+ 第二十八章 锐角三角函数
教材分析：
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学 " 相似三角形"" 勾股定理" 等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：
锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sinA 、 cosA 、 tanA 表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
28．1 锐角三角函数（1）
第一课时
教学目标：
知识与技能： 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 过程与方法：
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重难点：
1．重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
2．难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？ ? 34
10
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦
二、探索新知、分类应用
【活动一】问题的引入
【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o, 为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：
o o
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=35m,求AB
o
根据“再直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管
o
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比
BC
，能得到什么结论？（学生思考） AB
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
o
2。 2
【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠A=∠
A`=α，那么与有什么关系
o
分析：由于∠C=∠C` =90，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
【活动二】认识正弦
如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
师：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA 。 板书：sinA ＝
∠A 的对边a
= （举例说明：若a=1,c=3,
∠A 的斜边c
则sinA=
1） 3
【注意】：1、sinA 不是 sin与A 的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
【活动三】正弦简单应用 例1 如课本图28．1-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
B 3
A
4(1)
C
B 35
13
A
(2)
教师对题目进行分析：求sinA 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求sinB •就是要确定∠B 的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A 对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
三、总结消化、整理笔记
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边
的比都是一个固定值． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
四、书写作业、巩固提高
练习：做课本第77页练习．
五、教学后记
第二课时
教学目标：
知识与技能：
1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA •表示直角三角形中两边的比．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． 过程与方法：
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重难点：
1．理解余弦、正切的概念．
2．难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、口述正弦的定义 2、（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3． 则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．
（2）﹙2006成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。已知AC=5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A
B ．2
3
C
D
A
C
二、探索新知、分类应用
【活动一】余弦、正切的定义
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
D B
那么与有什么关系？
o
分析：由于∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α， 所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角B 的度数一定时，
不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
o
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，把锐角B 的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB
即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切. 记作tanA, 即
锐角A 的正弦, 余弦, 正切都叫做∠A的锐角三角函数.
【活动二】余弦、正切简单应用
教师解释课本第78页例2题意：如课本图28．1-7，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=
3
，求cosA 、tanB 的值． 5
B 6
A
C
教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
三、总结消化、整理笔记
在直角三角形中，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，把∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ． 四、书写作业、巩固提高
学生做课本第78页练习1、2、3题．分层作业
五、教学后记
28．1 锐角三角函数（3）
第三课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦) 值与它的余角的余弦(正弦) 值之间的关系． 2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系 3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况 过程与方法：
1．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
2．锐角正弦、余弦和正切与正弦、余弦之间的关系，了解锐角三角函数的内涵。 情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
重难点、关键：
1．重点：三个锐角三角函数间几个简单关系．
2．难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义
二、探索新知、分类应用
【活动一】锐角三角函数间几个简单关系
讨论：1、从定义可以看出sin A 与cos B 有什么关系？sin B 与cos A 呢？ 满足这种关系的∠A 与∠B 又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？ 3、再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？
经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：
结论：（1）若∠A +∠B =90 那么sin A =cos B 或sin B =cos A
（2）sin A +cos A =1
22
（3）tan A =
sin A
cos A
4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？
通过一番讨论后得出：
结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小) 而增加(或减小) ； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小) 而减小(或增加) ； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小) 而增加(或减小) 。 【活动二】题型分析 (1)判断题：
i 对于任意锐角α，都有0＜sin α＜1和0＜cos α＜1 （ ） ii 对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cos α1＜cos α2 （ ） iii 如果sin α1＜sin α2，那么锐角α1＜锐角α
2I
（ ）
iv 如果cos α1＜cos α2，那么锐角α1＞锐角α2 （ ） （2）在Rt △ABC 中，下列式子中不一定成立的是______
A ．sinA ＝sinB B ．cosA ＝sinB C ．sinA ＝cosB D ．sin(A+B)＝sinC （3） ABC 中, ∠C =90 ,sin A =
（
3
. 求cos A ,sin B 和tan A 的值 5
（4）sin 272°+sin218°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．
1 D
． 22
三、总结消化、整理笔记
1、一个锐角的正弦(余弦) 值与它的余角的余弦(正弦) 值之间的关系：
sin A =cos B 或sin B =cos A
2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系：
sin 2A +cos 2A =1
3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
tan A =
sin A
cos A
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况
四、书写作业、巩固提高
分层作业
五、教学后记
教学目标：
知识与技能：
1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
过程与方法：
知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算． 情感态度与价值观：
让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．
重难点、关键：
1．重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
2．难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin 30=
