中国西部科技
２００９年３月（上旬）第０８卷第０７期总 第１６８期
完全椭圆积分在物理学中的应用
田 硕
１
田
睿
２
（１．郑州航空工业管理学院数理系，河南 郑州 ４５００１５；２．河南工业职业技术学院基础部，河南 郑州 ４７３００９）
摘 要：本文阐述了两类完全椭圆积分的表述形式以及求解方法，对其在物理学中的常见应用进行分析阐述，并举出利 用完全椭圆积分求解的实例。 关键词：完全椭圆积分；周期；电势；磁场 Abstract:This article expound the expression and solution of two complete elliptic integral means,and analyse the application of them in physics.This article give some examples which are solved by means of complete elliptic integral Key words:Complete elliptic integral;Period;Electric potential;Magnetic field
１
完全椭圆积分 在数学中，把形如
的积分，称为椭圆积
示出它们的结果的形式，并且可以达到一定的精度。 ２ 物理中常见的利用完全椭圆积分的实例 ２．１ 计算单摆周期的精确解 如图所示，为单摆的模型，整个摆在竖直平面内的振 动方程为：
分，其中Ｒ是ｘ、ｙ有理函数，Ｐ（ｘ）是ｘ的三次或四次多项 式，它可以化为一些能用初等函数表示的积分。 常见的椭圆积分有以下两类：
分别称为Ｌｅｇｅｎｄｒｅ第一、第二类椭圆积分。其中，数 ｋ为模数，且 ﹤１，当 时，可变为：
当 方程：
很小时，
，这时方程（１０）的解为简谐运动
上述两式分别称为第一、第二类完全椭圆积分，并且 结果通常可以表示为级数的形式，既：
其中， 为角频率， 为振幅，振动周期 。 选取质点ｍ静止的位置为势能零点，当质点偏离 角 时，根据能量守恒定律有： ，其中 ，代入整 理得： 由上式可得： 其中±号表示质点远离和靠近平衡位置。 解微分方程可得单摆的摆动周期为：
因此我们可以由确定的ｋ值，通过查椭圆积分表可以得 到Ｋ和Ｅ的值，并且可以达到相当的精度。 且由上述式子求导可得：
令 且 时， ，
，（即令 ﹤１）， 时， 。代入上式经整理得：
我们对一些物理过程，需要建立非线性方程进行求解， 这类求解比较麻烦，但只要我们能把这类求解的结果表示成 完全椭圆积分的形式，我们就可以根据上面的推导用级数表
收稿日期： ２００９－０１－２３ 修回日期：２００９－０２－２０ 作者简介： 田硕（１９８０－），男，河南南阳籍，本科，助教。
（
）
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教育与人才
可见，当 很小时，上式可等价于 小角度单摆的周期公式。 ２．２ 计算均匀带电圆环在空间任一点的电势 ，这就是 与 ，当ａ＝０，或ａ＝Ｒ时，可直接代入公式计算得， ， 。 当 ０＜ａ＜Ｒ时，上式则转化为Ｌｅｇｅｎｄｒｅ第二 类 椭 圆 积
已知均匀带电圆环的半径为Ｒ，线电荷密度为 ，则以 圆心Ｏ为坐标原点，选取柱坐标系，Ｚ轴垂直于坐标平面。 取圆环任一段圆长ｄｌ，带电量ｄｑ为 ，它对空间任一点的 Ｐ的电势大小为：
分，则：
图１
图３
（Ｚ、Ｒ、 、 关系如图１所示） 则：
２．４ 椭圆电流环中心的磁感强度 一导线环呈椭圆形，其方程为：
如图所示 ，用平面极坐标表示时，椭圆方程可化为： 令 上式可得： ，则有 ， ，代入 令 ，代入公式得：
（ 当 时，ｋ＝０， 轴线上电势的公式。
） ，正是均匀带电圆环
