一、选择题
1. 信号1的傅里叶变换为________.
A)2 B ）1 C ）δ(ω) D ）2π
δ(ω)
D
2. 某周期奇函数，其傅立叶级数中________.
A) 不含正弦分量 B) 不含余弦分量 C) 仅有奇次谐波分量 D) 仅有偶次谐波分量 B
3. 某周期偶谐函数，其傅立叶级数中________.
A) 无正弦分量 B) 无余弦分量 C) 无奇次谐波分量 D) 无偶次谐波分量 C
4. 某周期奇谐函数，其傅立叶级数中________.
A) 无正弦分量 B) 无余弦分量 C ) 仅有基波和奇次谐波分量 D) 仅有基波和偶次谐波分量 C
5. 某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中________.
A) 不含正弦分量 B) 不含余弦分量 C) 仅有奇次谐波分量 D) 仅有偶次谐波分量 A
6. 函数f(t) 的图像如图所示，f(t)为________.
A) 偶函数 B) 奇函数 C) 奇谐函数 C
7. 若F 1(j ω) =F [f 1(t )],则F 2(j ω) =F [
D) 都不是
df 1(t )
]=________. dt
dF (j ω) dF (j ω)
A) F 1(j ω) B ）1 C ）j ω1 D ）j ωF 1(j ω)
dt dt
D
8. 信号u (t )的傅里叶变换为________.
A) D
111
+δ(ω) D ）+πδ(ω) B ）1 C ）
j ωj ωj ω
9. 若F 1(j ω) =F [f 1(t )],则F 2(j ω) =F [f 1(4-2t )]=________.
11ω
F 1(j ω) e -j 4ω B ）F 1(-j ) e -j 4ω 222
1ω-j 2ω-j ω
C ）F 1(-j ω) e D ）F 1(-j ) e
22
A ） D
10. 信号δ(t )的傅里叶变换为________.
A)2 B ）1 C ）δ(ω) D ）2π B
二、填空题 1. 已知F [f (t )]=
F (j ω) ，则F [f (t ) e j ωt ]=__________________。
F [j (ω-ω0)]或F (ω-ω0)
2. 已知F [f (t )]=
F (j ω) , 则F [f (t ) cos (200t )]= __________________。
1
{F [j (ω+200)]+F [j (ω-200)]} 2
3. 已知F [f (t )]=
F (j ω) ，则F -1[F (j ω) e -j ωt ]=__________________。
f (t -t 0)
4. 已知F [f (t )]=
F (j ω) ，则F
-1
[F (j (ω-ω0)]=__________________。
f (t ) e j ω0t
5. 周期信号f （t ）如题图所示，频带宽度__________________。
2
2
2π τ
6. 周期信号频谱的特点为离散性、谐波性和__________________。 收敛性
7. F [δ(t )]=__________________。 1
8. F [cos(ω0t ) ]=__________________。 π[δ(ω+ω0) +δ(ω-ω0)]
9. F -1⎢
⎡
⎤1
=__________________。 ⎥
⎣j ω+2j ω+3⎦
e -2t u (t )-e -3t u (t )
三、计算题
1. 利用时域与频域的对称性，求下列傅立叶变换的时间函数。 F (ω) =δ(ω-ω0) 解答
∵ δ(t ) ⇔ 1
利用对称性，有 1 ⇔ 2πδ(-ω) =2πδ(ω) ∴ e
j ω0t
⇔
2πδ(ω-ω0)
1j ω0t
e
δ(ω-ω0)
∴ 2π ⇔
2. 利用时域与频域的对称性，求下列傅立叶变换的时间函数。
F (ω) =u (ω+ω0) -u (ω-ω0)
解答
∵ G τ(t ) ⇔
ω
τSa (τ)
2
利用对称性，有
∵
⇔ 2πG τ(ω)
u (t +t 0) -u (t -t 0) =G 2t (t ) ⇔2t 0Sa (ωt 0)
τSa (τ)
t 2
ω0
Sa (ω0t ) G (ω) =u (ω+ω0) -u (ω-ω0)
∴ π ⇔ 2ω
3. 若f (t ) 的频谱F (ω) 如下图示，利用卷积定理求f (t )cos(ω0t ) 的频谱，粗略画出频谱（注明频谱的边界频率）。
