游梁式抽油机是以游梁支点和曲柄轴中心的连线做固定杆,以曲柄,连杆和 游梁后臂为三个活动杆所构成的四连结构。 1.1 四连杆机构运动分析:
图1
复数矢量法: 为了对机构进行运动分析,先建立坐标系,并将各构件表示为杆矢量。结构 封闭矢量方程式的复数矢量形式:
l1ei1 l2ei2 l3ei3 l4
应用欧拉公式 ei cos i sin 将(1)的实部、虚部分离,得
(1)
l1 cos 1 l2 cos 2 l4 l3 cos 3 l1 sin 1 l2 sin 2 l3 sin 3
由此方程组可求得两个未知方位角 2 , 3 。 当要求解 3 时,应将 2 消去可得
2 2 2 l2 l3 l4 l12 2l3l4 cos3 2l1l3 cos(3 1 ) 2l1l4 cos 1
(2)
(3)
解得
tan(3 / 2) ( B A2 B 2 C 2 ) / ( A C )
(4) (5)
2 arctan
B l3 sin 3 A l3 cos 3
A l4 l1 cos 1
其中: B l1 sin 1
C
2 A2 B 2 l32 l2 2l3
(4)式中负号对应的四连杆机构的图形如图 2 所示,在求得 3 之后,可利用(5)求 得 2 。
图2
由于初始状态 1 有个初始角度, 定义为 10 , 因此, 我们可以得到关于 1 10 t ,
是曲柄的角速度。而通过图形 3 分析,我们得到 OA 的角度 3
因 此 悬 点 E 的 位 移 公 式 为 s | OA | , 速 度 v
a dv d 2 s d 2 2 | OA | 2 。 dt dt dt
2
10 。
ds d | OA | ,加速度 dt dt
图3
已知附录 4 给出四连杆各段尺寸,前臂 AO=4315mm,后臂 BO=2495mm, 连 杆 BD=3675mm , 曲 柄 半 径 O’D=R=950mm , 根 据 已 知 条 件 我 们 推 出 | OO' | | O' D || OB | | BD | 违背了抽油系统的四连结构基本原则。为了合理解释 光杆悬点的运动规律,我们对四连结构进行简化,可采用简谐运动、曲柄滑块结 构进行研究。 1.2 简化为简谐运动时的悬点运动规律 一般我们认为曲柄半径|O’D|比连杆长度|BD|和游梁后臂|OA|小很多,以至于 它与|BD|、|OA|的比值可以忽略。此时,游梁和连杆的连接点 B 的运动可以看为 简谐运动,即认为 B 点的运动规律和 D 点做圆周运动时在垂直中心线上的投影 的运动规律相同。则 B 点经过时间 t 时的位移 sB 为
sB r (1 cos ) r (1 cos t )
其中 是曲柄转角;
曲柄角速度; t 时间。
因此,悬点 A 的位移 s A
| OA | | OA | ' sB | O D | (1 cos t ) | OB | | OB |
A 点的速度为
A
A 点的加速度为
ds A | OA | ' | O D | sin t dt | OB |
aA
d A | OA | ' | O D | 2 cos t dt | OB |
图4
图5
图6
1.3 简化为曲柄滑块结构的选点运动规律 由于简谐运动只能在不太精确的近似计算和分析中应用,而在实际中抽油机
的曲柄/杆长值不能忽略不计,特别是冲程长度较大时,忽略会引起很大误差。 把 B 点绕游梁支点的弧线运动看做直线运动,则四杆运动可被简化为图所示的 曲柄滑块运动。
0 时,游梁与连杆的连接点 B 在 B’点,为距曲柄轴心最远的位置,相应
于悬点 A 的下死点。 180 时,游梁与连杆的连接点 B 在 B’’点,为距曲柄轴 心最远的位置,相应于悬点 A 的上死点。因此,我们有 | O' B' || BD | | OD' | ,
| O' B'' || BD | | OD' | ,B 点的最大位移 sB 2 | O' D | 。
B 点在任意时刻的位移 sB 为
sB | BB' || O' B' | | O' B | 1 | O' D | | O' B |
