迁几率，n1为 E1能态的电子浓度，p2为 E2能 的受激吸收跃迁几率，n 能态的电子浓度，p
n
r21 ( st ) = B21n2 p1n ph ( E21 )
态的空状态密度。
r12 ( abs) = B12 p2 n1n ph ( E21 )
11 12
2
光跃迁速率（3） 光跃迁速率（3
3.自发发射速率 3.自发发射速率
n2
爱因斯坦系数关系（1） 爱因斯坦系数关系（1
在热平衡状态下，总的发射跃迁速率应该等于总的吸收速率：
r21 ( sp ) = A21n2 p1
其中，A21为单位时间从E2到E1 其中，A 为单位时间从E 的自发发射跃迁几率，n2为E2能态的电子浓度，p1为 E1 的自发发射跃迁几率，n 能态的电子浓度，p 能态的空穴浓度。 代入前面的n1和p2表达
式，得 代入前面的n
p1
r21 ( st ) + r21 ( sp ) = r12 (abs )
EFc = EFv = EF
代入各项表达式，并整理，得
r21 ( sp ) = A21n2 p1
13
… …(1)
14
爱因斯坦系数关系（2） 爱因斯坦系数关系（2
根据黑体辐射理论，有 … …(2) 其中，h为 Planck常数，c 为真空中的光速，nr 为材料 其中，h Planck常数，c 为真空中的光速，n 的有效折射率。该公式推导:见江剑平的书pp32-34 的有效折射率。该公式推导: 见江剑平的书pp32比较（1）和（2）式，得 比较（1 ）和（2
net
伯纳德－杜拉福格关系（1） 伯纳德－杜拉福格关系（1
净受激发射速率：
r21 ( st ) = r21 ( st ) − r12 ( abs )
利用爱因斯坦系数关系，得
r21 ( st )
net
B21 = B12 = B
Z ( E21 ) = 8πnr E21 h 3c 3
3 2
受激发射产生条件：净受激发射速率大于零。
爱因斯坦系数关系
15
即： ( f 2 − f1 ) > 0
16
伯纳德－杜拉福格关系（2） 伯纳德－杜拉福格关系（2
将 f2 和 f1 代入，并整理：
净受激发射速率与光增益
设光强度为I的光沿着z方向传播，见右图 设光强度为I的光沿着z 单位长度光强度的增加量与原光强的比定义为增益系数g 单位长度光强度的增加量与原光强的比定义为增益系数g
EFc − E Fv > E2 − E1 = E21
此式为Bernard-Duraffourg relation， 此式为Bernardrelation， 即：半导体激光器的粒子数反转分布条件 即：半导体激光器的粒子数反转分布条件 物理意义：导带能级上被电子占据的几率必须大于与 物理意义：导带能级上被电子占据的几率必须大于与 辐射跃迁相联系的价带能级上被电子占据的几率，只 有这时在紧靠导带底和价带顶的与辐射跃迁相联系的 能量范围内才能实现粒子数的反转。 因为 E Fc − E Fv = qV 所以 qV > E g
dI = gI dz
I = vE21n ph ( E21 )
……（1） ……（
I
I + dI
g的单位为cm-1 的单位为cm
……（2） ……（
dz
v为光在材料中的群速度，忽略色散时，v=c/nr, nr为材料的 为光在材料中的群速度，忽略色散时，v=c/n 折射率，E21为光子能量，nph(E21)为光子密度 折射率，E 为光子能量，n
E 21 = hν ≅ E g
即要求PN结所加的正向偏压大于Eg/q 17 即要求PN结所加的正向偏压大于E
dn ( E ) dI = vE21 ph 21 dt dt dn ph ( E21 ) net 为单位时间光子数的变化，即为净受激发射速率 r21 ( st ) 为单位时间光子数的变化，即为净受激发射速率 18 dt
3
(接前一页) 接前一页)
dn ( E ) dI = vE21 ph 21 dt dt
而
(接前一页) 接前一页)
= vE21r21 ( st )
net
……（3） ……（
将 r21 ( st ) 代入（5）式中 得 代入（5
g= r21 ( st ) nr n ph ( E21 ) c
net
net
dI dt dI = dz dz dt
=(
1 dI dz −1 dI = ) dt dt v dt
……（4） ……（
由前面的（1）和（2）式，得 由前面的（1）和（2
dI = gI = gvE21n ph ( E21 ) dz
由（3）、（4）和
（5）式 得 由（3）、（4）和（5
……（5） ……（
光增益系数与导带和价带的态密度成正比； 与材料的能带、温度及注入水平有关，关系反应在（f2 －f1）项中。 引入光限制因子（见下一页）后，光增益系数的表达式为：
g=
r21 ( st ) nr n ph ( E21 ) c
net
……（6） ……（
19 20
光限制因子
总的净受激发射速率和总增益
令 E21=E=hν ， E2=E〞,E1=Eˊ, 对 =E=hν =E〞 =Eˊ 于满足光子能量为E=hν 的所有跃 于满足光子能量为E=hν 迁，Eˊ=E〞- E 迁，E =E〞
hν hν hν
光限制因子定义为： Γ =
∫ ∫
h
0 ∞
E ( x) dx E ( x) dx
2
2
将净受激发射速率及增益表达式中的E21 ，E2 和E1 分别 将净受激发射速率及增益表达式中的E 用E， E〞和Eˊ代替，并对E〞进行积分，即得总的净 代替，并对E 受激发射速率Rnet(E)和总增益g(E) 受激发射速率R (E) 和总增益g(E)
R net (E ) = n ph ( E )
−∞
∫
∞
Ec
Bρ c ( E ′′) ρ v ( E ′)[ f 2 ( E ′′) − f1 ( E ′)]d ( E ′′)
光限制因子反应了光场的泄漏，它相当于受激发 射的有效面积减小
21
g (E ) =
nr c
∫
∞
Ec
Bρ c ( E ′′) ρ v ( E ′)[ f 2 ( E ′′) − f1 ( E ′)]d ( E ′′)
22
净受激吸收速率与光吸收
设光强度为I的光沿着z方向传播，见右图 设光强度为I的光沿着z 由于吸收，单位长度光强度的减少量与原光强的比定义为吸收系 数 α
增益谱
高注入时， 增益为正值，即产生放大 低注入时， 增益为负值，即为吸收
− dI = αI dz
I
-1
I − dI
的单位为cm α 的单位为cm
dz
净受激吸收速率：
net net r12 (abs ) = r12 (abs ) − r21 ( st ) = −r21 ( st )
增益峰值随注入载流子浓度的增加而增加，并向高能量方向移动 原因： 由于带填充效应（band filling effect)，载流子被填充到高能态，而 由于带填充效应（band effect)，载流子被填充到高能态，而 高能态的态密度比低能态的态密度大，所以，增益峰向高能量方向 移动且增益变大。
α = −g
23
24
4
光子在谐振腔内的振荡
1. 激光器的阈值增益 设光子以如下的平面电磁波在谐振腔内传播
(接前一页) 接前一页) 令 n′ = α
g 为增益系数，α i 为介质的内部损耗
阈值条件要求光子在谐振腔内 往返一次，总的效果是不产生 损耗而维持稳定的振荡或形成 驻波。即：
4π
λ0
，α 为广义损耗系数， α
= −g + αi
L
~ E ( z ) = E0 exp(−ik z )
~ n
L2 A L L1
~ ~ k = n k0
~ n = n − in′
~ 为介质的复折射率，n n 为介质的复折射率，n为介质的折射率，虚部
n′ 为损耗，k0=2π/λ0 为真空中的波数， λ0 为真 为损耗，k =2π
空中的波长
~ r1r2 E0 exp(−ik 2 L) = E0
r1
0
r2
z
~ r1r2 exp(−ik 2 L) = 1
~ k = ( n − in′) k0
25
r1、r2为场光场在两个谐振腔面上的场反
射系数
26