（
，为椭圆
偏心率） 根据毕奥－ 萨伐尔定律，这椭圆环电流Ｉ 在中心Ｏ 产生 的磁感强度为：
＝ （ 代入公式得：
为电流流向的右手螺旋方向）
２．３ 均匀带电薄圆盘上的电势 半径为Ｒ的薄圆盘均匀带电，电荷面密度为σ，求盘上 任一点Ｐ的电势。 为了求得Ｐ点的电势，可以取Ｐ点为极点，Ｐ点与圆心Ｏ的 连线为极轴建立极坐标系，设 以表示为： ，则Ｐ点电势可
当ａ＝ｂ时，ｅ＝０，椭圆即变为圆，此时； 为圆电流中心的磁感强度公式。
，此即
图４
２．５ 椭圆形环状物体的质量 已知一质量均匀分布的椭圆型环状物体，其线密度为
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ρ，则曲线方程为： ， 参数方程为：
２００９年３月（上旬）第０８卷第０７期 总 第１６８期
３ 小结 由此可见，完全椭圆积分作为一种重要的数学工具，
在求解某些物理问题时，有重要的应用。这些问题集中在 求解圆形带电环及带电面的电势分布，并且我们可以根据 电势分布进一步求出电场强度的分布。此外在求解椭圆电 流的磁场分布以及圆电流空间磁场分布等等问题上。在某 些力学问题中，也可以转化为完全椭圆积分进行计算。这 给我们提供了一种很好的解决物理问题的方法，并使数学 问题与物理问题得到很好的结合，有利于我们深入理解物 理知识和增强进一步解决物理问题的能力。
参考文献： ［１］ 刘式达，刘式适．物理学中的非线性方程［Ｍ］．北京：北京大学出 版社，２０００． ［２］ 郭硕鸿．电动力学［Ｍ］．北京人民教育出版社，１９７９． ［３］ 李 清 玉 等 ． 均 匀 带 电 薄 圆 盘 上 的 电 势 ［ Ｊ ］．云南师范大学学 报，２００２，（１１）． ［４］ 刘仁义等．完全椭圆积分在力学中的应用研究［Ｊ］．甘肃高师学 报，２０００，（２）． ［５］ 张 之 翔 ． 电 磁 学 中 几 个 简 单 问 题 里 的 椭 圆 积 分 ［ Ｊ］．大学物 理，２００２，（４）．
Ａ，ｂ和ｔ的关系如图所示。 则有弧微分：
（ 做替换 椭圆积分。
，为椭圆的偏心率） ，得
，此即为第二类
所以我们可知：
（上接第８３页） 就是向学生尽可能多地传授知识，于是一节 课制作上百个甚至更多的幻灯片。一定程度上，多媒体教 学演变成了一种“满堂灌”，这种授课方式势必会使学生 们从一开始的新鲜感转变为没兴趣，出现视觉疲劳，限制 学生们大脑思维的活动，从而达不到预定的教学目的。 多媒体教学应体现趣味性 课堂教学的趣味性，就是要求教师授课时要有极大的 吸引力和极强的感染力，努力营造一种生动活泼的课堂氛 围，让学生在轻松快乐中学到知识。具体来说，就是要求 教师在课堂上采用启发和引导式教学法，与学生进行互动 和交流，不仅仅是知识互动，还有情感交流。 合理利用多媒体技术可以帮助实现这一目标。如在精 读课上，教师讲到“Ｆｏｏｄ”这一单元，需要与同学们交流 中西方的饮食差异，就可以在幻灯片上粘贴两组图片，一 组是北京烤鸭、西湖醋鱼、麻婆豆腐、佛跳墙，另一组是 汉堡包、奶酪、烤火鸡、生菜色拉。另外，还可以打上一 些色彩突出的文字，如“色、香、味、营养”等，再加上 一些动画设计，比如挥汗如雨炒菜的厨师等。学生们观看 这样的多媒体演示，必定意兴盎然，主动地参与到教学活 动中，积极思考、踊跃发言。这样可以增加学习的兴趣， 强化学生的学习效果。 但是，趣味性并不意味着多媒体课件制作的越花哨越 好。如果一会儿飞来一只蝴蝶，一会儿冒出一个装饰性图 案，一会儿又发出叮当响声，这势必会分散学生的注意 力，影响我们的教学效果。因此，能用文字、图片讲清楚 的问题，不要一味追求动画；能用简单动画制作的课件， 不要一味追求视频；否则就会适得其反。要把握好一个 度，该庄重则庄重，该活泼则活泼，以实现教学的最优 化。 ３