解答
题图3-34
F [f (t )cos(ω0t ) ]=
11
F (ω)*π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]=[F (ω+ω0)+F (ω-ω0)] 2π2
4. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号tf (2t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
1ωF () 22 ；
dF (ω)
tf (t ) j
d ω f (2t )
dF () 1tf (2t ) j
2d ω
5. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号(t -2)f (t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
ω
dF (ω)
d ω
dF (ω)
(t -2) f (t ) j -2F (ω)
d ω
tf (t ) j
6. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号(t -2)f (-2t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
f (-2t )
1ωF (-) 22
dF (-)
1-F (-ω) (t -2) f (-2t ) j
2d ω2
7. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号f (1-t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
ω
f (t +1) F (j ω) e j ω f (-t ) F (-ω)
f (1-t ) =f [-(t -1)]F (-ω) e -j ω
8. 若f (t ) 的频谱F (ω) 如下图示，利用卷积定理求f (t ) e
j ω0t
的频谱。
解答 F f (t )e
题图3-34
[
j ω0t
]=21F (ω)*2πδ(ω-ω)=F (ω-ω)
π
9. 若f (t ) 的频谱F (ω) 如下图示，利用卷积定理求f (t )cos(ω1t ) 的频谱。
解答
F [f (t )cos(ω
1t ) ]=
题图3-34
11
F (ω)*π[δ(ω+ω1)+δ(ω-ω1)]=[F (ω+ω1)+F (ω-ω1)] 2π2
10. 求所示半波余弦脉冲的傅立叶变换。
解答
j t -j t π1
f (t ) =cos(ωt ) G τ(t ) =t ) G τ(t ) =G τ(t )[e τ+e τ]
τ2
ωτ
G τ(t ) τSa ()
ππ
2
(ω-π) τ(ω+π) τE
τ{Sa []+Sa []}222 E τωτπωτπ=[Sa (-) +Sa (+)]22222
F (j ω) =
11 有一幅度为1，脉冲宽度为2ms 的周期矩形脉冲，其周期为8ms ，如图所示，求频谱并
画出频谱图频谱图。
解答
傅立叶变换为
1e -jn Ωt =
T -jn Ω
τ
2-
τ
2
2=T
sin(
n Ωτ
) n Ω
F n 为实数，可直接画成一个频谱图。
四、综合分析题
1. 周期矩形信号如题图所示。
求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解答
直流分量
τ1T 3
a 0=⎰T f (t ) dt =5⨯10⎰τEdt =1v
-T -
f (t )为偶函数， ∴b n =0
2τ2E τn πτa n =⎰τf (t ) cos n ωtdt =()
-T T T
1E τn πςF n =a n =Sa ()
2T T
其中基波为
有效值为
2E τπτ20Sa () =sin(0. 1π)
a 1=T T π
a 1
2
=
202π
sin 0. 1π≈1. 39
a 2
二次谐波有效值 三次谐波有效值
2
≈1. 32
a 32
≈1. 21
2. 若周期矩形信号f 1(t )和f 2(t )波形如下图所示，f 1(t )的参数为τ=0. 5μs ，T =1μs ，
E =1V ；f 2(t )的参数为τ=1. 5μs ，T =3μs ，E =3V ，分别求：