(接前一页) 接前一页)
r1r2 exp( −i
4πn
λ0
L) ⋅ exp[( g − α i ) L] = 1
……（1） ……（ 激光器的阈值条件
(接前一页) 接前一页)
g th = α i +
r1r2 exp[( g − α i ) L] = 1 exp( −i 4πn
1 1 ln( ) 2 L R1 R2
激光器的阈值增益
λ0
L) = 1
……（2） ……（ 激光器的谐振条件
上式右边第一项为内部损耗，包括介质对光子的吸收、 散射等；右边第二项为腔面损耗，即激光器的输出。 上式的物理意义：当光子从单位长度介质所获得的增益 上式的物理意义：当光子从单位长度介质所获得的增益 等于或大于介质的内部损耗及腔面损耗时，开始形成激 射。 当R1＝R2＝R时，上式简化为
由（1）式可以得到阈值增益为 由（1
g th = α i +
1 1 ln( ) L r1r2
功率反射系数R1＝ r1r1*， R2＝ r2r2*， r1*和 r2*是相应的共轭 功率反射系数R 复数，在低损耗介质中，忽略反射相移，有r1=R1 ½,r2=R2 ½ 复数，在低损耗介质中，忽略反射相移，有r 将场反射系数r1、r2用功率反射系数替代 将场反射系数r 27
g th = α i +
1 1 ln( ) L R
28
2. 谐振腔内稳定振荡条件 根据ppt 26页方程（2） 根据ppt 26页方程（2
半导体激光器的纵模
exp( −i 4πnL
4πn
λ0
L) = 1
λ0
λ0
= 2 qπ
=q
q = 1, 2, 3…整数 3…
2nL
上式的物理意义：若形成稳定振荡的驻波，光子在谐振 上式的物理意义：若形成稳定振荡的驻波，光子在谐振 腔内来回一周所经历的光程必须是波长的整数倍。每一 个 q值对应光子的一个振荡频率或波长，或者说对应一 个纵模模式。 29
单纵激射模
多纵激射模
30
5
3. 纵模间距
例题：
2nL
λ0
=q
2nL = qλ0
……（1） ……（
对上式两边取微分
2 Ldn = λ0 dq + qdλ0
……（2） ……（
对于发射波长为980nm ，腔长为300μm 对于发射波长为980nm ，腔长为300μ 的半导体异质结 GaAs/AlGaAs激光器， GaAs GaAs/AlGaAs激光器， 的折射率为3.7，在谐振腔内有多少个模式？ 的折射率为3.7，在谐振腔内有多少个模式？ 相邻模式间的纵模间距是多少（忽略色散的影 响）？如果激光器的增益谱在大于激光器损耗 的谱宽度为△λg=5nm，那么，有多少个模式可 的谱宽度为△ g=5nm，那么，有多少个模式可 以激射？如果腔长为30μm，有多少个模式可 以激射？如果腔长为30μ 以激射？
对相邻的两个模式，取dq=-1, 并由（1）中解出q，代 对相邻的两个模式，取dq= 并由（1 ）中解出q 入（2）则可得纵模间隔dλ0 入（2 ）则可得纵模间隔d
解： 根据 2nL=qλ，
dλ0 =
2nL[1 − (
λ2 0 λ0
n
q=
2nL
λ
λ2
2nL
=
2 × 3.7 × 3 ×105 nm = 2265.3 980nm
)(
dn )] dλ 0
模式数取整数，为2265 模式数取整数，为2265
dn dn 为材料的色散，当 = 0时 dλ0 dλ 0
dλ0 =
λ2 0
2nL
31
根据
dλ =
=
(980nm) 2 ≈ 0.433nm 2 × 3.7 × 3 ×105 nm
32
例题续 激射的模式数 =
Δλ g 5nm = ≈ 11.5 dλ 0.433nm
推导激光器阈值增益的另外一种方法
光强为I(z)的光沿着z方向传播，经过dz距 光强为I(z)的光沿着z 方向传播，经过dz距 离后，增益引起的光强的增加量dIg与 I(z) 离后，增益引起的光强的增加量dI I(z) 和dz成比例，即 dz成比例，即
所以，激射的模式数为11 所以，激射的模式数为11 当腔长为30μm时， 当腔长为30μ
I
I + dI g − dIα i
dI g = gI ( z )dz
式中g为增益系数。 式中g
(980nm) 2 λ = ≈ 4.33nm dλ = 2nL 2 × 3.7 × 3 ×10 4 nm
2
dz
Δλ g 5nm 激射的模式数 = = ≈ 1.2 dλ 4.33nm
所以，激射的模式数为1，即单纵模激射 所以，激射的模式数为1
33
同样，光强为I(z)的光沿着z方向传播，经过dz距离后，因内部损耗 同样，光强为I(z)的光沿着z 方向传播，经过dz距离后，因内部损耗 而引起的光强的减小量dIg为 而引起的光强的减小量dI
dI α i = α i I ( z )dz
式中 α i为内部损耗系数。
34
光强为I(z) 的光沿着z方向传播dz距离后，光强的总变化量 光强为I(z) 的光沿着z 方向传播dz距离后，光强的总变化量 dI(z)为: dI(z)
半导体激光器谐振腔的形成
F-P 腔激光器的谐振腔面是利用晶体的晶面，通过解理得 到的。 晶体的解理，就是当晶体受到定向机械应力的作用时，可 以平行于一个或几个平整面裂开的性质。这些平整的平面 被称为解理面。解理面符合晶面指数的规定法则，并常常 被称为解理面。解理面符合晶面指数的规定法则，并常常 是晶体构造的低指数面。 是晶体构造的低指数面。
z z z
dI ( z ) = ( g − α i ) I ( z )dz
对上式积分得：
I ( z ) = I 0 exp( g − α i ) z
I0为z=0时的光强 =0时的光强
设谐振腔内 A 处的光强为 IA ，要使 在谐振腔内实现激射，光强为IA的 在谐振腔内实现激射，光强为I 光经过两次镜面反射后回到A处时 光经过两次镜面反射后回到A 的光强应等于或大于IA，即 的光强应等于或大于I
L
~ n
L2 A L L1
R1 R2 I A exp[( g − α i )2 L] = I A
1 1 gth = α i + ln 2 L R1R2
R1
0
R2
35
y z x
y
y
(1 0 0)
x
(1 1 0)
x
(1 1 1)
36
6
确定晶体解理面的方法：
1. 看晶体在各个方向上键结合方式是否有很大的差异，键 结合较弱的晶面必然是解理面。如石墨。 2. 如果晶体在各个方向上键结合方式相同，就要考虑晶体 相邻晶面间的键密度（单位面积上作用的键数）的大 小，键密度小的必然是解理面。金刚石结构中主要解理 面 的 键 密 度 ： （ 111 ） 面 为 4/(31/2a2); （ 110 ） 面 为 4/(21/2a2); （221）面为5/(1.55a2); （100）面为4/(a2)。 221）面为5/(1.55a 100）面为4/(a 3. 对于带有离子键的晶体，晶面间的作用，键密度的大小
不是唯一的因素，还应考虑相邻晶面间的静电作用。如 GaAS，InP的（111）面为极性面，静电作用大，不是 GaAS， InP的（111）面为极性面，静电作用大，不是 解理面。（110）面为解理面。 解理面。（110）面为解理面。 37
[11-2]Si, [-1100]GaN [-110]Si, [11-20]GaN
90o
90o
解理腔面
38
作业（1） 作业（1
直接跃迁： 1. 2. 证明：对于形成同质结半导体激光器的p型和n型材料 证明：对于形成同质结半导体激光器的p 型和n 必须有一个或两个是重掺杂。 在半导体激光器中，对于光子能量为E=hν 的 辐射，在 在半导体激光器中，对于光子能量为E=hν 考虑价带和导带具有一定宽度的条件下，推导粒子数反 考虑价带和导带具有一定宽度的条件下，推导粒子数反 转条件及光增益的表达式。 如果激光器输出的光子能量等于禁带宽度，求腔长为 150 微米的GaAs激光器中两个相邻共振方式间的波长 微米的GaAs激光器中两个相邻共振方式间的波长 间隔。 推导阈值增益公式 • 能量守恒
跃迁选择定则（1） 跃迁选择定则（1
• 动量守恒
3.
4.
