勾股定理全章类题总结
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，
C D ⊥AB 于D 。
（1） 求AB 的长； （2）求CD 的长。
类型二：面积问题
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,
则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2
。
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形， AE AE ⊥BE ，且=3，BE =4，阴影部
分的面积是______.
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面25
积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 B
169
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，
铺设水管的费用为每千米3B CD 上选择
水厂的位置M 用是多少？
L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点
C ，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足
a 2+b2+c2
+50=6a+8b+10c，判断ΔABC 的形状。
【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2
,2mn, m 2+n2
(m,n为正整数, 且m ＞n), 判断△ABC 是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2＋b 2＋c 2
＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状.
【练习3】. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足 (a2－b 2)(a2+b2－c 2
) ＝0，则它的形状为（ ）三角形 A. 直角 B. 等腰 C.等腰直角D. 等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为
(a +b ) 2=c 2
+2ab , 则这个三角形是( ) 三角形
（A ）等边（B ）钝角（C ） 直角（D ）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ； (2)已知a=40，b=9，求c ；(3)已知c=25，b=15，求a. 。
【练习】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理 =90︒，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；
【例题】如图，已知：在∆ABC 中，∠B =60︒，AC =70，
AB =30. 求BC 的长.
【练习】四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
类型七：利用勾股定理作长为n 的线段
作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，
以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A 、8，15，17 B 、4，5，6
C 、5，8，10 D 、8，39，40
【练习3】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90︒，∠DBC
【练习4】、已知∆ABC 中，AB =13cm ，BC =10cm ，BC 边上的中线AD =12cm ，求证：AB =AC
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。
【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
【练习4】如图从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5
【练习5】、一架梯子AB 的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC 为7米。 （1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
【练习6】、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
类型十：翻折问题 【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使
它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF 的长。
【练习2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，求AC 的长。
【练习3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） （A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm
【练习4】已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC 的长 D E 【练习5】已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A ．6cm 2 B ．8cm 2 C．10cm 2 D ．12cm 2
勾股定理全章类题总结
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，
C D ⊥AB 于D 。
（1） 求AB 的长； （2）求CD 的长。
类型二：面积问题
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,
则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm2
。
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 （2）求∠ADC 的度数。
【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形， AE AE ⊥BE ，且=3，BE =4，阴影部
分的面积是______.
【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面25
积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 B
169
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，
铺设水管的费用为每千米3B CD 上选择
水厂的位置M 用是多少？
L
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点
C ，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足
a 2+b2+c2
+50=6a+8b+10c，判断ΔABC 的形状。
【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2－n 2
,2mn, m 2+n2
(m,n为正整数, 且m ＞n), 判断△ABC 是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2＋b 2＋c 2
＋338＝10a ＋24b ＋26c ，试判断△ABC 的形状.
【练习3】. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足 (a2－b 2)(a2+b2－c 2
) ＝0，则它的形状为（ ）三角形 A. 直角 B. 等腰 C.等腰直角D. 等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为
(a +b ) 2=c 2
+2ab , 则这个三角形是( ) 三角形
（A ）等边（B ）钝角（C ） 直角（D ）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt △ABC 中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b ； (2)已知a=40，b=9，求c ；(3)已知c=25，b=15，求a. 。
【练习】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理 =90︒，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；
【例题】如图，已知：在∆ABC 中，∠B =60︒，AC =70，
AB =30. 求BC 的长.
【练习】四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
类型七：利用勾股定理作长为n 的线段
作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，
以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A 、8，15，17 B 、4，5，6
C 、5，8，10 D 、8，39，40
【练习3】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90︒，∠DBC
【练习4】、已知∆ABC 中，AB =13cm ，BC =10cm ，BC 边上的中线AD =12cm ，求证：AB =AC
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。
【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
【练习4】如图从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5
【练习5】、一架梯子AB 的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端BC 为7米。 （1）这个梯子顶端离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
【练习6】、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
类型十：翻折问题 【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使
它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ 【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF 的长。
【练习2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，求AC 的长。
【练习3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） （A ） 2cm （B ） 3 cm （C ） 4 cm （D ） 5 cm
【练习4】已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC 的长 D E 【练习5】已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）
A ．6cm 2 B ．8cm 2 C．10cm 2 D ．12cm 2