2014.09.27比例线段
一．解答题（共30小题）
1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a ：b ：c ②．
2．（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；
（1）联结BE ，求证：BE=EF．
（2）联结BD 交AE 于M ，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD 的长．
3．（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 与点G 和点H ，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH 的长．
4．（2013•闵行区三模）已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形．过点E 作EF ∥BC ，EF 分别与线段AB 、AC 、AD 相交于点F 、G 、H ，联结CE ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）如果AD ⊥BC ，求证：BC=2FG．
5．（2013•明溪县质检）如图，C 是线段AB 上一动点，分别以AC 、BC 为边作等边△ACD ．等边△BCE ，连接AE 、BD 分别交CD 、CE 于M 、N 两．
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN 与AB 的位置关系；
（3）若AB=10，当点C 在AB 上运动时，是否存在一个位置使MN 的长最大？若存在请求出此时AC 的长以及MN 的长．若不存在请说明理由．
6．（2012•贵港）如图，在▱ABCD 中，延长CD 到E ，使DE=CD，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG 的长．
7．（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，连接BD ．
（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；
（2）连接CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时，求证：MN=2DB．
8．（2012•顺义区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB 相交于点F ，AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．
9．（2012•卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB=7，求CD 的长．
10．（2012•虹口区二模）如图，已知ED ∥BC ，GB =GE•GF
（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；
（2）连接GD ，若GB=GD，求证：四边形ABCD 为菱形．
2
11．（2012•嘉定区一模）如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ：DF=5：8，AC=24．
（1）求AB 的长；
（2）当AD=4，BE=1时，求CF 的长．
12．（2012•卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF=1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD=2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．
13．（2011•菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5）． ①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．
14．（2011•百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 _________ ．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．
15．（2011•辽阳）如图，⊙O 经过点B 、D 、E ，BD 是⊙O 的直径，∠C=90°，BE 平分∠ABC ．
（1）试说明直线AC 是⊙O 的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O 的半径及BC 的长．
16．（2011•通州区二模）如图，矩形OABC 的面积为
3，则k=
，它的对角线OB 与双曲线相交于点D ，且OB ：OD=5：
17．（2011•抚顺一模）如图1，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BM ⊥直线AC 于M ，DN ⊥直线AC 于N ．
（1）线段OM 、ON 有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线AC 绕点A 旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM 、ON 有什么样的数量关系？请给予证明；
（3）若直线AC 饶点A 继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．
18．（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是AB 、CD 的中点，观察EF 的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E 分线段AB 为（直接填写结果）；
（3）如果点E 分线段AB
为=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=a，BC=b，求EF 的长．
=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF= _________
19．（2011•安溪县质检）已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，CF=2，求BE 的长．
20．（2011•昌平区二模）梯形ABCD 中DC ∥AB ，AB=2DC，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=4，过AC 的中点H 作EF ∥BD 分别交AB 、AD 于点E 、F ，求EF 的长．
21．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，过点E 作EF ∥DC 交AD 于点F ．已知AD=2cm ，AB=8cm．求：
（1）
（2）的值； 的值．
22．（2011•嘉定区二模）如图，已知B 是线段AE 上一点，ABCD 和BEFG 都是正方形，连接AG 、CE ．
（1）求证：AG=CE；
（2）设CE 与GF 的交点为P ，求证：．
23．（2011•奉贤区一模）如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG 、FG 的长．
24．（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交AD 边于点F ． 求证：CG =GF•GE ．
2
25．（2011•嘉定区一模）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，DE=4，BC=6，AD=5．求DC 与AE 的长．
26．（2011•徐汇区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=15，，E 为线AC 上一点（不与A 、C 重合），过点E 作ED ⊥AC 交线段AB 于点D ，将△ADE 沿着直线DE 翻折，A 的对应点G 落在射线AC 上，线段DG 与线段BC 交于点M ．
（1）若BM=8，求证：EM ∥AB ；
（2）设EC=x，四边形的ADMC 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并写出定义域．
27．（2011•闵行区一模）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=11，BC=13，AB=12．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且BQ=2DP．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP=x．
（1）求的值．
（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S ．
（3）当△PQG 是以线段PQ 为腰的等腰三角形时，求x 的值．
28．（2010•济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ．当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
29．（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）
30．（2010•武汉）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．
（1）如图1，当OA=OB，且D 为OA 中点时，求
（2）如图2，当OA=OB，且的值； 时，求tan ∠BPC 的值．
时，直接写出tan ∠BPC 的值．
（3）如图3，当AD ：AO ：OB=1：n ：
2014.09.27比例线段
参考答案与试题解析
1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a ：b ：c ②．
考点： 比例的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据比例的基本性质可设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，进而求得a 、b 、c 的值，再分别代入求值． 解答： 解：①∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，
∴a+b+c=15k，
∴a=k，b=6k，c=8k，
∴a ：b ：c=1：6：8
②
==﹣．
点评： 本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
2．（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；
（1）联结BE ，求证：BE=EF．
（2）联结BD 交AE 于M ，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD 的长．
考点： 直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
分析： （1）证明△DAE ≌△CFE 可得AE=FE，再根据直角三角形的性质可得BE=EF；
（2）过D 作DH ⊥BF 于H ，证明四边形ABHD 为矩形，再由AD=BH，可得AD=CH，进而得到CH=1，然后根据勾股定理可得答案．
解答： （1）证明：∵ABCD 为直角梯形，∠A=∠ABC=90°，AD ∥BC ，
∴∠DAE=∠CFE ，∠ADE=∠FCE ，
∵E 为CD 的中点，
∴DE=CE，
在△DAE 和△CFE 中，
，∴△DAE ≌△CFE （AAS ），∴AE=FE，AD=FC，在直角三角形ABF 中：BE=AE=FE；
（2）∵AM=EM，AE=FE，∴AM=FM ，∵AD ∥BC ，∴==，
过D 作DH ⊥BF 于H ，∴∠DHB=90°，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABHD 为矩形，
∵AD=BH，∴AD=CH，在直角三角形CDH 中，CH=AD=1，DH=AB=2， CD==．
点评： 此题主要考查了直角梯形，关键是掌握直角梯形中常用辅助线，作高，构造矩形和直角三角形．
3．（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 与点G 和点H ，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH 的长．
考点：
分析： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质． （1）根据EF ∥BD ，则==，再利用平行四边形的性质即可得出==，求出GH 即可． 的值； （2）利用DF ∥AB ，则
解答：
∴
==，进而得出解：（1）∵EF ∥BD ， ，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD， ∴
=；
（2）∵DF ∥AB ， ∴
==，∴=，∵EF ∥BD ，∴==，∴=，
∴GH=6．
点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH 的长是解题关键．
4．（2013•闵行区三模）已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形．过点E 作EF ∥BC ，EF 分别与线段AB 、AC 、AD 相交于点F 、G 、H ，联结CE ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）如果AD ⊥BC ，求证：BC=2FG．
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线分线段成比例．
专题： 证明题．
分析： （1）通过全等三角形△BAD ≌△CAE （SAS ）的对应角相等判定∠B=∠ACE=60°．则∠ACE=∠BAC ．所以根据平行线的判定知BF ∥CE ．又EF ∥BC ，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形BCEF 是平行四边形；
（2）由垂直得到直角，即由AD ⊥BC ，得到∠ADC=90°．然后根据（1）中的平行线得到∠AHE=∠ADC=90°．即EH ⊥AD ．又△ADE 是等边三角形，所以EA=ED．AH=DH．再根据平行线分线段成比例得到