在 O' DB 中有:
| O' B || O'C | | BC || O' D | cos | BD | cos
则
sB | BD | | O' D | | O ' D | cos | BD | cos | O' D | [1 cos
式中
1
(1 cos )]
| O' D | 。 | BD |
sB | O ' D | (1 cos
通过转化分析,我们得到 B 点的位移:
2
sin 2 )
则 sA 为
s A sB | OA | | OA | | O' D | (1 cos sin 2 ) | OB | 2 | OB |
速度 A 为
A
ds A | OA | | O ' D | (sin sin 2 ) dt 2 | OB |
加速度 aA 为
aA d A | OA | 2 | O ' D | (cos cos 2 ) dt | OB |
2 2u ( x, t ) u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a c 2 2 t x t
a 是波动速度英尺/秒; c 是阻尼系数,1/秒; t 是时间,单位是秒; x 是在无限制杆离光杆之间的距离,单位是英尺;
u ( x, t ) 抽油杆离平衡位置的位移。
c
2L
无因次阻尼;
L x1 x2 ...xm 杆的总长度(英尺)。
PRhp 光杆马力;
4.42 102 L( PRhp Hhp)T 2 ( A1 x1 A2 x2 ... Am xm )S 2
Hhp 液压泵马力;
T 抽运周期;
A1 , A2 ,..., An 每个杆的面积; x1 , x2 ,..., xm 杆的区间长度;
S 杆的负载。
D(t ) L(t ) Wr
0
2
n cos nt n sin nt
n 1
和
U (t )
0
2
vn cos nt n sin nt
n 1
是角速度;
D(t ) 动态光杆负载函数; L(t ) 总负载函数;
Wr 流动的杆重;
U (t ) 光杆的位移函数。
2 D (t ) cos ntdt , n 0,1, 2,..., n 0 2 D (t ) sin ntdt , n 0,1, 2,..., n 1 n 0
1
n
把 t 得
1
n
对于一个数学例子, 是个离散变量
2 D( ) cos n dt , n 0,1, 2,..., n 0
2 p , p 0,1, 2,..., K K D 2 p DD K
采用简单的标记
我们可以用梯形公式写出
2n 0 2n 1 2n 1 2n 2 D1 cos D1 cos D2 cos D0 cos K K K K ...
1 2 2 2 1 n 2n ( K 1) 2n K K DK cos DK 1 cos K K 2
因此,我们可以得出
1
n
D cos(2n ) 2 D0 cos 0 2n 2n 2 。 D1 cos D2 cos ... K K 2 2 K K
对于周期函数,由于 cos 0 cos 2n ,则我们得到 D0 Dk ,即
2 K 2n p Dp cos , n 0,1,..., n 1 n K p 1 K
同样得到其他傅里叶展开系数
1 n
2 K 2n p Dp sin , n 1, 2,..., n K p 1 K
1n
2 K1 2n p U p sin , n 0,1,..., n K1 p 1 K1
2 K1 2n p U p sin , n 1, 2,..., n 1 n K1 p 1 K1
通过分离变量法求解,得到特征根的形式
n n in
其中
2
n c n 1 1 a 2 n
和
n
通过变化分析,我们得到
n c 1 1 a 2 n
2
D(t ) EA (kn n n n ) cos nt (kn n n n )sin nt n 1 n 1
因此,我们有充分的利用定义新的常数
n EA(knn n n ), n 0,1, 2,...
n EA(kn n nn ), n 1, 2,...
