习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
(代换: x = ϕ (t ))
(注意常见的换元积分类型)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 分部积分法
∫ u v′ dx = u v − ∫ u′v dx
使用原则: 1) 由 v′ 易求出 v ; 2)
∫ u′ v dx 比 ∫ u v′ dx 好求 .
排前者取为 u , 排后者取为 v′ .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 计算格式: 列表计算
机动
目录
上页
下页
返回
结束
多次分部积分的 规 律
( n +1) (n) (n) ′ u v d x = u v − u v dx ∫ ∫
− u′v ( n −2) ( n) ( n −1) ( n−2 ) ′ ′ ′ ′ ′ ′ − u v dx = uv −u v +u v ∫ =L = u v ( n ) − u ′v ( n −1) + u ′′v ( n − 2) − L + (−1) n +1 ∫ u ( n +1) v dx 快速计算表格: u u(k ) u′ u′′ L u (n) u ( n+1) = uv
+ − +
(−1) n
(−1) n+1 ∫
(n)
( n −1)
+ ∫ u ′′v ( n −1) dx
v ( n+1−k ) v ( n+1) v ( n ) v ( n−1) L v′ v 特别: 当 u 为 n 次多项式时, u ( n+1) = 0 , 计算大为简便 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 3 dx . 例1. 求 ∫ x x 9 +4 2 3 解: 原式 = ∫ dx = ∫ 2x 2x 3 +2 2) x d ( 1 3 = 2∫ ln 3 1 + ( 2 ) 2 x 3 =
x 2 arctan( 3 )
x x
x x
x 2 ( 3) 2x 2 1 + (3)
da x = a x ln a dx dx
ln 2 − ln 3
+C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 求 解:
∫
ln( x + 1 + x 2 ) + 5 1 + x2
2
1 2
dx .
原式 = ∫ [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] d [ ln( x + 1 + x 2 ) + 5 ]
3 2 2 = [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] 2 + C 3
分析:
(1 +
2
2x 2 1+ x
2
) dx =
d [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] =
dx 1 + x2
上页 下页 返回 结束
x + 1 + x2
机动
目录
x + sin x dx . 例3. 求 ∫ 1 + cos x
解:
x x x + 2 sin cos 2 2 dx 原式 = ∫ 2 x 2 cos 2 x x = ∫ x d tan + ∫ tan dx 2 2 x = x tan + C 2
分部积分
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
1
t t 2 (t 2 − 3) = d t ∴ 原式 = ∫ 3 ⋅ 2 d t ∫ 2 t −1 t − 3 t (t − 1) 2 2 2 t −1 t −1
2 1 ln ( x − y ) 2 − 1 + C =1 ln t − 1 + C = 2 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
arctan e x dx . 例5. 求 ∫ x e
解: 原式 = − ∫ arctan e x de − x
e = −e arctan e + ∫ e dx 2x 1+ e
−x
x
−x
x
2x 2x ( 1 + e ) − e = −e − x arctan e x + ∫ dx 2x 1+ e
= −e
−x
2x arctan e + x − 1 ln ( 1 + e )+C 2
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3 2x ( x − x + 2 ) e dx . 例6. 求 ∫
解: 取 u = x 3 − x + 2 ,
v
( 4) = e 2 x
6x
−
1 e 2x 4
u (k ) x3 − x + 2
+
3x 2 − 1
1 e 2x 2
+
6
−
1 e 2x 8
0
1 e 2x 16
v
( 4− k )
e
2x
2x 1 ( x3 2
∴ 原式 = e [
2 1 ⋅ 6x 1 − x + 2) − 1 ( 3 x − 1 ) + − 16 ⋅ 6] + C 4 8
=
1 e 2 x (4 x 3 8
− 6 x + 2 x + 7) + C
2
⎧ ek x ⎫ ⎪ ⎪ 说明: 此法特别适用于 Pn ( x)⎨ sin ax ⎬ dx ∫ 如下类型的积分: ⎪cos ax ⎪ ⎩ ⎭
