13-5旋轉曲面面積之計算
若一平滑平面曲線在平面上繞一軸線旋轉，形成一旋轉體曲面。本節將討論其面積值。
圓錐體其中一部分平截頭錐體（conical frustum）
，
如圖黃色部份，其側面面積為
A =2π
r 1+r 2
s =2π(半徑平均)(傾斜邊長) 。 2
令y =f (x )，a ≤x ≤b ，為在xy 平面且在x 軸上的一條平滑曲線， 將區間[a , b ]分割成由點a =x 0
則線段x i −1x i 對x 軸旋轉型成一個曲面（右上圖灰色部份）， 其曲面面積近似於圓錐體平截頭錐體之側面面積ΔA ≈2πy i Δs i 。
若此曲線為參數式形式x =f (t )，y =g (t )，a ≤t ≤b ， 則曲面面積公式為
1. 求由曲線y =x ，0≤x ≤4繞x
軸旋轉曲面的表面積。 解答：
f (x )=x
1
f ′(x )=
2x
A =2π∫f (x +f ′x dx 代入公式
2
a
b
=2π∫=2π∫
4
04
x +x
11dx 改寫+=4x 4x 4x +1
4x
4x +1
dx 化簡根式運算 4x
4
=π∫
4
4x +1dx 將定積分求出
3
⎡12⎤=⎢π⋅⋅(4x +1)2⎥ ⎣43⎦0
⎞⎛3⎞π
⎜172−1⎟即為所求旋轉曲面的表面積。 =⎜17−1⎟ ⎟⎟6⎜6⎝⎝⎠⎠
π⎛⎜
32
2. 求由曲線y =6x ，0≤x ≤1繞x 軸旋轉曲面的表面積。 解答： f (x )=6x f ′(x )=6
A =2π∫f (x +f ′x dx 代入公式
2
a
b
=2π∫6x +62dx 將被積分式常數提到前面
1
=12∫x dx 計算定積分求出
1
⎡x 2⎤
=12⎢⎥
⎣2⎦0
=6
6即為所求旋轉曲面的表面積。
1
3. 求由曲線x =t ，y =t 3，0≤t ≤1繞x 軸旋轉曲面的表面積。 解答：
f (t )=t ，g (t )=t 3 f ′(t )=1，g ′(t )=3t 2
A =2π∫g (t b
f ′t 2+g ′t 2dt 代入旋轉曲面表面積公式（参數式）
a =2π∫10
t 32+3t 22
dt =2π∫1
t 3+9t 4dt =2π⎡⎢1(23
1
2⎤⎣541+9t ⎥⎦ 0
=
π
27
(10−1)
將根式化簡
計算不定積分
π
27
(10
−1)
即為所求旋轉曲面的表面積。
4. 求由曲線x =1−t 2，y =2t ，0≤t ≤1繞x 軸旋轉曲面的表面積。 解答：
f (t )=1−t 2，g (t )=2t f ′(t )=−2t ，g ′(t )=2
A =2π∫g (t b
f ′t 2+g ′t 2dt 代入旋轉曲面表面積公式（参數式）
a =2π∫102t 4t 2+4dt =8π∫1
t t 2+1dt =8π⎡⎢123
⎣3(t +11
2⎤
⎥⎦
0 =8π3(22−1)
將被積分式常數提到前面 計算定積分
8π3(2−1)
即為所求旋轉曲面的表面積。
x 31+練習題.求由曲線y =，1≤x ≤3繞x 軸旋轉曲面的表面積。
34x 解答：
1x 31
+y =f (x )=，f ′(x )=x 2−2 34x 4x
A =2π∫f (x +f ′x dx 代入旋轉曲面表面積公式
2
b
a
=2π∫3
⎛21⎜⎜x 31⎞⎟⎛2
1⎞⎝3+4x ⎟⎠+⎜⎝x −4x 2⎟⎠dx =2π∫3⎛x 31⎜⎜⎝3+1⎞4x ⎟⎟⎛⎠⎜⎝
x 2+1⎞
4x 2⎟⎠dx =2π∫3
⎛x 5x 1⎞
1⎜⎜⎝
3+3+16x 3⎟⎟⎠dx ⎡x 6x 23
=2π⎢⎣18+6−1⎤32x 2⎥⎦=1505
π 1
18
2
+⎛⎜⎝x 2−1⎞4x 2⎟⎠=⎛⎜⎝x 2+1⎞4x 2⎟⎠ 將被積分式展開 計算定積分 150518π即為所求旋轉曲面的表面積
