旋转液体综合实验
浙江大学物理实验教学中心
2005-11
旋转液体综合实验
在力学创建之初，牛顿的水桶实验就发现，当水桶中的水旋转时，水会沿着桶壁上升。旋转的液体其表面形状为一个抛物面，可利用这点测量重力加速度；旋转液体的抛物面也是一个很好的光学元件。美国的物理学家乌德创造了液体镜面，他在一个大容器里旋转水银，得到一个理想的抛物面，由于水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。
随着现代技术的发展液体镜头正在向一“大”一“小”两极发展。大，可以作为大型天文望远镜的镜头；反射式液体镜头已经在大型望远镜中得到了应用，代替传统望远镜中使用的玻璃反射境。当盛满液体（通常采用水银）的容器旋转时，向心力会产生一个光滑的用于望远镜的反射凹面。通常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，而哈勃空间望远镜的失败也让我们了解了玻璃镜头何等脆弱。
小，则可以作为拍照手机的变焦镜头。美国加利福尼亚大学的科学家发明了液体镜头，它通过改变厚度仅为8mm 的两种不同的液体交接处月牙形表面的形状，实现焦距的变化。这种液体镜头相对于传统的变焦系统而言，兼顾了紧凑的结构和低成本两方面的优势。
旋转液体的综合实验可利用抛物面的参数与重力加速度关系，测量重力加速度，另外，液面凹面镜成像与转速的关系也可研究凹面镜焦距的变化情况。还可通过旋转液体研究牛顿流体力学，分析流层之间的运动，测量液体的粘滞系数。
【实验原理】
一、旋转液体抛物面公式推导
定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考系静止，任选一小块液体P ，其受力如图1。Fi 为沿径向向外的惯性离心力，mg 为重力，N 为这一小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N 必然垂直于液体表面。在X-Y 坐标下P(x,y) 则有：
图1 原理图
根据图1有： 为旋转角速度，
为
（1）
处的值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。
二、用旋转液体测量重力加速度g
在实验系统中，一个盛有液体半径为的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度匀速稳定转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。 设液体未旋转时液面高度为，液体的体积为：
（2）
因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：
（3）
由（2）、（3）式得：
（4）
联立（1）、（4）可得，当
时，，即液面在处的高度是恒定值。
方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度
图2 实验示意图
如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差为的抛物线上，有
，
，点（）在（1）式
得：
又
，则
（5）
为圆筒直径，为旋转速度（转/分）。
方法二、斜率法测重力加速度
如图2所示，激光束平行转轴入射，经过BC 透明屏幕，打在射光点为距离因为 因为
，
则
(6)
，
处切线与方向的夹角为，则
间距离
，则
的液面
点上，反
，测出透明屏幕至圆桶底部的
，求出值。
、液面静止时高度，以及两光点
，在
处有
或可作
曲线，求斜率，可得，求出
三、验证抛物面焦距与转速的关系
旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律，若光线平行于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。
根据抛物线方程（1），抛物面的
焦距