10，sin 45= 2你还能推导出sin 60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
二、探索新知、分类应用
【活动一】30°、45°、60°角的三角函数值
【探索】1. 让学生画30°45°60°的直角三角形, 分别求sia 30° cos45° tan60° 归纳结果
例 求下列各式的值：
1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin260°． （2）
cos 45︒
-tan45°．
sin 45︒
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书． 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，
A 的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB
a ．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
【活动三】提高知识
1、tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°
·tan30°
2、已知sinA ，sinB 是方程4x 2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A ，∠B 是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m 的值；（2）∠A 与∠B 的度数．
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算； 四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本80练习1、2 （二）分层作业
五、教学后记
28．1 锐角三角函数（5）
第五课时
教学目标：
知识与技能：
1．让学生熟识计算器一些功能键的使用．
2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．
过程与方法：
自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值． 情感态度与价值观：
让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
重难点、关键：
1．重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．
2．难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】
通过上课的学习我们知道，当锐角A 是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
二、探索新知、分类应用
【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导） sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′
tan52°； tan36°20′； tan75°17′；
【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角. 例如：sinA=0.9816.∠A ＝ ； cosA ＝0.8607，∠A ＝ ； tanA ＝0.1890，∠A=； tanA ＝56.78，∠A ＝。 【活动三】知识提高
1．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′ 2．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sin α=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cos α=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tan α=1.4106，求α．（精确到1″）
3．等腰三角形ABC 中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB 的长及等腰三角
形的面积．（边长精确到1cm ）
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：已知角度求正弦值用
已知正弦值求小于90°的锐角用
键，•对于余弦与正切也有相类似的求法．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本81练习
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 解直角三角形（1）
第一课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐
角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
过程与方法：
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐
步培养学生分析问题、解决问题的能力．．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。
见课本在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin=
BC 5.2 ≈0.0954． AB 54.5
所以∠A ≈5°08′．
二、探索新知、分类应用
【活动一】理解直角三角形的元素
【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？
B
斜边c
A ∠A的邻边b ∠A的对边a C
总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直
角三角形中除直角外的以知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
【活动二】直角三角形的边角关系
直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
sin A =a b a b ; cos A =; tan A =; cot A =c c b a
如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
sin α=
(2)三边之间关系
a 2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
【活动三】解直角三角形 ∠α的对边∠α的邻边∠α的对边∠α的邻边；cos α=；tan α=；cot α=斜边斜边∠α的邻边∠α的对边
例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因
此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透
数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
例2：在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．
引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。
在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。
总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；
2．解决有关问题；
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本87练习
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（2）
第二课时
28．2 教直角三角形（2）
第二课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题
来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
过程与方法：
1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、注意加强知识间的纵向联系．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，
从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习引入】
1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt △ABC 中已知a=12 ,c=13 求角B 应该用哪个关系？请计算出来。
二、探索新知、分类应用
【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端. 梯子与地面所成的角一般要满足， (如图). 现有一个长6m 的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人
是否能够安全使用这个梯子
引导学生先把实际问题转化成数学模型
然后分析提出的问题是数学模型中的什么量
在这个数学模型中可用学到的什么知识来求
未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
【活动二】课本例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船
发射成功. 当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.
如图, 当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在
什么位置? 这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)
分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.
如图, ⊙O 表示地球，点F 是飞船的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从飞船
观测地球时的最远点. 弧PQ 的长就是地面上P, Q 两点间的距离. 为计算弧PQ 的长需先求出。
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本89练习1
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（3）
第三课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解什么是仰角和俯角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
过程与方法：
1、 锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力
2、注意数形结合，注意体现数与形之间的联系．
情感态度与价值观：
分析问题，提高分析问题的能力，体会成功的喜悦．
教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决观测问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
（三种，重叠、向上和向下）
结合示意图给出仰角和俯角的概念
二、探索新知、分类应用
【活动一】课本例4
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
老师分析：
1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。
2、在中，，. 所以可以利用解直角三角形的知识求出BD; 类似地可以求出CD ，进而求出BC.
