第21卷 第1期 2004年3月
吉 林 化 工 学 院 学 报
JOURNALOFJILININSTITUTEOFCHEMICALTECHNOLOGYVol.21No.1Mar. 2004
文章编号:1007-2853(2004)01-0125-02
关于化二次型为标准型的相似变换方法的讨论
朱前永
(临沂师范学院工程学院,山东临沂276005)
摘要:实对称矩阵A经相似变换P-1AP可化为对角矩阵,在x=Py下,不一定能化A的二次型为标准型;应寻求对称矩阵A的特征向量,将其正交化并单位化作为标准正交基,作为列向量构造变换矩阵P,
1
可使P-AP=Λ为对角阵,在x=Py下,要将二次型化为标准型,且二次项系数即为对角阵Λ主对角
线上元素.
关 键 词:标准正交基;变换矩阵;二次型;标准型中图分类号:O241.6 文献标识码:A
文献[1]第三章第六节中讲述了化二次型为标准型的相似变换方法,笔者认为文中介绍的方法是不正确的,有商榷的必要.
文献[1]把相似变换方法作为化二次型为标准型的首选方法,方法如下:
定理 (文中定理4):任何实二次型f=x′A
但通过验证可知在变换x=Py下,f=x′Ax=(Py′)A(Py)=y′(P′AP)y,其中P′AP并不是对角阵,因而这种变换并未将f化为标准型.
可见变换方法是错误的,用求A的特征值对应的特征向量的方法构造成的矩阵P,可以对实对称矩阵A进行相似变换,使P-1AP=Λ为对角阵(对角阵的主对角线上元素就是A的特征值),但用这样的P对变量作变换x=Py是不能将f化为标准型的,原因在于P方法来解决这个问题.
引理1 对于任意n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵P,使P-1AP=P′AP=Λ成对角矩阵[2].
引理2 对n阶可逆矩阵P,P-1=P′的充分必要条件是P的各列向量模长均为单位长,且两两正交.
证明:设P=(p1,p2,……,pn,其中pi=
T
(pi1,……,pin).
x总存在可逆的变换矩阵P,使在变换x=Py下,把f化为标准型,f累计).
文献[1]在叙述了定理之后举出了[例3-6-1]求一个可逆变换x=Py,把二次型f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x2x4化为标准型,并写出标准型.
在解的过程中,根据f的矩阵A=011-1
10-11
1-101
-1110
,求出了A的特征值λ1
2
=λ1y12
+λ2y2
+…
2
+λnyn,
其中
λ重根按重数1,λ2,…,λn为f的矩阵A的特征值(
-1
≠P′.
实际上,可以用作正交基构成正交矩阵P的
=-3,λ2=λ3=λ4=1和特征值所对应的4个特征向量,用这些特征向量作矩阵的列构造成了如
1
下矩阵P=
充分性:因为p1,p2,…pn的模长均为单位长,且两两正交.所以在
p11
PP′=
p12·p1n
p21p22·p2n
…pn1…pn2…
·…pnn
p11p21·pn1
p12p22·pn2
…p1n…p2n…
·…pnn
中
110
001
1-11
,认为在变换x=
-1-1
101-2222
Py下,f可化为标准型:-3y1+y2+y3+y4.
收稿日期:2003-07-09
(-),,,
126
吉 林 化 工 学 院 学 报
2004年
2
当i≠j时,pipj=0;当i=j时,pipj=1,
10
则有pp′=
故P-1
01
··
…0…0
=E.
…·
单位长,则有PP′=|p1||p2|…|pn|E所
222-以P′=|p1||p2|…|pn|P1.
可以保证P′AP=Λ是对角阵,但对角阵Λ
2
对角线上元素不是特征根,而是特征根的|p1|22
|p2|…|pn|倍,故在变换x=py下,变成的标准型的二次项系数也不是特征根,而是特征根
222
的|p1||p2|…|pn|倍.
如果A的特征根有重根,则问题更为麻烦,重根对应的特征向量不一定两两正交,这些特征根对应的特征向量不仅要全部单位化,还要全部正交化,得到的向量作为的列.此时P-1=P′,在P′AP=Λ下,Λ对角线上元素才是特征根,故在
x=Py下,变成的标准型的二次项系数也才是特征根.
鉴于此,文献[1]欲彻底解决用矩阵变换的方法化二次型为标准型的问题,除需要补充上述引理1、2外,还要补上线性无关向量正交化的知识,然后将定理4叙述为:
任何实二次型f=x′Ax总存在由标准正交
基构成的正交变换矩阵P,使在变换x=Py下,
222
把f化为标准型,f=λ1y1+λ2y2+…+λnyn,其中λ重根按重1,λ2,…,λn为f的矩阵A的特征值(
2
2
000
=P′.