AG=CG．故BC=2FG．
解答： 证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．
同理可知，AD=AE，∠DAE=60°．
即得∠BAC=∠DAE ．
∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ．
即得∠BAD=∠CAE ．
∴在△BAD 和△CAE 中，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．
∴∠B=∠ACE=60°．
∴∠ACE=∠BAC ．
∴BF ∥CE ．
又∵EF ∥BC ，
∴四边形BCEF 是平行四边形；
（2）∵AD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°．
又∵EF ∥BC ，
∴∠AHE=∠ADC=90°．即EH ⊥AD ．
又∵△ADE 是等边三角形，
∴EA=ED．
∴AH=DH．
∵EF ∥BC ，∴． ．即AF=BF，同理可得
∴AF=BF，
同理可得 AG=CG．
∴BC=2FG．
点评： 本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系统的掌握．
5．（2013•明溪县质检）如图，C 是线段AB 上一动点，分别以AC 、BC 为边作等边△ACD ．等边△BCE ，连接AE 、BD 分别交CD 、CE 于M 、N 两．
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN 与AB 的位置关系；
（3）若AB=10，当点C 在AB 上运动时，是否存在一个位置使MN 的长最大？若存在请求出此时AC 的长以及MN 的长．若不存在请说明理由．
考点： 平行线分线段成比例；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 专题： 几何综合题．
分析： （1）根据等边三角形的性质可得DC=AC，EC=BC，∠DCB=∠ACE=120°，然后利用“边角边”证明△DCB 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC=∠MEC ，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角边角”证明△NCB 和△MCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=CM，从而求出△CMN 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）设AC=x，MN=y，根据平行线分线段成比例定理可得=，再表示出EC 、CN 、EN ，整理得到y 、x 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
解答： （1）证明：∵△ACD 和△BCE 均为等边三角形，
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB 和△ACE 中，
，
∴△DCB ≌△ACE （SAS ），
∴AE=BD；
（2）MN ∥AB ．
理由如下：由（1）可知△DCB ≌△ACE ，
∴∠NBC=∠MEC ，
又∵∠MCE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB 和△MCE 中，
，
∴△NCB ≌△MCE （ASA ），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN 是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN ∥AB ；
（3）设AC=x，MN=y，
∵MN ∥AB ， ∴
=，
又∵CB=EC=10﹣x ，CN=y，EN=10﹣x ﹣y ， ∴
=
整理得，y=﹣
配方得y=﹣， x +x， （x ﹣5）+2.5（0＜x ＜10）， 22
∴当x=5cm时，线段MN 有最大值2.5cm ．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键．
6．（2012•贵港）如图，在▱ABCD 中，延长CD 到E ，使DE=CD，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG 的长．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例． 专题： 证明题．
分析： （1）连接AE 、BD 、根据AB ∥CD ，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE ，即可推出答案；
（2）在BC 上截取BN=AB=1，连接AN ，推出△ANB 是等边三角形，求出CN=1=AN，根据三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC ，根据△AGB ∽△CGE ，得出==，求出AG ，在△BGA 中，由勾股定理求出BG ，求出GE 、BE ，根据平行四边形BDEA 求出BF ，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接BD 、AE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB ∥DE ，AB=DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴AF=DF．
（2）解：在BC 上截取BN=AB=1，连接AN ，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB 是等边三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=×60°=30°，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AC=
=，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴△AGB ∽△CGE ， ∴
=∴
AG==， =， ， 在△BGA 中，由勾股定理得：BG==， ∵
=，
∴GE=
BE=
， +=2，
∵四边形ABDE 是平行四边形，
∴
BF=BE=
∴
FG=﹣， =．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．
7．（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，连接BD ．
（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；
（2）连接CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时，求证：MN=2DB．
考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质；梯形．
分析： （1）首先根据三角形中位线定理可得EF ∥BD ，再有条件AD ∥BC ，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM 是平行四边形；
（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得可得=，进而得到MN=2DB． =，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF ∥BD ，解答： 证明：（1）∵点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，
∴EF ∥BD ，
又∵AD ∥BC ，
∴四边形DBEM 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCM 为平行四边形，
∴AB=CM，AB ∥CM ， ∴
=，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF ∥BD ， ∴
=．
∴MN=2DB．
点评： 此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
8．（2012•顺义区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB 相交于点F ，AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．
分析： 利用矩形的性质、勾股定理求得AE 的长度；然后在Rt △DCE 中根据平行线分线段成比例可知EF 、DF 间的数量关系；最后利用线段ED 与EF 、DF 间的和差关系即可求得DF 的长度．
解答： 解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1，
∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC=∠C=90°，AB ∥DC ．
∴EB=AB=1．
在Rt △ABE 中，
在Rt △DCE 中，
∵AB ∥DC ， ∴． ； ；
设EF=x，则DF=2x．
∵EF+DF=DE，
∴x+2x=
∴x=，
． ∴
DF=2x=
点评： 本题考查了勾股定理、矩形的性质以及平行线分线段成比例．利用平行线分线段成比例定理时，要找准对应关系．
9．（2012•卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB=7，求CD 的长．
考点：
分析：
即可求解．
解答：
∴
=平行线分线段成比例． 根据△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可知OB ：OD 的值，再根据平行线分线段成比例解：∵AB ∥DC ， ，…（3分）
∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴
=，（3分） ∴
==，
∵AB=7，
∴CD=．
点评： 本题主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．（2012•虹口区二模）如图，已知ED ∥BC ，GB =GE•GF
（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；
（2）连接GD ，若GB=GD，求证：四边形ABCD 为菱形．
2
考点：
专题：
分析：
则平行线分线段成比例；平行四边形的判定；菱形的判定． 证明题． （1）根据平行线分线段成比例定理可以得到：，然后根据GB =GE•GF 变形得到：2，，然后利用平行线分线段成比例定理的逆定理即可证得AB ∥CD ，根据平行四边形的定义即可证得；
（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得到O 是BD 的中点，再根据GB=GD，利用等腰三角形的性质即可得到BD ⊥AC ，利用菱形的判定定理即可证得．
解答： 证明：（1）∵ED ∥BC ， ∴
2． ∵GB =GE•GF ， ∴
∴， ，
∴AB ∥CF ，即AB ∥CD ．
又∵ED ∥BC
∴四边形ABCD 为平行四边形；
（2）连接BD 交AC 于点O ．
∵四边形ABCD 为平行四边形．
∴BO=DO，
∵GB=GD∴OG ⊥BD 即AC ⊥BD ．
又∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴四边形ABCD 为菱形．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，和菱形的判定定理，等腰三角形的三线合一定理，运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是关键．
11．（2012•嘉定区一模）如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ：DF=5：8，AC=24．
（1）求AB 的长；
（2）当AD=4，BE=1时，求CF 的长．
考点：
专题：
分析： 平行线分线段成比例． 计算题． （1）根据l 1∥l 2∥l 3，推出===，代入求出BC 即可求出AB ； ==，代入求出即可． （2）根据l 1∥l 2∥l 3，得出解答：
∴
==， =，求出OB 、OC ，根据平行线分线段成比例定理得出（1）解：∵l 1∥l 2∥l 3，EF ：DF=5：8，AC=24， ∴
=，
∴BC=15，
∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．
（2）解：∵l 1∥l 2∥l 3 ∴
=∴
=， =，
∴OB=3，
∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12， ∴
==， ∴
=，
∴CF=4．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．
12．（2012•卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF=1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD=2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．
考点：
专题：
分析： 平行线分线段成比例． 证明题． 过点F 作FE ∥BD ，交AC 于点E ，求出=，代入化简即可． =，得出FE=BC ，根据已知推出CD=BC ，根据平行线分线段成比例定理推出解答：
∴
=， 解：过点F 作FE ∥BD ，交AC 于点E ， ∵AF ：BF=1：2， ∴
=， ∴
=，
即
FE=BC ，
∵BC ：CD=2：1，
∴CD=BC ，
∵FE ∥BD ， ∴
===．
即FN ：ND=2：3．
证法二、连接CF 、AD ，
∵AF ：BF=1：2，BC ：CD=2：1， ∴
==，
∵∠B=∠B ，
∴△BCF ∽△BDA ， ∴
==，∠BCF=∠BDA ，
∴FC ∥AD ，
∴△CNF ∽△AND ， ∴
==．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
13．（2011•菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5）． ①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形；平行线分线段成比例．