【活动二】提高练习
上午10时，我军驻某海岛上的观察所A 发现海上有一艘敌军舰艇正从C 处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D 处，测得俯角。已知观察所A 距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
三、总结消化、整理笔记
小结：谈谈本节课你的收获是什么？
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本89练习2
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（4）
第四课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
过程与方法：
学会这样分析问题．
情感态度与价值观：
体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。
教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
二、探索新知、分类应用
【活动一】例5如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34 方向上的B 处. 这时，这时，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东340方向时，它距离灯塔P 大约130.23海里. 海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远(精确到0.01海里)?
【活动二】巩固练习
1、上午10点整，一渔轮在小岛O 的北偏东30°方向，距离等于10海里的A 处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1分) ．
2、如图6-32，海岛A 的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12海里到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
三、总结消化、整理笔记
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本93练习9
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（5）
第五课时
教学目标：
知识与技能：
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 过程与方法：
根据实际问题情况灵活运用相关知识．
情感态度与价值观：
让学生从事应用学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
教学重点、难点
重点：解决有关坡度的实际问题．
难点：理解坡度的有关术语．
教学过程
一、复习旧知、引入新课
【复习】
讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．
二、探索新知、分类应用
【活动一】见课本问题，所用到的“化整为0，积0为整，化曲为直，以直带曲”
【活动二】例题
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分) ，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
【活动三】练习提高
如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A 到B ，再从B 到D 都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
三、总结消化、整理笔记
四、书写作业、巩固提高 这节课你学到了什么问题．
（一）巩固练习：课本91练习1和2
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
+ 第二十八章 锐角三角函数
教材分析：
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学 " 相似三角形"" 勾股定理" 等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：
锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sinA 、 cosA 、 tanA 表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
28．1 锐角三角函数（1）
第一课时
教学目标：
知识与技能： 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 过程与方法：
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重难点：
1．重点：理解认识正弦（sinA ）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
2．难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
你想知道小明怎样算出的吗？ ? 34
10
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦
二、探索新知、分类应用
【活动一】问题的引入
【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o, 为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：
o o
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=30，BC=35m,求AB
o
根据“再直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管
o
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
1 2
【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比
BC
，能得到什么结论？（学生思考） AB
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
o
2。 2
【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠A=∠
A`=α，那么与有什么关系
o
分析：由于∠C=∠C` =90，∠A=∠A`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。
【活动二】认识正弦
如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
师：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA 。 板书：sinA ＝
∠A 的对边a
= （举例说明：若a=1,c=3,
∠A 的斜边c
则sinA=
1） 3
【注意】：1、sinA 不是 sin与A 的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF 3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
【活动三】正弦简单应用 例1 如课本图28．1-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
B 3
A
4(1)
C
B 35
13
A
(2)
教师对题目进行分析：求sinA 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求sinB •就是要确定∠B 的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A 对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
三、总结消化、整理笔记
在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边
的比都是一个固定值． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
四、书写作业、巩固提高
练习：做课本第77页练习．
五、教学后记
第二课时
教学目标：
知识与技能：
1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA •表示直角三角形中两边的比．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． 过程与方法：
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重难点：
1．理解余弦、正切的概念．
2．难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、口述正弦的定义 2、（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3． 则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．
（2）﹙2006成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。已知AC=5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A
B ．2
3
C
D
A
C
二、探索新知、分类应用
【活动一】余弦、正切的定义
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
D B
那么与有什么关系？
o
分析：由于∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α， 所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
结论：在直角三角形中，当锐角B 的度数一定时，
不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
o
如图，在Rt△ABC中，∠C=90，把锐角B 的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB
即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切. 记作tanA, 即
锐角A 的正弦, 余弦, 正切都叫做∠A的锐角三角函数.
