有理数及其运算重要知识点
一、有理数的分类
定义：整数与分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数）
注意：通常把正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。
二、数轴的相关知识点
1、画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右（或上）的方向为正方向，就得到数轴。
注意：判断数轴的画法是否正确时，要依据数轴的三要素，即：所画直线要有正方向，有合适的原点，一致的单位长度。原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取。
2、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
3、有理数的大小比较
方法一：零大于一切负数，而小于一切正数；正数大于负数。
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
三、相反数、绝对值相关知识点
1、相反数的几何定义
在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
2、相反数的代数定义
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在。一般地，数a 的相反数是－a （注意：－a 不一定是负数），a 表示任意的一个数，可以是正数、负数或0
3、多重符号的化简
在一个数的前面添加一个“+”号，仍然与原数相同。在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数。
注意：多重符号化简，只需考虑负号的个数，而不必考虑有几个正号。
4、若a 、b 互为相反数，则a + b=0；若a ，b 互为倒数，则ab = 1
5、在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数。绝对值的非负性：|a|≥0
6、正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0。反过来，若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0。
7、互为相反数的两个数的绝对值相等；反之，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。
8、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤：
（1）先分别求出两个负数的绝对值； （2）比较这两个绝对值的大小；
（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断。
9、比较两个分数的大小，先通分再比较。比较a 、b 两个数的大小，还可以用下面的方法：若a-b>0，则a>b；若a-b
10、非负数的性质：几个非负数的和为0，则每一个非负数为0。
四、有理数的加法运算
有理数加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
3、一个数同0相加，仍得这个数．
注意：进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．
有理数加法运算律：
1、交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．
用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．
2、结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a ＋b ) ＋c ＝a ＋(b ＋c ) ．
运算律式子中的字母a ，b ，c 表示任意的有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
注意：使用运算律是为了简化运算，在使用时，一般先把具有以下特征的数相加：互为相反数的两个数；符号相同的数；相加能得到整数的数；分母相同的数；易于通分的数。
五、有理数的减法运算
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：
a-b=a+(-b)
注意：运用此法则时要注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数。 注意：由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决。不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则。在使用法则时，注意被减数是永不变的。
六、有理数的加减混合运算
把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为代数和。 有理数的加减法可统一成加法。因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。
有理数的加减混合运算的步骤：
（1
）写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；
（2）利用加法法则，加法交换律、结合律简化计算。
七、有理数的乘法法则及运算律
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与零相乘，积仍是
0.
注意：① 零没有倒数
② 求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③ 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
2、有理数的运算律
在应用分配律时，括号外的因数与括号内各项相乘，各项应包含前面的符号。逆用乘法分配律也是计算中常用的一种技巧。
八、有理数的除法法则
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数。
注意：乘除混合运算往往先将除法化成乘法，再确定积的符号，最后求出结果。
九、有理数的乘方
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
③负数的乘方与乘方的相反数不同。
2、乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；0的正数次幂都得0；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③1的任何次幂都得1，－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是1；
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等．
十、有理数混合运算的法则
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2．同级运算从左到右按顺序运算；
3．如果有括号，先算括号里面的，先小再中最后大，依次计算．
注意：（1）加减法叫做第一级运算；乘除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。
（2）有时需灵活地运用运算律，改变运算顺序，以简化计算。
（3）混合运算时，可以以加减号为界，把式子分成几部分，每一部分可同时单独运算；通常把小数化为分数，带分数化为假分数以便于约分。
（4）去括号时，也可由外向内去括号，去大括号时，把中括号看成一项；去中括号时，把小括号看成一项；最后去小括号。
十一、科学记数法
任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n
次幂的形
式．
把用科学记数法表示的数转化为原
数
十二、近似数及其精确度
所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也就是精确度。
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位。如近似数0.576精确到千分位或精确到0.001，那么千分之一(0.001)就是0.576的精确度。