（1）f 1(t )的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）f 2(t )的谱线间隔和带宽； （3）f 1(t )和f 2(t )的基波幅度之比；
（4）f 1(t )基波与f 2(t )三次谐波幅度之比。
解答 （1）f 1(t ) τ=0. 5μs ，T =1μs ，E =1V
谱线间隔：∆=
带宽：B f =
1
=1000kHz T
=2000kHz
1
τ
(2) f 2(t ) τ=1. 5μs ，T =3μs ，E =3V
11000=kHz T 312000
kHz 谱线带宽：B f ==
τ3
4τ2⎛2π⎫
(3) f 1(t )基波幅度：a 1=⎰2E cos t ⎪dt =
T 0π⎝T ⎭4τ6⎛2π⎫
t ⎪dt = f 2(t )基波幅度：a 1=⎰02E cos
T π⎝T ⎭
谱线间隔：∆=
幅度比：1：3
4τ2⎛2π⎫
（4）f 2(t )三次谐波幅度：a 3=⎰2E cos 3⨯t ⎪dt =-
T 0T ⎭π⎝
幅度比：1：1
3. 学习电路课时已知，LC 谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与LC 电路的谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。题图3-13所示RLC 并联电路和电流源i 1(t )都是理想模型。已知电路的谐振频率为f 0=
12πLC
=100kHz ，R=100kΩ, 谐振电路品质因数Q 足够高（可滤除邻近频率
成分）。i 1(t )为周期矩形波，幅度为1mA ，当i 1(t )的参数（τ, T ）为下列情况时，粗略地画出输出电压v 2(t )的波形，并注明幅度值。
（1）τ=5μs , T =10μs ； （2）τ=10μs , T =20μs ； (3) τ=15μs , T =30μs ；
解答
谐振频率
将i 1(t )展成傅氏级数，有
ω0=2πf 0=200πk
a n =0 (ω1=
2π) T
2T 24T 24E b n =⎰i 1(t ) sin(n ω1t ) dt =⎰i 1(t ) sin(n ω1t ) dt = (n=1,3,5, )
T -T T 0n π i 1(t ) =∑b n sin(n ω1t ) (m=1,2, )
n =2m -1
由电路有
11+j ωC +) v 2(t ) =i 1(t ) R j ωL （1） τ=5μs , T =10μs
(
ω1=
2π2π==200πK =ω0T 10⨯10-6(谐振频率)
2(t ) =R I v (t )
V 2=R ⋅b 1≈127. 4
即：输出幅度为127.4V ，频率为100KHz 的正弦波。 （2）τ=10μs , T =20μs
∵ Q 足够高， ∴ 基波被滤掉，只有二次谐波 又 ∵ i 1(t ) 不包含二次谐波 ∴ V 2=0 （3）τ=15μs , T =30μs
ω1=
2π2π1
==100πK =ω0T 2 20⨯10-6
2π2π11==⨯200πK =ω0
-6
T 3330⨯10
即 三次谐波3ω1=ω0为谐振频率
ω1=
∴V 2=R ⋅b 3≈42. 4V
即：输出幅度为42.4V ，频率为100KHz 的正弦波。
4. 如下图周期矩形脉冲信号，脉冲幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T 。（1）写出信号的三角形式的傅里叶级数；（2）写出信号指数形式的傅里叶级数；（3）画出它的频谱；（4）分析当周期不变，脉冲宽度改变时，信号幅度谱的变化；（5）分析当脉冲宽度不变，周期变化时，信号幅度谱的变化。
解答
E τ2E τ
（1）f(t)=+
T 1T 1E τ
（2）f(t)=
T 1
n =-∞
∑Sa (
n =1
∞
n ω1τ
) cos (n ω1t ) 2
∑
∞
Sa (
n ω1τjn ω1t
) e
2
（3）T 不变， τ改变谱线间隔不变。
τ下降：1) 幅度变小；2) 收敛速度减慢，3) 信号的频带增加 （4）T 改变， τ不变，频谱的包络不变，信号的频带不变
T 增加：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。
一、选择题
1. 信号1的傅里叶变换为________.
A)2 B ）1 C ）δ(ω) D ）2π
δ(ω)
D
2. 某周期奇函数，其傅立叶级数中________.