0 2EA
通过上述方程我们得到
kn
n n n n , n 1, 2,3,... 2 EA( n n2 )
n
通过上面一系列的推导,我们得到
n n n n , n 1, 2,3,... 2 EA( n n2 )
u ( x, t )
0
2 EA
0
2
(On ( x) cos nt Pn ( x)sin nt )
n 1
其中
On ( x) (kn cosh n x n sinh n x)sin n x (n cosh n x n sinh n x)cos n x P n ( x) (kn sinh n x n cosh n x)sin n x (n sinh n x n cosh n x)sin n x
根据胡可定理,力 F ( x, t ) 可以被计算为
F ( x, t ) EA
因此,我们得到
u ( x, t ) x
' F ( x, t ) EA 0 (On ( x) cos nt Pn' ( x)sin nt ) 2EA n1
其中
' On ( x) n sinh n x ( n n n n ) cosh n x sin n x EA n EA cosh n x (n n n n )sinh n x cos n x
和
Pn' ( x) n cosh n x ( n n n n )sinh n x cos n x EA n EA sinh n x (n n n n ) cosh n x sin n x
工程量的递归计算
j 1 0
v
j
0xj
EAj
j 0
j 1 n j 1
v j On ( x j )
n j Pn ( x j )
j 1 j 1 j 1
0 j 0
' n EAj j On (x j )
n EAj j Pn' ( x j )
j 1
j 1 n
k
n n j 1 n n 2 EAj 1 (
n n2 ) n n j 1 n n 2 EAj 1 ( n n2 )
j 1
n
j 1
j 1
On ( x j 1 ) ( j 1 kn cosh n x j 1 j 1 n sinh n x j 1 )sin n x j 1 ( j 1 n sinh n x j 1 j 1 n cosh n x j 1 ) cos n x j 1 P ( x j 1 ) ( j 1 kn sinh n x j 1 j 1 n cosh n x j 1 ) cos n x j 1 ( j 1 n cosh n x j 1 j 1 n sinh n x j 1 )sin n x j 1
j 1 n
j 1
j 1 n ' On ( x j 1 ) sinh n x j 1 ( j 1 n n j 1 n n ) cosh n x j 1 sin n x j 1 EAj 1 j 1 n cosh n x j 1 ( j 1n n j 1 n n ) sinh n x j 1 cos n x j 1 EAj 1
' j 1 n
j 1 n P ( x j 1 ) cosh n x j 1 ( j 1 n n j 1 n n ) sinh n x j 1 cos n x j 1 EAj 1 j 1 n sinh n x j 1 ( j 1n n j 1 n n ) cosh n x j 1 sin n x j 1 EAj 1
此处, j 1, 2,..., m 1, n 1, 2,..., n 。 因此,泵的位移和负载用下列公式计算
u( xm , t )
m
0
2EAm
xm
m
0
2
(m On ( xm ) cos nt m Pn ( xm )sin nt )
n 1
n
n ' F ( xm , t ) EAm m 0 (m On ( xm ) cos nt m Pn' ( xm )sin nt ) 2 EAm n1
上冲程悬点静载荷 由于游动阀关闭, 悬点静载荷主要包括柱塞上、 下流体压力及抽油杆柱重力。 1) 抽油杆柱在空气中的重力:
Wr Ar gLp r
式中:
Wr 抽油杆柱在空气中的重力, KN ; Ar 抽油杆截面积, m 2 ;
r 抽油杆密度, t / m3 ;
g 重力加速度;
Lp 抽油杆柱长度
2) 泵排出压力
p0 pt LP L g
式中:
pt 井口压力, kpa
L 液体密度
3) 吸入压力 上冲程时的沉没压力导致井内液体流入泵中,此时液流所具有的压力即吸入 压力,此压力作用在柱塞底部,产生的载荷方向向上:
pt ps pr
式中:
