年级：初三 版本： 华东师大版
适合第 43 期 栏目：教你一招----中考题型揭密及训练
介绍一种探索规律的解题方法
广东省
王远征
在近年来的中考试题中，有一类以实际问题为背景，探索数列通项公式的问题．解答这类问题的方法是：先用字母a1、a2、a3、„、an-1、an依次表示实际问题中被考察对象所反映的数据，然后，将相邻的两项分别作差，得到一序列等式．再把各等式两边叠加，消去a2、a3、„、an-1这些项，就可求出an．举例说明如下：
例1． （2005年安徽省中考试题）在下图中，图（1）是一个扇形AOB，将其作如下划分：
第一次划分：如图2所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到的扇形总数为6个，分别是扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形
A1OC1、扇形C1OB1；
第一次划分：如图3所示，在扇形C1OB1中，按上述方式继续划分，得到的扇形总数为11个；
第三次划分：如图4所示，„„，依次划分下去．
C
C1
A
OC
B
图1
A
A1图2
CB1
B
C1
A
A1
图3
O
A
B
A1
B1
图4
O
B1
B
（1） 依题意完成下表：
（2） 根据上表，请你判断按上述方式继续划分，能否得到的扇形总数为2005个？为什么？
分析与解答：为了探索的方便，不妨记划分次数依次为第1，2，3，4„„，n次时的扇形总数分别为a1、a2、a3、a4、„、an．则a1=6、a2=11、a3=16、a4=21、„„，
我们发现：
a2-a1=5，
a3-a2=5， a4-a3=5，
„„„
我们猜想：
（n是正整数），于是由以上各等式两边相加得： an-an-1=5，
a2-a1+a3-a2+a4-a3+„+an-an-1=5(n-1)
即：an-a1=5(n-1)，an=a1+5(n-1)=6+5n-5=5n+1
假设得到的扇形总数为2005个，则5n+1=2005，n=400.8不是整数，所以不可能得到的扇形总数为2005个．
例2．（2005年济南市中考试题）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行„„，中间用虚线围成一列，从上到下依次为1、5、13、25、„，则第10个数是 ．
初中数学资源网 收集整理 2
267151628
27
172614
[1**********]
3410
112122
分析与解答：解决问题的突破口在于寻找这列数所蕴涵的内在规律，只有知道规律才可以写出所求的数．
我们先观察分析这4个数之间的联系。为了探索的方便不妨记a1=1、 a2=5、a3=13、
a4=25、„„．我们发现：
a2-a1=1⨯4，
a3-a2=8=2⨯4， a4-a3=12=3⨯4，
„„„ 我们猜想：
（n是正整数），于是以上各等式两边相加得： an-an-1=4(n-1)，
a2-a1+a3-a2+a4-a3+„+an-an-1=4(1+2+3+ +n-1)=2n(n-1)
即：an-a1=2n(n-1)，an=a1+2n(n-1)=1+2n(n-1) 所以当n=10时，a10=1+2⨯10(10-1)=181
小结：作差和等式的叠加，是解题的关键．然后用代数式表示其中蕴涵的规律，再利用
规律指导解题，是解决这类问题的基本步骤．
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3
巩固练习
1. （浙江丽水市2005年初中毕业、升学考试试卷）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的式 ．
HH
HCH4
H
H
HH
HH
H
H
HH
HHC3H8
HH
H
答案：C4H10
C2H6
2. （2005年泰州市中考试题）2条、3条如下图是小明用火柴搭的1条、“金鱼”„„，则搭n条“金鱼”需要火柴 根． „„
1条 2条 3条
答案：6n 2
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广东省
王远征
在近年来的中考试题中，有一类以实际问题为背景，探索数列通项公式的问题．解答这类问题的方法是：先用字母a1、a2、a3、„、an-1、an依次表示实际问题中被考察对象所反映的数据，然后，将相邻的两项分别作差，得到一序列等式．再把各等式两边叠加，消去a2、a3、„、an-1这些项，就可求出an．举例说明如下：
例1． （2005年安徽省中考试题）在下图中，图（1）是一个扇形AOB，将其作如下划分：
第一次划分：如图2所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到的扇形总数为6个，分别是扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形
A1OC1、扇形C1OB1；
第一次划分：如图3所示，在扇形C1OB1中，按上述方式继续划分，得到的扇形总数为11个；
第三次划分：如图4所示，„„，依次划分下去．
C
C1
A
OC
B
图1
A
A1图2
CB1
B
C1
A
A1
图3
O
A
B
A1
B1
图4
O
B1
B
（1） 依题意完成下表：
（2） 根据上表，请你判断按上述方式继续划分，能否得到的扇形总数为2005个？为什么？
分析与解答：为了探索的方便，不妨记划分次数依次为第1，2，3，4„„，n次时的扇形总数分别为a1、a2、a3、a4、„、an．则a1=6、a2=11、a3=16、a4=21、„„，
我们发现：
a2-a1=5，
a3-a2=5， a4-a3=5，
„„„
我们猜想：
（n是正整数），于是由以上各等式两边相加得： an-an-1=5，
a2-a1+a3-a2+a4-a3+„+an-an-1=5(n-1)
即：an-a1=5(n-1)，an=a1+5(n-1)=6+5n-5=5n+1
假设得到的扇形总数为2005个，则5n+1=2005，n=400.8不是整数，所以不可能得到的扇形总数为2005个．
例2．（2005年济南市中考试题）把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行„„，中间用虚线围成一列，从上到下依次为1、5、13、25、„，则第10个数是 ．
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分析与解答：解决问题的突破口在于寻找这列数所蕴涵的内在规律，只有知道规律才可以写出所求的数．
我们先观察分析这4个数之间的联系。为了探索的方便不妨记a1=1、 a2=5、a3=13、
a4=25、„„．我们发现：
a2-a1=1⨯4，
a3-a2=8=2⨯4， a4-a3=12=3⨯4，
„„„ 我们猜想：
（n是正整数），于是以上各等式两边相加得： an-an-1=4(n-1)，
a2-a1+a3-a2+a4-a3+„+an-an-1=4(1+2+3+ +n-1)=2n(n-1)
即：an-a1=2n(n-1)，an=a1+2n(n-1)=1+2n(n-1) 所以当n=10时，a10=1+2⨯10(10-1)=181
小结：作差和等式的叠加，是解题的关键．然后用代数式表示其中蕴涵的规律，再利用
规律指导解题，是解决这类问题的基本步骤．
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1. （浙江丽水市2005年初中毕业、升学考试试卷）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的式 ．
HH
HCH4
H
H
HH
HH
H
H
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HHC3H8
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答案：C4H10
C2H6
2. （2005年泰州市中考试题）2条、3条如下图是小明用火柴搭的1条、“金鱼”„„，则搭n条“金鱼”需要火柴 根． „„
1条 2条 3条
答案：6n 2
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