必要性:因为P-1=P′,所以PP′=E,即
所以当i≠j时,pipj=0;当i=j时,pipj=1,因此p1,p2,…pn两两正交,且|pi|=1.需要把A的特征向量全部单位化并正交化,
-1
然后作为列向量构造成P,这样P=P′.从而,
在变换x=Py下,f=x′Ax=(Py)′A(Py)= y′(P′AP)y=y′Λy是标准型,且Λ主对角线上元素恰为标准型二次项的系数.
文献[1]为了化二次型为标准型作了大量的知识铺垫,3.3相似矩阵,3.4实对称矩阵的相似矩阵,两节均是预备知识,在3.4中又给出了两个结论:
(1)实对称矩阵的特征值为实数,而且对应于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的,而且是正交的.
(2)若λi为实对称矩阵A的特征方程的r重根,则A-λi的秩为n-r,从而λi的线性无关的特征向量个数恰好有r个.
貌似为化二次型为标准型作了充分的准备,但实际上忽略了变换矩阵P的列向量的单位化和正交化,即忽略了P-1=P′这一必要条件.
即使A的特征根没有重根,用这些特征根求出的特征向量只能保证是两两正交的,文献[1]也未特别指明必须都是单位长,实际上,如果不是
数累计).
参考文献:
[1] 林益.工程数学[M].北京:中国人民大学出版社,
2000.61.[2] 北京大学数学力学系.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978.358.
Discussiononthesimilartransformationmethod
ofturningquadraticformintostandardform
ZHUQian-yong
(CollegeofEngineering,LinyiNormalInstitute,Linyi276005,China)
Abstract:RealsymmetricmatrixAcanbechangedintodiagonalmatrixthroughthesimilartransformation
P-1AP.Underx=py,thequadraticformofAmaynotbeturnedintoastandardform.Thecharacteris-ticvectoroftherealsymmetricmatrixshouldbefoundout,whichisorthogonalizedandnormalizedtoastandardorthogonalbaseandisusedasrowvectortoconstructthetransformationmatrixP,sotheP-1AP
canbemadeintodiagonalmatrix.Underx=py,thequadraticformcanbeturnedintoastandardform,andthequadraticcoefficientisnamelyanelementinthemaindiagonallineofthediagonalmatrix∧.Keywords:standardorthogonalbase;transformationmatrix;quadraticform;standardform
第21卷 第1期 2004年3月
吉 林 化 工 学 院 学 报
JOURNALOFJILININSTITUTEOFCHEMICALTECHNOLOGYVol.21No.1Mar. 2004
文章编号:1007-2853(2004)01-0125-02
关于化二次型为标准型的相似变换方法的讨论
朱前永
(临沂师范学院工程学院,山东临沂276005)
摘要:实对称矩阵A经相似变换P-1AP可化为对角矩阵,在x=Py下,不一定能化A的二次型为标准型;应寻求对称矩阵A的特征向量,将其正交化并单位化作为标准正交基,作为列向量构造变换矩阵P,
1
可使P-AP=Λ为对角阵,在x=Py下,要将二次型化为标准型,且二次项系数即为对角阵Λ主对角
线上元素.
关 键 词:标准正交基;变换矩阵;二次型;标准型中图分类号:O241.6 文献标识码:A
文献[1]第三章第六节中讲述了化二次型为标准型的相似变换方法,笔者认为文中介绍的方法是不正确的,有商榷的必要.
文献[1]把相似变换方法作为化二次型为标准型的首选方法,方法如下:
定理 (文中定理4):任何实二次型f=x′A
但通过验证可知在变换x=Py下,f=x′Ax=(Py′)A(Py)=y′(P′AP)y,其中P′AP并不是对角阵,因而这种变换并未将f化为标准型.
可见变换方法是错误的,用求A的特征值对应的特征向量的方法构造成的矩阵P,可以对实对称矩阵A进行相似变换,使P-1AP=Λ为对角阵(对角阵的主对角线上元素就是A的特征值),但用这样的P对变量作变换x=Py是不能将f化为标准型的,原因在于P方法来解决这个问题.
引理1 对于任意n阶实对称矩阵A,都存在一个n阶正交矩阵P,使P-1AP=P′AP=Λ成对角矩阵[2].
引理2 对n阶可逆矩阵P,P-1=P′的充分必要条件是P的各列向量模长均为单位长,且两两正交.
证明:设P=(p1,p2,……,pn,其中pi=
T
(pi1,……,pin).
x总存在可逆的变换矩阵P,使在变换x=Py下,把f化为标准型,f累计).
文献[1]在叙述了定理之后举出了[例3-6-1]求一个可逆变换x=Py,把二次型f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x2x4化为标准型,并写出标准型.