式中， k和k’分别为电子初态和终态的波矢，kL为光子的 分别为电子初态和终态的波矢，k 波矢，kL=2π/λ，kL约为104cm-1数量级，而与简约布里渊 波矢，k =2π 约为10 区所涉及的电子波矢为108cm-1量级，因此，kL可以忽略 量级，因此，k 区所涉及的电子波矢为10 不计，有
40
39
直接带隙半导体
间接跃迁： • 能量守恒
跃迁选择定则（2） 跃迁选择定则（2
• 动量守恒 式中， k和k’分别为电子初态和终态的波矢，kL为光子的 分别为电子初态和终态的波矢，k 波矢，q为声子波矢，“＋”和“－”分别对应吸收和发射波 波矢，q 为声子波矢，“ 矢为q的声子。kL可以忽略不计，有 矢为q 的声子。k
受激吸收
自发发射
受激发射
41
有电子、光子和声子参与的间接跃迁是二级微扰过程跃迁几率比直 接跃迁小得多，因此，间接带隙材料不能用来做发光材料
42
7
间接带隙半导体
光发射 光吸收
折合态密度
折合态密度：ρred ( E ) 量纲：[体积⋅能量]-1 量纲：[ 体积⋅ 能量] 单位能量间隔中，两自旋方向之一的电子参与光跃迁的密度。 也同时受到 k 选择定则的限制，即跃迁时上下能级间的波矢 k 和自旋都要相同。 若发生跃迁的能量范围在导带为δE2 ， 在价带δE1 则分别对应此能量的能态数为 ρ c⋅δE2 和 ρ v⋅δE1 因为能够发生跃迁的每一对能级具有相同的波矢，所以能级对的 数目为： δZ= ρ c⋅δE2= ρ v⋅δE1
向下跃迁时，除了发射光子还有声子的参与，所以间接带 隙半导体发光效率很低。 为什么很多间接带隙半导体也可以被用来作光探测器？ 为什么
很多间接带隙半导体也可以被用来作光探测器？
43
δ 再考虑到自旋必须相同，则实际发生跃迁的能级对的数目为：Z/2 −1 δZ 2 1⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ + 折合态密度可以表示为： ρ red (E ) = 2 ⎝ ρc ρv ⎟ δE1 + δE 2 ⎠
44
1.受激发射速率 1.受激发射速率
增益系数与电流密度的关系
• 在满足粒子数反转条件时，即f2>f1 ，半导体材料中开 在满足粒子数反转条件时，即f 始有增益。而粒子数反转条件是靠外加注入电流来实现 的，增益并不是半导体材料本身的属性。所以，增益系 数与注入电流密度存在一定的关系。原则上，它们之间 的关系可以通过求解增益系数的积分和自发辐射速率来 得到，但要精确地得到态密度（ρc ， ρv ）和爱因斯 得到，但要精确地得到态密度（ρ 坦系数 B21 是困难的。为了能够更直观地把宏观的参量 电流密度与微观的光子增益过程联系起来，根据增益与 电流密度的曲线（见下一页ppt)，对增益系数和电流密 电流密度的曲线（见下一页ppt) 度之间的关系半经验的定量估计。
45 46
r21 ( st ) = B21n2 p1n ph ( E21 )
2.受激吸收速率 2.受激吸收速率
r12 ( abs) = B12 p2 n1n ph ( E21 )
3.自发发射速率 3.自发发射速率
r21 ( sp ) = A21n2 p1
300
T1
g (cm-1)
根据右图，采用线性近 似 ，给出增 益系数与电流 密度之间的关系式：
T2 T3
200
根据上式，增益系数与注入载流子浓度之间的关系 还可以表示为：
100
′ g = β (Jn − J0 )
g = g 0 (n − n0 )
其中，g0为光增益常数，n0是对应刚好满足粒子 其中，g 为光增益常数，n 数反转条件增益由负值转为正值的载流子密度，定义 为透明载流子浓度。 透明载流子浓度。 考虑到限制因子时，
0
2
4
6
8
10
其中， β 为光增益常数，它代表 材料增益系数与注入电流密度线性 关系的斜率，也称作微分增益系 数； J’0 是增益曲线在电流密度坐标上的 截距，对应刚好满足粒子数反转条 件 (Fc-Fv=hν), 增 益 由 负 值 转 为 正值 的电流密度，定义为透明电流密度。 的电流密度，定义为透明电流密度
Jn (kA·cm-2)
图 GaAs在不同温度下的最 GaAs在不同温度下的最 大光增益系数g与电流密度 大光增益系数g Jn的关系曲线
′ g = Γβ ( J n − J 0 ) g = Γg 0 (n − n0 )
47
48
8
速率方程（1） 速率方程（1
速率方程：是描述半导体激光器在外界作用下（电注入， 速率方程：是描述半导体激光器在外界作用下（电注入， 光注入），电子与空穴复合产生光子时,载流子浓度与光子 光注入），电子与空穴复合产生光子时, 密度随时间的变化，它包括载流子浓度和光子密度随时间 变化两个方程
速率方程（2）
回顾 dn dn = 连续性方程基本形式
dt
dt
trspt
−R+G
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
S n dS = g (n) S − + β sp τ ph τr dt
……（1） ……（
载流子速率方程
dn dn dε d 2n = μ nε + μn n + Dn 2 − R + G dt dx dx dx
在漂移过程中，由于载流子浓度不均匀而引起的载流子积累 在不均匀电场中，因漂移速度随位置的变化而引起的载流子积累 由于扩散密度的不均匀而引起的载流子积累 由于复合（辐射复合和非辐射复合）而引起的载流子减少
……（2） ……（
受激发射光子速率方程
J 为电流密度，d是有源区厚度，g(n) 为光增益，S为激 为电流密度，d 是有源区厚度，g(n) 为光增益，S 光的光子密度，n为载流子浓度， τn 为载流子寿命（包 光的光子密度，n 括自发辐射和非辐射复合）， τph为光子寿命， β sp自发 辐射耦合因子，τr辐射复合寿命
49
由于注入的电流而引起的载流子产生
50
速率方程（3）
载流子速率方程的推导：
接前一页
dn dn dε d 2n = μ nε + μn n + Dn 2 − R + G dt dx dx dx
假设：（1）载流子分布均匀； 假设：（1 （2）电场分布均匀。
dn = −R + G dt
－R为由于复合而引起的载流子减少。 它包括两项： （1）受激辐射复合： g ( n) S
dn = −R + G dt
G= J ed
g (n) = Γg 0 (n − n0 )
……（1） ……（ （2）自发辐射复合和非辐射复合： 而
51
（Г为光限制因子）
n
G是由于电流的注入而引起的载流子的产生 ……（2） ……（
τn
52
1
τn
=
1
τr
+
1
τ nr
τr为自发辐射寿命，τnr为非辐射复 为自发辐射寿命，τ 合寿命
接前一页 由
速率方程（4）
dn = −R + G dt
受激发射光子速率方程
− R = − g ( n) S −
G= J ed
n
τn
dS S n = g (n) S − + β sp dt τ ph τr
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
右边第一项g(n)S是由于受激辐射引起的光子增加 右边第一项g(n)S是由于受激辐射引起的光子增加 第二项(-S/τph)是由于腔内吸收和激光器腔外发射引起光 第二项( 子的减少 载流子速率方程 第三项 β sp(n/τr) 是部分自发辐射耦合到激射模式中，而 (n/ 引起光子的增加
53 54
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
9
阈值电流密度
阈值电流密度Jth（阈值电流Ith）：激光器开始发生激射 阈值电流密度J （阈值电流I 时的电流密度（电流）定义为阈值电流密度（阈值电 流）。 Ith=Jth×A ， A 为 激 光 器 发 光 区 （有源区）注入电流的面积 由载流子速率方程
接前一页
n=
J ⋅τ n ed
物理意义：激光器在受激发射之前，所注入的载流子全部 物理意义：激光器在受激发射之前，所注入的载流子全部 用于自发辐射和非辐射复合。 上式，在激光器受激辐射之前都满足，因此，有
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
