习题四：重言式与蕴含式
1．试证下列各式为重言式。
（1）
（2）
（3）
（4） (P ∧(P →Q )) →Q ⌝P →(P →Q ) ((P →Q ) ∧(Q →R )) →(P →R ) ((a ∧b ) ∨(b ∧c ) ∨(c ∧a ) ⇔(a ∨b ) ∧(b ∨c ) ∧(c ∨a )
2．不构造真值表证明下列蕴含式
（1）
（2）
（3） (P →Q ) ⇒P →(P ∧Q ) (P →Q ) →Q ⇒P ∨Q (Q →(P ∧⌝P )) →(R →(R →(P ∧⌝P ))) ⇒R →Q
3．设P 表示命题“8是偶数“，Q 表示命题”糖果是甜的“。试以句子写出：
（1） P →Q
（2） （1）的逆换式
（3） （1）的反换式
（4） （1）的逆反式
4．叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。
（1） 如果天下雨，我不去。
（2） 仅当你走我将留下。
（3） 如果我不能获得更多的帮助，我不能完成这个任务。
5．试证明P ⇔Q , Q 逻辑蕴含P 。
6．检验下述论证的有效性。
如果我学习，那么我数学不会不及格。
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。
但我数学不及格。
因此我热衷于玩扑克。
7．用符号写出下列各式并且验证论证的有效性。
如果6是偶数，则7被2除不尽。
或5不是素数，或7被2除尽。
但5是素数。所以6是奇数。
8．逻辑推证以下各式。
（1） P ⇒(⌝P →Q )
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ⌝A ∧B ∧A ⇒C C ⇒A ∨B ∨⌝B ⌝(A ∧B ) ⇒⌝A ∨⌝B ⌝A →(B ∨C ), D ∨E , (D ∨E ) →⌝A ⇒B ∨C (A ∧B ) →C , ⌝D , ⌝C ∨D ⇒⌝A ∨⌝B
9．求与下列命题等价的逆反式。
（1） 如果他有勇气，他将得胜。
（2） 仅当他不累他将得胜。
10．只允许用以下４个永真式（重言式）T 1
（T 1）A →(B →A )
（T 2）(A →B )→((B →C )→(A →C ))
（T 3）⌝A →(A →B )
（T 4）(A →B )→((⌝A →B )→B )
（Ｍ）Ａ，A →B ⇒B 。
证明：
（１）P →P 为真。
（２）P →⌝⌝P 为真。
11．判断下式是否是永真式。
，T 2，T 3，T 4和蕴含式Ｍ： (P →Q )→((R →S )→((P ∨R )→(Q ∨S )))
12．用真值表判断下列公式G 是否为重言式：
(P ∧Q →R )→(P ∧⌝R ∧Q )
13．用等值演算法证明P ∧(P →Q )→Q 是重言式。
14．求证下面命题的蕴含关系：
（1）P ∧Q ⇒P →Q
（2）(P →(Q →R ))⇒(P →Q )→(P →R )
习题四：重言式与蕴含式
1．试证下列各式为重言式。
（1）
（2）
（3）
（4） (P ∧(P →Q )) →Q ⌝P →(P →Q ) ((P →Q ) ∧(Q →R )) →(P →R ) ((a ∧b ) ∨(b ∧c ) ∨(c ∧a ) ⇔(a ∨b ) ∧(b ∨c ) ∧(c ∨a )
2．不构造真值表证明下列蕴含式
（1）
（2）
（3） (P →Q ) ⇒P →(P ∧Q ) (P →Q ) →Q ⇒P ∨Q (Q →(P ∧⌝P )) →(R →(R →(P ∧⌝P ))) ⇒R →Q
3．设P 表示命题“8是偶数“，Q 表示命题”糖果是甜的“。试以句子写出：
（1） P →Q
（2） （1）的逆换式
（3） （1）的反换式
（4） （1）的逆反式
4．叙述下列各个命题的逆换式和逆反式，并以符号写出。
（1） 如果天下雨，我不去。
（2） 仅当你走我将留下。
（3） 如果我不能获得更多的帮助，我不能完成这个任务。
5．试证明P ⇔Q , Q 逻辑蕴含P 。
6．检验下述论证的有效性。
如果我学习，那么我数学不会不及格。
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习。
但我数学不及格。
因此我热衷于玩扑克。
7．用符号写出下列各式并且验证论证的有效性。
如果6是偶数，则7被2除不尽。
或5不是素数，或7被2除尽。
但5是素数。所以6是奇数。
8．逻辑推证以下各式。
（1） P ⇒(⌝P →Q )
（2）
（3）
（4）
（5）
（6） ⌝A ∧B ∧A ⇒C C ⇒A ∨B ∨⌝B ⌝(A ∧B ) ⇒⌝A ∨⌝B ⌝A →(B ∨C ), D ∨E , (D ∨E ) →⌝A ⇒B ∨C (A ∧B ) →C , ⌝D , ⌝C ∨D ⇒⌝A ∨⌝B
9．求与下列命题等价的逆反式。
（1） 如果他有勇气，他将得胜。
（2） 仅当他不累他将得胜。
10．只允许用以下４个永真式（重言式）T 1
（T 1）A →(B →A )
（T 2）(A →B )→((B →C )→(A →C ))
（T 3）⌝A →(A →B )
（T 4）(A →B )→((⌝A →B )→B )
（Ｍ）Ａ，A →B ⇒B 。
证明：
（１）P →P 为真。
（２）P →⌝⌝P 为真。
11．判断下式是否是永真式。
，T 2，T 3，T 4和蕴含式Ｍ： (P →Q )→((R →S )→((P ∨R )→(Q ∨S )))
12．用真值表判断下列公式G 是否为重言式：
(P ∧Q →R )→(P ∧⌝R ∧Q )
13．用等值演算法证明P ∧(P →Q )→Q 是重言式。
14．求证下面命题的蕴含关系：
（1）P ∧Q ⇒P →Q
（2）(P →(Q →R ))⇒(P →Q )→(P →R )