。
～
四、测量液体粘滞系数
图3 液体粘滞系数测量原理图
在旋转的液体中，沿中心放入张丝悬挂的圆柱形物体，圆柱高度为，半径为圆桶半径为
，如图3所示。
，外
外圆筒以恒定的角速度旋转，在转速较小的情况下，流体会很规则地一层层地转动，
，则
（推导略）
稳定时圆柱形物体静止角速度为零。
1、设外圆桶稳定旋转时，圆柱形物体所承受的阻力矩为
= 圆柱侧面所受液体的阻力矩
+ 圆柱底面所受液体摩擦力矩
（7）
（8）
圆柱形物体所承受的液体阻力矩
（9）
2、张丝扭转力矩
。
，张丝半径为（10）
，张丝长度为
。
悬挂圆柱形物体的张丝为钢丝，其切变模量为
转动力矩为：
该式表示力矩
与扭转角度成正比。
在液体旋转系统稳定时，液体产生的阻力矩与悬挂张丝所产生的扭转力矩平衡，使得圆柱形物体达到静止。
所以
从（9）、（10）式可以解出粘度系数为：
（11）
其中：
金属张丝的切变模量 张丝半径 张丝长度 为偏转角度 圆桶转速
圆柱底面到外圆桶底面的距离 圆柱高度 圆柱半径，
为外圆桶半径
【实验装置】
1．激光器 2.米刻度水平屏幕 3 . 水平标线 4.水
平仪 5.激光器电源插孔6. 调速开关 7.速度显示窗 8.圆柱形实验容器 9.水平量角器 10.米刻度垂直屏幕 11.张丝悬挂圆柱体 12.实验容器内径
刻线（见底盘红线）（可自行标注）
【实验内容】
1、仪器调整
a 、水平调整
图4
将圆形水平仪放在载物台中心，调整仪器底部支撑脚，直到水平仪上的气泡到中心位置。 b 、激光器位置调整
用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底内径。
处的记号，
为圆桶
2、测量重力加速度g(装置见图5)
1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度
）6次，测量
。
改变圆桶转速（转/秒）（2）斜率法测重力加速度
将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底
处的记号，测出透明屏幕至圆筒底部的
距离
、液面静止时高度。
液面最高与最低处的高度差，计算重力加速度
图5
改变圆桶转速（转/分）（）6次，在透明屏幕上读出入射光与反射光点
间距离，则，求出值。
3、验证抛物面焦距与转速的关系(装置见图6) 将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情况。改变圆桶转速（转/分）（位置。
4、研究旋转液体表面成像规律
图6
）6次，记录焦点
给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴在偏离光轴处射向旋转液体，
经液面反射后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上
下移动屏幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。实验发现，屏幕在较低处时，入射光和反射光留下的箭头方向相同，随着屏幕逐渐上移，反射光留下的箭头越来越小直至成一光点，随后箭头反向且逐渐变大。也可以固定屏幕，改变转速，将会观察到类似的现象。
5、测量液体粘滞系数(装置见图7)
装好实验装置、将张丝悬挂的圆柱体垂直置于液体中心，柱体上表面有一刻度线记号，低速旋转液体，稳定后柱面上刻度线偏一角度，用激光器和量角器测出偏转角。同一转速测三次，改变转速3次。
测量：
G 金属张丝的切变模量
1、张丝半径 2、张丝长度 3、圆桶底面的距离4、圆柱高度 5、圆筒容器半径
图7
圆柱底面到外圆柱半径 6、
【数据处理】（参考数据）
1、测量重力加速度g 方法一:
杭州地区重力加速度公认值：
方法二: 屏幕高度
, 液面高度
实验相对误差：
2、验证抛物面焦距与转速的关系
3、测量液体粘滞系数
蓖麻油，
[1]
根据经验公式
实验相对误差：
得
张丝半径
金属张丝的切变模量张丝长度为偏转角度