J th =
ed
τn
nth
当J≤Jth时，受激发射的光子密度很少，可以忽略，
即S=0 时，受激发射的光子密度很少，可以忽略，即S=0 在稳态状态下，dn/dt=0 在稳态状态下，dn/dt=0
nth为阈值载流子浓度
0=
J n − ed τ n
55
56
阈值载流子浓度
由受激发射光子的速率方程
接前一页
g ( n) =
1
τ ph
n=
dS S n = g (n) S − + β sp dt τ ph τr
当J≥Jth时，对于一般半导体激光器,自发辐射耦合因子很 时，对于一般半导体激光器, 小，βsp≈10-5，先暂时忽略。 先暂时忽略。 小，β 在稳态状态下，dS/dt=0 在稳态状态下，dS/dt=0
而
g (n) = Γg 0 (n − n0 )
1 + n0 Γg 0τ ph
在阈值时，上式同样成立，因此，阈值载流子浓度nth 在阈值时，上式同样成立，因此，阈值载流子浓度n
nth =
1 + n0 Γg 0τ ph
0 = g ( n) S −
S
τ ph
57
物理意义：在稳态状态下，由增益产生的光子刚好维持 物理意义：在稳态状态下，由增益产生的光子刚好维持 激光器的损耗（内部损耗和腔面损耗－激光器光输出）
式中，光限制因子Г与激光器各层的厚度和折射率有 式中，光限制因子Г 关，g0与温度有关，τph与光子的损耗有关。当激光器 关，g 与温度有关，τ 已经制作完成后，这些参数基本不变或变化很小。 见下一页
58
接前一页 因此，有 n=nth=常数 见右图 由
阈值电流密度与有源区厚度关系
nth =
J th =
载流子浓度与注入电流 密度的关系曲线
1 + n0 Γg 0τ ph
ed
在激光器阈值电流之前，载流子 浓度随电流密度的增加而增加；到达 阈值电流后，载流子浓度被钳制在阈 值载流子浓度处，不再增加。阈值载 流子浓度以上的那部分注入载流子全 部用于激光器输出。
τn
ed (
nth
1 + n0 )
AlxGa1-xAs/GaAs 双 异 质 结 的 光限制因子与有源区厚度的关 系曲线
J th =
τ n Γg 0τ ph
阈值电流密度与光限制因子和有源区厚度等因素有关，由 图可以看出，在d较小时，Г与d2是成比例。 图可以看出，在d 较小时，Г
59 60
10
接前一页 ed 1 J th = ( + n0 ) = A + B τ n Γg 0τ ph
载流子浓度及光子密度与电流密度的关系
稳态速率方程，即dn/dt=0, dS/dt=0时的速率方程 稳态速率方程，即dn/dt=0, dS/dt=0时的速率方程
A=
ed
τn
n0
B=
ed
τn
⋅
1 Γg 0τ ph
dn J n − g ( n) S − 0 = dt ed τn
S n dS + β sp 0 = g (n) S − τ ph τr dt
1. 忽略自发辐射耦合的影响，即令βsp=0 J>Jth时，S>0，由（1）得 J>J 时，S>0，由（1
……（1） ……（ ……（2） ……（
画出Jth-d的关系曲线，见右 画出J 图。为得到小的阈值电流密 度，有源区的厚度有一个最 佳值。
S=
J n 1 ( − ) g ( n) ed τ n
由（2）得 由（2
61
g ( n) =
1
τ ph
62
接前一页
载流子浓度及光子密度与电流密度的关系曲线（βsp=0） =0） ……（1） ……（ 当J
J n S = τ ph ( − ) ed τ n
n=
当 J>Jth
时，载流子浓度 n 被钳制在阈值载流子浓度 nth J>J 处，即
Jτ n ed J thτ n ed
S =0
n = nth
而
J th =
ed
τn
nth
n = nth =
J thτ n ed
……（2） ……（
当J>Jth时， J>J
n = nth =
S=
τ ph
ed
( J − J th )
将（2）代入（1），得 将（2 ）代入（1
S=
τ ph
ed
n - J曲线
S - J曲线
( J − J th )
……（3） ……（ 此公式的前提：J>Jth 此公式的前提：J>J
63 64
2. 考虑自发辐射耦合的影响，即 βsp≠0
接前一页 将（3）代入（1）、（2）中，得 将（3 ）代入（1 ）、（2 ……（1） ……（
0=
稳态速率方程：
J n − g ( n) S − ed τn
S
0 = g ( n) S −
τ ph
+ β sp
n
τr
……（2） ……（
方程中τn为载流子寿命（包括自发辐射和非辐射复合）
J n = Γg 0 (n − n0 ) S + ed τn S S n = Γg 0 (n − n0 ) S + + β sp τ ph τ ph τn
n=
S=
1
τn
而
=
1
τr
+
1
τ nr
τr为自发辐射寿命，τnr为非辐射复 为自发辐射寿命，τ 合寿命
忽略非辐射复合时，τn=τr 忽略非辐射复合时，τ
g (n) = Γg 0 (n − n0 )
β sp X − X 2 −Y Γg 0τ n 2(1 − β sp ) − ( X − X 2 − Y )
nth (X − X 2 −Y ) 2(1 − β sp )
……（3） ……（
65
式中
X = 1+
J n − β sp 0 J th nth
Y = 4(1 − β sp )
J J th
66
11
载流子浓度及光子密度与电流密度的关系曲线（βsp≠0）
n - J曲线
S - J曲线
光功率（W） P = h ν ⋅ v g ⋅ A ⋅ S = h ν ⋅ ( c / n R ) ⋅ A ⋅ S 光功率（W
式中，hv为光子能量，vg为光在介质中得速度，S为光子密度， 式中，hv为光子能量，v 为光在介质中得速度，S A为面积＝有源区厚度×有源区的宽度， 为面积＝有源区厚度×
67
12
第三章：半导体激光器
3.1半导体激光器的发展与应用 3.1半导体激光器的发展与应用 3.2半导体激光器的工作原理 3.2半导体激光器的工作原理 3.3 F-P腔半导体激光器的结构及特性 F3.4半导体激光器的制造工艺 3.4半导体激光器的制造工艺 3.5*量子阱激光器 3.5*量子阱激光器
什么是Laser ？ 什么是Laser
MASER Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation 受激发射辐射的微波放大 LASER Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 受激发射辐射的光放大
1
2
光过程（1） 光过程（1
E2 hv12
光辐射（1） 光辐射（1
1.自发辐射 1.自发辐射
E2
空穴 电子 导带上的空状态
E1
LED的工作原理基础 LED的工作原理基础 （1）自发辐射
E2 hv12 hv12 E1 E1 E2 hv12 E1
探测器的工作原理基础 （2）受激吸收
LD的工作原理基础 LD的工作原理基础 3 （3）受激辐射
自发辐射：不受外界因素作用，处于高能态的电子自发地、随 自发辐射：不受外界因素作用，处于高能态的电子自发地、随 机地跃迁到低能态，与空穴复合而发射光子，特点为发射的光 子能量相同，但方向、位相、偏振等均不相同，是一种非相干 光。
4
光辐射（2） 光辐射（2
1.受激辐射 1.受激辐射
E2
Fabry-Perot (F-P)谐振腔 Fabry(F- P)谐振腔
E1
受激辐射：是指受激发而处于高能级的电子在外界的诱发作用下，跃 受激辐射：是指受激发而处于高能级的电子在外界的诱发作用下，跃 迁到低能级与空穴复合而发射的辐射，特点为发射光子的方向、频率、 位相、偏振等均与诱发光相同，是一种相干光。在激光器中，诱发高 位相、偏振等均与诱发光相同，是一种相干光。在激光器中，诱发高 能级的电子向低能级跃迁的光来自自发辐射。
5
R1
R2
6
1
激光器激射的三个基本条件
1. 要产生足够的粒子数反转分布，即高能态的粒子 数大于低能态的粒子数。 2. 要有一个合适的谐振腔，引起反馈，使激射增生 （放大），从而产生激光振荡； 3. 要满足一定的阈值条件，以使光子增益等于或大 于光子损耗。