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n I = sec x dx , 证明递推公式: 例7. 设 n ∫ 1 n−2 n−2 In = sec x ⋅ tan x + I n−2 n −1 n −1
n−2 2 证: I n = ∫ sec x ⋅ sec x dx
(n ≥ 2)
= sec n −2 x ⋅ tan x − (n − 2) ∫ sec n−3 x ⋅ sec x tan x ⋅ tan x dx = sec
n−2
x ⋅ tan x − (n − 2) ∫ sec n − 2 x ⋅ (sec 2 x − 1) dx
= sec n− 2 x ⋅ tan x − (n − 2) I n + (n − 2) I n−2 1 n−2 n −2 ∴ In = sec x ⋅ tan x + I n−2 n −1 n −1
机动 目录
(n ≥ 2)
上页 下页 返回 结束
例8. 求 ∫ x − 1 dx . 解: 设 F ′( x) = x − 1 =
x −1 ,
1− x ,
x ≥1 x
x ≥1 x
则 F ( x) =
因 F ( x) 连续 , 利用 F (1 ) = F (1 ) = F (1) , 得
1 x2 − x + C , 1 2 2 1 x − 2 x + C2 , + − 1 +C 2 2
−1 + C1 2
得
=
记作
C
x ≥1
∫
x − 1 dx1 = F ( x) = 1 − 1 + C1 = 1− −1 (xx + 2 C2 2 1 − +1x ) −+ C +,C , x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2 1 11 ( x −− 1)x + C + , C, 22 2
例9. 设 F ( x) 为 f ( x ) 的原函数, 且 F (0) = 1 , 当 x ≥ 0 时
有 f ( x) F ( x ) = sin 2 2 x , F ( x) ≥ 0 , 求 f ( x) .
解: 由题设 F ′( x) = f ( x ) , 则 F ( x ) F ′( x) = sin 2 2 x , 故 即
1 − cos 4 x 2 ′ sin 2 x d x =∫ dx ∫ F ( x) F ( x)d x = ∫ 2 F 2 ( x) = x − 1 sin 4 x + C 4
Q F (0) = 1 , ∴ C = F 2 (0) = 1, 又 F ( x) ≥ 0 , 因此
F ( x) = x − 1 sin 4 x + 1 4
故
f ( x) = F ′( x) =
sin 2 2 x x−1 sin 4 x + 1 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法 指数函数有理式
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出. 例如 ,
−x2
∫e ∫
dx ,
1 ∫ ln x dx ,
sin x ∫ x dx , dx ∫ 1+ x4 ,
∫ sin x
∫
2
dx ,
1 + x 3 dx ,
1 − k 2 sin 2 x dx (0
LL
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例10. 求 ∫
dx 1+ e + e + e
x 6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t = e , 则 x = 6 ln t , dx = 6 dt t
dt dt = 6∫ 原式 = 6 ∫ 3 2 2 (1 + t + t + t ) t (t + 1)(t + 1) t 6 3 3t + 3 ⎛ − 2 = ∫⎜ − ⎝ t t +1 t +1 ⎞ dt ⎟ ⎠ 3 = 6 ln t − 3 ln t + 1 − ln(t 2 + 1) − 3 arctan t + C 2
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e
6
+C
返回 结束
机动
目录
上页
下页
3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
解: 令 3 cos x − sin x = A(cos x + sin x) + B (cos x + sin x )′ = ( A + B ) cos x + ( A − B ) sin x 令 a cos x + b sin x A+ B = 3 =1 2 x)′ 故 比较同类项系数 = A(c cos x + d sin x) +, B (c A cos x,+B d= sin A − B = −1 d(cos x + sin x) ∴ 原式 = ∫ dx + 2 ∫ cos x + sin x
= x + ln cos x + sin x + C a cos x + b sin x dx 的积分. 说明: 此技巧适用于形为 ∫ c cos x + d sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
