一次函数与二次函数相结合的应用题
1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件. 商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
2、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系
y =-50x +2600，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如
下表：
月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m %，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．
5.831
5.916
6.0836.164）
3、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y =kx +b ，且x =65时，y =55；
x =75时，y =45．
（1）求一次函数y =kx +b 的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
4、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为
1
z =-(x -8) 2+12， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最
8
大？并求最大利润为多少？ )
5
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨，利润分别为y 1元和y 2元，分别求y 1和y 2 与x 的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，
求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？
6、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y 1（元）与销售月份x （月）满足关系式y =-每千克成本y 2（元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定b 、c 的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五〃一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ y 2
3
x +36，而其8
7. 某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．（利润= 售价﹣制造成本） （1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3 ）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
8、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克) •与销售单价x (元) (x 30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案) ．
9、某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x （元），年销售量为y （万件），当35≤x ＜50时，y 与x 之间的函数关系式为y=20﹣0.2x ；当50≤x ≤70时，y 与x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当50≤x ≤70时，求出甲种产品的年销售量y （万元）与x （元）之间的函数关系式． （2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W （万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x （元）在50≤x ≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m （元）的范围．
二次函数应用题答案
1、解：(1) （130-100）×80=2400（元）
（2）设应将售价定为x 元，则销售利润 y =(x -100)(80+
130-x
⨯20) 5
=-4x 2+1000x -60000=-4(x -125) 2+2500.
当x =125时，y 有最大值2500. ∴应将售价定为125元, 最大销售利润是2500元.
2、解：（1）设p 与x 的函数关系为p =kx +b (k ≠0) ，根据题意，得
⎧k +b =3.9，⎧k =0.1，
解得所以，p =0.1x +3.8． ⎨⎨
⎩5k +b =4.3. ⎩b =3.8.
设月销售金额为w 万元，则w =py =(0.1x +3.8)(-50x +2600) ． 化简，得w =-5x +70x +9800，所以，w =-5(x -7) 2+10125．
当x =7时，w 取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元． （2）去年12月份每台的售价为-50⨯12+2600=2000（元）， 去年12月份的销售量为0.1⨯12+3.8=5（万台），
根据题意，得2000(1-m %)⨯[5(1-1.5m %)+1.5]⨯13%⨯3=936． 令m %=t ，原方程可化为7.5t -14t +5.3=0．
2
2
．∴t 1≈0.528，t 2≈1.339（舍去） ∴t ==
答：m 的值约为52.8．
3、解：（1）根据题意得⎨
⎧65k +b =55，
解得k =-1，b =120．
⎩75k +b =45.
所求一次函数的表达式为y =-x +120．
（2）W =(x -60) (-x +120) =-x +180x -7200 =-(x -90) 2+900， 抛物线的开口向下，∴当x
2
∴当x =87时，W =-(87-90) 2+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
2
（3）由W =500，得500=-x +180x -7200，
2
整理得，x -180x +7700=0，解得，x 1=70，x 2=110．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x ≤87，所以，销售单价x 的范围是70≤x ≤87．
⎧20+2(x -1) =2x +18(1≤x
30 (6≤x ≤11)(x 为整数)......(4分) ⎩
（2）设利润为w
112⎧2
y -z =20+2(x -1) +(x -8) -12=x +14(1≤x
11⎪y -z =30+(x -8) 2-12=(x -8) 2+18(6≤x ≤11)(x 为整数)...... （8分）
⎪88⎩121x +14 当x =5 时，w 最大＝17....(9分) 88111w =(x -8) 2+18 当x =11 时，w 最大＝⨯9+18＝19.... （10分）
888
1
综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件19元…(10分
8w =
5．解： （1）依题意得：y 1=(2100-800-200) x =1100x ， y 2=(2400-1100-100) x -20000=1200x -20000，
（2）设该月生产甲种塑料x 吨，则乙种塑料(700-x ) 吨，总利润为W 元，依题意得： W =1100x +1200(700-x ) -20000=-100x +820000．
∵⎨
⎧x ≤400，
解得：300≤x ≤400．
⎩700-x ≤400，
∵-100