ps 沉没压力, kpa ; pr 流体通过泵入口设备产生的压力降, m 。
将以上三个力综合可得出上冲程的静载荷:
Wup Wr p0 ( Ap Ar ) pt A Wr ' WL' ( pt pc ) Ap pt Ar
由于上冲程时井口回压与套压造成的悬点载荷方向相反,故可近似为相互抵消, 因此上冲悬点载荷可简化为下式
Wup Wr ' WL'
下冲程悬点载荷 下冲程时,游动阀打开使得柱塞上下的液体连通,抽油杆柱受到向上的浮力
作用。因此,下冲程时抽油杆柱在液体中的重力等于自身重力减去浮力。而液柱 荷载通过固定阀作用在油管上,不作用在悬点上。所以下冲
程悬点载荷为:
Wdown Wr' pt Ar
迭代计算 通过分析我们知道,计算阻尼系数必须预先知道泵功图,但是要知道泵功图必须 预先知道阻尼系数,故采用迭代法解决这个问题,首先,先给一个任选一个初值
c0 ,根据 c0 求泵功图,再用式子求 c0 。
游梁式抽油机是以游梁支点和曲柄轴中心的连线做固定杆,以曲柄,连杆和 游梁后臂为三个活动杆所构成的四连结构。 1.1 四连杆机构运动分析:
图1
复数矢量法: 为了对机构进行运动分析,先建立坐标系,并将各构件表示为杆矢量。结构 封闭矢量方程式的复数矢量形式:
l1ei1 l2ei2 l3ei3 l4
应用欧拉公式 ei cos i sin 将(1)的实部、虚部分离,得
(1)
l1 cos 1 l2 cos 2 l4 l3 cos 3 l1 sin 1 l2 sin 2 l3 sin 3
由此方程组可求得两个未知方位角 2 , 3 。 当要求解 3 时,应将 2 消去可得
2 2 2 l2 l3 l4 l12 2l3l4 cos3 2l1l3 cos(3 1 ) 2l1l4 cos 1
(2)
(3)
解得
tan(3 / 2) ( B A2 B 2 C 2 ) / ( A C )
(4) (5)
2 arctan
B l3 sin 3 A l3 cos 3
A l4 l1 cos 1
其中: B l1 sin 1
C
2 A2 B 2 l32 l2 2l3
(4)式中负号对应的四连杆机构的图形如图 2 所示,在求得 3 之后,可利用(5)求 得 2 。
图2
由于初始状态 1 有个初始角度, 定义为 10 , 因此, 我们可以得到关于 1 10 t ,
是曲柄的角速度。而通过图形 3 分析,我们得到 OA 的角度 3
因 此 悬 点 E 的 位 移 公 式 为 s | OA | , 速 度 v
a dv d 2 s d 2 2 | OA | 2 。 dt dt dt
2
10 。
ds d | OA | ,加速度 dt dt
图3
已知附录 4 给出四连杆各段尺寸,前臂 AO=4315mm,后臂 BO=2495mm, 连 杆 BD=3675mm , 曲 柄 半 径 O’D=R=950mm , 根 据 已 知 条 件 我 们 推 出 | OO' | | O' D || OB | | BD | 违背了抽油系统的四连结构基本原则。为了合理解释 光杆悬点的运动规律,我们对四连结构进行简化,可采用简谐运动、曲柄滑块结 构进行研究。 1.2 简化为简谐运动时的悬点运动规律 一般我们认为曲柄半径|O’D|比连杆长度|BD|和游梁后臂|OA|小很多,以至于 它与|BD|、|OA|的比值可以忽略。此时,游梁和连杆的连接点 B 的运动可以看为 简谐运动,即认为 B 点的运动规律和 D 点做圆周运动时在垂直中心线上的投影 的运动规律相同。则 B 点经过时间 t 时的位移 sB 为
sB r (1 cos ) r (1 cos t )
其中 是曲柄转角;
曲柄角速度; t 时间。
因此,悬点 A 的位移 s A
| OA | | OA | ' sB | O D | (1 cos t ) | OB | | OB |
A 点的速度为
A
A 点的加速度为
ds A | OA | ' | O D | sin t dt | OB |
aA
d A | OA | ' | O D | 2 cos t dt | OB |
图4
图5
图6
1.3 简化为曲柄滑块结构的选点运动规律 由于简谐运动只能在不太精确的近似计算和分析中应用,而在实际中抽油机
的曲柄/杆长值不能忽略不计,特别是冲程长度较大时,忽略会引起很大误差。 把 B 点绕游梁支点的弧线运动看做直线运动,则四杆运动可被简化为图所示的 曲柄滑块运动。
0 时,游梁与连杆的连接点 B 在 B’点,为距曲柄轴心最远的位置,相应