sin x . 求 I1 = ∫ 例12 12. dx 及 a cos x + b sin x cos x I2 = ∫ dx . a cos x + b sin x 解：因为 a cos x + b sin x a I 2 + b I1 = ∫ d x = x + C1 a cos x + b sin x b I 2 − a I1 = ∫ b cos x − a sin x d x d(a cos x + b sin x) a cos x + b sin x = ln a cos x + b sin x + C2 1 I1 = 2 2 (bx − a ln a cos x + b sin x ) + C a +b 1 I 2 = 2 2 ( ax + b ln a cos x + b sin x ) + C a +b
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
2
=
A
2+u
+
B u −1
+
C u +1
B=
3 1 6
C = −1 2 1 1 1 = ln u + 2 + ln u − 1 − ln u + 1 + C 6 2 3 1 1 1 = ln(cos x + 2) + ln(1 − cos x) − ln(cos x + 1) + C 3 6 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx . 求I = ∫ 例14 14. (a − b ≠ kπ ) sin( x + a ) ⋅ sin( x + b) 1 sin[( x + a) − ( x + b)] d x 解: I = sin( a − b) ∫ sin( x + a ) ⋅ sin( x + b) 1 cos( x + b)− cos( x + a)sin( x + b) sin( x + a ) = dx ∫ sin( a − b) sin( x + a ) ⋅ sin( x + b) 1 [ ∫ cos( x + b) d x − ∫ cos( x + a) d x ] = sin( a − b) sin( x + b) sin( x + a ) 1 = [ ln sin( x + b) − ln sin( x + a) ] + C sin( a − b) 1 sin( x + b) = ln +C sin( a − b) sin( x + a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例15. 求 I = ∫
dx
n
( x − a ) n +1 ( x − b) n −1
x−a x −b
( n 为自然数)
dx 解: I = ∫ ( x − a ) ( x − b) n
x−a 令 t= x−b
n
n 1 a −b dt = n dx 2 t t ( x − b) n dx dt = ( a − b) t ( x − a )( x − b)
x−a a −b n − 1 则t = , n t dt = dx 2 x−b ( x − b)
n
n n 1 n dt = = + C = ∫ b−a a − b t2 b − a t
n
x−b +C x−a
目录 上页 下页 返回 结束
机动
作业
P222 6 , 9 , 18 , 19 , 28 , 31 , 38 , 39
机动
目录
上页
下页
返回
结束
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
(代换: x = ϕ (t ))
(注意常见的换元积分类型)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 分部积分法
∫ u v′ dx = u v − ∫ u′v dx
使用原则: 1) 由 v′ 易求出 v ; 2)
∫ u′ v dx 比 ∫ u v′ dx 好求 .
排前者取为 u , 排后者取为 v′ .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 计算格式: 列表计算
机动
目录
上页
下页
返回
结束
多次分部积分的 规 律
( n +1) (n) (n) ′ u v d x = u v − u v dx ∫ ∫
− u′v ( n −2) ( n) ( n −1) ( n−2 ) ′ ′ ′ ′ ′ ′ − u v dx = uv −u v +u v ∫ =L = u v ( n ) − u ′v ( n −1) + u ′′v ( n − 2) − L + (−1) n +1 ∫ u ( n +1) v dx 快速计算表格: u u(k ) u′ u′′ L u (n) u ( n+1) = uv
+ − +
(−1) n
(−1) n+1 ∫
(n)
( n −1)
+ ∫ u ′′v ( n −1) dx
v ( n+1−k ) v ( n+1) v ( n ) v ( n−1) L v′ v 特别: 当 u 为 n 次多项式时, u ( n+1) = 0 , 计算大为简便 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 3 dx . 例1. 求 ∫ x x 9 +4 2 3 解: 原式 = ∫ dx = ∫ 2x 2x 3 +2 2) x d ( 1 3 = 2∫ ln 3 1 + ( 2 ) 2 x 3 =
x 2 arctan( 3 )
x x
x x
x 2 ( 3) 2x 2 1 + (3)
da x = a x ln a dx dx
ln 2 − ln 3
+C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 求 解:
∫
ln( x + 1 + x 2 ) + 5 1 + x2
2
1 2
dx .