半导体激光器如何满足激射条件？
（ 1）给P-N结加正向偏置提供载流子注入，建立 ）给P 粒子数反转分布－电注入；（2）利用光激发提供 粒子数反转分布－电注入；（2 载流子 ，建立粒子束 反转分布－光 注入或光泵 浦； 利用垂直于 P-N 结的两个解理端面形成 F-P 谐振 腔，提供光反馈； P-N 结区的电子-空穴复合，提供光增益，使光子 结区的电子增益等于或大于损耗，满足阈值条件。
7 8
所有激光器都必须满足上面三个基本条件
粒子数反转分布
• 在恒定辐射场的作用下，低能级E1及高能级E2间的受激吸收和受激 在恒定辐射场的作用
下，低能级E 及高能级E 辐射同时存在，且两者的跃迁几率相等，哪一种过程占主导地位， 主要取决于低能级E1及高能级E2上的粒子数N1及N2的分布情况，在 主要取决于低能级E 及高能级E 上的粒子数N 热平衡状态下，粒子数的分布遵循玻耳兹曼分布律，N1＞N2，如果 热平衡状态下，粒子数的分布遵循玻耳兹曼分布律， 采用适当的激励，破坏热平衡状态，使高能态粒子数N2多于低能态 采用适当的激励，破坏热平衡状态，使高能态粒子数N 粒子数N1，这与热平衡状态的分布相反，故称为粒子数反转分布。 粒子数N ，这与热平衡状态的分布相反，故称为粒子数反转分布。 当体系处于粒子数反转状态时，受激辐射光子数多于被吸收的光子 数，因此对光子数具有放大作用。粒子数反转是激光器实现激射的 必要条件之一。 • 由于半导体是能带结构，它与分立的能级不同，产生光放大作用要 求的粒子数反转分布条件不能直接用粒子数的多少来比较，只能通 过比较导带底和价带顶被电子占据的几率的大小。
9
光跃迁速率（1） 光跃迁速率（1
1.受激发射速率 1.受激发射速率
n2
r21 ( st ) = B21n2 p1n ph ( E21 )
p1 其中，B21为单位时间从E2到E1 其中，B 为单位时间从E 的受激发射跃迁几率，n2为E2能态的电子浓度，p1为E1 的受激发射跃迁几率，n 能态的电子浓度，p 能态的空穴浓度，nph(E21)为光子密度 能态的空穴浓度，n
分别为能量为（E2）和（E1）的态密度，f1 分别为能量为（E ）和（E ）的态密度，f 和f2分别为电子占据能量为E1和E2的几率 分别为电子占据能量为E
10
(接前一页) 接前一页)
f1 = 1 1 + exp[(E1 − E Fv ) / k BT ]
光跃迁速率（2） 光跃迁速率（2
f2 = 1 1 + exp[( E2 − E Fc ) / k BT ]
2.受激吸收速率 2.受激吸收速率
p2
其中： EFc 为导带电子的准费米能级 为导带电子的准费米能级 EFv 为价带空穴的准费米能级 为价带空穴的准费米能级
r12 ( abs ) = B12 p2 n1n ph ( E21 )
1 其中，B12为单位时间从E1到E2 其中，B 为单位时间从E 的受激吸收跃迁几率，n1为 E1能态的电子浓度，p2为 E2能 的受激吸收跃迁几率，n 能态的电子浓度，p
n
r21 ( st ) = B21n2 p1n ph ( E21 )
态的空状态密度。
r12 ( abs) = B12 p2 n1n ph ( E21 )
11 12
2
光跃迁速率（3） 光跃迁速率（3
3.自发发射速率 3.自发发射速率
n2
爱因斯坦系数关系（1） 爱因斯坦系数关系（1
在热平衡状态下，总的发射跃迁速率应该等于总的吸收速率：
r21 ( sp ) = A21n2 p1
其中，A21为单位时间从E2到E1 其中，A 为单位时间从E 的自发发射跃迁几率，n2为E2能态的电子浓度，p1为 E1 的自发发射跃迁几率，n 能态的电子浓度，p 能态的空穴浓度。 代入前面的n1和p2表达
式，得 代入前面的n
p1
r21 ( st ) + r21 ( sp ) = r12 (abs )
EFc = EFv = EF
代入各项表达式，并整理，得
r21 ( sp ) = A21n2 p1
13
… …(1)
14
爱因斯坦系数关系（2） 爱因斯坦系数关系（2
根据黑体辐射理论，有 … …(2) 其中，h为 Planck常数，c 为真空中的光速，nr 为材料 其中，h Planck常数，c 为真空中的光速，n 的有效折射率。该公式推导:见江剑平的书pp32-34 的有效折射率。该公式推导: 见江剑平的书pp32比较（1）和（2）式，得 比较（1 ）和（2
net
伯纳德－杜拉福格关系（1） 伯纳德－杜拉福格关系（1
净受激发射速率：
r21 ( st ) = r21 ( st ) − r12 ( abs )
利用爱因斯坦系数关系，得
r21 ( st )
net
B21 = B12 = B
Z ( E21 ) = 8πnr E21 h 3c 3
3 2
受激发射产生条件：净受激发射速率大于零。
爱因斯坦系数关系
15
即： ( f 2 − f1 ) > 0
16
伯纳德－杜拉福格关系（2） 伯纳德－杜拉福格关系（2
将 f2 和 f1 代入，并整理：
净受激发射速率与光增益
设光强度为I的光沿着z方向传播，见右图 设光强度为I的光沿着z 单位长度光强度的增加量与原光强的比定义为增益系数g 单位长度光强度的增加量与原光强的比定义为增益系数g
EFc − E Fv > E2 − E1 = E21
此式为Bernard-Duraffourg relation， 此式为Bernardrelation， 即：半导体激光器的粒子数反转分布条件 即：半导体激光器的粒子数反转分布条件 物理意义：导带能级上被电子占据的几率必须大于与 物理意义：导带能级上被电子占据的几率必须大于与 辐射跃迁相联系的价带能级上被电子占据的几率，只 有这时在紧靠导带底和价带顶的与辐射跃迁相联系的 能量范围内才能实现粒子数的反转。 因为 E Fc − E Fv = qV 所以 qV > E g
dI = gI dz
I = vE21n ph ( E21 )
……（1） ……（
I
I + dI
g的单位为cm-1 的单位为cm
……（2） ……（
dz
v为光在材料中的群速度，忽略色散时，v=c/nr, nr为材料的 为光在材料中的群速度，忽略色散时，v=c/n 折射率，E21为光子能量，nph(E21)为光子密度 折射率，E 为光子能量，n
E 21 = hν ≅ E g
即要求PN结所加的正向偏压大于Eg/q 17 即要求PN结所加的正向偏压大于E
dn ( E ) dI = vE21 ph 21 dt dt dn ph ( E21 ) net 为单位时间光子数的变化，即为净受激发射速率 r21 ( st ) 为单位时间光子数的变化，即为净受激发射速率 18 dt
3
(接前一页) 接前一页)
dn ( E ) dI = vE21 ph 21 dt dt
而
(接前一页) 接前一页)
= vE21r21 ( st )
net
……（3） ……（
将 r21 ( st ) 代入（5）式中 得 代入（5
g= r21 ( st ) nr n ph ( E21 ) c
net
net
dI dt dI = dz dz dt
=(
1 dI dz −1 dI = ) dt dt v dt
……（4） ……（
由前面的（1）和（2）式，得 由前面的（1）和（2
dI = gI = gvE21n ph ( E21 ) dz
由（3）、（4）和
（5）式 得 由（3）、（4）和（5
……（5） ……（
光增益系数与导带和价带的态密度成正比； 与材料的能带、温度及注入水平有关，关系反应在（f2 －f1）项中。 引入光限制因子（见下一页）后，光增益系数的表达式为：
g=
r21 ( st ) nr n ph ( E21 ) c
net
……（6） ……（
19 20
光限制因子
总的净受激发射速率和总增益
令 E21=E=hν ， E2=E〞,E1=Eˊ, 对 =E=hν =E〞 =Eˊ 于满足光子能量为E=hν 的所有跃 于满足光子能量为E=hν 迁，Eˊ=E〞- E 迁，E =E〞
hν hν hν
光限制因子定义为： Γ =
∫ ∫
h
0 ∞
E ( x) dx E ( x) dx
2
2