圆桶转速
圆柱高度
圆柱底面到外圆桶底面的距离
圆柱半径
为外圆桶半径
参考资料
[1] 武瑞兰，田静蓖麻油粘滞系数随温度变化的经验公式[J] 山东工业大学学报 1998（28）： 94-95 [2] 林佩芬周炎辉旋转圆筒法测粘滞系数的计算公式讨论[J] 工科物理 1996（4）：23-25 [3]《物理实验》2002.11、12。第32届国际物理奥林匹克竞赛力学和光学综合实验题。
旋转液体综合实验
浙江大学物理实验教学中心
2005-11
旋转液体综合实验
在力学创建之初，牛顿的水桶实验就发现，当水桶中的水旋转时，水会沿着桶壁上升。旋转的液体其表面形状为一个抛物面，可利用这点测量重力加速度；旋转液体的抛物面也是一个很好的光学元件。美国的物理学家乌德创造了液体镜面，他在一个大容器里旋转水银，得到一个理想的抛物面，由于水银能很好地反射光线，所以能起反射镜的作用。
随着现代技术的发展液体镜头正在向一“大”一“小”两极发展。大，可以作为大型天文望远镜的镜头；反射式液体镜头已经在大型望远镜中得到了应用，代替传统望远镜中使用的玻璃反射境。当盛满液体（通常采用水银）的容器旋转时，向心力会产生一个光滑的用于望远镜的反射凹面。通常这样一个光滑的曲面，完全可以代替需要大量复杂工艺并且价格昂贵的玻璃镜头，而哈勃空间望远镜的失败也让我们了解了玻璃镜头何等脆弱。
小，则可以作为拍照手机的变焦镜头。美国加利福尼亚大学的科学家发明了液体镜头，它通过改变厚度仅为8mm 的两种不同的液体交接处月牙形表面的形状，实现焦距的变化。这种液体镜头相对于传统的变焦系统而言，兼顾了紧凑的结构和低成本两方面的优势。
旋转液体的综合实验可利用抛物面的参数与重力加速度关系，测量重力加速度，另外，液面凹面镜成像与转速的关系也可研究凹面镜焦距的变化情况。还可通过旋转液体研究牛顿流体力学，分析流层之间的运动，测量液体的粘滞系数。
【实验原理】
一、旋转液体抛物面公式推导
定量计算时，选取随圆柱形容器旋转的参考系，这是一个转动的非惯性参考系。液相对于参考系静止，任选一小块液体P ，其受力如图1。Fi 为沿径向向外的惯性离心力，mg 为重力，N 为这一小块液体周围液体对它的作用力的合力，由对称性可知，N 必然垂直于液体表面。在X-Y 坐标下P(x,y) 则有：
图1 原理图
根据图1有： 为旋转角速度，
为
（1）
处的值。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。
二、用旋转液体测量重力加速度g
在实验系统中，一个盛有液体半径为的圆柱形容器绕该圆柱体的对称轴以角速度匀速稳定转动时，液体的表面形成抛物面，如图2。 设液体未旋转时液面高度为，液体的体积为：
（2）
因液体旋转前后体积保持不变，旋转时液体体积可表示为：
（3）
由（2）、（3）式得：
（4）
联立（1）、（4）可得，当
时，，即液面在处的高度是恒定值。
方法一：用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度
图2 实验示意图
如图2所示，设旋转液面最高与最低处的高度差为的抛物线上，有
，
，点（）在（1）式
得：
又
，则
（5）
为圆筒直径，为旋转速度（转/分）。
方法二、斜率法测重力加速度
如图2所示，激光束平行转轴入射，经过BC 透明屏幕，打在射光点为距离因为 因为
，
则
(6)
，
处切线与方向的夹角为，则
间距离
，则
的液面
点上，反
，测出透明屏幕至圆桶底部的
，求出值。
、液面静止时高度，以及两光点
，在
处有
或可作
曲线，求斜率，可得，求出
三、验证抛物面焦距与转速的关系
旋转液体表面形成的抛物面可看作一个凹面镜，符合光学成像系统的规律，若光线平行于曲面对称轴入射，反射光将全部会聚于抛物面的焦点。
根据抛物线方程（1），抛物面的
焦距
。
～
四、测量液体粘滞系数
图3 液体粘滞系数测量原理图
在旋转的液体中，沿中心放入张丝悬挂的圆柱形物体，圆柱高度为，半径为圆桶半径为
，如图3所示。