于悬点 A 的下死点。 180 时,游梁与连杆的连接点 B 在 B’’点,为距曲柄轴 心最远的位置,相应于悬点 A 的上死点。因此,我们有 | O' B' || BD | | OD' | ,
| O' B'' || BD | | OD' | ,B 点的最大位移 sB 2 | O' D | 。
B 点在任意时刻的位移 sB 为
sB | BB' || O' B' | | O' B | 1 | O' D | | O' B |
在 O' DB 中有:
| O' B || O'C | | BC || O' D | cos | BD | cos
则
sB | BD | | O' D | | O ' D | cos | BD | cos | O' D | [1 cos
式中
1
(1 cos )]
| O' D | 。 | BD |
sB | O ' D | (1 cos
通过转化分析,我们得到 B 点的位移:
2
sin 2 )
则 sA 为
s A sB | OA | | OA | | O' D | (1 cos sin 2 ) | OB | 2 | OB |
速度 A 为
A
ds A | OA | | O ' D | (sin sin 2 ) dt 2 | OB |
加速度 aA 为
aA d A | OA | 2 | O ' D | (cos cos 2 ) dt | OB |
2 2u ( x, t ) u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a c 2 2 t x t
a 是波动速度英尺/秒; c 是阻尼系数,1/秒; t 是时间,单位是秒; x 是在无限制杆离光杆之间的距离,单位是英尺;
u ( x, t ) 抽油杆离平衡位置的位移。
c
2L
无因次阻尼;
L x1 x2 ...xm 杆的总长度(英尺)。
PRhp 光杆马力;
4.42 102 L( PRhp Hhp)T 2 ( A1 x1 A2 x2 ... Am xm )S 2
Hhp 液压泵马力;
T 抽运周期;
A1 , A2 ,..., An 每个杆的面积; x1 , x2 ,..., xm 杆的区间长度;
S 杆的负载。
D(t ) L(t ) Wr
0
2
n cos nt n sin nt
n 1
和
U (t )
0
2
vn cos nt n sin nt
n 1
是角速度;
D(t ) 动态光杆负载函数; L(t ) 总负载函数;
Wr 流动的杆重;
U (t ) 光杆的位移函数。
2 D (t ) cos ntdt , n 0,1, 2,..., n 0 2 D (t ) sin ntdt , n 0,1, 2,..., n 1 n 0
1
n
把 t 得
1
n
对于一个数学例子, 是个离散变量
2 D( ) cos n dt , n 0,1, 2,..., n 0
2 p , p 0,1, 2,..., K K D 2 p DD K
采用简单的标记
我们可以用梯形公式写出
2n 0 2n 1 2n 1 2n 2 D1 cos D1 cos D2 cos D0 cos K K K K ...
1 2 2 2 1 n 2n ( K 1) 2n K K DK cos DK 1 cos K K 2
因此,我们可以得出
1
n
D cos(2n ) 2 D0 cos 0 2n 2n 2 。 D1 cos D2 cos ... K K 2 2 K K
对于周期函数,由于 cos 0 cos 2n ,则我们得到 D0 Dk ,即
2 K 2n p Dp cos , n 0,1,..., n 1 n K p 1 K
同样得到其他傅里叶展开系数
1 n
2 K 2n p Dp sin , n 1, 2,..., n K p 1 K
1n
2 K1 2n p U p sin , n 0,1,..., n K1 p 1 K1
2 K1 2n p U p sin , n 1, 2,..., n 1 n K1 p 1 K1
通过分离变量法求解,得到特征根的形式
n n in
其中
2
n c n 1 1 a 2 n
和
n
通过变化分析,我们得到
n c 1 1 a 2 n
2
D(t ) EA (kn n n n ) cos nt (kn n n n )sin nt n 1 n 1
因此,我们有充分的利用定义新的常数
n EA(knn n n ), n 0,1, 2,...
n EA(kn n nn ), n 1, 2,...