A) 不含正弦分量 B) 不含余弦分量 C) 仅有奇次谐波分量 D) 仅有偶次谐波分量 B
3. 某周期偶谐函数，其傅立叶级数中________.
A) 无正弦分量 B) 无余弦分量 C) 无奇次谐波分量 D) 无偶次谐波分量 C
4. 某周期奇谐函数，其傅立叶级数中________.
A) 无正弦分量 B) 无余弦分量 C ) 仅有基波和奇次谐波分量 D) 仅有基波和偶次谐波分量 C
5. 某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中________.
A) 不含正弦分量 B) 不含余弦分量 C) 仅有奇次谐波分量 D) 仅有偶次谐波分量 A
6. 函数f(t) 的图像如图所示，f(t)为________.
A) 偶函数 B) 奇函数 C) 奇谐函数 C
7. 若F 1(j ω) =F [f 1(t )],则F 2(j ω) =F [
D) 都不是
df 1(t )
]=________. dt
dF (j ω) dF (j ω)
A) F 1(j ω) B ）1 C ）j ω1 D ）j ωF 1(j ω)
dt dt
D
8. 信号u (t )的傅里叶变换为________.
A) D
111
+δ(ω) D ）+πδ(ω) B ）1 C ）
j ωj ωj ω
9. 若F 1(j ω) =F [f 1(t )],则F 2(j ω) =F [f 1(4-2t )]=________.
11ω
F 1(j ω) e -j 4ω B ）F 1(-j ) e -j 4ω 222
1ω-j 2ω-j ω
C ）F 1(-j ω) e D ）F 1(-j ) e
22
A ） D
10. 信号δ(t )的傅里叶变换为________.
A)2 B ）1 C ）δ(ω) D ）2π B
二、填空题 1. 已知F [f (t )]=
F (j ω) ，则F [f (t ) e j ωt ]=__________________。
F [j (ω-ω0)]或F (ω-ω0)
2. 已知F [f (t )]=
F (j ω) , 则F [f (t ) cos (200t )]= __________________。
1
{F [j (ω+200)]+F [j (ω-200)]} 2
3. 已知F [f (t )]=
F (j ω) ，则F -1[F (j ω) e -j ωt ]=__________________。
f (t -t 0)
4. 已知F [f (t )]=
F (j ω) ，则F
-1
[F (j (ω-ω0)]=__________________。
f (t ) e j ω0t
5. 周期信号f （t ）如题图所示，频带宽度__________________。
2
2
2π τ
6. 周期信号频谱的特点为离散性、谐波性和__________________。 收敛性
7. F [δ(t )]=__________________。 1
8. F [cos(ω0t ) ]=__________________。 π[δ(ω+ω0) +δ(ω-ω0)]
9. F -1⎢
⎡
⎤1
=__________________。 ⎥
⎣j ω+2j ω+3⎦
e -2t u (t )-e -3t u (t )
三、计算题
1. 利用时域与频域的对称性，求下列傅立叶变换的时间函数。 F (ω) =δ(ω-ω0) 解答
∵ δ(t ) ⇔ 1
利用对称性，有 1 ⇔ 2πδ(-ω) =2πδ(ω) ∴ e
j ω0t
⇔
2πδ(ω-ω0)
1j ω0t
e
δ(ω-ω0)
∴ 2π ⇔
2. 利用时域与频域的对称性，求下列傅立叶变换的时间函数。
F (ω) =u (ω+ω0) -u (ω-ω0)
解答
∵ G τ(t ) ⇔
ω
τSa (τ)
2
利用对称性，有
∵
⇔ 2πG τ(ω)
u (t +t 0) -u (t -t 0) =G 2t (t ) ⇔2t 0Sa (ωt 0)
τSa (τ)
t 2
ω0
Sa (ω0t ) G (ω) =u (ω+ω0) -u (ω-ω0)
∴ π ⇔ 2ω
3. 若f (t ) 的频谱F (ω) 如下图示，利用卷积定理求f (t )cos(ω0t ) 的频谱，粗略画出频谱（注明频谱的边界频率）。
解答