原式 = ∫ [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] d [ ln( x + 1 + x 2 ) + 5 ]
3 2 2 = [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] 2 + C 3
分析:
(1 +
2
2x 2 1+ x
2
) dx =
d [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] =
dx 1 + x2
上页 下页 返回 结束
x + 1 + x2
机动
目录
x + sin x dx . 例3. 求 ∫ 1 + cos x
解:
x x x + 2 sin cos 2 2 dx 原式 = ∫ 2 x 2 cos 2 x x = ∫ x d tan + ∫ tan dx 2 2 x = x tan + C 2
分部积分
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
1
t t 2 (t 2 − 3) = d t ∴ 原式 = ∫ 3 ⋅ 2 d t ∫ 2 t −1 t − 3 t (t − 1) 2 2 2 t −1 t −1
2 1 ln ( x − y ) 2 − 1 + C =1 ln t − 1 + C = 2 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
arctan e x dx . 例5. 求 ∫ x e
解: 原式 = − ∫ arctan e x de − x
e = −e arctan e + ∫ e dx 2x 1+ e
−x
x
−x
x
2x 2x ( 1 + e ) − e = −e − x arctan e x + ∫ dx 2x 1+ e
= −e
−x
2x arctan e + x − 1 ln ( 1 + e )+C 2
x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3 2x ( x − x + 2 ) e dx . 例6. 求 ∫
解: 取 u = x 3 − x + 2 ,
v
( 4) = e 2 x
6x
−
1 e 2x 4
u (k ) x3 − x + 2
+
3x 2 − 1
1 e 2x 2
+
6
−
1 e 2x 8
0
1 e 2x 16
v
( 4− k )
e
2x
2x 1 ( x3 2
∴ 原式 = e [
2 1 ⋅ 6x 1 − x + 2) − 1 ( 3 x − 1 ) + − 16 ⋅ 6] + C 4 8
=
1 e 2 x (4 x 3 8
− 6 x + 2 x + 7) + C
2
⎧ ek x ⎫ ⎪ ⎪ 说明: 此法特别适用于 Pn ( x)⎨ sin ax ⎬ dx ∫ 如下类型的积分: ⎪cos ax ⎪ ⎩ ⎭
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n I = sec x dx , 证明递推公式: 例7. 设 n ∫ 1 n−2 n−2 In = sec x ⋅ tan x + I n−2 n −1 n −1
n−2 2 证: I n = ∫ sec x ⋅ sec x dx
(n ≥ 2)
= sec n −2 x ⋅ tan x − (n − 2) ∫ sec n−3 x ⋅ sec x tan x ⋅ tan x dx = sec
n−2
x ⋅ tan x − (n − 2) ∫ sec n − 2 x ⋅ (sec 2 x − 1) dx
= sec n− 2 x ⋅ tan x − (n − 2) I n + (n − 2) I n−2 1 n−2 n −2 ∴ In = sec x ⋅ tan x + I n−2 n −1 n −1
机动 目录
(n ≥ 2)
上页 下页 返回 结束
例8. 求 ∫ x − 1 dx . 解: 设 F ′( x) = x − 1 =
x −1 ,
1− x ,
x ≥1 x
x ≥1 x
则 F ( x) =
因 F ( x) 连续 , 利用 F (1 ) = F (1 ) = F (1) , 得
1 x2 − x + C , 1 2 2 1 x − 2 x + C2 , + − 1 +C 2 2
−1 + C1 2
得
=
记作
C
x ≥1
∫
x − 1 dx1 = F ( x) = 1 − 1 + C1 = 1− −1 (xx + 2 C2 2 1 − +1x ) −+ C +,C , x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 2 1 11 ( x −− 1)x + C + , C, 22 2
例9. 设 F ( x) 为 f ( x ) 的原函数, 且 F (0) = 1 , 当 x ≥ 0 时
有 f ( x) F ( x ) = sin 2 2 x , F ( x) ≥ 0 , 求 f ( x) .
