DOI ：10.3969/j.issn.1001-8972.2011.21.006
泰勒公式在极限中的应用
泰勒公式在解决具体的数学问题的时候有着重要的作用，它的一般形式为
:
在求极限的过程中就有好几种形式可以借助于泰勒公式来解决，本文主要介绍泰勒公式在极限中的几种具体的应用。
1、利用泰勒展开求极限
在求极限的过程中可以将其中一项进行泰勒展开，将原问题转
化为多项式的形式求极限。
3
、泰勒公式在变上限积分的等价无穷小替换中的应用
2
、求满足泰勒公式的θ的极限
象的出现增加了沉降预测的难度和复杂性。
正是由于实际观测到的曲线形状并非假设的理想曲线形态，并不完全符合假设曲线的特征，这也是在利用这些方法进行沉降预测时误差较大和预测结果不稳定的主要原因。
1.4非等时间间距
所谓非等时间间距是指由不同施工阶段的观测频率不一致或者观测条件的限制所造成的。沉降观测的频率的取决于沉降量的大小、加载方法和观测目等，通常要求观测的次数能反映出沉降变化的过程，又不遗漏变化的时刻[3]；观测频率还要与位移速率相适应，位移越小，观测频率也可减慢，反之，位移越大，观测频率越要加快[2]，另外，沉降观测还受到天气等观测条件的限制，这也是沉降数据非等时间间距的因素之一。
如在深厚超软土地区建设的江苏省淮盐高速公路淮安段，其软土局部厚度最大可达到26. 3m ，部分路段采用真空联合堆载预压；在抽真空的初期，沉降量相当的大，部分断面中心沉降点日沉降量达到20mm ，所以要求在抽真空初期的一段时间内每三天观测一次，在抽真空中后期和路堤填筑期，沉降量与初期相比有所减小，观测时间间隔可以适当加大，可每7～10天观测一次；在预压期初期的观测频率一般控制在10天左右，以后每月观测两次，在路面施工期，分底基层、基层和油面层三期施工，依据设计厚度，每层分为一次到两次碾压，该阶段沉降量较为平稳，观测频率为每做一层观测一次，若下层与上层间的施工间隔较长，则随时间的长短增加观测次数。
正是由于沉降观测的频率变化和观测条件等制约测量因素的影响，造成沉降观测数据的不等时间间距。
所以，在利用Asaoka 法，灰色GM(1.1)模型等基于实测沉降数据的方法进行沉降预测时，首先要对沉降数据进行等间距处理，如在文献[5][6]中作者分别采用抛物线插值和线性插值的方法实现实测数据的等间距化处理。
1.5沉降数据非观测原因失真
非观测原因造成沉降数据失真的主要原因是：沉降标的破坏及不稳定、工作水准基点的不稳定和缺失数据的插补三个方面。
1.5.1沉降标的破坏及不稳定
在路堤铺设碾压期间，沉降标被车辆碾压出现弯曲等损坏，但并未被观测人员及时发现，仍继续进行观测，就会造成观测数据失真。
另外，路面期需要开挖通讯电缆沟，原填筑预压期的沉降标将被破坏掉或被覆盖，为了保证在路面期沉降观测顺利进行以及工后继续对沉降进行观测，改由在原测点位置重新埋设沉降墩进行观测，但在沉降墩的不规范埋设会造成沉降观测数据失真。
本文结合江苏省数条高速公路建设过程总沉降观测工作的经验，一般会出现以下3种形式的失真情况：图2-a 为沉降墩在埋设时由于底部土体未压实或者虚土未清除干净，造成在观测期间桩体自身下沉，图2-b 为回填土未压实，在雨水等作用下桩周土体固结下沉产生负摩阻力造成的桩体下沉，造成数据失真；图3-c 为由于桩体埋设深度不够，在外力作用下产生倾斜造成的观测数据失真。图中△s 为沉降墩原因产生的位移。在沉降观测中，由于无法估计其大小，这部分位移被计入路堤产生的总沉降中，造成实测沉降数据失真。
所以，沉降墩在埋设时应该特别注意，