在解的过程中,根据f的矩阵A=011-1
10-11
1-101
-1110
,求出了A的特征值λ1
2
=λ1y12
+λ2y2
+…
2
+λnyn,
其中
λ重根按重数1,λ2,…,λn为f的矩阵A的特征值(
-1
≠P′.
实际上,可以用作正交基构成正交矩阵P的
=-3,λ2=λ3=λ4=1和特征值所对应的4个特征向量,用这些特征向量作矩阵的列构造成了如
1
下矩阵P=
充分性:因为p1,p2,…pn的模长均为单位长,且两两正交.所以在
p11
PP′=
p12·p1n
p21p22·p2n
…pn1…pn2…
·…pnn
p11p21·pn1
p12p22·pn2
…p1n…p2n…
·…pnn
中
110
001
1-11
,认为在变换x=
-1-1
101-2222
Py下,f可化为标准型:-3y1+y2+y3+y4.
收稿日期:2003-07-09
(-),,,
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2004年
2
当i≠j时,pipj=0;当i=j时,pipj=1,
10
则有pp′=
故P-1
01
··
…0…0
=E.
…·
单位长,则有PP′=|p1||p2|…|pn|E所
222-以P′=|p1||p2|…|pn|P1.
可以保证P′AP=Λ是对角阵,但对角阵Λ
2
对角线上元素不是特征根,而是特征根的|p1|22
|p2|…|pn|倍,故在变换x=py下,变成的标准型的二次项系数也不是特征根,而是特征根
222
的|p1||p2|…|pn|倍.
如果A的特征根有重根,则问题更为麻烦,重根对应的特征向量不一定两两正交,这些特征根对应的特征向量不仅要全部单位化,还要全部正交化,得到的向量作为的列.此时P-1=P′,在P′AP=Λ下,Λ对角线上元素才是特征根,故在
x=Py下,变成的标准型的二次项系数也才是特征根.
鉴于此,文献[1]欲彻底解决用矩阵变换的方法化二次型为标准型的问题,除需要补充上述引理1、2外,还要补上线性无关向量正交化的知识,然后将定理4叙述为:
任何实二次型f=x′Ax总存在由标准正交
基构成的正交变换矩阵P,使在变换x=Py下,
222
把f化为标准型,f=λ1y1+λ2y2+…+λnyn,其中λ重根按重1,λ2,…,λn为f的矩阵A的特征值(
2
2
000
=P′.
必要性:因为P-1=P′,所以PP′=E,即
所以当i≠j时,pipj=0;当i=j时,pipj=1,因此p1,p2,…pn两两正交,且|pi|=1.需要把A的特征向量全部单位化并正交化,
-1
然后作为列向量构造成P,这样P=P′.从而,
在变换x=Py下,f=x′Ax=(Py)′A(Py)= y′(P′AP)y=y′Λy是标准型,且Λ主对角线上元素恰为标准型二次项的系数.
文献[1]为了化二次型为标准型作了大量的知识铺垫,3.3相似矩阵,3.4实对称矩阵的相似矩阵,两节均是预备知识,在3.4中又给出了两个结论:
(1)实对称矩阵的特征值为实数,而且对应于不同特征值的特征向量不仅是线性无关的,而且是正交的.
(2)若λi为实对称矩阵A的特征方程的r重根,则A-λi的秩为n-r,从而λi的线性无关的特征向量个数恰好有r个.
貌似为化二次型为标准型作了充分的准备,但实际上忽略了变换矩阵P的列向量的单位化和正交化,即忽略了P-1=P′这一必要条件.
即使A的特征根没有重根,用这些特征根求出的特征向量只能保证是两两正交的,文献[1]也未特别指明必须都是单位长,实际上,如果不是
数累计).
参考文献:
[1] 林益.工程数学[M].北京:中国人民大学出版社,
2000.61.[2] 北京大学数学力学系.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978.358.
Discussiononthesimilartransformationmethod
ofturningquadraticformintostandardform
ZHUQian-yong
(CollegeofEngineering,LinyiNormalInstitute,Linyi276005,China)
Abstract:RealsymmetricmatrixAcanbechangedintodiagonalmatrixthroughthesimilartransformation
P-1AP.Underx=py,thequadraticformofAmaynotbeturnedintoastandardform.Thecharacteris-ticvectoroftherealsymmetricmatrixshouldbefoundout,whichisorthogonalizedandnormalizedtoastandardorthogonalbaseandisusedasrowvectortoconstructthetransformationmatrixP,sotheP-1AP
canbemadeintodiagonalmatrix.Underx=py,thequadraticformcanbeturnedintoastandardform,andthequadraticcoefficientisnamelyanelementinthemaindiagonallineofthediagonalmatrix∧.Keywords:standardorthogonalbase;transformationmatrix;quadraticform;standardform