题图3-34
F [f (t )cos(ω0t ) ]=
11
F (ω)*π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]=[F (ω+ω0)+F (ω-ω0)] 2π2
4. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号tf (2t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
1ωF () 22 ；
dF (ω)
tf (t ) j
d ω f (2t )
dF () 1tf (2t ) j
2d ω
5. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号(t -2)f (t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
ω
dF (ω)
d ω
dF (ω)
(t -2) f (t ) j -2F (ω)
d ω
tf (t ) j
6. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号(t -2)f (-2t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
f (-2t )
1ωF (-) 22
dF (-)
1-F (-ω) (t -2) f (-2t ) j
2d ω2
7. 若已知f (t )F (j ω)，利用傅立叶变换的性质确定信号f (1-t )的傅立叶变换。 解答
由傅立叶性质有：
ω
f (t +1) F (j ω) e j ω f (-t ) F (-ω)
f (1-t ) =f [-(t -1)]F (-ω) e -j ω
8. 若f (t ) 的频谱F (ω) 如下图示，利用卷积定理求f (t ) e
j ω0t
的频谱。
解答 F f (t )e
题图3-34
[
j ω0t
]=21F (ω)*2πδ(ω-ω)=F (ω-ω)
π
9. 若f (t ) 的频谱F (ω) 如下图示，利用卷积定理求f (t )cos(ω1t ) 的频谱。
解答
F [f (t )cos(ω
1t ) ]=
题图3-34
11
F (ω)*π[δ(ω+ω1)+δ(ω-ω1)]=[F (ω+ω1)+F (ω-ω1)] 2π2
10. 求所示半波余弦脉冲的傅立叶变换。
解答
j t -j t π1
f (t ) =cos(ωt ) G τ(t ) =t ) G τ(t ) =G τ(t )[e τ+e τ]
τ2
ωτ
G τ(t ) τSa ()
ππ
2
(ω-π) τ(ω+π) τE
τ{Sa []+Sa []}222 E τωτπωτπ=[Sa (-) +Sa (+)]22222
F (j ω) =
11 有一幅度为1，脉冲宽度为2ms 的周期矩形脉冲，其周期为8ms ，如图所示，求频谱并
画出频谱图频谱图。
解答
傅立叶变换为
1e -jn Ωt =
T -jn Ω
τ
2-
τ
2
2=T
sin(
n Ωτ
) n Ω
F n 为实数，可直接画成一个频谱图。
四、综合分析题
1. 周期矩形信号如题图所示。
求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解答
直流分量
τ1T 3
a 0=⎰T f (t ) dt =5⨯10⎰τEdt =1v
-T -
f (t )为偶函数， ∴b n =0
2τ2E τn πτa n =⎰τf (t ) cos n ωtdt =()
-T T T
1E τn πςF n =a n =Sa ()
2T T
其中基波为
有效值为
2E τπτ20Sa () =sin(0. 1π)
a 1=T T π
a 1
2
=
202π
sin 0. 1π≈1. 39
a 2
二次谐波有效值 三次谐波有效值
2
≈1. 32
a 32
≈1. 21
2. 若周期矩形信号f 1(t )和f 2(t )波形如下图所示，f 1(t )的参数为τ=0. 5μs ，T =1μs ，
E =1V ；f 2(t )的参数为τ=1. 5μs ，T =3μs ，E =3V ，分别求：