将净受激发射速率及增益表达式中的E21 ，E2 和E1 分别 将净受激发射速率及增益表达式中的E 用E， E〞和Eˊ代替，并对E〞进行积分，即得总的净 代替，并对E 受激发射速率Rnet(E)和总增益g(E) 受激发射速率R (E) 和总增益g(E)
R net (E ) = n ph ( E )
−∞
∫
∞
Ec
Bρ c ( E ′′) ρ v ( E ′)[ f 2 ( E ′′) − f1 ( E ′)]d ( E ′′)
光限制因子反应了光场的泄漏，它相当于受激发 射的有效面积减小
21
g (E ) =
nr c
∫
∞
Ec
Bρ c ( E ′′) ρ v ( E ′)[ f 2 ( E ′′) − f1 ( E ′)]d ( E ′′)
22
净受激吸收速率与光吸收
设光强度为I的光沿着z方向传播，见右图 设光强度为I的光沿着z 由于吸收，单位长度光强度的减少量与原光强的比定义为吸收系 数 α
增益谱
高注入时， 增益为正值，即产生放大 低注入时， 增益为负值，即为吸收
− dI = αI dz
I
-1
I − dI
的单位为cm α 的单位为cm
dz
净受激吸收速率：
net net r12 (abs ) = r12 (abs ) − r21 ( st ) = −r21 ( st )
增益峰值随注入载流子浓度的增加而增加，并向高能量方向移动 原因： 由于带填充效应（band filling effect)，载流子被填充到高能态，而 由于带填充效应（band effect)，载流子被填充到高能态，而 高能态的态密度比低能态的态密度大，所以，增益峰向高能量方向 移动且增益变大。
α = −g
23
24
4
光子在谐振腔内的振荡
1. 激光器的阈值增益 设光子以如下的平面电磁波在谐振腔内传播
(接前一页) 接前一页) 令 n′ = α
g 为增益系数，α i 为介质的内部损耗
阈值条件要求光子在谐振腔内 往返一次，总的效果是不产生 损耗而维持稳定的振荡或形成 驻波。即：
4π
λ0
，α 为广义损耗系数， α
= −g + αi
L
~ E ( z ) = E0 exp(−ik z )
~ n
L2 A L L1
~ ~ k = n k0
~ n = n − in′
~ 为介质的复折射率，n n 为介质的复折射率，n为介质的折射率，虚部
n′ 为损耗，k0=2π/λ0 为真空中的波数， λ0 为真 为损耗，k =2π
空中的波长
~ r1r2 E0 exp(−ik 2 L) = E0
r1
0
r2
z
~ r1r2 exp(−ik 2 L) = 1
~ k = ( n − in′) k0
25
r1、r2为场光场在两个谐振腔面上的场反
射系数
26
(接前一页) 接前一页)
r1r2 exp( −i
4πn
λ0
L) ⋅ exp[( g − α i ) L] = 1
……（1） ……（ 激光器的阈值条件
(接前一页) 接前一页)
g th = α i +
r1r2 exp[( g − α i ) L] = 1 exp( −i 4πn
1 1 ln( ) 2 L R1 R2
激光器的阈值增益
λ0
L) = 1
……（2） ……（ 激光器的谐振条件
上式右边第一项为内部损耗，包括介质对光子的吸收、 散射等；右边第二项为腔面损耗，即激光器的输出。 上式的物理意义：当光子从单位长度介质所获得的增益 上式的物理意义：当光子从单位长度介质所获得的增益 等于或大于介质的内部损耗及腔面损耗时，开始形成激 射。 当R1＝R2＝R时，上式简化为
由（1）式可以得到阈值增益为 由（1
g th = α i +
1 1 ln( ) L r1r2
功率反射系数R1＝ r1r1*， R2＝ r2r2*， r1*和 r2*是相应的共轭 功率反射系数R 复数，在低损耗介质中，忽略反射相移，有r1=R1 ½,r2=R2 ½ 复数，在低损耗介质中，忽略反射相移，有r 将场反射系数r1、r2用功率反射系数替代 将场反射系数r 27
g th = α i +
1 1 ln( ) L R
28
2. 谐振腔内稳定振荡条件 根据ppt 26页方程（2） 根据ppt 26页方程（2
半导体激光器的纵模
exp( −i 4πnL
4πn
λ0
L) = 1
λ0
λ0
= 2 qπ
=q
q = 1, 2, 3…整数 3…
2nL
上式的物理意义：若形成稳定振荡的驻波，光子在谐振 上式的物理意义：若形成稳定振荡的驻波，光子在谐振 腔内来回一周所经历的光程必须是波长的整数倍。每一 个 q值对应光子的一个振荡频率或波长，或者说对应一 个纵模模式。 29
单纵激射模
多纵激射模
30
5
3. 纵模间距
例题：
2nL
λ0
=q
2nL = qλ0
……（1） ……（
对上式两边取微分
2 Ldn = λ0 dq + qdλ0
……（2） ……（
对于发射波长为980nm ，腔长为300μm 对于发射波长为980nm ，腔长为300μ 的半导体异质结 GaAs/AlGaAs激光器， GaAs GaAs/AlGaAs激光器， 的折射率为3.7，在谐振腔内有多少个模式？ 的折射率为3.7，在谐振腔内有多少个模式？ 相邻模式间的纵模间距是多少（忽略色散的影 响）？如果激光器的增益谱在大于激光器损耗 的谱宽度为△λg=5nm，那么，有多少个模式可 的谱宽度为△ g=5nm，那么，有多少个模式可 以激射？如果腔长为30μm，有多少个模式可 以激射？如果腔长为30μ 以激射？
对相邻的两个模式，取dq=-1, 并由（1）中解出q，代 对相邻的两个模式，取dq= 并由（1 ）中解出q 入（2）则可得纵模间隔dλ0 入（2 ）则可得纵模间隔d
解： 根据 2nL=qλ，
dλ0 =
2nL[1 − (
λ2 0 λ0
n
q=
2nL
λ
λ2
2nL
=
2 × 3.7 × 3 ×105 nm = 2265.3 980nm
)(
dn )] dλ 0
模式数取整数，为2265 模式数取整数，为2265
dn dn 为材料的色散，当 = 0时 dλ0 dλ 0
dλ0 =
λ2 0
2nL
31
根据
dλ =
=
(980nm) 2 ≈ 0.433nm 2 × 3.7 × 3 ×105 nm
32
例题续 激射的模式数 =
Δλ g 5nm = ≈ 11.5 dλ 0.433nm
推导激光器阈值增益的另外一种方法
光强为I(z)的光沿着z方向传播，经过dz距 光强为I(z)的光沿着z 方向传播，经过dz距 离后，增益引起的光强的增加量dIg与 I(z) 离后，增益引起的光强的增加量dI I(z) 和dz成比例，即 dz成比例，即
所以，激射的模式数为11 所以，激射的模式数为11 当腔长为30μm时， 当腔长为30μ
I
I + dI g − dIα i
dI g = gI ( z )dz
式中g为增益系数。 式中g
(980nm) 2 λ = ≈ 4.33nm dλ = 2nL 2 × 3.7 × 3 ×10 4 nm
2
dz
Δλ g 5nm 激射的模式数 = = ≈ 1.2 dλ 4.33nm
所以，激射的模式数为1，即单纵模激射 所以，激射的模式数为1
33
同样，光强为I(z)的光沿着z方向传播，经过dz距离后，因内部损耗 同样，光强为I(z)的光沿着z 方向传播，经过dz距离后，因内部损耗 而引起的光强的减小量dIg为 而引起的光强的减小量dI
dI α i = α i I ( z )dz
式中 α i为内部损耗系数。
34
光强为I(z) 的光沿着z方向传播dz距离后，光强的总变化量 光强为I(z) 的光沿着z 方向传播dz距离后，光强的总变化量 dI(z)为: dI(z)
半导体激光器谐振腔的形成
F-P 腔激光器的谐振腔面是利用晶体的晶面，通过解理得 到的。 晶体的解理，就是当晶体受到定向机械应力的作用时，可 以平行于一个或几个平整面裂开的性质。这些平整的平面 被称为解理面。解理面符合晶面指数的规定法则，并常常 被称为解理面。解理面符合晶面指数的规定法则，并常常 是晶体构造的低指数面。 是晶体构造的低指数面。
z z z
dI ( z ) = ( g − α i ) I ( z )dz
对上式积分得：
I ( z ) = I 0 exp( g − α i ) z
I0为z=0时的光强 =0时的光强
