15．正弦函数
、余弦函数
的性质：
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是
，对
，当
时，
取最大值1；当
时，
取最小值－1；对
，当
时，
取最大值1，当
时，
取最小值－1。比如：
①若函数
的最大值为
，最小值为
，则
__，
＿（答：
或
）；
②函数
（
）的值域是____（答：[－1, 2]）；
③若
，则
的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）；
④函数
的最小值是_____，此时
＝__________（答：2；
）；
⑤己知
，求
的变化范围（答：
）；
⑥若
，求
的最大、最小值（答：
，
）。
特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：①
、
的最小正周期都是2
；②
和
的最小正周期都是
。比如：
①若
，则
＝___（答：0）；
②函数
的最小正周期为____（答：
）；
③设函数
，若对任意
都有
成立，则
的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数
是奇函数，对称中心是
，对称轴是直线
；余弦函数
是偶函数，对称中心是
，对称轴是直线
（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
轴的直线，对称中心为图象与
轴的交点）。比如：
①函数
的奇偶性是______（答：偶函数）；
②已知函数
为常数），且
，则
______（答：－5）；
③函数
的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：
、
）；
④已知
为偶函数，求
的值。（答：
）
（5）单调性：
上单调递增，在
单调递减；
在
上单调递减，在
上单调递增。
特别提醒，别忘了
！
16．形如
的函数：
（1）几个物理量：A―振幅；
―频率（周期的倒数）；
―相位；
―初相；
（2）函数
表达式的确定：A由最值确定；
由周期确定；
由图象上的特殊点确定，如
，
的图象如图所示，则
＝_____（答：
）；
（3）函数
图象的画法：①“五点法”――设
，令
＝0，
求出相应的
值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数
的图象与
图象间的关系：①函数
的图象纵坐标不变，横坐标向左（
>0）或向右（
个单位得
的图象；②函数
图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到函数
的图象；③函数
图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数
的图象；④函数
图象的横坐标不变，纵坐标向上（
）或向下（
），得到
的图象。要特别注意，若由
得到
的图象，则向左或向右平移应平移
个单位。比如：
①函数
的图象经过怎样的变换才能得到
的图象？（答：
向上平移1个单位得
的图象，再向左平移
个单位得
的图象，横坐标扩大到原来的2倍得
的图象，最后将纵坐标缩小到原来的
即得
的图象）；
②要得到函数
的图象，只需把函数
的图象向___平移____个单位（答：左；
）；
③将函数
图像，按向量
平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出
；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量
）；
④若函数
的图象与直线
有且仅有四个不同的交点，则
的取值范围是 （答：
）
（5）研究函数
性质的方法：类比于研究
的性质，只需将
中的
看成
中的
，但在求
的单调区间时，要特别注意A和
的符号，通过诱导公式先将
化正。比如：
①函数
的递减区间是______（答：
）；
②
的递减区间是_______（答：
）；
③设函数
的图象关于直线
对称，它的周期是
，则
A、
B、
在区间
上是减函数
C、
D、
的最大值是A（答：C）
④对于函数
给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线
成轴对称；③图象可由函数
的图像向左平移
个单位得到；④图像向左平移
个单位，即得到函数
的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；
⑤已知函数
图象与直线
的交点中，距离最近两点间的距离为
，那么此函数的周期是_______（答：
）
17．正切函数
的图象和性质：
（1）定义域：
。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是
，它与直线
的两个相邻交点之间的距离是一个周期
。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。
如
的周期都是
, 但
的周期为
，而
，
的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是
，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与
轴的交点，另一类是渐近线与
轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间
内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：
18．三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为
，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
三内角都是锐角
三内角的余弦值为正值
任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方。
(2)正弦定理：
(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：
；
；
；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。
(3)余弦定理：
等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状。
(4)面积公式：
（其中
为三角形内切圆半径）.如
中，若
，判断
的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
这个特殊性：
；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。比如：
①
中，A、B的对边分别是
，且
，那么满足条件的
A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；
②在
中，A＞B是
成立的_____条件（答：充要）；
③在
中，
，则
＝_____（答：
）；
④在
中，
分别是角A、B、C所对的边，若
，则
＝____（答：
）；
⑤在
中，若其面积
，则
=____（答：
）；
⑥在
中，
，这个三角形的面积为
，则
外接圆的直径是_______（答：
）；
⑦在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
= ，
的最大值为 （答：
）；
⑧在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：
）；
⑨设O是锐角三角形ABC的外心，若
，且
的面积满足关系式
，求
（答：
）。
19．反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：
表示一个角，这个角的正弦值为
,且这个角在
内
。(2)反正弦
、反余弦
、反正切
的取值范围分别是
。
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、
到
的角、
与
的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？
，
，
。
20．求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。比如：
（1）若
，且
、
是方程
的两根，则求
的值______（答：
）；
（2）
中，
，则
＝_______（答：
）；
（3）若
且
，
，求
的值（答：
）.