依上之见，多媒体教学应充分体现出逻辑性、知识性 和趣味性，这就对任课教师提出了更高的要求，而不是降 低了要求。具体来说，不仅要求教师熟练掌握和应用多媒 体技术，而且要转变观念，提高认识。首先，教师不再是 传统教学中的“主角演员”，而是提升为现代多媒体教学 中的“导演”。要成为一名合格导演，就要求教师在课前 要做好周密计划，比如说，这节课让同学们学到哪些知 识，借用多媒体技术，列出醒目的授课纲目，一步一步引 导学生们进入学习的主题，由浅入深，同时思考如何引导 学生参与到教学中来，最终完成教学任务。再次，在授课 过程中，教师还要注意自身的教态，包括谈吐、仪表和肢 体语言；还要“察言观色”，根据学生们的反应及时调整 授课内容、速度和方式；也要注意用各种方法调控学生们 的心理活动，使之达到最佳状态。 ４ 结语 综上所述，多媒体技术在英语教学中的应用只是课堂 教学的辅助手段，它应紧紧围绕逻辑性、知识性和趣味性 这三项原则展开教学。英语教师应认真审视自己在教学中 所扮演的角色，改变观念，提高认识，不能盲目地认为 “多媒体至上”。唯如此，才能真正发挥多媒体教学的优 势，提高英语教学质量。
参考文献： ［１］ 殷震育．于玲红． 高校多媒体教学的探讨［Ｊ］． 黑龙江高等教育 研究，２００２，（４）． ［２］ 刘羡丽．喻海燕．论多媒体辅助教学在大学英语实践中的应用 ［Ｊ］．黑龙江史志，２００８，（９）． ［３］ 蔡 宪．关于多媒体教学的思考［Ｊ］．外语电化教学，１９９８，（４）． ［４］ 刘 宏 ． 多 媒 体 教 学 的 若 干 问 题 探 讨 ［Ｊ］．教 育 理 论 与 实 践，２００６，（４）．
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２００９年３月（上旬）第０８卷第０７期总 第１６８期
完全椭圆积分在物理学中的应用
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（１．郑州航空工业管理学院数理系，河南 郑州 ４５００１５；２．河南工业职业技术学院基础部，河南 郑州 ４７３００９）
摘 要：本文阐述了两类完全椭圆积分的表述形式以及求解方法，对其在物理学中的常见应用进行分析阐述，并举出利 用完全椭圆积分求解的实例。 关键词：完全椭圆积分；周期；电势；磁场 Abstract:This article expound the expression and solution of two complete elliptic integral means,and analyse the application of them in physics.This article give some examples which are solved by means of complete elliptic integral Key words:Complete elliptic integral;Period;Electric potential;Magnetic field
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完全椭圆积分 在数学中，把形如
的积分，称为椭圆积
示出它们的结果的形式，并且可以达到一定的精度。 ２ 物理中常见的利用完全椭圆积分的实例 ２．１ 计算单摆周期的精确解 如图所示，为单摆的模型，整个摆在竖直平面内的振 动方程为：
分，其中Ｒ是ｘ、ｙ有理函数，Ｐ（ｘ）是ｘ的三次或四次多项 式，它可以化为一些能用初等函数表示的积分。 常见的椭圆积分有以下两类：
分别称为Ｌｅｇｅｎｄｒｅ第一、第二类椭圆积分。其中，数 ｋ为模数，且 ﹤１，当 时，可变为：