解: 由题设 F ′( x) = f ( x ) , 则 F ( x ) F ′( x) = sin 2 2 x , 故 即
1 − cos 4 x 2 ′ sin 2 x d x =∫ dx ∫ F ( x) F ( x)d x = ∫ 2 F 2 ( x) = x − 1 sin 4 x + C 4
Q F (0) = 1 , ∴ C = F 2 (0) = 1, 又 F ( x) ≥ 0 , 因此
F ( x) = x − 1 sin 4 x + 1 4
故
f ( x) = F ′( x) =
sin 2 2 x x−1 sin 4 x + 1 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法 指数函数有理式
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出. 例如 ,
−x2
∫e ∫
dx ,
1 ∫ ln x dx ,
sin x ∫ x dx , dx ∫ 1+ x4 ,
∫ sin x
∫
2
dx ,
1 + x 3 dx ,
1 − k 2 sin 2 x dx (0
LL
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例10. 求 ∫
dx 1+ e + e + e
x 6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t = e , 则 x = 6 ln t , dx = 6 dt t
dt dt = 6∫ 原式 = 6 ∫ 3 2 2 (1 + t + t + t ) t (t + 1)(t + 1) t 6 3 3t + 3 ⎛ − 2 = ∫⎜ − ⎝ t t +1 t +1 ⎞ dt ⎟ ⎠ 3 = 6 ln t − 3 ln t + 1 − ln(t 2 + 1) − 3 arctan t + C 2
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e
6
+C
返回 结束
机动
目录
上页
下页
3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
解: 令 3 cos x − sin x = A(cos x + sin x) + B (cos x + sin x )′ = ( A + B ) cos x + ( A − B ) sin x 令 a cos x + b sin x A+ B = 3 =1 2 x)′ 故 比较同类项系数 = A(c cos x + d sin x) +, B (c A cos x,+B d= sin A − B = −1 d(cos x + sin x) ∴ 原式 = ∫ dx + 2 ∫ cos x + sin x
= x + ln cos x + sin x + C a cos x + b sin x dx 的积分. 说明: 此技巧适用于形为 ∫ c cos x + d sin x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
sin x . 求 I1 = ∫ 例12 12. dx 及 a cos x + b sin x cos x I2 = ∫ dx . a cos x + b sin x 解：因为 a cos x + b sin x a I 2 + b I1 = ∫ d x = x + C1 a cos x + b sin x b I 2 − a I1 = ∫ b cos x − a sin x d x d(a cos x + b sin x) a cos x + b sin x = ln a cos x + b sin x + C2 1 I1 = 2 2 (bx − a ln a cos x + b sin x ) + C a +b 1 I 2 = 2 2 ( ax + b ln a cos x + b sin x ) + C a +b
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
2
=
A
2+u
+
B u −1
+
C u +1
B=
3 1 6
C = −1 2 1 1 1 = ln u + 2 + ln u − 1 − ln u + 1 + C 6 2 3 1 1 1 = ln(cos x + 2) + ln(1 − cos x) − ln(cos x + 1) + C 3 6 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
dx . 求I = ∫ 例14 14. (a − b ≠ kπ ) sin( x + a ) ⋅ sin( x + b) 1 sin[( x + a) − ( x + b)] d x 解: I = sin( a − b) ∫ sin( x + a ) ⋅ sin( x + b) 1 cos( x + b)− cos( x + a)sin( x + b) sin( x + a ) = dx ∫ sin( a − b) sin( x + a ) ⋅ sin( x + b) 1 [ ∫ cos( x + b) d x − ∫ cos( x + a) d x ] = sin( a − b) sin( x + b) sin( x + a ) 1 = [ ln sin( x + b) − ln sin( x + a) ] + C sin( a − b) 1 sin( x + b) = ln +C sin( a − b) sin( x + a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例15. 求 I = ∫
dx
n
( x − a ) n +1 ( x − b) n −1
x−a x −b
( n 为自然数)
dx 解: I = ∫ ( x − a ) ( x − b) n
x−a 令 t= x−b
n
n 1 a −b dt = n dx 2 t t ( x − b) n dx dt = ( a − b) t ( x − a )( x − b)
x−a a −b n − 1 则t = , n t dt = dx 2 x−b ( x − b)
n
n n 1 n dt = = + C = ∫ b−a a − b t2 b − a t
n
x−b +C x−a
目录 上页 下页 返回 结束
机动
作业
P222 6 , 9 , 18 , 19 , 28 , 31 , 38 , 39
机动
目录
上页
下页
返回
结束