127⎧⎧25=⨯3+3b +c b =-1⎪⎪⎪⎪88
6、解：（1）由题意：⎨解得⎨
11⎪24=⨯42+4b +c ⎪c =29
⎪⎪8⎩2⎩
（2）y =y 1-y 2=-（3）y =-∵a =-
1313151⎫⎛1
x +36- x 2-x +29⎪=-x 2+x +6；
822882⎭⎝8
12311111
x +x +6=-(x 2-12x +36) +4+6=-(x -6) 2+11 8228822
1
由题意x
112
最大利润=-(4-6) +11=10（元）．
82
7、解：（1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（-2x+100 ）= -2x2+136x-1800 ，
∴z 与x 之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800 ；
（2 ）由z=350 ，得350= -2x2+136x -1800 ， 解这个方程得x 1=25 ，x 2=43 所以，销售单价定为25 元或43 元，
将z =-2x2+136x-1800 配方，得z=-2 （x-34 ）2+512 ，
此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万（3 ）结合（2 ）及函数z=-2x2+136x ﹣1800 的图象（如图所示）可当25≤x ≤43时z ≥350 ， 限价32 元，得25 ≤x ≤32 ，
一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小， x=32 时，每月制造成本最低
成本是18 ×（-2 ×32+100 ）=648 （万元）， 此，所求每月最低制造成本为648 万元．
8、解：⑴设y=kx+b由图象可知，
因元； 知， 又由根据∴当最低因
⎧30k +b =400
, ⎨
40k +b =200⎩⎧k =-20
， 解之得:⎨
⎩b =1000
即一次函数表达式为y =-20x +1000(30≤x ≤50) ．
) ⑵ P =(x -20) y =(x -20)(-20x +1000
=-20x +1400x -20000
∵a =-20
2
1400
=35时，P max =4500（元）
2⨯(-20)
2
（或通过配方，P =-20(x -35) +4500，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
⑶∵4180≤-20(x -35) +4500≤4480 1≤(x -35) ≤16 ∴31≤x•≤34或36≤x≤39．
2
2
一次函数与二次函数相结合的应用题
1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件. 商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
2、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系
y =-50x +2600，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如
下表：
月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m %，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）．
5.831
5.916
6.0836.164）
3、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y =kx +b ，且x =65时，y =55；
x =75时，y =45．
（1）求一次函数y =kx +b 的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．
4、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为
1
z =-(x -8) 2+12， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最
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大？并求最大利润为多少？ )
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（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨，利润分别为y 1元和y 2元，分别求y 1和y 2 与x 的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，
求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？
6、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y 1（元）与销售月份x （月）满足关系式y =-每千克成本y 2（元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．
（1）试确定b 、c 的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五〃一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ y 2
3
x +36，而其8
7. 某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．（利润= 售价﹣制造成本） （1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；
（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3 ）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
8、市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克) •与销售单价x (元) (x 30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案) ．
9、某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x （元），年销售量为y （万件），当35≤x ＜50时，y 与x 之间的函数关系式为y=20﹣0.2x ；当50≤x ≤70时，y 与x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当50≤x ≤70时，求出甲种产品的年销售量y （万元）与x （元）之间的函数关系式． （2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W （万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x （元）在50≤x ≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m （元）的范围．
二次函数应用题答案
1、解：(1) （130-100）×80=2400（元）
（2）设应将售价定为x 元，则销售利润 y =(x -100)(80+
130-x
⨯20) 5
=-4x 2+1000x -60000=-4(x -125) 2+2500.
当x =125时，y 有最大值2500. ∴应将售价定为125元, 最大销售利润是2500元.
2、解：（1）设p 与x 的函数关系为p =kx +b (k ≠0) ，根据题意，得
⎧k +b =3.9，⎧k =0.1，
解得所以，p =0.1x +3.8． ⎨⎨
⎩5k +b =4.3. ⎩b =3.8.