当 方程：
很小时，
，这时方程（１０）的解为简谐运动
上述两式分别称为第一、第二类完全椭圆积分，并且 结果通常可以表示为级数的形式，既：
其中， 为角频率， 为振幅，振动周期 。 选取质点ｍ静止的位置为势能零点，当质点偏离 角 时，根据能量守恒定律有： ，其中 ，代入整 理得： 由上式可得： 其中±号表示质点远离和靠近平衡位置。 解微分方程可得单摆的摆动周期为：
因此我们可以由确定的ｋ值，通过查椭圆积分表可以得 到Ｋ和Ｅ的值，并且可以达到相当的精度。 且由上述式子求导可得：
令 且 时， ，
，（即令 ﹤１）， 时， 。代入上式经整理得：
我们对一些物理过程，需要建立非线性方程进行求解， 这类求解比较麻烦，但只要我们能把这类求解的结果表示成 完全椭圆积分的形式，我们就可以根据上面的推导用级数表
收稿日期： ２００９－０１－２３ 修回日期：２００９－０２－２０ 作者简介： 田硕（１９８０－），男，河南南阳籍，本科，助教。
（
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教育与人才
可见，当 很小时，上式可等价于 小角度单摆的周期公式。 ２．２ 计算均匀带电圆环在空间任一点的电势 ，这就是 与 ，当ａ＝０，或ａ＝Ｒ时，可直接代入公式计算得， ， 。 当 ０＜ａ＜Ｒ时，上式则转化为Ｌｅｇｅｎｄｒｅ第二 类 椭 圆 积
已知均匀带电圆环的半径为Ｒ，线电荷密度为 ，则以 圆心Ｏ为坐标原点，选取柱坐标系，Ｚ轴垂直于坐标平面。 取圆环任一段圆长ｄｌ，带电量ｄｑ为 ，它对空间任一点的 Ｐ的电势大小为：
分，则：
图１
图３
（Ｚ、Ｒ、 、 关系如图１所示） 则：
２．４ 椭圆电流环中心的磁感强度 一导线环呈椭圆形，其方程为：
如图所示 ，用平面极坐标表示时，椭圆方程可化为： 令 上式可得： ，则有 ， ，代入 令 ，代入公式得：
（ 当 时，ｋ＝０， 轴线上电势的公式。
） ，正是均匀带电圆环
（
，为椭圆
偏心率） 根据毕奥－ 萨伐尔定律，这椭圆环电流Ｉ 在中心Ｏ 产生 的磁感强度为：
＝ （ 代入公式得：
为电流流向的右手螺旋方向）
２．３ 均匀带电薄圆盘上的电势 半径为Ｒ的薄圆盘均匀带电，电荷面密度为σ，求盘上 任一点Ｐ的电势。 为了求得Ｐ点的电势，可以取Ｐ点为极点，Ｐ点与圆心Ｏ的 连线为极轴建立极坐标系，设 以表示为： ，则Ｐ点电势可
当ａ＝ｂ时，ｅ＝０，椭圆即变为圆，此时； 为圆电流中心的磁感强度公式。
，此即
图４
２．５ 椭圆形环状物体的质量 已知一质量均匀分布的椭圆型环状物体，其线密度为
91
中国西部科技
ρ，则曲线方程为： ， 参数方程为：
２００９年３月（上旬）第０８卷第０７期 总 第１６８期
３ 小结 由此可见，完全椭圆积分作为一种重要的数学工具，
在求解某些物理问题时，有重要的应用。这些问题集中在 求解圆形带电环及带电面的电势分布，并且我们可以根据 电势分布进一步求出电场强度的分布。此外在求解椭圆电 流的磁场分布以及圆电流空间磁场分布等等问题上。在某 些力学问题中，也可以转化为完全椭圆积分进行计算。这 给我们提供了一种很好的解决物理问题的方法，并使数学 问题与物理问题得到很好的结合，有利于我们深入理解物 理知识和增强进一步解决物理问题的能力。
参考文献： ［１］ 刘式达，刘式适．物理学中的非线性方程［Ｍ］．北京：北京大学出 版社，２０００． ［２］ 郭硕鸿．电动力学［Ｍ］．北京人民教育出版社，１９７９． ［３］ 李 清 玉 等 ． 均 匀 带 电 薄 圆 盘 上 的 电 势 ［ Ｊ ］．云南师范大学学 报，２００２，（１１）． ［４］ 刘仁义等．完全椭圆积分在力学中的应用研究［Ｊ］．甘肃高师学 报，２０００，（２）． ［５］ 张 之 翔 ． 电 磁 学 中 几 个 简 单 问 题 里 的 椭 圆 积 分 ［ Ｊ］．大学物 理，２００２，（４）．