设谐振腔内 A 处的光强为 IA ，要使 在谐振腔内实现激射，光强为IA的 在谐振腔内实现激射，光强为I 光经过两次镜面反射后回到A处时 光经过两次镜面反射后回到A 的光强应等于或大于IA，即 的光强应等于或大于I
L
~ n
L2 A L L1
R1 R2 I A exp[( g − α i )2 L] = I A
1 1 gth = α i + ln 2 L R1R2
R1
0
R2
35
y z x
y
y
(1 0 0)
x
(1 1 0)
x
(1 1 1)
36
6
确定晶体解理面的方法：
1. 看晶体在各个方向上键结合方式是否有很大的差异，键 结合较弱的晶面必然是解理面。如石墨。 2. 如果晶体在各个方向上键结合方式相同，就要考虑晶体 相邻晶面间的键密度（单位面积上作用的键数）的大 小，键密度小的必然是解理面。金刚石结构中主要解理 面 的 键 密 度 ： （ 111 ） 面 为 4/(31/2a2); （ 110 ） 面 为 4/(21/2a2); （221）面为5/(1.55a2); （100）面为4/(a2)。 221）面为5/(1.55a 100）面为4/(a 3. 对于带有离子键的晶体，晶面间的作用，键密度的大小
不是唯一的因素，还应考虑相邻晶面间的静电作用。如 GaAS，InP的（111）面为极性面，静电作用大，不是 GaAS， InP的（111）面为极性面，静电作用大，不是 解理面。（110）面为解理面。 解理面。（110）面为解理面。 37
[11-2]Si, [-1100]GaN [-110]Si, [11-20]GaN
90o
90o
解理腔面
38
作业（1） 作业（1
直接跃迁： 1. 2. 证明：对于形成同质结半导体激光器的p型和n型材料 证明：对于形成同质结半导体激光器的p 型和n 必须有一个或两个是重掺杂。 在半导体激光器中，对于光子能量为E=hν 的 辐射，在 在半导体激光器中，对于光子能量为E=hν 考虑价带和导带具有一定宽度的条件下，推导粒子数反 考虑价带和导带具有一定宽度的条件下，推导粒子数反 转条件及光增益的表达式。 如果激光器输出的光子能量等于禁带宽度，求腔长为 150 微米的GaAs激光器中两个相邻共振方式间的波长 微米的GaAs激光器中两个相邻共振方式间的波长 间隔。 推导阈值增益公式 • 能量守恒
跃迁选择定则（1） 跃迁选择定则（1
• 动量守恒
3.
4.
式中， k和k’分别为电子初态和终态的波矢，kL为光子的 分别为电子初态和终态的波矢，k 波矢，kL=2π/λ，kL约为104cm-1数量级，而与简约布里渊 波矢，k =2π 约为10 区所涉及的电子波矢为108cm-1量级，因此，kL可以忽略 量级，因此，k 区所涉及的电子波矢为10 不计，有
40
39
直接带隙半导体
间接跃迁： • 能量守恒
跃迁选择定则（2） 跃迁选择定则（2
• 动量守恒 式中， k和k’分别为电子初态和终态的波矢，kL为光子的 分别为电子初态和终态的波矢，k 波矢，q为声子波矢，“＋”和“－”分别对应吸收和发射波 波矢，q 为声子波矢，“ 矢为q的声子。kL可以忽略不计，有 矢为q 的声子。k
受激吸收
自发发射
受激发射
41
有电子、光子和声子参与的间接跃迁是二级微扰过程跃迁几率比直 接跃迁小得多，因此，间接带隙材料不能用来做发光材料
42
7
间接带隙半导体
光发射 光吸收
折合态密度
折合态密度：ρred ( E ) 量纲：[体积⋅能量]-1 量纲：[ 体积⋅ 能量] 单位能量间隔中，两自旋方向之一的电子参与光跃迁的密度。 也同时受到 k 选择定则的限制，即跃迁时上下能级间的波矢 k 和自旋都要相同。 若发生跃迁的能量范围在导带为δE2 ， 在价带δE1 则分别对应此能量的能态数为 ρ c⋅δE2 和 ρ v⋅δE1 因为能够发生跃迁的每一对能级具有相同的波矢，所以能级对的 数目为： δZ= ρ c⋅δE2= ρ v⋅δE1
向下跃迁时，除了发射光子还有声子的参与，所以间接带 隙半导体发光效率很低。 为什么很多间接带隙半导体也可以被用来作光探测器？ 为什么
很多间接带隙半导体也可以被用来作光探测器？
43
δ 再考虑到自旋必须相同，则实际发生跃迁的能级对的数目为：Z/2 −1 δZ 2 1⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ + 折合态密度可以表示为： ρ red (E ) = 2 ⎝ ρc ρv ⎟ δE1 + δE 2 ⎠
44
1.受激发射速率 1.受激发射速率
增益系数与电流密度的关系
• 在满足粒子数反转条件时，即f2>f1 ，半导体材料中开 在满足粒子数反转条件时，即f 始有增益。而粒子数反转条件是靠外加注入电流来实现 的，增益并不是半导体材料本身的属性。所以，增益系 数与注入电流密度存在一定的关系。原则上，它们之间 的关系可以通过求解增益系数的积分和自发辐射速率来 得到，但要精确地得到态密度（ρc ， ρv ）和爱因斯 得到，但要精确地得到态密度（ρ 坦系数 B21 是困难的。为了能够更直观地把宏观的参量 电流密度与微观的光子增益过程联系起来，根据增益与 电流密度的曲线（见下一页ppt)，对增益系数和电流密 电流密度的曲线（见下一页ppt) 度之间的关系半经验的定量估计。
45 46
r21 ( st ) = B21n2 p1n ph ( E21 )
2.受激吸收速率 2.受激吸收速率
r12 ( abs) = B12 p2 n1n ph ( E21 )
3.自发发射速率 3.自发发射速率
r21 ( sp ) = A21n2 p1
300
T1
g (cm-1)
根据右图，采用线性近 似 ，给出增 益系数与电流 密度之间的关系式：
T2 T3
200
根据上式，增益系数与注入载流子浓度之间的关系 还可以表示为：
100
′ g = β (Jn − J0 )
g = g 0 (n − n0 )
其中，g0为光增益常数，n0是对应刚好满足粒子 其中，g 为光增益常数，n 数反转条件增益由负值转为正值的载流子密度，定义 为透明载流子浓度。 透明载流子浓度。 考虑到限制因子时，
0
2
4
6
8
10
其中， β 为光增益常数，它代表 材料增益系数与注入电流密度线性 关系的斜率，也称作微分增益系 数； J’0 是增益曲线在电流密度坐标上的 截距，对应刚好满足粒子数反转条 件 (Fc-Fv=hν), 增 益 由 负 值 转 为 正值 的电流密度，定义为透明电流密度。 的电流密度，定义为透明电流密度
Jn (kA·cm-2)
图 GaAs在不同温度下的最 GaAs在不同温度下的最 大光增益系数g与电流密度 大光增益系数g Jn的关系曲线
′ g = Γβ ( J n − J 0 ) g = Γg 0 (n − n0 )
47
48
8
速率方程（1） 速率方程（1
速率方程：是描述半导体激光器在外界作用下（电注入， 速率方程：是描述半导体激光器在外界作用下（电注入， 光注入），电子与空穴复合产生光子时,载流子浓度与光子 光注入），电子与空穴复合产生光子时, 密度随时间的变化，它包括载流子浓度和光子密度随时间 变化两个方程
速率方程（2）
回顾 dn dn = 连续性方程基本形式
dt
dt
trspt
−R+G
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
S n dS = g (n) S − + β sp τ ph τr dt
……（1） ……（
载流子速率方程
dn dn dε d 2n = μ nε + μn n + Dn 2 − R + G dt dx dx dx
在漂移过程中，由于载流子浓度不均匀而引起的载流子积累 在不均匀电场中，因漂移速度随位置的变化而引起的载流子积累 由于扩散密度的不均匀而引起的载流子积累 由于复合（辐射复合和非辐射复合）而引起的载流子减少
……（2） ……（
受激发射光子速率方程
J 为电流密度，d是有源区厚度，g(n) 为光增益，S为激 为电流密度，d 是有源区厚度，g(n) 为光增益，S 光的光子密度，n为载流子浓度， τn 为载流子寿命（包 光的光子密度，n 括自发辐射和非辐射复合）， τph为光子寿命， β sp自发 辐射耦合因子，τr辐射复合寿命