埋设一定要规范，确保有足够的深度埋入地下，并注意保护，以防外界因素对其破坏影
响沉降观测。
图2 非观测原因造成观测数据失真
示意图
1. 5. 2工作水准基点不稳定
沉降观测的水准点在路堤填筑的初期阶段采用工作基桩，工作基桩打设在变形区外，桩身埋入土中10m 以上，水准点应选在垂直于路中心线50m 以外[2][3]。路堤提升到一定高度以后，为了减少沉降观测由地面水准点传递到路面的高差影响以及观测工作的方便的进行，一般将工作水准点传递到设有钻孔灌注桩的耳墙桥角上；在这种情况下，一般认为设置有钻孔灌注桩的耳墙桥角是不发生沉降的；但在实际观测中发现过桥头下沉，水准点不稳定的现象，如果在观测过程中不及时发现这些问题并进行水准点校核，必然会造成沉降数据失真，所以必须对水准工作基点进行定期的校核，以保证沉降观测数据的准确。
1. 5. 3缺失数据的插补
沉降数据的插补也是实测数据失真的主要原因。沉降标如果被施工车辆压坏、沉降板节管被盗或者沉降板改为沉降墩的过程中间隔时间较长，修补不及时均会造成该期不能观测，导致数据缺失。在工程实际中，为了保证实测沉降数据及沉降时间曲线的完整性，在沉降数据整理时一般通过插补沉降数据来保证其完整性，插补数据一般方法是使用临近点或者从左中右观测点中选取关联较强的点作为该点的沉降量，造成该测点的沉降数据失真。所以对破坏的沉降标的修复工作应该及时准确地进行。
2 结论
1）本文主要结合江苏省数条修建于软土地区高速公路沉降观测的工程实践，分析了实测沉降数据以及由沉降数据构成的沉降-时间曲线的特征，分析了产生这些特征的原因以及今后沉降观测中应该避免的问题；2）指出了利用实测沉降数据进行沉降推算、参数反演等计算时，要首先对实测沉降数据进行等间距化、误差处理、曲线的光滑拟合、消噪滤波等预处理，以保证预测和计算的精度与可靠性。
参考文献
［１］丁建奇，王永安等．高速公路超软地基处理设计及施工［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００６．
［２］白忠良，徐泽中等．高等级公路软基沉降观测的精度指标及观测规范化问题［Ｊ］．水利水电科技进展，１９９８，１８（２）．
［３］ＪＴＪ０１７－９６，公路软土路基路堤设计与施工技术规范［Ｓ］．
［４］龚晓南．高等土力学［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，１９９６．
［５］王志亮，黄景忠，李永池．沉降预测中的Ａｓａｏｋａ法应用研究［Ｊ］．岩土力学，２００６，（１１）．［６］罗旭，胡晓民，高学斌．灰色理论在沉降监测信息系统中的应用［Ｊ］．工业建筑，２００６，（Ｓ１）作者简介
孙迅(1983-) , 男，硕士研究生，主要从事地质体稳定与安全监测，变形数据处理方面的研究。工作单位：国核电力规划设计研究院
。
除了在极限中，泰勒公式在求导数、定积分的证明、不等式的证明、级数敛散性判断、求近似值等一系列题型中都有着广泛的应用。
参考文献
［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．
［２］陈丽，王海霞．泰勒公式的应用［Ｊ］．廊坊师范学院学报（自然科学版），２００９，９（２）：２０－２３．
［３］傅秋桃．谈谈泰勒公式的几点应用［Ｊ］．郧阳师范高等专科学校学报，２００６，２６（３）：９－１０．
［４］王三宝．泰勒公式的应用列举［Ｊ］．高等函授学报（自然科学版），２００５，１９（３）：３１－３３．作者简介