2007-12-13 人教网
15．正弦函数
、余弦函数
的性质：
（1）定义域：都是R。
（2）值域：都是
，对
，当
时，
取最大值1；当
时，
取最小值－1；对
，当
时，
取最大值1，当
时，
取最小值－1。比如：
①若函数
的最大值为
，最小值为
，则
__，
＿（答：
或
）；
②函数
（
）的值域是____（答：[－1, 2]）；
③若
，则
的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）；
④函数
的最小值是_____，此时
＝__________（答：2；
）；
⑤己知
，求
的变化范围（答：
）；
⑥若
，求
的最大、最小值（答：
，
）。
特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：①
、
的最小正周期都是2
；②
和
的最小正周期都是
。比如：
①若
，则
＝___（答：0）；
②函数
的最小正周期为____（答：
）；
③设函数
，若对任意
都有
成立，则
的最小值为____（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数
是奇函数，对称中心是
，对称轴是直线
；余弦函数
是偶函数，对称中心是
，对称轴是直线
（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
轴的直线，对称中心为图象与
轴的交点）。比如：
①函数
的奇偶性是______（答：偶函数）；
②已知函数
为常数），且
，则
______（答：－5）；
③函数
的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：
、
）；
④已知
为偶函数，求
的值。（答：
）
（5）单调性：
上单调递增，在
单调递减；
在
上单调递减，在
上单调递增。
特别提醒，别忘了
！
16．形如
的函数：
（1）几个物理量：A―振幅；
―频率（周期的倒数）；
―相位；
―初相；
（2）函数
表达式的确定：A由最值确定；
由周期确定；
由图象上的特殊点确定，如
，
的图象如图所示，则
＝_____（答：
）；
（3）函数
图象的画法：①“五点法”――设
，令
＝0，
求出相应的
值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数
的图象与
图象间的关系：①函数
的图象纵坐标不变，横坐标向左（
>0）或向右（
个单位得
的图象；②函数
图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
，得到函数
的图象；③函数
图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数
的图象；④函数
图象的横坐标不变，纵坐标向上（
）或向下（
），得到
的图象。要特别注意，若由
得到
的图象，则向左或向右平移应平移
个单位。比如：
①函数
的图象经过怎样的变换才能得到
的图象？（答：
向上平移1个单位得
的图象，再向左平移
个单位得
的图象，横坐标扩大到原来的2倍得
的图象，最后将纵坐标缩小到原来的
即得
的图象）；
②要得到函数
的图象，只需把函数
的图象向___平移____个单位（答：左；
）；
③将函数
图像，按向量
平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出
；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量
）；
④若函数
的图象与直线
有且仅有四个不同的交点，则
的取值范围是 （答：
）
（5）研究函数
性质的方法：类比于研究
的性质，只需将
中的
看成
中的
，但在求
的单调区间时，要特别注意A和
的符号，通过诱导公式先将
化正。比如：
①函数
的递减区间是______（答：
）；
②
的递减区间是_______（答：
）；
③设函数
的图象关于直线
对称，它的周期是
，则
A、
B、
在区间
上是减函数
C、
D、
的最大值是A（答：C）
④对于函数
给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线
成轴对称；③图象可由函数
的图像向左平移
个单位得到；④图像向左平移
个单位，即得到函数
的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；
⑤已知函数
图象与直线
的交点中，距离最近两点间的距离为
，那么此函数的周期是_______（答：
）
17．正切函数
的图象和性质：
（1）定义域：
。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？
（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是
，它与直线
的两个相邻交点之间的距离是一个周期
。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。
如
的周期都是
, 但
的周期为
，而
，
的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是
，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与
轴的交点，另一类是渐近线与
轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间
内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：
18．三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为
，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
三内角都是锐角
三内角的余弦值为正值
任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方。
(2)正弦定理：
(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：
；
；
；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。
(3)余弦定理：
等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状。
(4)面积公式：
（其中
为三角形内切圆半径）.如
中，若
，判断
的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
这个特殊性：
；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。比如：
①
中，A、B的对边分别是
，且
，那么满足条件的
A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；
②在
中，A＞B是
成立的_____条件（答：充要）；
③在
中，
，则
＝_____（答：
）；
④在
中，
分别是角A、B、C所对的边，若
，则
＝____（答：
）；
⑤在
中，若其面积
，则
=____（答：
）；
⑥在
中，
，这个三角形的面积为
，则
外接圆的直径是_______（答：
）；
⑦在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
= ，
的最大值为 （答：
）；
⑧在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：
）；
⑨设O是锐角三角形ABC的外心，若
，且
的面积满足关系式
，求
（答：
）。
19．反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：
表示一个角，这个角的正弦值为
,且这个角在
内
。(2)反正弦
、反余弦
、反正切
的取值范围分别是
。
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、
到
的角、
与
的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？
，
，
。
20．求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。比如：
（1）若
，且
、
是方程
的两根，则求
的值______（答：
）；
（2）
中，
，则
＝_______（答：
）；
（3）若
且
，
，求
的值（答：
）.
2007-12-13 人教网