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代数几何综合题（一）
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）(x
（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC ⊥PB , BO ⊥PO
∴∠CPA +∠OPB =90︒, ∠PBO +∠OPB =90︒∴∠CPA =∠PBO
，C （2，y ）在直线a 上 A （2，0）
∴∠BOP =∠PAC =90︒
∴∆BOP ~∆PAC
∴
PO BO |x |2
，∴， ==
AC PA |y ||x |+2
x
x 2=
y 2-x
1
∴y =-x 2+x
2
（2） x
33
当x =-1时，y =-，∴CA =
22
BO //a ，∴∆BOQ ~∆CAQ , ∴
OQ BO
= AQ CA
设Q 点坐标为(m ，0) ，则AQ =2-m
雪慧教育 m 28∴=，∴m = 2-m 37
28
∴Q 点坐标为(，0)
7
说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习
1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.
(1)求证：CD ∥AO ；（3分）
(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分）
B 2．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x1，0) 、(x2，O) ，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m-3=O的两根，且x 1
(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；
(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.
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3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
① 如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标；
② 在①中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P ，B 在抛物线y =x 2+bx +c 上，求b ，c 的值； ③ 若将纸片沿直线l 对折，点B 落在坐标轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ，若点
Q 在②的抛物线上，求l 的解析式。 4、（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。 ①求直线AC 的解析式；
②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线y =-
82
x +kx 上，求k 的值； 5
③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
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5．已知：在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 边上的一点，沿直线DE 将矩形折叠，使C 点落在AB 边上的C 点处。过C ′作C ′H ⊥DC ，C ′H 分别交DE 、DC 于点G 、H ，连结CG 、CC ′，CC ′交GE 于点F 。
（1） 求证：四边形CGC ′’E 为菱形； （2）
C ' E +DG
设sin ∠CDE =x ，并设y =，试将y 表示成x 的函数；
DE
（3） 当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC 的长
能力训练
2
1、已知抛物线y =x -2x -m (m >0) 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。
（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；
（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。
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2、如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴、y 轴分别相交于
A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．注：抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) ⎛b 4ac -b 2的顶点坐标为 -2a , 4a
⎝
⎫⎪． ⎪⎭
（1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；
（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
3、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x，点P 到AB 的距离为y 。 （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。
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4、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合) ．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．
(1)设AE=x，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式；
(2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大? 最大值是多少?
5、如图，在直角坐标系中，点M 在y 轴的正半轴上，⊙M 与x 轴交于A ，B 两点，AD 是⊙M 的直径，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点C. 已知点A 的坐标为（－3，0），点C 的坐标为（5，0）.
（1）求点B 的坐标和CD 的长；
（2）过点D 作DE ∥BA ，交⊙M 于点E ，连结AE ，求AE 的长.
6．如图，已知：AB 是定圆的直径，O 是圆心，点C 在⊙O 的半径AO 上运动，PC ⊥AB 交⊙O 于E ，交AB 于C ，PC=5。PT 是⊙O 的切线(T为切点) 。 (1)当CE 正好是⊙O 的半径时，PT=3，求⊙O 的半径； (2)当C 点与A 点重合时，求CT 的长；
(3)设PT 2=y，AC=x，写出y 关于x 的函数关系式，并确定x 的取值范围
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代数几何综合题（一）
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）(x
（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC ⊥PB , BO ⊥PO
∴∠CPA +∠OPB =90︒, ∠PBO +∠OPB =90︒∴∠CPA =∠PBO
，C （2，y ）在直线a 上 A （2，0）
∴∠BOP =∠PAC =90︒
∴∆BOP ~∆PAC
∴
PO BO |x |2
，∴， ==
AC PA |y ||x |+2
x
x 2=
y 2-x
1
∴y =-x 2+x
2
（2） x
33
当x =-1时，y =-，∴CA =
22
BO //a ，∴∆BOQ ~∆CAQ , ∴
OQ BO
= AQ CA
设Q 点坐标为(m ，0) ，则AQ =2-m
雪慧教育 m 28∴=，∴m = 2-m 37
28
∴Q 点坐标为(，0)
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说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习
1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.
(1)求证：CD ∥AO ；（3分）
(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分）
B 2．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x1，0) 、(x2，O) ，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m-3=O的两根，且x 1
(2)设点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m 的值；
(3)在上述条件下，若点D 在第二象限，△DAB ≌△CBA ，求出直线AD 的函数解析式.
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3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
① 如图，将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，求点D 的坐标；
② 在①中，设BD 与CE 的交点为P ，若点P ，B 在抛物线y =x 2+bx +c 上，求b ，c 的值； ③ 若将纸片沿直线l 对折，点B 落在坐标轴上的点F 处，l 与BF 的交点为Q ，若点
Q 在②的抛物线上，求l 的解析式。 4、（2005年绍兴）一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。 ①求直线AC 的解析式；
②若M 为AC 与BO 的交点，点M 在抛物线y =-
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x +kx 上，求k 的值； 5
③将纸片沿CE 对折，点B 落在x 轴上的点D 处，试判断点D 是否在②的抛物线上，并说明理由。
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5．已知：在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 边上的一点，沿直线DE 将矩形折叠，使C 点落在AB 边上的C 点处。过C ′作C ′H ⊥DC ，C ′H 分别交DE 、DC 于点G 、H ，连结CG 、CC ′，CC ′交GE 于点F 。
（1） 求证：四边形CGC ′’E 为菱形； （2）
C ' E +DG
设sin ∠CDE =x ，并设y =，试将y 表示成x 的函数；
DE
（3） 当（2）中所求得的函数的图象达到最高点时，求BC 的长
能力训练
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1、已知抛物线y =x -2x -m (m >0) 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。
（1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）；
（2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。
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2、如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴、y 轴分别相交于
A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ．注：抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) ⎛b 4ac -b 2的顶点坐标为 -2a , 4a
⎝
⎫⎪． ⎪⎭
（1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积；
（3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
3、如图，Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P 是AC 上的动点（P 不与A 、C 重合）设PC=x，点P 到AB 的距离为y 。 （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）试讨论以P 为圆心，半径为x 的圆与AB 所在直线的位置关系，并指出相应的x 的取值范围。
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4、如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一点(点E 与点A ，D 不重合) ．BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 于N ．
(1)设AE=x，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式；
(2)当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大? 最大值是多少?
5、如图，在直角坐标系中，点M 在y 轴的正半轴上，⊙M 与x 轴交于A ，B 两点，AD 是⊙M 的直径，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点C. 已知点A 的坐标为（－3，0），点C 的坐标为（5，0）.
（1）求点B 的坐标和CD 的长；
（2）过点D 作DE ∥BA ，交⊙M 于点E ，连结AE ，求AE 的长.
6．如图，已知：AB 是定圆的直径，O 是圆心，点C 在⊙O 的半径AO 上运动，PC ⊥AB 交⊙O 于E ，交AB 于C ，PC=5。PT 是⊙O 的切线(T为切点) 。 (1)当CE 正好是⊙O 的半径时，PT=3，求⊙O 的半径； (2)当C 点与A 点重合时，求CT 的长；
(3)设PT 2=y，AC=x，写出y 关于x 的函数关系式，并确定x 的取值范围
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