Ａ，ｂ和ｔ的关系如图所示。 则有弧微分：
（ 做替换 椭圆积分。
，为椭圆的偏心率） ，得
，此即为第二类
所以我们可知：
（上接第８３页） 就是向学生尽可能多地传授知识，于是一节 课制作上百个甚至更多的幻灯片。一定程度上，多媒体教 学演变成了一种“满堂灌”，这种授课方式势必会使学生 们从一开始的新鲜感转变为没兴趣，出现视觉疲劳，限制 学生们大脑思维的活动，从而达不到预定的教学目的。 多媒体教学应体现趣味性 课堂教学的趣味性，就是要求教师授课时要有极大的 吸引力和极强的感染力，努力营造一种生动活泼的课堂氛 围，让学生在轻松快乐中学到知识。具体来说，就是要求 教师在课堂上采用启发和引导式教学法，与学生进行互动 和交流，不仅仅是知识互动，还有情感交流。 合理利用多媒体技术可以帮助实现这一目标。如在精 读课上，教师讲到“Ｆｏｏｄ”这一单元，需要与同学们交流 中西方的饮食差异，就可以在幻灯片上粘贴两组图片，一 组是北京烤鸭、西湖醋鱼、麻婆豆腐、佛跳墙，另一组是 汉堡包、奶酪、烤火鸡、生菜色拉。另外，还可以打上一 些色彩突出的文字，如“色、香、味、营养”等，再加上 一些动画设计，比如挥汗如雨炒菜的厨师等。学生们观看 这样的多媒体演示，必定意兴盎然，主动地参与到教学活 动中，积极思考、踊跃发言。这样可以增加学习的兴趣， 强化学生的学习效果。 但是，趣味性并不意味着多媒体课件制作的越花哨越 好。如果一会儿飞来一只蝴蝶，一会儿冒出一个装饰性图 案，一会儿又发出叮当响声，这势必会分散学生的注意 力，影响我们的教学效果。因此，能用文字、图片讲清楚 的问题，不要一味追求动画；能用简单动画制作的课件， 不要一味追求视频；否则就会适得其反。要把握好一个 度，该庄重则庄重，该活泼则活泼，以实现教学的最优 化。 ３
依上之见，多媒体教学应充分体现出逻辑性、知识性 和趣味性，这就对任课教师提出了更高的要求，而不是降 低了要求。具体来说，不仅要求教师熟练掌握和应用多媒 体技术，而且要转变观念，提高认识。首先，教师不再是 传统教学中的“主角演员”，而是提升为现代多媒体教学 中的“导演”。要成为一名合格导演，就要求教师在课前 要做好周密计划，比如说，这节课让同学们学到哪些知 识，借用多媒体技术，列出醒目的授课纲目，一步一步引 导学生们进入学习的主题，由浅入深，同时思考如何引导 学生参与到教学中来，最终完成教学任务。再次，在授课 过程中，教师还要注意自身的教态，包括谈吐、仪表和肢 体语言；还要“察言观色”，根据学生们的反应及时调整 授课内容、速度和方式；也要注意用各种方法调控学生们 的心理活动，使之达到最佳状态。 ４ 结语 综上所述，多媒体技术在英语教学中的应用只是课堂 教学的辅助手段，它应紧紧围绕逻辑性、知识性和趣味性 这三项原则展开教学。英语教师应认真审视自己在教学中 所扮演的角色，改变观念，提高认识，不能盲目地认为 “多媒体至上”。唯如此，才能真正发挥多媒体教学的优 势，提高英语教学质量。
参考文献： ［１］ 殷震育．于玲红． 高校多媒体教学的探讨［Ｊ］． 黑龙江高等教育 研究，２００２，（４）． ［２］ 刘羡丽．喻海燕．论多媒体辅助教学在大学英语实践中的应用 ［Ｊ］．黑龙江史志，２００８，（９）． ［３］ 蔡 宪．关于多媒体教学的思考［Ｊ］．外语电化教学，１９９８，（４）． ［４］ 刘 宏 ． 多 媒 体 教 学 的 若 干 问 题 探 讨 ［Ｊ］．教 育 理 论 与 实 践，２００６，（４）．
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