专题： 证明题；数形结合；待定系数法．
分析： （1）①由一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5）可以得到5=k+2，可以求出k ，也就求出了反比例函数的表达式；
②由于点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解；
（2）过点A 作AG ∥DC ，然后证明四边形AGCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG ，再在Rt △ABG 中利用勾股定理求出AG ，又EF ∥DC ∥AG ，利用平行线分线段成比例即可解决问题． 解答： 解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5），
所以得5=k+2，
解得k=3， 所以反比例函数的表达式为
②联立得方程组， ；（3分）
解得或，
经检验：都是原方程组的解，
故第三象限的交点Q 的坐标为（﹣3，﹣1）．
（2）解：过点A 作AG ∥DC ，
∵AD ∥BC ，
∴四边形AGCD 是平行四边形，（2分）
∴GC=AD，
∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3，
在Rt △ABG 中， AG==，（4分）
∵EF ∥DC ∥AG ， ∴
∴
EF==， ．（6分）
点评： 此题的第一小题考查了待定系数法确定函数的解析式和函数图象的交点坐标与解析式的关系，第二小题考查了梯形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例的定理即平行四边形的性质与判定，有一定的综合性，难度不大．
14．（2011•百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ①DM=CN ．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．
考点： 等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例．
分析： （1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．
（2）先根据SAS 证明△AMD ≌△BCN ，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ，即四边形ABNM 是等腰梯形． 解答： 解：（1）可以选择①DM=CN；
（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN ，DM=CN
∴△AMD ≌△BCN ，
∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON， ∴
∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB
∴四边形ABNM 是等腰梯形．
点评： 本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．
15．（2011•辽阳）如图，⊙O 经过点B 、D 、E ，BD 是⊙O 的直径，∠C=90°，BE 平分∠ABC ．
（1）试说明直线AC 是⊙O 的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O 的半径及BC 的长．
考点： 切线的判定；勾股定理；平行线分线段成比例．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）连接OE ，证明出∠AEO=90°，即可说明直线AC 是⊙O 的切线；
（2）知道OE ∥BC ，利用平行线分线段成比例定理即可解答．
解答： （1）证明：连接OE ．
∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE ∥BC ．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC 是⊙O 的切线．
（2）解：设⊙O 的半径为r ，在Rt △AEO 中，由勾股定理可得OA =OE+AE．
∵AE=4，AD=2，
222∴（2+r）=r+4．
∴r=3．
∵OE ∥BC ， ∴
=
∴
=． ．
． 222∴BC=
点评：
本题考查了切线的判定、勾股定理和平行线分线段成比例定理，是一道综合题，但难度不大．
16．（2011•通州区二模）如图，矩形OABC 的面积为
3，则k=．
，它的对角线OB 与双曲线相交于点D ，且OB ：OD=5：
考点：
专题：
分析： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；平行线分线段成比例． 计算题． 过D 作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，设D 的坐标是（x ，y ），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM=AB ，DN=BC ，代入矩形的面积即可求出答案．
解答： 解：过D 作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，
设D 的坐标是（x ，y ），
则DM=y，DN=x，
∵OB ：OD=5：3，矩形OABC ，
∴∠BAO=90°，
∵DM ⊥OA ，
∴DM ∥BA ，
∴△ODM ∽△OBA ， ∴
==，
∴DM=AB ，
同理DN=BC ，
∵四边形OABC 的面积为
∴AB ×BC=，
×=12， ， ∴DM ×
DN=xy=AB ×BC=即k=xy=12．
故答案为：12．
点评： 本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM=AB 和DN=BC 是解此题的关键．
17．（2011•抚顺一模）如图1，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BM ⊥直线AC 于M ，DN ⊥直线AC 于N ．
（1）线段OM 、ON 有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线AC 绕点A 旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM 、ON 有什么样的数量关系？请给予证明；
（3）若直线AC 饶点A 继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；旋转的性质；平行线分线段成比例．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形性质得出OD=OB，证△DON 和△BOM 全等即可推出答案；
（2）ON 交BM 于E ，证△DNO 和△BOE 全等，推出OE=ON，根据直角三角形斜边上的中线性质求出集；
（3）根据平行四边形性质推出OD=OB，根据平行线分线段成比例定理求出NE=MN，根据线段垂直平分线定理求出集．
解答： 解：（1）OM=ON．
（2）OM=ON，
理由是：∵BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，
∴BM ∥DN ，
∴∠DNO=∠BEO ，∠NDB=∠MBD
∵平行四边形ABCD ，
∴OD=OB，
在△DNO 和△BEO 中
∠DNO=∠BEO ，∠NDB=∠MBD ，OD=OB，
∴△DNO ≌△BEO ，
∴ON=OE，
∵∠BMN=90°，
∴OM=ON（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
（3）规律：AC 绕A 旋转到任意位置均有OM=ON，
如图所示：AC 旋转到AC ′，过O 作OE ⊥AC ′，
∵平行四边形ABCD ，
∴OD=OB，
∵DN ⊥AC ′，OE ⊥AC ′，BM ⊥AC ′，
∴DN ∥OE ∥BM ，
∵DO=OB，
∴根据一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的相等也相等得出：NE=ME，
∴ON=OM．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形性质，旋转的性质，线段垂直平分线性质等知识点的应用，主要是通过作辅助线OE ，证ON 和OE 的关系，进一步求出ON=OM．
18．（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是AB 、CD 的中点，观察EF 的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E 分线段AB 为接填写结果）；
（3）如果点E 分线段AB
为=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=a，BC=b，求EF 的长．
=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF= 3.5 （直
考点： 梯形中位线定理；平行线分线段成比例．
专题： 证明题．
分析： （1）连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ，然后利用角边角证明△ADF 与△GCF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根据三角形的中位线定理即可得证明；
（2）过点A 作AH ∥CD 交EF 于点G ，交BC 于点H ，根据平行四边形的对边相等可得GF=AD，再根据平行线分线段成比例定理表示出EG 的长度，然后相加即可求出EF 的长；
（3）与（2）同理可求出EF 的长．
解答： 解：（1）证明：如图1，连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ，
∵AD ∥BC ，
∴∠D=∠GCF ，
∵F 是CD 的中点，
∴DF=FC，
在△ADF 与△GCF 中，
，
∴△ADF ≌△GCF （ASA ），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF ∥BC ，且EF=BG ，
∵BG=BC+CG，
∴
EF=（AD+BC），
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；
（2）如图2，过点A 作AH ∥CD 交EF 于点G ，交BC 于点H ，
∵AD ∥BC ，
∴GF=CH=AD， ∵
=， ∴
=∴EG==， ，
+AD， ∴
EF=EG+GF=
∵AD=3，BC=5，
∴
EF=+3=3.5；
（3）如图3，过点A 作AH ∥CD 交EF 于点G ，交BC 于点H ，
∵AD ∥BC ，
∴GF=CH=AD， ∵
=， ∴
=∴EG==， BH ，
BH+AD， ∴
EF=EG+GF=
∵AD=a，BC=b，
∴
EF=×（b ﹣a ）+a=．
点评： 本题主要考查了梯形的中位线与平行线分线段成比例定理，通过作辅助线，把梯形的问题转化为三角形的中位线进行解答是解题的关键．
19．（2011•安溪县质检）已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，CF=2，求BE 的长．
考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例．
专题： 综合题．
分析： （1）连接AD 、OD 证得AD ⊥BC ，从而证得OD ⊥DE 后即可得到DE 是圆O 的切线；
（2）根据平行得到比例式后求得AE 的长后即可求得BE 的长．
解答： （1）证明：连接AD 、OD ，
∵AC 是⊙0直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD ⊥BC ，（1分）
∵AC=AB，
∴BD=DC，（2分）
∵AO=OC，
∴OD ∥AB ，（3分）
∵AB ⊥DE ，
∴OD ⊥DE ，（4分）
∴DE 是⊙0的切线；（5分）
（2）∵OD ∥AB ， ∴
=，
∵FC=2，OA=OD=OC=3，
∴FO=5，FA=8，
∴AE=
==4.8，（8分）
∴BE=AB﹣AE=AC﹣AE=6﹣4.8=1.2．（9分）
点评： 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例定理等知识，是一道比较好的数学综合题．
20．（2011•昌平区二模）梯形ABCD 中DC ∥AB ，AB=2DC，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=4，过AC 的中点H 作EF ∥BD 分别交AB 、AD 于点E 、F ，求EF 的长．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据平行四边形的判定首先得出四边形BPCD 是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理得出EF 的长．
解答： 解：过点C 作CP ∥BD 交AB 的延长线于P ．（1分）
∵DC ∥AB ，
∴四边形BPCD 是平行四边形，
∴DB ∥CP ，DC=BP．
∵AB=2DC，设DC=x，
∴BP=x，AB=2x，
∴AP=3x．
∵EF ∥BD ，CP ∥BD ，
∴EF ∥CP ．
又∵点H 为AC 的中点， ∴，
∴AE=AP=x ， ∴
∵EF ∥BD ， ∴， ，（3分）
∵BD=4， ∴，
∴EF=3．（5分）
点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的判定与性质，由已知得出四边形BPCD 是解决问题的关键． 是平行四边形以及
21．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，过点E 作EF ∥DC 交AD 于点F ．已知AD=2cm ，AB=8cm．求：
（1）
（2）的值； 的值．
考点：
分析： 平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例即可求出的值；
的值． （2）根据平行线分线段成比例求出AF=3cm，从而求出
解答：
∴
=
∵AD=2
∴
=， cm ，AB=8cm， ； 解：（1）∵DE ∥BC ，
（2）∵EF ∥DC ， ∴
==，
解得AF=3cm， ∴
=．
点评： 考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