设月销售金额为w 万元，则w =py =(0.1x +3.8)(-50x +2600) ． 化简，得w =-5x +70x +9800，所以，w =-5(x -7) 2+10125．
当x =7时，w 取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元． （2）去年12月份每台的售价为-50⨯12+2600=2000（元）， 去年12月份的销售量为0.1⨯12+3.8=5（万台），
根据题意，得2000(1-m %)⨯[5(1-1.5m %)+1.5]⨯13%⨯3=936． 令m %=t ，原方程可化为7.5t -14t +5.3=0．
2
2
．∴t 1≈0.528，t 2≈1.339（舍去） ∴t ==
答：m 的值约为52.8．
3、解：（1）根据题意得⎨
⎧65k +b =55，
解得k =-1，b =120．
⎩75k +b =45.
所求一次函数的表达式为y =-x +120．
（2）W =(x -60) (-x +120) =-x +180x -7200 =-(x -90) 2+900， 抛物线的开口向下，∴当x
2
∴当x =87时，W =-(87-90) 2+900=891．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
2
（3）由W =500，得500=-x +180x -7200，
2
整理得，x -180x +7700=0，解得，x 1=70，x 2=110．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x ≤87，所以，销售单价x 的范围是70≤x ≤87．
⎧20+2(x -1) =2x +18(1≤x
30 (6≤x ≤11)(x 为整数)......(4分) ⎩
（2）设利润为w
112⎧2
y -z =20+2(x -1) +(x -8) -12=x +14(1≤x
11⎪y -z =30+(x -8) 2-12=(x -8) 2+18(6≤x ≤11)(x 为整数)...... （8分）
⎪88⎩121x +14 当x =5 时，w 最大＝17....(9分) 88111w =(x -8) 2+18 当x =11 时，w 最大＝⨯9+18＝19.... （10分）
888
1
综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件19元…(10分
8w =
5．解： （1）依题意得：y 1=(2100-800-200) x =1100x ， y 2=(2400-1100-100) x -20000=1200x -20000，
（2）设该月生产甲种塑料x 吨，则乙种塑料(700-x ) 吨，总利润为W 元，依题意得： W =1100x +1200(700-x ) -20000=-100x +820000．
∵⎨
⎧x ≤400，
解得：300≤x ≤400．
⎩700-x ≤400，
∵-100
127⎧⎧25=⨯3+3b +c b =-1⎪⎪⎪⎪88
6、解：（1）由题意：⎨解得⎨
11⎪24=⨯42+4b +c ⎪c =29
⎪⎪8⎩2⎩
（2）y =y 1-y 2=-（3）y =-∵a =-
1313151⎫⎛1
x +36- x 2-x +29⎪=-x 2+x +6；
822882⎭⎝8
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x +x +6=-(x 2-12x +36) +4+6=-(x -6) 2+11 8228822
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由题意x
112
最大利润=-(4-6) +11=10（元）．
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7、解：（1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（-2x+100 ）= -2x2+136x-1800 ，
∴z 与x 之间的函数解析式为z= -2x2+136x-1800 ；
（2 ）由z=350 ，得350= -2x2+136x -1800 ， 解这个方程得x 1=25 ，x 2=43 所以，销售单价定为25 元或43 元，
将z =-2x2+136x-1800 配方，得z=-2 （x-34 ）2+512 ，
此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万（3 ）结合（2 ）及函数z=-2x2+136x ﹣1800 的图象（如图所示）可当25≤x ≤43时z ≥350 ， 限价32 元，得25 ≤x ≤32 ，
一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小， x=32 时，每月制造成本最低
成本是18 ×（-2 ×32+100 ）=648 （万元）， 此，所求每月最低制造成本为648 万元．
8、解：⑴设y=kx+b由图象可知，
因元； 知， 又由根据∴当最低因
⎧30k +b =400
, ⎨
40k +b =200⎩⎧k =-20
， 解之得:⎨
⎩b =1000
即一次函数表达式为y =-20x +1000(30≤x ≤50) ．
) ⑵ P =(x -20) y =(x -20)(-20x +1000
=-20x +1400x -20000
∵a =-20
2
1400
=35时，P max =4500（元）
2⨯(-20)
2
（或通过配方，P =-20(x -35) +4500，也可求得最大值） 答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．
⑶∵4180≤-20(x -35) +4500≤4480 1≤(x -35) ≤16 ∴31≤x•≤34或36≤x≤39．
2
2