蒋政（1983-），女，江苏宜兴人，硕士，无锡科技职业学院基础部助教，主要从事高等数学等数学课程教学研究。
DOI ：10.3969/j.issn.1001-8972.2011.21.006
泰勒公式在极限中的应用
泰勒公式在解决具体的数学问题的时候有着重要的作用，它的一般形式为
:
在求极限的过程中就有好几种形式可以借助于泰勒公式来解决，本文主要介绍泰勒公式在极限中的几种具体的应用。
1、利用泰勒展开求极限
在求极限的过程中可以将其中一项进行泰勒展开，将原问题转
化为多项式的形式求极限。
3
、泰勒公式在变上限积分的等价无穷小替换中的应用
2
、求满足泰勒公式的θ的极限
象的出现增加了沉降预测的难度和复杂性。
正是由于实际观测到的曲线形状并非假设的理想曲线形态，并不完全符合假设曲线的特征，这也是在利用这些方法进行沉降预测时误差较大和预测结果不稳定的主要原因。
1.4非等时间间距
所谓非等时间间距是指由不同施工阶段的观测频率不一致或者观测条件的限制所造成的。沉降观测的频率的取决于沉降量的大小、加载方法和观测目等，通常要求观测的次数能反映出沉降变化的过程，又不遗漏变化的时刻[3]；观测频率还要与位移速率相适应，位移越小，观测频率也可减慢，反之，位移越大，观测频率越要加快[2]，另外，沉降观测还受到天气等观测条件的限制，这也是沉降数据非等时间间距的因素之一。
如在深厚超软土地区建设的江苏省淮盐高速公路淮安段，其软土局部厚度最大可达到26. 3m ，部分路段采用真空联合堆载预压；在抽真空的初期，沉降量相当的大，部分断面中心沉降点日沉降量达到20mm ，所以要求在抽真空初期的一段时间内每三天观测一次，在抽真空中后期和路堤填筑期，沉降量与初期相比有所减小，观测时间间隔可以适当加大，可每7～10天观测一次；在预压期初期的观测频率一般控制在10天左右，以后每月观测两次，在路面施工期，分底基层、基层和油面层三期施工，依据设计厚度，每层分为一次到两次碾压，该阶段沉降量较为平稳，观测频率为每做一层观测一次，若下层与上层间的施工间隔较长，则随时间的长短增加观测次数。
正是由于沉降观测的频率变化和观测条件等制约测量因素的影响，造成沉降观测数据的不等时间间距。
所以，在利用Asaoka 法，灰色GM(1.1)模型等基于实测沉降数据的方法进行沉降预测时，首先要对沉降数据进行等间距处理，如在文献[5][6]中作者分别采用抛物线插值和线性插值的方法实现实测数据的等间距化处理。
1.5沉降数据非观测原因失真
非观测原因造成沉降数据失真的主要原因是：沉降标的破坏及不稳定、工作水准基点的不稳定和缺失数据的插补三个方面。
1.5.1沉降标的破坏及不稳定
在路堤铺设碾压期间，沉降标被车辆碾压出现弯曲等损坏，但并未被观测人员及时发现，仍继续进行观测，就会造成观测数据失真。
另外，路面期需要开挖通讯电缆沟，原填筑预压期的沉降标将被破坏掉或被覆盖，为了保证在路面期沉降观测顺利进行以及工后继续对沉降进行观测，改由在原测点位置重新埋设沉降墩进行观测，但在沉降墩的不规范埋设会造成沉降观测数据失真。
本文结合江苏省数条高速公路建设过程总沉降观测工作的经验，一般会出现以下3种形式的失真情况：图2-a 为沉降墩在埋设时由于底部土体未压实或者虚土未清除干净，造成在观测期间桩体自身下沉，图2-b 为回填土未压实，在雨水等作用下桩周土体固结下沉产生负摩阻力造成的桩体下沉，造成数据失真；图3-c 为由于桩体埋设深度不够，在外力作用下产生倾斜造成的观测数据失真。图中△s 为沉降墩原因产生的位移。在沉降观测中，由于无法估计其大小，这部分位移被计入路堤产生的总沉降中，造成实测沉降数据失真。
