第十章排列组合和二项式定理(第3课)排列(1)

宜四中校本研修教学案（2）

排列 (一)

教学目的：

1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导； 2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列； 3．能用排列数公式计算教学重点：教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：1课时 教学过程：

一、复习引入：

2.分步计数原理：分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.二、讲解新课：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做问题2．从a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的．．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （23．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个

元素中取出m元素的排列数，用符号Anm

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元．．．．．

m

素中，任取m（mnAn只

4．排列数公式及其推导：

由An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从

n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填

2

法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数An．由分步计数原理完成上述填空共有

n(n1)种填法，∴An=n(n1)2

2

由此，求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)， 求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1)， 排列数公式：

Ann(n1)(n2)(nm1)

m

33

mm

（m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘） n

三、讲解范例：

例1．计算：（1）A16； （2）A6； （3）A6． 解：（1）A16 ＝161514＝3360 ； （2）A6 ＝6!＝720 ； （3）A6＝6543＝364

3

6

4

例2．（1）若An17161554，则nm （2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示 ． 解：（1）n 17 ，m 14 ．

（2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)＝ A69n． 例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 解：（1）A55420； （2）A554321120； （3）A141413182m

15

2

5

2

四、课堂练习：

1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种 B．10种 C．12种 D．16种

2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）

A．3种 B．6种 C．1种 D．27种 3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为（ ）

A．A79k B．A79k C．A79k D．A50k

50k

29

30

30

4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ）

A．24种 B．72种 C．96种 D．120种 5．给出下列问题：

①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？

③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？

④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？

⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 6．若x{x|Z,|x|4} ，y{y|yZ,|y|5}，则以(x,y)为坐标的点共有 7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？

8．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？

1234

9．计算：（1）5A54A4 （2）A4A4A4A4

32

10．分别写出从a,b,c,d这4个字母里每次取出两个字母的所有排列； 11．写出从a,b,c,d,e,f这六个元素中每次取出3个元素且必须含有元素a的答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. ①③⑤ 6. 63 7. 60 8. 24

9. ⑴348；⑵10.共有A412个：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca,

2

11. 共有C5A360个，具体的排列略

23

五、小结 ：排列的概念；排列数的概念及排列数公式；排列及排列数的区别六、课后作业： 习题A组134

七、板书设计（略）八、教学反思

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.

宜四中校本研修教学案（2）

排列 (一)

教学目的：

1. 理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导； 2. 能用“树型图”写出一个排列中所有的排列； 3．能用排列数公式计算教学重点：教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：1课时 教学过程：

一、复习引入：

2.分步计数原理：分类计数原理和分步计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.二、讲解新课：

问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？

分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做问题2．从a,b,c,d这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？

分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有

2．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的．．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （23．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个

元素中取出m元素的排列数，用符号Anm

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元．．．．．

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素中，任取m（mnAn只

4．排列数公式及其推导：

由An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从

n个元素a1,a2,an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填

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法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数An．由分步计数原理完成上述填空共有

n(n1)种填法，∴An=n(n1)2

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由此，求An可以按依次填3个空位来考虑，∴An=n(n1)(n2)， 求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1)， 排列数公式：

Ann(n1)(n2)(nm1)

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（m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘） n

三、讲解范例：

例1．计算：（1）A16； （2）A6； （3）A6． 解：（1）A16 ＝161514＝3360 ； （2）A6 ＝6!＝720 ； （3）A6＝6543＝364

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例2．（1）若An17161554，则nm （2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示 ． 解：（1）n 17 ，m 14 ．

（2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)＝ A69n． 例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 解：（1）A55420； （2）A554321120； （3）A141413182m

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四、课堂练习：

1．四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（）

A．8种 B．10种 C．12种 D．16种

2．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）

A．3种 B．6种 C．1种 D．27种 3．kN,且k40,则(50k)(51k)(52k)(79k)用排列数符号表示为（ ）

A．A79k B．A79k C．A79k D．A50k

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4．5人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ）

A．24种 B．72种 C．96种 D．120种 5．给出下列问题：

①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少中不同的票价？

③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？

④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？

⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？ 以上问题中，属于排列问题的是 6．若x{x|Z,|x|4} ，y{y|yZ,|y|5}，则以(x,y)为坐标的点共有 7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？

8．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？

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9．计算：（1）5A54A4 （2）A4A4A4A4

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10．分别写出从a,b,c,d这4个字母里每次取出两个字母的所有排列； 11．写出从a,b,c,d,e,f这六个元素中每次取出3个元素且必须含有元素a的答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. ①③⑤ 6. 63 7. 60 8. 24

9. ⑴348；⑵10.共有A412个：ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca,

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11. 共有C5A360个，具体的排列略

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五、小结 ：排列的概念；排列数的概念及排列数公式；排列及排列数的区别六、课后作业： 习题A组134

七、板书设计（略）八、教学反思

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.