22．（2011•嘉定区二模）如图，已知B 是线段AE 上一点，ABCD 和BEFG 都是正方形，连接AG 、CE ．
（1）求证：AG=CE；
（2）设CE 与GF 的交点为P ，求证：．
考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据正方形的特征，可知AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，根据全等三角形的判定定理，可知△ABG ≌△CBE ，从而得出AG=CE，
（2）根据正方形的特征，可知PG ∥BE ，得出． ，，再由（1）△ABG ≌△CBE ，得出BG=BE，AG=CE，从而解答： 证明：（1）∵四边形ABCD 和BEFG 是正方形，
∴AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
∴△ABG ≌△CBE ，
∴AG=CE，
（2）∵PG ∥BE ∴，，
∵BG=BE，AG=CE， ∴∴，． ， 点评： 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质，比较综合，难度适中．
23．（2011•奉贤区一模）如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG 、FG 的长．
考点： 平行线分线段成比例．
专题： 综合题．
分析： 在△ABC 中，根据平行线分线段成比例求出EG ，在△BAD 中，根据平行线分线段成比例求出EF ，即可求出FG=EG﹣EF ．
解答： 解：∵△ABC 中，EG ∥BC ， ∴，
∵BC=10，AE=3，AB=5， ∴，
∴EG=6，
∵△BAD 中，EF ∥AD ， ∴，
∵AD=6，AE=3，AB=5， ∴
∴
EF=． ，
∴FG=EG﹣EF=．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
24．（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交AD 边于点F ．
2求证：CG =GF•GE ．
考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 由平行四边形可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再由平行线分线段成比例即可证明．
解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，
∵DC ∥AB ， ∴，
∵AD ∥BC ， ∴
∴
2， ， 即CG =GF•GE ．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，能够熟练掌握．
25．（2011•嘉定区一模）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，DE=4，BC=6，AD=5．求DC 与AE 的长．
考点：
专题：
分析： 平行线分线段成比例． 综合题． 根据平行线分线段成比例，可得
=，求出AC ，从而得到DC 的长．根据等腰三角形的性质得，得到AE 的长． 到DE=BE=4，再由平行线分线段成比例，可得解答：
∴解：∵DE ∥BC ， ，（1分）
又DE=4，BC=6，AD=5， ∴，（1分）
31
∴
∴
∵DE ∥BC ， ∴， ，（1分） ，（1分）
∴∠DBC=∠EDB （1分）
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠EBD=∠DBC ，（1分）
∴∠EBD=∠EDB ，（1分）
∴DE=BE=4，（1分）
，（1分）
∴AE=8．（1分）
点评： 本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，找准对应关系，避免错误．
26．（2011•徐汇区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=15，，E 为线AC 上一点（不与A 、C 重合），过点E 作ED ⊥AC 交线段AB 于点D ，将△ADE 沿着直线DE 翻折，A 的对应点G 落在射线AC 上，线段DG 与线段BC 交于点M ．
（1）若BM=8，求证：EM ∥AB ；
（2）设EC=x，四边形的ADMC 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并写出定义域．
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： （1）根据三角函数先在Rt △ACB 中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt △MCG 中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根据平行线分线段成比例即可证明EM ∥AB ；
（2）根据S ADMC =S△ABC ﹣S △DBM ，即可得出S 关于x 的函数解析式．
解答：
则AB=解：（1）在Rt △ACB 中，，设AC=3k，BC=4k，（1分） ，AB=5k=15，k=3．
∴AC=9，BC=12．（2分）
∵BM=8，
∴MC=4（1分）
在Rt △MCG 中，
∴CG=3．（1分）
∴AG=12，EC=3，AE=6．（1分） ，
32
∵，
∴EM ∥AB ；（1分）
（2）EC=x，由题意有EG=AE=9﹣x ，则CG=9﹣2x ，（1分）
，BM=12﹣（9﹣2x ），（1分）
S ADMC =54﹣（0＜x ＜4.5）．（3分）
点评： 本题综合考查了平行线分线段成比例，三角函数的知识及组合图形的面积之间的关系，函数解析式，有一点的难度．
27．（2011•闵行区一模）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=11，BC=13，AB=12．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且BQ=2DP．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP=x．
（1）求的值．
（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S ．
（3）当△PQG 是以线段PQ 为腰的等腰三角形时，求x 的值．
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理；直角梯形．
专题： 应用题；综合题；动点型．
分析： （1）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（2）点P 在AD 上运动时，由平行线分线段成比例的性质可得EF 与QG 的比例始终是1：3，且BQ=CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（3）以线段PQ 为腰，则可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分开求解即可．
解答： 解：（1）在梯形ABCD 中，
∵AD ∥BC ，∴
∵EF ∥BC ，∴
又∵BQ=2DP，∴． ． ．
（2）不发生变化．
作EM ⊥BC ，垂足为点M ，
在△BCD 中，
∵EF ∥BC ， ∴．
而BC=13，
33
∴．
又∵PD ∥CG ， ∴．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN ⊥BC ，垂足为点N ． ∴
===，
而AB=12，
∴可求得EM=8． ∴．
（3）作PH ⊥BC ，垂足为点H ．
（i ）当PQ=PG时，
∴
解得．
． ． ． （ii ）当PQ=GQ时，
解得x=2或．
综上所述，当△PQG 是以PQ 为腰的等腰三角形时，x 的值为、2或．
点评： 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及梯形的面积的求解和等腰三角形的判定问题，能够利用所学知识熟练求解．
28．（2010•济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ．当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？
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经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
考点：
专题：
分析： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例． 压轴题；数形结合． （1）过E 作EG ∥BC 交DC 、AB 分别于F 、G ，如图2，结合平行线分线段成比例定理则可得：，因为DE=EP，可知所以DF=FC，可求出EF 和EG 的值，再利用AB ∥CD ，可得EM ：EN=EF：EG ，进而可求得EM 与EN 的比值；
（2）作MH ∥BC 交AB 于点H ，先利用AB ∥CD ，可得∠MNH=∠CMN ，结合对顶角的性质，易得
∠MNH=∠CMN=∠DME=90°﹣∠CDP ，而∠DPC=90°﹣∠CDP ，那么∠DPC=∠MNH ，再加上一对直角，和一组对应边（HM=CD），可证两三角形△DPH 和△MNH 全等，从而有DP=MN．
解答： （1）解：过E 作直线GE 平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，（如图2） 则，，GF=BC=12，
∵DE=EP，
∴DF=FC， ∴
∴； ，EG=GF+EF=12+3=15，
（2）证明：正确，
作MH ∥BC 交AB 于点H ，（如图1）
则MH=CB=CD，∠MHN=90°，
∵∠DCP=180°﹣90°=90°，
∴∠DCP=∠MHN ，
∵NE 是DP 的垂直平分线，
∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°﹣∠CDP ，∠DPC=90°﹣∠CDP ，
∴∠DPC=∠MNH ，
∴△DPC ≌△MNH ，
∴DP=MN．
35
点评： 本题利用了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、平行线性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
29．（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 过点E 作EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，根据CD ⊥AB 和EF ⊥BE 先证明△EFM 与△EGN 相似，得到EF ：EG=EM：EN ，再根据平行线分线段成比例定理求出EM ：CG=AE：AC ，EN ：AD=CE：AC ，结合CE=kEA即可用CD 、AD 表示出EM 与EN ，再利用∠A 的正切值即可求出．
解答： 解：过E 作EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，
∵CD ⊥AB ，∴EM ∥CD ，EN ∥AB ，
∵EF ⊥BE ，∴∠EFM+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN （对顶角相等）
∴∠EFM=∠EGN ，
36
∴△EFM ∽△EGN ， ∴，
在△ADC 中，
∵EM ∥CD ， ∴，
又CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EM ， 同理
∴AD=， EN ，
∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=mBC tanA=
即=， =， ∴
∴
EF=， EG ．
点评： 本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．
30．（2010•武汉）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．
（1）如图1，当OA=OB，且D 为OA 中点时，求
（2）如图2，当OA=OB，且的值； 时，求tan ∠BPC 的值．
时，直接写出tan ∠BPC 的值． （3）如图3，当AD ：AO ：OB=1：n ：
37
考点： 平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
专题： 压轴题．
分析： （1）过D 作BO 的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO 中ED ：CO=AD：AO ，在△PDE 和△PCB 中，ED ：BC=PE：PC ，再根据C 是BO 的中点，可以求出PE ：PC=1：2，再根据三角形中位线定理，点E 是AC 的中点，利用比例变形即可求出AP 与PC 的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC ，再过D 作DF ⊥AC 于F ，设AD 为a ，利用勾股定理求出AC 等于2a ，再利用相似三角形对应边成比例求出DF 、AF 的值，而PF=AC﹣AF ﹣PC ，也可求出，又∠BPC 与∠FPD 是对顶角，所以其正切值便可求出．
（3）根据（2）的方法，把相应数据进行代换即可求出．
解答：
解：（1）过D 作DE ∥CO 交AC 于E ，
∵D 为OA 中点，
∴AE=CE=，，
∵点C 为OB 中点，
∴BC=CO，
∴
∴PC==， ， ， ∴=2；
（2）过点D 作DE ∥BO 交AC 于E ， ∵，
38
∴
==，
∵点C 为OB 中点， ∴
∴
∴PC==， ， ，
过D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，设AD=a，则AO=4a，
∵OA=OB，点C 为OB 中点，
∴CO=2a，
在Rt △ACO 中，AC=又∵Rt △ADF ∽Rt △ACO ， ∴
∴
AF=，
DF=， ，
a ﹣=． ﹣=， ==2a ， PF=AC﹣AF ﹣PC=2tan ∠BPC=tan∠FPD=
（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出
DF=a ，
PF=a ，所以tan ∠BPC=．
点评： 本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力．