49
由于注入的电流而引起的载流子产生
50
速率方程（3）
载流子速率方程的推导：
接前一页
dn dn dε d 2n = μ nε + μn n + Dn 2 − R + G dt dx dx dx
假设：（1）载流子分布均匀； 假设：（1 （2）电场分布均匀。
dn = −R + G dt
－R为由于复合而引起的载流子减少。 它包括两项： （1）受激辐射复合： g ( n) S
dn = −R + G dt
G= J ed
g (n) = Γg 0 (n − n0 )
……（1） ……（ （2）自发辐射复合和非辐射复合： 而
51
（Г为光限制因子）
n
G是由于电流的注入而引起的载流子的产生 ……（2） ……（
τn
52
1
τn
=
1
τr
+
1
τ nr
τr为自发辐射寿命，τnr为非辐射复 为自发辐射寿命，τ 合寿命
接前一页 由
速率方程（4）
dn = −R + G dt
受激发射光子速率方程
− R = − g ( n) S −
G= J ed
n
τn
dS S n = g (n) S − + β sp dt τ ph τr
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
右边第一项g(n)S是由于受激辐射引起的光子增加 右边第一项g(n)S是由于受激辐射引起的光子增加 第二项(-S/τph)是由于腔内吸收和激光器腔外发射引起光 第二项( 子的减少 载流子速率方程 第三项 β sp(n/τr) 是部分自发辐射耦合到激射模式中，而 (n/ 引起光子的增加
53 54
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
9
阈值电流密度
阈值电流密度Jth（阈值电流Ith）：激光器开始发生激射 阈值电流密度J （阈值电流I 时的电流密度（电流）定义为阈值电流密度（阈值电 流）。 Ith=Jth×A ， A 为 激 光 器 发 光 区 （有源区）注入电流的面积 由载流子速率方程
接前一页
n=
J ⋅τ n ed
物理意义：激光器在受激发射之前，所注入的载流子全部 物理意义：激光器在受激发射之前，所注入的载流子全部 用于自发辐射和非辐射复合。 上式，在激光器受激辐射之前都满足，因此，有
dn J n = − g ( n) S − dt ed τn
J th =
ed
τn
nth
当J≤Jth时，受激发射的光子密度很少，可以忽略，
即S=0 时，受激发射的光子密度很少，可以忽略，即S=0 在稳态状态下，dn/dt=0 在稳态状态下，dn/dt=0
nth为阈值载流子浓度
0=
J n − ed τ n
55
56
阈值载流子浓度
由受激发射光子的速率方程
接前一页
g ( n) =
1
τ ph
n=
dS S n = g (n) S − + β sp dt τ ph τr
当J≥Jth时，对于一般半导体激光器,自发辐射耦合因子很 时，对于一般半导体激光器, 小，βsp≈10-5，先暂时忽略。 先暂时忽略。 小，β 在稳态状态下，dS/dt=0 在稳态状态下，dS/dt=0
而
g (n) = Γg 0 (n − n0 )
1 + n0 Γg 0τ ph
在阈值时，上式同样成立，因此，阈值载流子浓度nth 在阈值时，上式同样成立，因此，阈值载流子浓度n
nth =
1 + n0 Γg 0τ ph
0 = g ( n) S −
S
τ ph
57
物理意义：在稳态状态下，由增益产生的光子刚好维持 物理意义：在稳态状态下，由增益产生的光子刚好维持 激光器的损耗（内部损耗和腔面损耗－激光器光输出）
式中，光限制因子Г与激光器各层的厚度和折射率有 式中，光限制因子Г 关，g0与温度有关，τph与光子的损耗有关。当激光器 关，g 与温度有关，τ 已经制作完成后，这些参数基本不变或变化很小。 见下一页
58
接前一页 因此，有 n=nth=常数 见右图 由
阈值电流密度与有源区厚度关系
nth =
J th =
载流子浓度与注入电流 密度的关系曲线
1 + n0 Γg 0τ ph
ed
在激光器阈值电流之前，载流子 浓度随电流密度的增加而增加；到达 阈值电流后，载流子浓度被钳制在阈 值载流子浓度处，不再增加。阈值载 流子浓度以上的那部分注入载流子全 部用于激光器输出。
τn
ed (
nth
1 + n0 )
AlxGa1-xAs/GaAs 双 异 质 结 的 光限制因子与有源区厚度的关 系曲线
J th =
τ n Γg 0τ ph
阈值电流密度与光限制因子和有源区厚度等因素有关，由 图可以看出，在d较小时，Г与d2是成比例。 图可以看出，在d 较小时，Г
59 60
10
接前一页 ed 1 J th = ( + n0 ) = A + B τ n Γg 0τ ph
载流子浓度及光子密度与电流密度的关系
稳态速率方程，即dn/dt=0, dS/dt=0时的速率方程 稳态速率方程，即dn/dt=0, dS/dt=0时的速率方程
A=
ed
τn
n0
B=
ed
τn
⋅
1 Γg 0τ ph
dn J n − g ( n) S − 0 = dt ed τn
S n dS + β sp 0 = g (n) S − τ ph τr dt
1. 忽略自发辐射耦合的影响，即令βsp=0 J>Jth时，S>0，由（1）得 J>J 时，S>0，由（1
……（1） ……（ ……（2） ……（
画出Jth-d的关系曲线，见右 画出J 图。为得到小的阈值电流密 度，有源区的厚度有一个最 佳值。
S=
J n 1 ( − ) g ( n) ed τ n
由（2）得 由（2
61
g ( n) =
1
τ ph
62
接前一页
载流子浓度及光子密度与电流密度的关系曲线（βsp=0） =0） ……（1） ……（ 当J
J n S = τ ph ( − ) ed τ n
n=
当 J>Jth
时，载流子浓度 n 被钳制在阈值载流子浓度 nth J>J 处，即
Jτ n ed J thτ n ed
S =0
n = nth
而
J th =
ed
τn
nth
n = nth =
J thτ n ed
……（2） ……（
当J>Jth时， J>J
n = nth =
S=
τ ph
ed
( J − J th )
将（2）代入（1），得 将（2 ）代入（1
S=
τ ph
ed
n - J曲线
S - J曲线
( J − J th )
……（3） ……（ 此公式的前提：J>Jth 此公式的前提：J>J
63 64
2. 考虑自发辐射耦合的影响，即 βsp≠0
接前一页 将（3）代入（1）、（2）中，得 将（3 ）代入（1 ）、（2 ……（1） ……（
0=
稳态速率方程：
J n − g ( n) S − ed τn
S
0 = g ( n) S −
τ ph
+ β sp
n
τr
……（2） ……（
方程中τn为载流子寿命（包括自发辐射和非辐射复合）
J n = Γg 0 (n − n0 ) S + ed τn S S n = Γg 0 (n − n0 ) S + + β sp τ ph τ ph τn
n=
S=
1
τn
而
=
1
τr
+
1
τ nr
τr为自发辐射寿命，τnr为非辐射复 为自发辐射寿命，τ 合寿命
忽略非辐射复合时，τn=τr 忽略非辐射复合时，τ
g (n) = Γg 0 (n − n0 )
β sp X − X 2 −Y Γg 0τ n 2(1 − β sp ) − ( X − X 2 − Y )
nth (X − X 2 −Y ) 2(1 − β sp )
……（3） ……（
65
式中
X = 1+
J n − β sp 0 J th nth
Y = 4(1 − β sp )
J J th
66
11
载流子浓度及光子密度与电流密度的关系曲线（βsp≠0）
n - J曲线
S - J曲线
光功率（W） P = h ν ⋅ v g ⋅ A ⋅ S = h ν ⋅ ( c / n R ) ⋅ A ⋅ S 光功率（W
式中，hv为光子能量，vg为光在介质中得速度，S为光子密度， 式中，hv为光子能量，v 为光在介质中得速度，S A为面积＝有源区厚度×有源区的宽度， 为面积＝有源区厚度×
67
12