所以，沉降墩在埋设时应该特别注意，
埋设一定要规范，确保有足够的深度埋入地下，并注意保护，以防外界因素对其破坏影
响沉降观测。
图2 非观测原因造成观测数据失真
示意图
1. 5. 2工作水准基点不稳定
沉降观测的水准点在路堤填筑的初期阶段采用工作基桩，工作基桩打设在变形区外，桩身埋入土中10m 以上，水准点应选在垂直于路中心线50m 以外[2][3]。路堤提升到一定高度以后，为了减少沉降观测由地面水准点传递到路面的高差影响以及观测工作的方便的进行，一般将工作水准点传递到设有钻孔灌注桩的耳墙桥角上；在这种情况下，一般认为设置有钻孔灌注桩的耳墙桥角是不发生沉降的；但在实际观测中发现过桥头下沉，水准点不稳定的现象，如果在观测过程中不及时发现这些问题并进行水准点校核，必然会造成沉降数据失真，所以必须对水准工作基点进行定期的校核，以保证沉降观测数据的准确。
1. 5. 3缺失数据的插补
沉降数据的插补也是实测数据失真的主要原因。沉降标如果被施工车辆压坏、沉降板节管被盗或者沉降板改为沉降墩的过程中间隔时间较长，修补不及时均会造成该期不能观测，导致数据缺失。在工程实际中，为了保证实测沉降数据及沉降时间曲线的完整性，在沉降数据整理时一般通过插补沉降数据来保证其完整性，插补数据一般方法是使用临近点或者从左中右观测点中选取关联较强的点作为该点的沉降量，造成该测点的沉降数据失真。所以对破坏的沉降标的修复工作应该及时准确地进行。
2 结论
1）本文主要结合江苏省数条修建于软土地区高速公路沉降观测的工程实践，分析了实测沉降数据以及由沉降数据构成的沉降-时间曲线的特征，分析了产生这些特征的原因以及今后沉降观测中应该避免的问题；2）指出了利用实测沉降数据进行沉降推算、参数反演等计算时，要首先对实测沉降数据进行等间距化、误差处理、曲线的光滑拟合、消噪滤波等预处理，以保证预测和计算的精度与可靠性。
参考文献
［１］丁建奇，王永安等．高速公路超软地基处理设计及施工［Ｍ］．北京：人民交通出版社，２００６．
［２］白忠良，徐泽中等．高等级公路软基沉降观测的精度指标及观测规范化问题［Ｊ］．水利水电科技进展，１９９８，１８（２）．
［３］ＪＴＪ０１７－９６，公路软土路基路堤设计与施工技术规范［Ｓ］．
［４］龚晓南．高等土力学［Ｍ］．杭州：浙江大学出版社，１９９６．
［５］王志亮，黄景忠，李永池．沉降预测中的Ａｓａｏｋａ法应用研究［Ｊ］．岩土力学，２００６，（１１）．［６］罗旭，胡晓民，高学斌．灰色理论在沉降监测信息系统中的应用［Ｊ］．工业建筑，２００６，（Ｓ１）作者简介
孙迅(1983-) , 男，硕士研究生，主要从事地质体稳定与安全监测，变形数据处理方面的研究。工作单位：国核电力规划设计研究院
。
除了在极限中，泰勒公式在求导数、定积分的证明、不等式的证明、级数敛散性判断、求近似值等一系列题型中都有着广泛的应用。
参考文献
［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．
［２］陈丽，王海霞．泰勒公式的应用［Ｊ］．廊坊师范学院学报（自然科学版），２００９，９（２）：２０－２３．
［３］傅秋桃．谈谈泰勒公式的几点应用［Ｊ］．郧阳师范高等专科学校学报，２００６，２６（３）：９－１０．
［４］王三宝．泰勒公式的应用列举［Ｊ］．高等函授学报（自然科学版），２００５，１９（３）：３１－３３．作者简介
蒋政（1983-），女，江苏宜兴人，硕士，无锡科技职业学院基础部助教，主要从事高等数学等数学课程教学研究。