，外
外圆筒以恒定的角速度旋转，在转速较小的情况下，流体会很规则地一层层地转动，
，则
（推导略）
稳定时圆柱形物体静止角速度为零。
1、设外圆桶稳定旋转时，圆柱形物体所承受的阻力矩为
= 圆柱侧面所受液体的阻力矩
+ 圆柱底面所受液体摩擦力矩
（7）
（8）
圆柱形物体所承受的液体阻力矩
（9）
2、张丝扭转力矩
。
，张丝半径为（10）
，张丝长度为
。
悬挂圆柱形物体的张丝为钢丝，其切变模量为
转动力矩为：
该式表示力矩
与扭转角度成正比。
在液体旋转系统稳定时，液体产生的阻力矩与悬挂张丝所产生的扭转力矩平衡，使得圆柱形物体达到静止。
所以
从（9）、（10）式可以解出粘度系数为：
（11）
其中：
金属张丝的切变模量 张丝半径 张丝长度 为偏转角度 圆桶转速
圆柱底面到外圆桶底面的距离 圆柱高度 圆柱半径，
为外圆桶半径
【实验装置】
1．激光器 2.米刻度水平屏幕 3 . 水平标线 4.水
平仪 5.激光器电源插孔6. 调速开关 7.速度显示窗 8.圆柱形实验容器 9.水平量角器 10.米刻度垂直屏幕 11.张丝悬挂圆柱体 12.实验容器内径
刻线（见底盘红线）（可自行标注）
【实验内容】
1、仪器调整
a 、水平调整
图4
将圆形水平仪放在载物台中心，调整仪器底部支撑脚，直到水平仪上的气泡到中心位置。 b 、激光器位置调整
用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底内径。
处的记号，
为圆桶
2、测量重力加速度g(装置见图5)
1）用旋转液体液面最高与最低处的高度差测量重力加速度
）6次，测量
。
改变圆桶转速（转/秒）（2）斜率法测重力加速度
将透明屏幕（1）置于圆桶上方，用自准直法调整激光束平行转轴入射，经过透明屏幕，对准桶底
处的记号，测出透明屏幕至圆筒底部的
距离
、液面静止时高度。
液面最高与最低处的高度差，计算重力加速度
图5
改变圆桶转速（转/分）（）6次，在透明屏幕上读出入射光与反射光点
间距离，则，求出值。
3、验证抛物面焦距与转速的关系(装置见图6) 将毫米刻度垂直屏幕过转轴放入实验容器中央，激光束平行转轴入射至液面，后聚焦在屏幕上，可改变入射位置观察聚焦情况。改变圆桶转速（转/分）（位置。
4、研究旋转液体表面成像规律
图6
）6次，记录焦点
给激光器装上有箭头状光阑的帽盖，使其光束略有发散且在屏幕上成箭头状像。光束平行光轴在偏离光轴处射向旋转液体，
经液面反射后，在水平屏幕上也留下了箭头。固定转速，上
下移动屏幕的位置，观察像箭头的方向及大小变化。实验发现，屏幕在较低处时，入射光和反射光留下的箭头方向相同，随着屏幕逐渐上移，反射光留下的箭头越来越小直至成一光点，随后箭头反向且逐渐变大。也可以固定屏幕，改变转速，将会观察到类似的现象。
5、测量液体粘滞系数(装置见图7)
装好实验装置、将张丝悬挂的圆柱体垂直置于液体中心，柱体上表面有一刻度线记号，低速旋转液体，稳定后柱面上刻度线偏一角度，用激光器和量角器测出偏转角。同一转速测三次，改变转速3次。
测量：
G 金属张丝的切变模量
1、张丝半径 2、张丝长度 3、圆桶底面的距离4、圆柱高度 5、圆筒容器半径
图7
圆柱底面到外圆柱半径 6、
【数据处理】（参考数据）
1、测量重力加速度g 方法一:
杭州地区重力加速度公认值：
方法二: 屏幕高度
, 液面高度
实验相对误差：
2、验证抛物面焦距与转速的关系
3、测量液体粘滞系数
蓖麻油，
[1]
根据经验公式
实验相对误差：
得
张丝半径
金属张丝的切变模量张丝长度为偏转角度
圆桶转速
圆柱高度
圆柱底面到外圆桶底面的距离
圆柱半径
为外圆桶半径
参考资料
[1] 武瑞兰，田静蓖麻油粘滞系数随温度变化的经验公式[J] 山东工业大学学报 1998（28）： 94-95 [2] 林佩芬周炎辉旋转圆筒法测粘滞系数的计算公式讨论[J] 工科物理 1996（4）：23-25 [3]《物理实验》2002.11、12。第32届国际物理奥林匹克竞赛力学和光学综合实验题。