13-5旋轉曲面面積之計算
若一平滑平面曲線在平面上繞一軸線旋轉，形成一旋轉體曲面。本節將討論其面積值。
圓錐體其中一部分平截頭錐體（conical frustum）
，
如圖黃色部份，其側面面積為
A =2π
r 1+r 2
s =2π(半徑平均)(傾斜邊長) 。 2
令y =f (x )，a ≤x ≤b ，為在xy 平面且在x 軸上的一條平滑曲線， 將區間[a , b ]分割成由點a =x 0
則線段x i −1x i 對x 軸旋轉型成一個曲面（右上圖灰色部份）， 其曲面面積近似於圓錐體平截頭錐體之側面面積ΔA ≈2πy i Δs i 。
若此曲線為參數式形式x =f (t )，y =g (t )，a ≤t ≤b ， 則曲面面積公式為
1. 求由曲線y =x ，0≤x ≤4繞x
軸旋轉曲面的表面積。 解答：
f (x )=x
1
f ′(x )=
2x
A =2π∫f (x +f ′x dx 代入公式
2
a
b
=2π∫=2π∫
4
04
x +x
11dx 改寫+=4x 4x 4x +1
4x
4x +1
dx 化簡根式運算 4x
4
=π∫
4
4x +1dx 將定積分求出
3
⎡12⎤=⎢π⋅⋅(4x +1)2⎥ ⎣43⎦0
⎞⎛3⎞π
⎜172−1⎟即為所求旋轉曲面的表面積。 =⎜17−1⎟ ⎟⎟6⎜6⎝⎝⎠⎠
π⎛⎜
32
2. 求由曲線y =6x ，0≤x ≤1繞x 軸旋轉曲面的表面積。 解答： f (x )=6x f ′(x )=6
A =2π∫f (x +f ′x dx 代入公式
2
a
b
=2π∫6x +62dx 將被積分式常數提到前面
1
=12∫x dx 計算定積分求出
1
⎡x 2⎤
=12⎢⎥
⎣2⎦0
=6
6即為所求旋轉曲面的表面積。
1
3. 求由曲線x =t ，y =t 3，0≤t ≤1繞x 軸旋轉曲面的表面積。 解答：
f (t )=t ，g (t )=t 3 f ′(t )=1，g ′(t )=3t 2
A =2π∫g (t b
f ′t 2+g ′t 2dt 代入旋轉曲面表面積公式（参數式）
a =2π∫10
t 32+3t 22
dt =2π∫1
t 3+9t 4dt =2π⎡⎢1(23
1
2⎤⎣541+9t ⎥⎦ 0
=
π
27
(10−1)
將根式化簡
計算不定積分
π
27
(10
−1)
即為所求旋轉曲面的表面積。
4. 求由曲線x =1−t 2，y =2t ，0≤t ≤1繞x 軸旋轉曲面的表面積。 解答：
f (t )=1−t 2，g (t )=2t f ′(t )=−2t ，g ′(t )=2
A =2π∫g (t b
f ′t 2+g ′t 2dt 代入旋轉曲面表面積公式（参數式）
a =2π∫102t 4t 2+4dt =8π∫1
t t 2+1dt =8π⎡⎢123
⎣3(t +11
2⎤
⎥⎦
0 =8π3(22−1)
將被積分式常數提到前面 計算定積分
8π3(2−1)
即為所求旋轉曲面的表面積。
x 31+練習題.求由曲線y =，1≤x ≤3繞x 軸旋轉曲面的表面積。
34x 解答：
1x 31
+y =f (x )=，f ′(x )=x 2−2 34x 4x
A =2π∫f (x +f ′x dx 代入旋轉曲面表面積公式
2
b
a
=2π∫3
⎛21⎜⎜x 31⎞⎟⎛2
1⎞⎝3+4x ⎟⎠+⎜⎝x −4x 2⎟⎠dx =2π∫3⎛x 31⎜⎜⎝3+1⎞4x ⎟⎟⎛⎠⎜⎝
x 2+1⎞
4x 2⎟⎠dx =2π∫3
⎛x 5x 1⎞
1⎜⎜⎝
3+3+16x 3⎟⎟⎠dx ⎡x 6x 23
=2π⎢⎣18+6−1⎤32x 2⎥⎦=1505
π 1
18
2
+⎛⎜⎝x 2−1⎞4x 2⎟⎠=⎛⎜⎝x 2+1⎞4x 2⎟⎠ 將被積分式展開 計算定積分 150518π即為所求旋轉曲面的表面積