39
2014.09.27比例线段
一．解答题（共30小题）
1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a ：b ：c ②．
2．（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；
（1）联结BE ，求证：BE=EF．
（2）联结BD 交AE 于M ，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD 的长．
3．（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 与点G 和点H ，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH 的长．
4．（2013•闵行区三模）已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形．过点E 作EF ∥BC ，EF 分别与线段AB 、AC 、AD 相交于点F 、G 、H ，联结CE ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）如果AD ⊥BC ，求证：BC=2FG．
5．（2013•明溪县质检）如图，C 是线段AB 上一动点，分别以AC 、BC 为边作等边△ACD ．等边△BCE ，连接AE 、BD 分别交CD 、CE 于M 、N 两．
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN 与AB 的位置关系；
（3）若AB=10，当点C 在AB 上运动时，是否存在一个位置使MN 的长最大？若存在请求出此时AC 的长以及MN 的长．若不存在请说明理由．
6．（2012•贵港）如图，在▱ABCD 中，延长CD 到E ，使DE=CD，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG 的长．
7．（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，连接BD ．
（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；
（2）连接CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时，求证：MN=2DB．
8．（2012•顺义区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB 相交于点F ，AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．
9．（2012•卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB=7，求CD 的长．
10．（2012•虹口区二模）如图，已知ED ∥BC ，GB =GE•GF
（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；
（2）连接GD ，若GB=GD，求证：四边形ABCD 为菱形．
2
11．（2012•嘉定区一模）如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ：DF=5：8，AC=24．
（1）求AB 的长；
（2）当AD=4，BE=1时，求CF 的长．
12．（2012•卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF=1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD=2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．
13．（2011•菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5）． ①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．
14．（2011•百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 _________ ．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．
15．（2011•辽阳）如图，⊙O 经过点B 、D 、E ，BD 是⊙O 的直径，∠C=90°，BE 平分∠ABC ．
（1）试说明直线AC 是⊙O 的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O 的半径及BC 的长．
16．（2011•通州区二模）如图，矩形OABC 的面积为
3，则k=
，它的对角线OB 与双曲线相交于点D ，且OB ：OD=5：
17．（2011•抚顺一模）如图1，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BM ⊥直线AC 于M ，DN ⊥直线AC 于N ．
（1）线段OM 、ON 有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线AC 绕点A 旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM 、ON 有什么样的数量关系？请给予证明；
（3）若直线AC 饶点A 继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．
18．（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是AB 、CD 的中点，观察EF 的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E 分线段AB 为（直接填写结果）；
（3）如果点E 分线段AB
为=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=a，BC=b，求EF 的长．
=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF= _________
19．（2011•安溪县质检）已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，CF=2，求BE 的长．
20．（2011•昌平区二模）梯形ABCD 中DC ∥AB ，AB=2DC，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=4，过AC 的中点H 作EF ∥BD 分别交AB 、AD 于点E 、F ，求EF 的长．
21．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，过点E 作EF ∥DC 交AD 于点F ．已知AD=2cm ，AB=8cm．求：
（1）
（2）的值； 的值．
22．（2011•嘉定区二模）如图，已知B 是线段AE 上一点，ABCD 和BEFG 都是正方形，连接AG 、CE ．
（1）求证：AG=CE；
（2）设CE 与GF 的交点为P ，求证：．
23．（2011•奉贤区一模）如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG 、FG 的长．
24．（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交AD 边于点F ． 求证：CG =GF•GE ．
2
25．（2011•嘉定区一模）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，DE=4，BC=6，AD=5．求DC 与AE 的长．
26．（2011•徐汇区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=15，，E 为线AC 上一点（不与A 、C 重合），过点E 作ED ⊥AC 交线段AB 于点D ，将△ADE 沿着直线DE 翻折，A 的对应点G 落在射线AC 上，线段DG 与线段BC 交于点M ．
（1）若BM=8，求证：EM ∥AB ；
（2）设EC=x，四边形的ADMC 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并写出定义域．
27．（2011•闵行区一模）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=11，BC=13，AB=12．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且BQ=2DP．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP=x．
（1）求的值．
（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S ．
（3）当△PQG 是以线段PQ 为腰的等腰三角形时，求x 的值．
28．（2010•济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ．当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
29．（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）
30．（2010•武汉）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．
（1）如图1，当OA=OB，且D 为OA 中点时，求
（2）如图2，当OA=OB，且的值； 时，求tan ∠BPC 的值．
时，直接写出tan ∠BPC 的值．
（3）如图3，当AD ：AO ：OB=1：n ：
2014.09.27比例线段
参考答案与试题解析
1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a ：b ：c ②．
考点： 比例的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据比例的基本性质可设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，进而求得a 、b 、c 的值，再分别代入求值． 解答： 解：①∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，
∴a+b+c=15k，
∴a=k，b=6k，c=8k，
∴a ：b ：c=1：6：8
②
==﹣．
点评： 本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
2．（2014•嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ；
（1）联结BE ，求证：BE=EF．
（2）联结BD 交AE 于M ，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD 的长．
考点： 直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
分析： （1）证明△DAE ≌△CFE 可得AE=FE，再根据直角三角形的性质可得BE=EF；
（2）过D 作DH ⊥BF 于H ，证明四边形ABHD 为矩形，再由AD=BH，可得AD=CH，进而得到CH=1，然后根据勾股定理可得答案．
解答： （1）证明：∵ABCD 为直角梯形，∠A=∠ABC=90°，AD ∥BC ，
∴∠DAE=∠CFE ，∠ADE=∠FCE ，
∵E 为CD 的中点，
∴DE=CE，
在△DAE 和△CFE 中，
，∴△DAE ≌△CFE （AAS ），∴AE=FE，AD=FC，在直角三角形ABF 中：BE=AE=FE；
（2）∵AM=EM，AE=FE，∴AM=FM ，∵AD ∥BC ，∴==，
过D 作DH ⊥BF 于H ，∴∠DHB=90°，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABHD 为矩形，
∵AD=BH，∴AD=CH，在直角三角形CDH 中，CH=AD=1，DH=AB=2， CD==．
点评： 此题主要考查了直角梯形，关键是掌握直角梯形中常用辅助线，作高，构造矩形和直角三角形．
3．（2014•青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC ，CD 上的点，且EF ∥BD ，AE 、AF 分别交BD 与点G 和点H ，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH 的长．
考点：
分析： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质． （1）根据EF ∥BD ，则==，再利用平行四边形的性质即可得出==，求出GH 即可． 的值； （2）利用DF ∥AB ，则
解答：
∴
==，进而得出解：（1）∵EF ∥BD ， ，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD， ∴
=；
（2）∵DF ∥AB ， ∴
==，∴=，∵EF ∥BD ，∴==，∴=，
∴GH=6．
点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH 的长是解题关键．
4．（2013•闵行区三模）已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形．过点E 作EF ∥BC ，EF 分别与线段AB 、AC 、AD 相交于点F 、G 、H ，联结CE ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
（2）如果AD ⊥BC ，求证：BC=2FG．
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线分线段成比例．
专题： 证明题．
分析： （1）通过全等三角形△BAD ≌△CAE （SAS ）的对应角相等判定∠B=∠ACE=60°．则∠ACE=∠BAC ．所以根据平行线的判定知BF ∥CE ．又EF ∥BC ，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形BCEF 是平行四边形；
