通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1．如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF。
求证：AC=BF。
分析：本题是证明线段相等的问题。要证明两条线段相等有如下方法：①如果两条线段在同一三角形中，只需证明此三角形为等腰三角形。②等量代换法③构造全等三角形，这一方法是最常用的方法。下面我们来分析这道题，欲证AC=BF，只须证AC 、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC 、BF 的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC 、BF 的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三
角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。
思路一、以三角形ADC 为基础三角形，转移线段AC ，使AC 、
BF 在三角形BFH 中
法一：延长AD 到H ，使得DH=AD，连结BH ，证明△ADC 和
△HDB 全等，得AC=BH。
通过证明∠H=∠BFH ，得到BF=BH。
证明：延长AD 到H ，使得DH=AD，连结BH
∵ D 为BC 中点
∴ BD=DC
在△ADC 和△HDB 中
∴ △ADC ≌△HDB(SAS)
∴ AC=BH, ∠H=∠HAC
∵ EA=EF
∴ ∠HAE=∠AFE
又∵ ∠BFH=∠AFE
∴ BH=BF
∴ BF=AC
法二：过B 点作BH 平行AC 与AD 的延长线相交于点H ，证明△ADC 和△HDB 全等。 小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以
两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转
移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。
思路二、以三角形BFD 为基础三角形。转移线段AC ，
使AC 、BF 在两个全等三角形中
法三：延长FD 至H ，使得DH=FD，连结HC 。证明△
CDH 和△BDF 全等。
证明：延长FD 至H ，使得DH=FD，连结HC 。
∵ D 为BC 中点
∴ BD=CD
在△BFD 和△CHD 中
∴ △BFD ≌△CHD(SAS)
∴ ∠H=∠BFH
∵ AE=FE
∴ ∠HAC=∠AFE
又∵ ∠AFE=∠BFH
∴ ∠H=∠HAC
∴ CH=CA
∴ BF=AC
法四：过C 点作CH 平行BF 与AD 的延长线相交于点H ，证明△CDH 和△BDF 全等。 小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。
熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
拓展：如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AC=BF。 求证：AE=EF。
分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法。我们调换了例2的部分已知条件和结论的顺序提出新的问题，在解决新的问题中又巩固了上述添加辅助线的基本作法。上述四种方法仍然可以适用。
练习：
(1)已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF．
(2)已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点．
求证：BE=CF．
分析：练习(1)巩固例2中典型辅助线的作法，练习(2)巩固例2拓展的调换部分条件和结论提出问题的方法。
证明：辅助线已作出，证明略
通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1．如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF。
求证：AC=BF。
分析：本题是证明线段相等的问题。要证明两条线段相等有如下方法：①如果两条线段在同一三角形中，只需证明此三角形为等腰三角形。②等量代换法③构造全等三角形，这一方法是最常用的方法。下面我们来分析这道题，欲证AC=BF，只须证AC 、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC 、BF 的两个全等三角形图形，而根据题目条件的去构造两个含有AC 、BF 的全等三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三
角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。
思路一、以三角形ADC 为基础三角形，转移线段AC ，使AC 、
BF 在三角形BFH 中
法一：延长AD 到H ，使得DH=AD，连结BH ，证明△ADC 和
△HDB 全等，得AC=BH。
通过证明∠H=∠BFH ，得到BF=BH。
证明：延长AD 到H ，使得DH=AD，连结BH
∵ D 为BC 中点
∴ BD=DC
在△ADC 和△HDB 中
∴ △ADC ≌△HDB(SAS)
∴ AC=BH, ∠H=∠HAC
∵ EA=EF
∴ ∠HAE=∠AFE
又∵ ∠BFH=∠AFE
∴ BH=BF
∴ BF=AC
法二：过B 点作BH 平行AC 与AD 的延长线相交于点H ，证明△ADC 和△HDB 全等。 小结：对于含有中点的问题，通过“倍长中线”得到可以
两个全等三角形。而过一点作己知直线的平行线，可以起到转
移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。
思路二、以三角形BFD 为基础三角形。转移线段AC ，
使AC 、BF 在两个全等三角形中
法三：延长FD 至H ，使得DH=FD，连结HC 。证明△
CDH 和△BDF 全等。
证明：延长FD 至H ，使得DH=FD，连结HC 。
∵ D 为BC 中点
∴ BD=CD
在△BFD 和△CHD 中
∴ △BFD ≌△CHD(SAS)
∴ ∠H=∠BFH
∵ AE=FE
∴ ∠HAC=∠AFE
又∵ ∠AFE=∠BFH
∴ ∠H=∠HAC
∴ CH=CA
∴ BF=AC
法四：过C 点作CH 平行BF 与AD 的延长线相交于点H ，证明△CDH 和△BDF 全等。 小结：通过一题多种辅助线的添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等。
熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
拓展：如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AC=BF。 求证：AE=EF。
分析：调换己知和求证的顺序是几何中提出新问题的一种常规做法。我们调换了例2的部分已知条件和结论的顺序提出新的问题，在解决新的问题中又巩固了上述添加辅助线的基本作法。上述四种方法仍然可以适用。
练习：
(1)已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC 于点D ．求证：DE=DF．
(2)已知：如图，AB=AC，E 为AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，且，EF 交BC 于点D ，且D 为EF 的中点．
求证：BE=CF．
分析：练习(1)巩固例2中典型辅助线的作法，练习(2)巩固例2拓展的调换部分条件和结论提出问题的方法。
证明：辅助线已作出，证明略