【活动二】余弦、正切简单应用
教师解释课本第78页例2题意：如课本图28．1-7，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=
3
，求cosA 、tanB 的值． 5
B 6
A
C
教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
三、总结消化、整理笔记
在直角三角形中，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，把∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ． 四、书写作业、巩固提高
学生做课本第78页练习1、2、3题．分层作业
五、教学后记
28．1 锐角三角函数（3）
第三课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦) 值与它的余角的余弦(正弦) 值之间的关系． 2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系 3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况 过程与方法：
1．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
2．锐角正弦、余弦和正切与正弦、余弦之间的关系，了解锐角三角函数的内涵。 情感态度与价值观：
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
重难点、关键：
1．重点：三个锐角三角函数间几个简单关系．
2．难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义
二、探索新知、分类应用
【活动一】锐角三角函数间几个简单关系
讨论：1、从定义可以看出sin A 与cos B 有什么关系？sin B 与cos A 呢？ 满足这种关系的∠A 与∠B 又是什么关系呢？
2、利用定义及勾股定理你还能发现sin A 与cos A 的关系吗？ 3、再试试看tan A 与sin A 和cos A 存在特殊关系吗？
经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：
结论：（1）若∠A +∠B =90 那么sin A =cos B 或sin B =cos A
（2）sin A +cos A =1
22
（3）tan A =
sin A
cos A
4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？
通过一番讨论后得出：
结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小) 而增加(或减小) ； （2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小) 而减小(或增加) ； （3）锐角的正切值随角度的增加(或减小) 而增加(或减小) 。 【活动二】题型分析 (1)判断题：
i 对于任意锐角α，都有0＜sin α＜1和0＜cos α＜1 （ ） ii 对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cos α1＜cos α2 （ ） iii 如果sin α1＜sin α2，那么锐角α1＜锐角α
2I
（ ）
iv 如果cos α1＜cos α2，那么锐角α1＞锐角α2 （ ） （2）在Rt △ABC 中，下列式子中不一定成立的是______
A ．sinA ＝sinB B ．cosA ＝sinB C ．sinA ＝cosB D ．sin(A+B)＝sinC （3） ABC 中, ∠C =90 ,sin A =
（
3
. 求cos A ,sin B 和tan A 的值 5
（4）sin 272°+sin218°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．
1 D
． 22
三、总结消化、整理笔记
1、一个锐角的正弦(余弦) 值与它的余角的余弦(正弦) 值之间的关系：
sin A =cos B 或sin B =cos A
2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系：
sin 2A +cos 2A =1
3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系
tan A =
sin A
cos A
4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况
四、书写作业、巩固提高
分层作业
五、教学后记
教学目标：
知识与技能：
1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．
2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
过程与方法：
知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算． 情感态度与价值观：
让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．
重难点、关键：
1．重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．
2．难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin 30=
10，sin 45= 2你还能推导出sin 60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？
二、探索新知、分类应用
【活动一】30°、45°、60°角的三角函数值
【探索】1. 让学生画30°45°60°的直角三角形, 分别求sia 30° cos45° tan60° 归纳结果
例 求下列各式的值：
1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin260°． （2）
cos 45︒
-tan45°．
sin 45︒
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书． 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，
A 的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB
a ．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
【活动三】提高知识
1、tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°
·tan30°
2、已知sinA ，sinB 是方程4x 2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A ，∠B 是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m 的值；（2）∠A 与∠B 的度数．
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算； 四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本80练习1、2 （二）分层作业
五、教学后记
28．1 锐角三角函数（5）
第五课时
教学目标：
知识与技能：
1．让学生熟识计算器一些功能键的使用．
2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．
过程与方法：
自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值． 情感态度与价值观：
让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．
重难点、关键：
1．重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．
2．难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】
通过上课的学习我们知道，当锐角A 是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A 不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。
二、探索新知、分类应用
【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导） sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′
tan52°； tan36°20′； tan75°17′；
【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角. 例如：sinA=0.9816.∠A ＝ ； cosA ＝0.8607，∠A ＝ ； tanA ＝0.1890，∠A=； tanA ＝56.78，∠A ＝。 【活动三】知识提高
1．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′ 2．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sin α=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cos α=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tan α=1.4106，求α．（精确到1″）
3．等腰三角形ABC 中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB 的长及等腰三角
形的面积．（边长精确到1cm ）
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：已知角度求正弦值用
已知正弦值求小于90°的锐角用
键，•对于余弦与正切也有相类似的求法．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本81练习
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 解直角三角形（1）
第一课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐
角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
过程与方法：
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐
步培养学生分析问题、解决问题的能力．．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。
见课本在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin=
BC 5.2 ≈0.0954． AB 54.5