（2）由垂直得到直角，即由AD ⊥BC ，得到∠ADC=90°．然后根据（1）中的平行线得到∠AHE=∠ADC=90°．即EH ⊥AD ．又△ADE 是等边三角形，所以EA=ED．AH=DH．再根据平行线分线段成比例得到
AG=CG．故BC=2FG．
解答： 证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．
同理可知，AD=AE，∠DAE=60°．
即得∠BAC=∠DAE ．
∴∠BAC ﹣∠DAC=∠DAE ﹣∠DAC ．
即得∠BAD=∠CAE ．
∴在△BAD 和△CAE 中，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．
∴∠B=∠ACE=60°．
∴∠ACE=∠BAC ．
∴BF ∥CE ．
又∵EF ∥BC ，
∴四边形BCEF 是平行四边形；
（2）∵AD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°．
又∵EF ∥BC ，
∴∠AHE=∠ADC=90°．即EH ⊥AD ．
又∵△ADE 是等边三角形，
∴EA=ED．
∴AH=DH．
∵EF ∥BC ，∴． ．即AF=BF，同理可得
∴AF=BF，
同理可得 AG=CG．
∴BC=2FG．
点评： 本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系统的掌握．
5．（2013•明溪县质检）如图，C 是线段AB 上一动点，分别以AC 、BC 为边作等边△ACD ．等边△BCE ，连接AE 、BD 分别交CD 、CE 于M 、N 两．
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN 与AB 的位置关系；
（3）若AB=10，当点C 在AB 上运动时，是否存在一个位置使MN 的长最大？若存在请求出此时AC 的长以及MN 的长．若不存在请说明理由．
考点： 平行线分线段成比例；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 专题： 几何综合题．
分析： （1）根据等边三角形的性质可得DC=AC，EC=BC，∠DCB=∠ACE=120°，然后利用“边角边”证明△DCB 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC=∠MEC ，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角边角”证明△NCB 和△MCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=CM，从而求出△CMN 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）设AC=x，MN=y，根据平行线分线段成比例定理可得=，再表示出EC 、CN 、EN ，整理得到y 、x 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
解答： （1）证明：∵△ACD 和△BCE 均为等边三角形，
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB 和△ACE 中，
，
∴△DCB ≌△ACE （SAS ），
∴AE=BD；
（2）MN ∥AB ．
理由如下：由（1）可知△DCB ≌△ACE ，
∴∠NBC=∠MEC ，
又∵∠MCE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB 和△MCE 中，
，
∴△NCB ≌△MCE （ASA ），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN 是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN ∥AB ；
（3）设AC=x，MN=y，
∵MN ∥AB ， ∴
=，
又∵CB=EC=10﹣x ，CN=y，EN=10﹣x ﹣y ， ∴
=
整理得，y=﹣
配方得y=﹣， x +x， （x ﹣5）+2.5（0＜x ＜10）， 22
∴当x=5cm时，线段MN 有最大值2.5cm ．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键．
6．（2012•贵港）如图，在▱ABCD 中，延长CD 到E ，使DE=CD，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG 的长．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例． 专题： 证明题．
分析： （1）连接AE 、BD 、根据AB ∥CD ，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE ，即可推出答案；
（2）在BC 上截取BN=AB=1，连接AN ，推出△ANB 是等边三角形，求出CN=1=AN，根据三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC ，根据△AGB ∽△CGE ，得出==，求出AG ，在△BGA 中，由勾股定理求出BG ，求出GE 、BE ，根据平行四边形BDEA 求出BF ，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接BD 、AE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB ∥DE ，AB=DE，
∴四边形ABDE 是平行四边形，
∴AF=DF．
（2）解：在BC 上截取BN=AB=1，连接AN ，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB 是等边三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=×60°=30°，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AC=
=，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴△AGB ∽△CGE ， ∴
=∴
AG==， =， ， 在△BGA 中，由勾股定理得：BG==， ∵
=，
∴GE=
BE=
， +=2，
∵四边形ABDE 是平行四边形，
∴
BF=BE=
∴
FG=﹣， =．
点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．
7．（2012•上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边AD 的延长线于点M ，交边AB 的延长线于点N ，连接BD ．
（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；
（2）连接CM ，当四边形ABCM 为平行四边形时，求证：MN=2DB．
考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质；梯形．
分析： （1）首先根据三角形中位线定理可得EF ∥BD ，再有条件AD ∥BC ，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM 是平行四边形；
（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得可得=，进而得到MN=2DB． =，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF ∥BD ，解答： 证明：（1）∵点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，
∴EF ∥BD ，
又∵AD ∥BC ，
∴四边形DBEM 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCM 为平行四边形，
∴AB=CM，AB ∥CM ， ∴
=，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF ∥BD ， ∴
=．
∴MN=2DB．
点评： 此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
8．（2012•顺义区二模）如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB 相交于点F ，AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．
分析： 利用矩形的性质、勾股定理求得AE 的长度；然后在Rt △DCE 中根据平行线分线段成比例可知EF 、DF 间的数量关系；最后利用线段ED 与EF 、DF 间的和差关系即可求得DF 的长度．
解答： 解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1，
∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC=∠C=90°，AB ∥DC ．
∴EB=AB=1．
在Rt △ABE 中，
在Rt △DCE 中，
∵AB ∥DC ， ∴． ； ；
设EF=x，则DF=2x．
∵EF+DF=DE，
∴x+2x=
∴x=，
． ∴
DF=2x=
点评： 本题考查了勾股定理、矩形的性质以及平行线分线段成比例．利用平行线分线段成比例定理时，要找准对应关系．
9．（2012•卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB=7，求CD 的长．
考点：
分析：
即可求解．
解答：
∴
=平行线分线段成比例． 根据△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可知OB ：OD 的值，再根据平行线分线段成比例解：∵AB ∥DC ， ，…（3分）
∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴
=，（3分） ∴
==，
∵AB=7，
∴CD=．
点评： 本题主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．（2012•虹口区二模）如图，已知ED ∥BC ，GB =GE•GF
（1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；
（2）连接GD ，若GB=GD，求证：四边形ABCD 为菱形．
2
考点：
专题：
分析：
则平行线分线段成比例；平行四边形的判定；菱形的判定． 证明题． （1）根据平行线分线段成比例定理可以得到：，然后根据GB =GE•GF 变形得到：2，，然后利用平行线分线段成比例定理的逆定理即可证得AB ∥CD ，根据平行四边形的定义即可证得；
（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得到O 是BD 的中点，再根据GB=GD，利用等腰三角形的性质即可得到BD ⊥AC ，利用菱形的判定定理即可证得．
解答： 证明：（1）∵ED ∥BC ， ∴
2． ∵GB =GE•GF ， ∴
∴， ，
∴AB ∥CF ，即AB ∥CD ．
又∵ED ∥BC
∴四边形ABCD 为平行四边形；
（2）连接BD 交AC 于点O ．
∵四边形ABCD 为平行四边形．
∴BO=DO，
∵GB=GD∴OG ⊥BD 即AC ⊥BD ．
又∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴四边形ABCD 为菱形．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，和菱形的判定定理，等腰三角形的三线合一定理，运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是关键．
11．（2012•嘉定区一模）如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ：DF=5：8，AC=24．
（1）求AB 的长；
（2）当AD=4，BE=1时，求CF 的长．
考点：
专题：
分析： 平行线分线段成比例． 计算题． （1）根据l 1∥l 2∥l 3，推出===，代入求出BC 即可求出AB ； ==，代入求出即可． （2）根据l 1∥l 2∥l 3，得出解答：
∴
==， =，求出OB 、OC ，根据平行线分线段成比例定理得出（1）解：∵l 1∥l 2∥l 3，EF ：DF=5：8，AC=24， ∴
=，
∴BC=15，
∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．
（2）解：∵l 1∥l 2∥l 3 ∴
=∴
=， =，
∴OB=3，
∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12， ∴
==， ∴
=，
∴CF=4．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．
12．（2012•卢湾区一模）如图，已知点F 在AB 上，且AF ：BF=1：2，点D 是BC 延长线上一点，BC ：CD=2：1，连接FD 与AC 交于点N ，求FN ：ND 的值．
考点：
专题：
分析： 平行线分线段成比例． 证明题． 过点F 作FE ∥BD ，交AC 于点E ，求出=，代入化简即可． =，得出FE=BC ，根据已知推出CD=BC ，根据平行线分线段成比例定理推出解答：
∴
=， 解：过点F 作FE ∥BD ，交AC 于点E ， ∵AF ：BF=1：2， ∴
=， ∴
=，
即
FE=BC ，
∵BC ：CD=2：1，
∴CD=BC ，
∵FE ∥BD ， ∴
===．
即FN ：ND=2：3．
证法二、连接CF 、AD ，
∵AF ：BF=1：2，BC ：CD=2：1， ∴
==，
∵∠B=∠B ，
∴△BCF ∽△BDA ， ∴
==，∠BCF=∠BDA ，
∴FC ∥AD ，
∴△CNF ∽△AND ， ∴
==．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
13．（2011•菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5）． ①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ，求EF 的长．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形；平行线分线段成比例．