0 2EA
通过上述方程我们得到
kn
n n n n , n 1, 2,3,... 2 EA( n n2 )
n
通过上面一系列的推导,我们得到
n n n n , n 1, 2,3,... 2 EA( n n2 )
u ( x, t )
0
2 EA
0
2
(On ( x) cos nt Pn ( x)sin nt )
n 1
其中
On ( x) (kn cosh n x n sinh n x)sin n x (n cosh n x n sinh n x)cos n x P n ( x) (kn sinh n x n cosh n x)sin n x (n sinh n x n cosh n x)sin n x
根据胡可定理,力 F ( x, t ) 可以被计算为
F ( x, t ) EA
因此,我们得到
u ( x, t ) x
' F ( x, t ) EA 0 (On ( x) cos nt Pn' ( x)sin nt ) 2EA n1
其中
' On ( x) n sinh n x ( n n n n ) cosh n x sin n x EA n EA cosh n x (n n n n )sinh n x cos n x
和
Pn' ( x) n cosh n x ( n n n n )sinh n x cos n x EA n EA sinh n x (n n n n ) cosh n x sin n x
工程量的递归计算
j 1 0
v
j
0xj
EAj
j 0
j 1 n j 1
v j On ( x j )
n j Pn ( x j )
j 1 j 1 j 1
0 j 0
' n EAj j On (x j )
n EAj j Pn' ( x j )
j 1
j 1 n
k
n n j 1 n n 2 EAj 1 (
n n2 ) n n j 1 n n 2 EAj 1 ( n n2 )
j 1
n
j 1
j 1
On ( x j 1 ) ( j 1 kn cosh n x j 1 j 1 n sinh n x j 1 )sin n x j 1 ( j 1 n sinh n x j 1 j 1 n cosh n x j 1 ) cos n x j 1 P ( x j 1 ) ( j 1 kn sinh n x j 1 j 1 n cosh n x j 1 ) cos n x j 1 ( j 1 n cosh n x j 1 j 1 n sinh n x j 1 )sin n x j 1
j 1 n
j 1
j 1 n ' On ( x j 1 ) sinh n x j 1 ( j 1 n n j 1 n n ) cosh n x j 1 sin n x j 1 EAj 1 j 1 n cosh n x j 1 ( j 1n n j 1 n n ) sinh n x j 1 cos n x j 1 EAj 1
' j 1 n
j 1 n P ( x j 1 ) cosh n x j 1 ( j 1 n n j 1 n n ) sinh n x j 1 cos n x j 1 EAj 1 j 1 n sinh n x j 1 ( j 1n n j 1 n n ) cosh n x j 1 sin n x j 1 EAj 1
此处, j 1, 2,..., m 1, n 1, 2,..., n 。 因此,泵的位移和负载用下列公式计算
u( xm , t )
m
0
2EAm
xm
m
0
2
(m On ( xm ) cos nt m Pn ( xm )sin nt )
n 1
n
n ' F ( xm , t ) EAm m 0 (m On ( xm ) cos nt m Pn' ( xm )sin nt ) 2 EAm n1
上冲程悬点静载荷 由于游动阀关闭, 悬点静载荷主要包括柱塞上、 下流体压力及抽油杆柱重力。 1) 抽油杆柱在空气中的重力:
Wr Ar gLp r
式中:
Wr 抽油杆柱在空气中的重力, KN ; Ar 抽油杆截面积, m 2 ;
r 抽油杆密度, t / m3 ;
g 重力加速度;
Lp 抽油杆柱长度
2) 泵排出压力
p0 pt LP L g
式中:
pt 井口压力, kpa
L 液体密度
3) 吸入压力 上冲程时的沉没压力导致井内液体流入泵中,此时液流所具有的压力即吸入 压力,此压力作用在柱塞底部,产生的载荷方向向上:
pt ps pr
式中:
ps 沉没压力, kpa ; pr 流体通过泵入口设备产生的压力降, m 。
将以上三个力综合可得出上冲程的静载荷:
Wup Wr p0 ( Ap Ar ) pt A Wr ' WL' ( pt pc ) Ap pt Ar
由于上冲程时井口回压与套压造成的悬点载荷方向相反,故可近似为相互抵消, 因此上冲悬点载荷可简化为下式
Wup Wr ' WL'
下冲程悬点载荷 下冲程时,游动阀打开使得柱塞上下的液体连通,抽油杆柱受到向上的浮力
作用。因此,下冲程时抽油杆柱在液体中的重力等于自身重力减去浮力。而液柱 荷载通过固定阀作用在油管上,不作用在悬点上。所以下冲
程悬点载荷为:
Wdown Wr' pt Ar
迭代计算 通过分析我们知道,计算阻尼系数必须预先知道泵功图,但是要知道泵功图必须 预先知道阻尼系数,故采用迭代法解决这个问题,首先,先给一个任选一个初值
c0 ,根据 c0 求泵功图,再用式子求 c0 。