注意：求一个数的近似数要按照四舍五入法，精确到哪一位，就要看那一位后面的数，如果大于或等于5，就向前一位进一；如果小于5，就直接舍去。
有理数及其运算重要知识点
一、有理数的分类
定义：整数与分数统称为有理数（有限小数和无限循环小数）
注意：通常把正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数。
二、数轴的相关知识点
1、画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右（或上）的方向为正方向，就得到数轴。
注意：判断数轴的画法是否正确时，要依据数轴的三要素，即：所画直线要有正方向，有合适的原点，一致的单位长度。原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取。
2、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
3、有理数的大小比较
方法一：零大于一切负数，而小于一切正数；正数大于负数。
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
三、相反数、绝对值相关知识点
1、相反数的几何定义
在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
2、相反数的代数定义
如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在。一般地，数a 的相反数是－a （注意：－a 不一定是负数），a 表示任意的一个数，可以是正数、负数或0
3、多重符号的化简
在一个数的前面添加一个“+”号，仍然与原数相同。在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数。
注意：多重符号化简，只需考虑负号的个数，而不必考虑有几个正号。
4、若a 、b 互为相反数，则a + b=0；若a ，b 互为倒数，则ab = 1
5、在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数。绝对值的非负性：|a|≥0
6、正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0。反过来，若|a|=a，则a ≥0；若|a|=-a，则a ≤0。
7、互为相反数的两个数的绝对值相等；反之，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。
8、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤：
（1）先分别求出两个负数的绝对值； （2）比较这两个绝对值的大小；
（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断。
9、比较两个分数的大小，先通分再比较。比较a 、b 两个数的大小，还可以用下面的方法：若a-b>0，则a>b；若a-b
10、非负数的性质：几个非负数的和为0，则每一个非负数为0。
四、有理数的加法运算
有理数加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
3、一个数同0相加，仍得这个数．
注意：进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值．
有理数加法运算律：
1、交换律——两个有理数相加，交换加数的位置，和不变．
用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．
2、结合律——三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 用字母表示为：(a ＋b ) ＋c ＝a ＋(b ＋c ) ．
运算律式子中的字母a ，b ，c 表示任意的有理数，可以是正数，也可以是负数或者零．在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．
注意：使用运算律是为了简化运算，在使用时，一般先把具有以下特征的数相加：互为相反数的两个数；符号相同的数；相加能得到整数的数；分母相同的数；易于通分的数。
五、有理数的减法运算
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：
a-b=a+(-b)
注意：运用此法则时要注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数。 注意：由于把减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决。不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则。在使用法则时，注意被减数是永不变的。
六、有理数的加减混合运算
把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为代数和。 有理数的加减法可统一成加法。因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。
有理数的加减混合运算的步骤：
（1
）写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；
（2）利用加法法则，加法交换律、结合律简化计算。
七、有理数的乘法法则及运算律
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与零相乘，积仍是
0.
注意：① 零没有倒数
② 求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。 ③ 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
2、有理数的运算律
在应用分配律时，括号外的因数与括号内各项相乘，各项应包含前面的符号。逆用乘法分配律也是计算中常用的一种技巧。
八、有理数的除法法则
两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数。
注意：乘除混合运算往往先将除法化成乘法，再确定积的符号，最后求出结果。
九、有理数的乘方
②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。
③负数的乘方与乘方的相反数不同。
2、乘方的运算性质：
①正数的任何次幂都是正数；0的正数次幂都得0；
②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
③1的任何次幂都得1，－1的奇次幂是－1，－1的偶次幂是1；
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等．
十、有理数混合运算的法则
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2．同级运算从左到右按顺序运算；
3．如果有括号，先算括号里面的，先小再中最后大，依次计算．
注意：（1）加减法叫做第一级运算；乘除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。
（2）有时需灵活地运用运算律，改变运算顺序，以简化计算。
（3）混合运算时，可以以加减号为界，把式子分成几部分，每一部分可同时单独运算；通常把小数化为分数，带分数化为假分数以便于约分。
（4）去括号时，也可由外向内去括号，去大括号时，把中括号看成一项；去中括号时，把小括号看成一项；最后去小括号。
十一、科学记数法
任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n
次幂的形
式．
把用科学记数法表示的数转化为原
数
十二、近似数及其精确度
所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也就是精确度。
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个近似数精确到哪一位。如近似数0.576精确到千分位或精确到0.001，那么千分之一(0.001)就是0.576的精确度。
注意：求一个数的近似数要按照四舍五入法，精确到哪一位，就要看那一位后面的数，如果大于或等于5，就向前一位进一；如果小于5，就直接舍去。