专题： 证明题；数形结合；待定系数法．
分析： （1）①由一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5）可以得到5=k+2，可以求出k ，也就求出了反比例函数的表达式；
②由于点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解；
（2）过点A 作AG ∥DC ，然后证明四边形AGCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG ，再在Rt △ABG 中利用勾股定理求出AG ，又EF ∥DC ∥AG ，利用平行线分线段成比例即可解决问题． 解答： 解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P （k ，5），
所以得5=k+2，
解得k=3， 所以反比例函数的表达式为
②联立得方程组， ；（3分）
解得或，
经检验：都是原方程组的解，
故第三象限的交点Q 的坐标为（﹣3，﹣1）．
（2）解：过点A 作AG ∥DC ，
∵AD ∥BC ，
∴四边形AGCD 是平行四边形，（2分）
∴GC=AD，
∴BG=BC﹣AD=4﹣1=3，
在Rt △ABG 中， AG==，（4分）
∵EF ∥DC ∥AG ， ∴
∴
EF==， ．（6分）
点评： 此题的第一小题考查了待定系数法确定函数的解析式和函数图象的交点坐标与解析式的关系，第二小题考查了梯形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例的定理即平行四边形的性质与判定，有一定的综合性，难度不大．
14．（2011•百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ①DM=CN ．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．
考点： 等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例．
分析： （1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．
（2）先根据SAS 证明△AMD ≌△BCN ，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ，即四边形ABNM 是等腰梯形． 解答： 解：（1）可以选择①DM=CN；
（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN ，DM=CN
∴△AMD ≌△BCN ，
∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON， ∴
∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB
∴四边形ABNM 是等腰梯形．
点评： 本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．
15．（2011•辽阳）如图，⊙O 经过点B 、D 、E ，BD 是⊙O 的直径，∠C=90°，BE 平分∠ABC ．
（1）试说明直线AC 是⊙O 的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O 的半径及BC 的长．
考点： 切线的判定；勾股定理；平行线分线段成比例．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： （1）连接OE ，证明出∠AEO=90°，即可说明直线AC 是⊙O 的切线；
（2）知道OE ∥BC ，利用平行线分线段成比例定理即可解答．
解答： （1）证明：连接OE ．
∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE ∥BC ．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC 是⊙O 的切线．
（2）解：设⊙O 的半径为r ，在Rt △AEO 中，由勾股定理可得OA =OE+AE．
∵AE=4，AD=2，
222∴（2+r）=r+4．
∴r=3．
∵OE ∥BC ， ∴
=
∴
=． ．
． 222∴BC=
点评：
本题考查了切线的判定、勾股定理和平行线分线段成比例定理，是一道综合题，但难度不大．
16．（2011•通州区二模）如图，矩形OABC 的面积为
3，则k=．
，它的对角线OB 与双曲线相交于点D ，且OB ：OD=5：
考点：
专题：
分析： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；平行线分线段成比例． 计算题． 过D 作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，设D 的坐标是（x ，y ），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM=AB ，DN=BC ，代入矩形的面积即可求出答案．
解答： 解：过D 作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，
设D 的坐标是（x ，y ），
则DM=y，DN=x，
∵OB ：OD=5：3，矩形OABC ，
∴∠BAO=90°，
∵DM ⊥OA ，
∴DM ∥BA ，
∴△ODM ∽△OBA ， ∴
==，
∴DM=AB ，
同理DN=BC ，
∵四边形OABC 的面积为
∴AB ×BC=，
×=12， ， ∴DM ×
DN=xy=AB ×BC=即k=xy=12．
故答案为：12．
点评： 本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能推出DM=AB 和DN=BC 是解此题的关键．
17．（2011•抚顺一模）如图1，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BM ⊥直线AC 于M ，DN ⊥直线AC 于N ．
（1）线段OM 、ON 有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线AC 绕点A 旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM 、ON 有什么样的数量关系？请给予证明；
（3）若直线AC 饶点A 继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；旋转的性质；平行线分线段成比例．
专题： 证明题．
分析： （1）根据平行四边形性质得出OD=OB，证△DON 和△BOM 全等即可推出答案；
（2）ON 交BM 于E ，证△DNO 和△BOE 全等，推出OE=ON，根据直角三角形斜边上的中线性质求出集；
（3）根据平行四边形性质推出OD=OB，根据平行线分线段成比例定理求出NE=MN，根据线段垂直平分线定理求出集．
解答： 解：（1）OM=ON．
（2）OM=ON，
理由是：∵BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，
∴BM ∥DN ，
∴∠DNO=∠BEO ，∠NDB=∠MBD
∵平行四边形ABCD ，
∴OD=OB，
在△DNO 和△BEO 中
∠DNO=∠BEO ，∠NDB=∠MBD ，OD=OB，
∴△DNO ≌△BEO ，
∴ON=OE，
∵∠BMN=90°，
∴OM=ON（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
（3）规律：AC 绕A 旋转到任意位置均有OM=ON，
如图所示：AC 旋转到AC ′，过O 作OE ⊥AC ′，
∵平行四边形ABCD ，
∴OD=OB，
∵DN ⊥AC ′，OE ⊥AC ′，BM ⊥AC ′，
∴DN ∥OE ∥BM ，
∵DO=OB，
∴根据一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的相等也相等得出：NE=ME，
∴ON=OM．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，平行四边形性质，旋转的性质，线段垂直平分线性质等知识点的应用，主要是通过作辅助线OE ，证ON 和OE 的关系，进一步求出ON=OM．
18．（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是AB 、CD 的中点，观察EF 的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E 分线段AB 为接填写结果）；
（3）如果点E 分线段AB
为=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=a，BC=b，求EF 的长．
=，EF ∥BC 交CD 于F ，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF= 3.5 （直
考点： 梯形中位线定理；平行线分线段成比例．
专题： 证明题．
分析： （1）连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ，然后利用角边角证明△ADF 与△GCF 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根据三角形的中位线定理即可得证明；
（2）过点A 作AH ∥CD 交EF 于点G ，交BC 于点H ，根据平行四边形的对边相等可得GF=AD，再根据平行线分线段成比例定理表示出EG 的长度，然后相加即可求出EF 的长；
（3）与（2）同理可求出EF 的长．
解答： 解：（1）证明：如图1，连接AF 并延长交BC 的延长线于点G ，
∵AD ∥BC ，
∴∠D=∠GCF ，
∵F 是CD 的中点，
∴DF=FC，
在△ADF 与△GCF 中，
，
∴△ADF ≌△GCF （ASA ），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF ∥BC ，且EF=BG ，
∵BG=BC+CG，
∴
EF=（AD+BC），
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；
（2）如图2，过点A 作AH ∥CD 交EF 于点G ，交BC 于点H ，
∵AD ∥BC ，
∴GF=CH=AD， ∵
=， ∴
=∴EG==， ，
+AD， ∴
EF=EG+GF=
∵AD=3，BC=5，
∴
EF=+3=3.5；
（3）如图3，过点A 作AH ∥CD 交EF 于点G ，交BC 于点H ，
∵AD ∥BC ，
∴GF=CH=AD， ∵
=， ∴
=∴EG==， BH ，
BH+AD， ∴
EF=EG+GF=
∵AD=a，BC=b，
∴
EF=×（b ﹣a ）+a=．
点评： 本题主要考查了梯形的中位线与平行线分线段成比例定理，通过作辅助线，把梯形的问题转化为三角形的中位线进行解答是解题的关键．
19．（2011•安溪县质检）已知：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，CF=2，求BE 的长．
考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例．
专题： 综合题．
分析： （1）连接AD 、OD 证得AD ⊥BC ，从而证得OD ⊥DE 后即可得到DE 是圆O 的切线；
（2）根据平行得到比例式后求得AE 的长后即可求得BE 的长．
解答： （1）证明：连接AD 、OD ，
∵AC 是⊙0直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD ⊥BC ，（1分）
∵AC=AB，
∴BD=DC，（2分）
∵AO=OC，
∴OD ∥AB ，（3分）
∵AB ⊥DE ，
∴OD ⊥DE ，（4分）
∴DE 是⊙0的切线；（5分）
（2）∵OD ∥AB ， ∴
=，
∵FC=2，OA=OD=OC=3，
∴FO=5，FA=8，
∴AE=
==4.8，（8分）
∴BE=AB﹣AE=AC﹣AE=6﹣4.8=1.2．（9分）
点评： 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线分线段成比例定理等知识，是一道比较好的数学综合题．
20．（2011•昌平区二模）梯形ABCD 中DC ∥AB ，AB=2DC，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=4，过AC 的中点H 作EF ∥BD 分别交AB 、AD 于点E 、F ，求EF 的长．
考点： 平行线分线段成比例．
分析： 根据平行四边形的判定首先得出四边形BPCD 是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理得出EF 的长．
解答： 解：过点C 作CP ∥BD 交AB 的延长线于P ．（1分）
∵DC ∥AB ，
∴四边形BPCD 是平行四边形，
∴DB ∥CP ，DC=BP．
∵AB=2DC，设DC=x，
∴BP=x，AB=2x，
∴AP=3x．
∵EF ∥BD ，CP ∥BD ，
∴EF ∥CP ．
又∵点H 为AC 的中点， ∴，
∴AE=AP=x ， ∴
∵EF ∥BD ， ∴， ，（3分）
∵BD=4， ∴，
∴EF=3．（5分）
点评： 此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的判定与性质，由已知得出四边形BPCD 是解决问题的关键． 是平行四边形以及
21．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交边AC 于点E ，过点E 作EF ∥DC 交AD 于点F ．已知AD=2cm ，AB=8cm．求：
（1）
（2）的值； 的值．
考点：
分析： 平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例即可求出的值；
的值． （2）根据平行线分线段成比例求出AF=3cm，从而求出
解答：
∴
=
∵AD=2
∴
=， cm ，AB=8cm， ； 解：（1）∵DE ∥BC ，
（2）∵EF ∥DC ， ∴
==，
解得AF=3cm， ∴
=．
点评： 考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
22．（2011•嘉定区二模）如图，已知B 是线段AE 上一点，ABCD 和BEFG 都是正方形，连接AG 、CE ．
（1）求证：AG=CE；