所以∠A ≈5°08′．
二、探索新知、分类应用
【活动一】理解直角三角形的元素
【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？
B
斜边c
A ∠A的邻边b ∠A的对边a C
总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直
角三角形中除直角外的以知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
【活动二】直角三角形的边角关系
直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
sin A =a b a b ; cos A =; tan A =; cot A =c c b a
如果用∠α表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
sin α=
(2)三边之间关系
a 2 +b2 =c2 (勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
【活动三】解直角三角形 ∠α的对边∠α的邻边∠α的对边∠α的邻边；cos α=；tan α=；cot α=斜边斜边∠α的邻边∠α的对边
例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因
此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透
数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
例2：在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．
引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。
在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。
总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；
2．解决有关问题；
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本87练习
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（2）
第二课时
28．2 教直角三角形（2）
第二课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题
来解决．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
过程与方法：
1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
2、注意加强知识间的纵向联系．
情感态度与价值观：
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重难点、关键：
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，
从而利用所学知识把实际问题解决．
难点：实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习引入】
1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．
2、在中Rt △ABC 中已知a=12 ,c=13 求角B 应该用哪个关系？请计算出来。
二、探索新知、分类应用
【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端. 梯子与地面所成的角一般要满足， (如图). 现有一个长6m 的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o ) 这时人
是否能够安全使用这个梯子
引导学生先把实际问题转化成数学模型
然后分析提出的问题是数学模型中的什么量
在这个数学模型中可用学到的什么知识来求
未知量？
几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
【活动二】课本例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船
发射成功. 当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.
如图, 当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在
什么位置? 这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)
分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.
如图, ⊙O 表示地球，点F 是飞船的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从飞船
观测地球时的最远点. 弧PQ 的长就是地面上P, Q 两点间的距离. 为计算弧PQ 的长需先求出。
三、总结消化、整理笔记
本节课应掌握：
1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本89练习1
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（3）
第三课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解什么是仰角和俯角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．
过程与方法：
1、 锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力
2、注意数形结合，注意体现数与形之间的联系．
情感态度与价值观：
分析问题，提高分析问题的能力，体会成功的喜悦．
教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决观测问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
（三种，重叠、向上和向下）
结合示意图给出仰角和俯角的概念
二、探索新知、分类应用
【活动一】课本例4
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ，看这栋离楼底部的俯角为60o ，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
老师分析：
1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。
2、在中，，. 所以可以利用解直角三角形的知识求出BD; 类似地可以求出CD ，进而求出BC.
【活动二】提高练习
上午10时，我军驻某海岛上的观察所A 发现海上有一艘敌军舰艇正从C 处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D 处，测得俯角。已知观察所A 距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。
三、总结消化、整理笔记
小结：谈谈本节课你的收获是什么？
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本89练习2
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（4）
第四课时
教学目标：
知识与技能：
1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
过程与方法：
学会这样分析问题．
情感态度与价值观：
体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。
教学重点、难点
重点：用三角函数有关知识解决方位角问题
难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型
教学过程：
一、复习旧知、引入新课
【复习】
1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线
二、探索新知、分类应用
【活动一】例5如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34 方向上的B 处. 这时，这时，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东340方向时，它距离灯塔P 大约130.23海里. 海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远(精确到0.01海里)?
【活动二】巩固练习
1、上午10点整，一渔轮在小岛O 的北偏东30°方向，距离等于10海里的A 处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1分) ．
2、如图6-32，海岛A 的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东60°，航行12海里到达点C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
三、总结消化、整理笔记
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
四、书写作业、巩固提高
（一）巩固练习：课本93练习9
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记
28．2 教直角三角形（5）
第五课时
教学目标：
知识与技能：
1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 过程与方法：
根据实际问题情况灵活运用相关知识．
情感态度与价值观：
让学生从事应用学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
教学重点、难点
重点：解决有关坡度的实际问题．
难点：理解坡度的有关术语．
教学过程
一、复习旧知、引入新课
【复习】
讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．
二、探索新知、分类应用
【活动一】见课本问题，所用到的“化整为0，积0为整，化曲为直，以直带曲”
【活动二】例题
利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分) ，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
【活动三】练习提高
如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A 到B ，再从B 到D 都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
三、总结消化、整理笔记
四、书写作业、巩固提高 这节课你学到了什么问题．
（一）巩固练习：课本91练习1和2
（二）提高、拓展练习：分层作业
五、教学后记