（1）f 1(t )的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）f 2(t )的谱线间隔和带宽； （3）f 1(t )和f 2(t )的基波幅度之比；
（4）f 1(t )基波与f 2(t )三次谐波幅度之比。
解答 （1）f 1(t ) τ=0. 5μs ，T =1μs ，E =1V
谱线间隔：∆=
带宽：B f =
1
=1000kHz T
=2000kHz
1
τ
(2) f 2(t ) τ=1. 5μs ，T =3μs ，E =3V
11000=kHz T 312000
kHz 谱线带宽：B f ==
τ3
4τ2⎛2π⎫
(3) f 1(t )基波幅度：a 1=⎰2E cos t ⎪dt =
T 0π⎝T ⎭4τ6⎛2π⎫
t ⎪dt = f 2(t )基波幅度：a 1=⎰02E cos
T π⎝T ⎭
谱线间隔：∆=
幅度比：1：3
4τ2⎛2π⎫
（4）f 2(t )三次谐波幅度：a 3=⎰2E cos 3⨯t ⎪dt =-
T 0T ⎭π⎝
幅度比：1：1
3. 学习电路课时已知，LC 谐振电路具有选择频率的作用，当输入正弦信号频率与LC 电路的谐振频率一致时，将产生较强的输入响应，而当输入信号频率适当偏离时，输出响应相对很弱，几乎为零（相当于窄带通滤波器）。利用这一原理可从非正弦周期信号中选择所需的正弦频率成分。题图3-13所示RLC 并联电路和电流源i 1(t )都是理想模型。已知电路的谐振频率为f 0=
12πLC
=100kHz ，R=100kΩ, 谐振电路品质因数Q 足够高（可滤除邻近频率
成分）。i 1(t )为周期矩形波，幅度为1mA ，当i 1(t )的参数（τ, T ）为下列情况时，粗略地画出输出电压v 2(t )的波形，并注明幅度值。
（1）τ=5μs , T =10μs ； （2）τ=10μs , T =20μs ； (3) τ=15μs , T =30μs ；
解答
谐振频率
将i 1(t )展成傅氏级数，有
ω0=2πf 0=200πk
a n =0 (ω1=
2π) T
2T 24T 24E b n =⎰i 1(t ) sin(n ω1t ) dt =⎰i 1(t ) sin(n ω1t ) dt = (n=1,3,5, )
T -T T 0n π i 1(t ) =∑b n sin(n ω1t ) (m=1,2, )
n =2m -1
由电路有
11+j ωC +) v 2(t ) =i 1(t ) R j ωL （1） τ=5μs , T =10μs
(
ω1=
2π2π==200πK =ω0T 10⨯10-6(谐振频率)
2(t ) =R I v (t )
V 2=R ⋅b 1≈127. 4
即：输出幅度为127.4V ，频率为100KHz 的正弦波。 （2）τ=10μs , T =20μs
∵ Q 足够高， ∴ 基波被滤掉，只有二次谐波 又 ∵ i 1(t ) 不包含二次谐波 ∴ V 2=0 （3）τ=15μs , T =30μs
ω1=
2π2π1
==100πK =ω0T 2 20⨯10-6
2π2π11==⨯200πK =ω0
-6
T 3330⨯10
即 三次谐波3ω1=ω0为谐振频率
ω1=
∴V 2=R ⋅b 3≈42. 4V
即：输出幅度为42.4V ，频率为100KHz 的正弦波。
4. 如下图周期矩形脉冲信号，脉冲幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T 。（1）写出信号的三角形式的傅里叶级数；（2）写出信号指数形式的傅里叶级数；（3）画出它的频谱；（4）分析当周期不变，脉冲宽度改变时，信号幅度谱的变化；（5）分析当脉冲宽度不变，周期变化时，信号幅度谱的变化。
解答
E τ2E τ
（1）f(t)=+
T 1T 1E τ
（2）f(t)=
T 1
n =-∞
∑Sa (
n =1
∞
n ω1τ
) cos (n ω1t ) 2
∑
∞
Sa (
n ω1τjn ω1t
) e
2
（3）T 不变， τ改变谱线间隔不变。
τ下降：1) 幅度变小；2) 收敛速度减慢，3) 信号的频带增加 （4）T 改变， τ不变，频谱的包络不变，信号的频带不变
T 增加：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。