（2）设CE 与GF 的交点为P ，求证：．
考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据正方形的特征，可知AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，根据全等三角形的判定定理，可知△ABG ≌△CBE ，从而得出AG=CE，
（2）根据正方形的特征，可知PG ∥BE ，得出． ，，再由（1）△ABG ≌△CBE ，得出BG=BE，AG=CE，从而解答： 证明：（1）∵四边形ABCD 和BEFG 是正方形，
∴AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
∴△ABG ≌△CBE ，
∴AG=CE，
（2）∵PG ∥BE ∴，，
∵BG=BE，AG=CE， ∴∴，． ， 点评： 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质，比较综合，难度适中．
23．（2011•奉贤区一模）如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG 、FG 的长．
考点： 平行线分线段成比例．
专题： 综合题．
分析： 在△ABC 中，根据平行线分线段成比例求出EG ，在△BAD 中，根据平行线分线段成比例求出EF ，即可求出FG=EG﹣EF ．
解答： 解：∵△ABC 中，EG ∥BC ， ∴，
∵BC=10，AE=3，AB=5， ∴，
∴EG=6，
∵△BAD 中，EF ∥AD ， ∴，
∵AD=6，AE=3，AB=5， ∴
∴
EF=． ，
∴FG=EG﹣EF=．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
24．（2011•徐汇区一模）已知：▱ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交AD 边于点F ．
2求证：CG =GF•GE ．
考点： 平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： 由平行四边形可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再由平行线分线段成比例即可证明．
解答： 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，
∵DC ∥AB ， ∴，
∵AD ∥BC ， ∴
∴
2， ， 即CG =GF•GE ．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质，能够熟练掌握．
25．（2011•嘉定区一模）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，DE=4，BC=6，AD=5．求DC 与AE 的长．
考点：
专题：
分析： 平行线分线段成比例． 综合题． 根据平行线分线段成比例，可得
=，求出AC ，从而得到DC 的长．根据等腰三角形的性质得，得到AE 的长． 到DE=BE=4，再由平行线分线段成比例，可得解答：
∴解：∵DE ∥BC ， ，（1分）
又DE=4，BC=6，AD=5， ∴，（1分）
31
∴
∴
∵DE ∥BC ， ∴， ，（1分） ，（1分）
∴∠DBC=∠EDB （1分）
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠EBD=∠DBC ，（1分）
∴∠EBD=∠EDB ，（1分）
∴DE=BE=4，（1分）
，（1分）
∴AE=8．（1分）
点评： 本题综合考查了平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，找准对应关系，避免错误．
26．（2011•徐汇区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=15，，E 为线AC 上一点（不与A 、C 重合），过点E 作ED ⊥AC 交线段AB 于点D ，将△ADE 沿着直线DE 翻折，A 的对应点G 落在射线AC 上，线段DG 与线段BC 交于点M ．
（1）若BM=8，求证：EM ∥AB ；
（2）设EC=x，四边形的ADMC 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并写出定义域．
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
专题： 证明题．
分析： （1）根据三角函数先在Rt △ACB 中，求出AC=9，BC=12，MC=4．再在Rt △MCG 中，求出CG=3．可得AG=12，EC=3，AE=6，根据平行线分线段成比例即可证明EM ∥AB ；
（2）根据S ADMC =S△ABC ﹣S △DBM ，即可得出S 关于x 的函数解析式．
解答：
则AB=解：（1）在Rt △ACB 中，，设AC=3k，BC=4k，（1分） ，AB=5k=15，k=3．
∴AC=9，BC=12．（2分）
∵BM=8，
∴MC=4（1分）
在Rt △MCG 中，
∴CG=3．（1分）
∴AG=12，EC=3，AE=6．（1分） ，
32
∵，
∴EM ∥AB ；（1分）
（2）EC=x，由题意有EG=AE=9﹣x ，则CG=9﹣2x ，（1分）
，BM=12﹣（9﹣2x ），（1分）
S ADMC =54﹣（0＜x ＜4.5）．（3分）
点评： 本题综合考查了平行线分线段成比例，三角函数的知识及组合图形的面积之间的关系，函数解析式，有一点的难度．
27．（2011•闵行区一模）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=11，BC=13，AB=12．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且BQ=2DP．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP=x．
（1）求的值．
（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S ．
（3）当△PQG 是以线段PQ 为腰的等腰三角形时，求x 的值．
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理；直角梯形．
专题： 应用题；综合题；动点型．
分析： （1）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（2）点P 在AD 上运动时，由平行线分线段成比例的性质可得EF 与QG 的比例始终是1：3，且BQ=CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（3）以线段PQ 为腰，则可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分开求解即可．
解答： 解：（1）在梯形ABCD 中，
∵AD ∥BC ，∴
∵EF ∥BC ，∴
又∵BQ=2DP，∴． ． ．
（2）不发生变化．
作EM ⊥BC ，垂足为点M ，
在△BCD 中，
∵EF ∥BC ， ∴．
而BC=13，
33
∴．
又∵PD ∥CG ， ∴．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN ⊥BC ，垂足为点N ． ∴
===，
而AB=12，
∴可求得EM=8． ∴．
（3）作PH ⊥BC ，垂足为点H ．
（i ）当PQ=PG时，
∴
解得．
． ． ． （ii ）当PQ=GQ时，
解得x=2或．
综上所述，当△PQG 是以PQ 为腰的等腰三角形时，x 的值为、2或．
点评： 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质以及梯形的面积的求解和等腰三角形的判定问题，能够利用所学知识熟练求解．
28．（2010•济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ．当CP=6时，EM 与EN 的比值是多少？
34
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
考点：
专题：
分析： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例． 压轴题；数形结合． （1）过E 作EG ∥BC 交DC 、AB 分别于F 、G ，如图2，结合平行线分线段成比例定理则可得：，因为DE=EP，可知所以DF=FC，可求出EF 和EG 的值，再利用AB ∥CD ，可得EM ：EN=EF：EG ，进而可求得EM 与EN 的比值；
（2）作MH ∥BC 交AB 于点H ，先利用AB ∥CD ，可得∠MNH=∠CMN ，结合对顶角的性质，易得
∠MNH=∠CMN=∠DME=90°﹣∠CDP ，而∠DPC=90°﹣∠CDP ，那么∠DPC=∠MNH ，再加上一对直角，和一组对应边（HM=CD），可证两三角形△DPH 和△MNH 全等，从而有DP=MN．
解答： （1）解：过E 作直线GE 平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，（如图2） 则，，GF=BC=12，
∵DE=EP，
∴DF=FC， ∴
∴； ，EG=GF+EF=12+3=15，
（2）证明：正确，
作MH ∥BC 交AB 于点H ，（如图1）
则MH=CB=CD，∠MHN=90°，
∵∠DCP=180°﹣90°=90°，
∴∠DCP=∠MHN ，
∵NE 是DP 的垂直平分线，
∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°﹣∠CDP ，∠DPC=90°﹣∠CDP ，
∴∠DPC=∠MNH ，
∴△DPC ≌△MNH ，
∴DP=MN．
35
点评： 本题利用了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、平行线性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
29．（2010•大连）如图1，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）
考点： 平行线分线段成比例；勾股定理．
专题： 几何综合题；压轴题．
分析： 过点E 作EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，根据CD ⊥AB 和EF ⊥BE 先证明△EFM 与△EGN 相似，得到EF ：EG=EM：EN ，再根据平行线分线段成比例定理求出EM ：CG=AE：AC ，EN ：AD=CE：AC ，结合CE=kEA即可用CD 、AD 表示出EM 与EN ，再利用∠A 的正切值即可求出．
解答： 解：过E 作EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，
∵CD ⊥AB ，∴EM ∥CD ，EN ∥AB ，
∵EF ⊥BE ，∴∠EFM+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN （对顶角相等）
∴∠EFM=∠EGN ，
36
∴△EFM ∽△EGN ， ∴，
在△ADC 中，
∵EM ∥CD ， ∴，
又CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EM ， 同理
∴AD=， EN ，
∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=mBC tanA=
即=， =， ∴
∴
EF=， EG ．
点评： 本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．
30．（2010•武汉）已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．
（1）如图1，当OA=OB，且D 为OA 中点时，求
（2）如图2，当OA=OB，且的值； 时，求tan ∠BPC 的值．
时，直接写出tan ∠BPC 的值． （3）如图3，当AD ：AO ：OB=1：n ：
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考点： 平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
专题： 压轴题．
分析： （1）过D 作BO 的平行线，根据平行线分线段成比例定理，在△ACO 中ED ：CO=AD：AO ，在△PDE 和△PCB 中，ED ：BC=PE：PC ，再根据C 是BO 的中点，可以求出PE ：PC=1：2，再根据三角形中位线定理，点E 是AC 的中点，利用比例变形即可求出AP 与PC 的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=AC ，再过D 作DF ⊥AC 于F ，设AD 为a ，利用勾股定理求出AC 等于2a ，再利用相似三角形对应边成比例求出DF 、AF 的值，而PF=AC﹣AF ﹣PC ，也可求出，又∠BPC 与∠FPD 是对顶角，所以其正切值便可求出．
（3）根据（2）的方法，把相应数据进行代换即可求出．
解答：
解：（1）过D 作DE ∥CO 交AC 于E ，
∵D 为OA 中点，
∴AE=CE=，，
∵点C 为OB 中点，
∴BC=CO，
∴
∴PC==， ， ， ∴=2；
（2）过点D 作DE ∥BO 交AC 于E ， ∵，
38
∴
==，
∵点C 为OB 中点， ∴
∴
∴PC==， ， ，
过D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，设AD=a，则AO=4a，
∵OA=OB，点C 为OB 中点，
∴CO=2a，
在Rt △ACO 中，AC=又∵Rt △ADF ∽Rt △ACO ， ∴
∴
AF=，
DF=， ，
a ﹣=． ﹣=， ==2a ， PF=AC﹣AF ﹣PC=2tan ∠BPC=tan∠FPD=
（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出
DF=a ，
PF=a ，所以tan ∠BPC=．
点评： 本题难度较大，需要对平行线分线段成比例定理灵活运用，根据勾股定理构造出直角三角形并求出其直角边的长，准确作出辅助线是解决本题的关键，也是求解的难点，这就要求同学们在平时的学习中对公式定理要熟练掌握并灵活运用，不断提高自己的数学学习能力．
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