2017年04月05日参数方程+大题综合
一．选择题
1．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（ ）
A ．2x ﹣y +4=0 B ．2x +y ﹣4=0
C ．2x ﹣y +4=0，x ∈[2，3] D ．2x +y ﹣4=0，x ∈[2，3]
2．若曲线
A ．
2 B． C．
7（t 为参数）与曲线ρ=2 D． 相交于B ，C 两点，则|BC |
3．若直线l 的参数方程为
A ．﹣ B．﹣ C． D ． （t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（
4．点P （x ，y ）是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点，则x +2y 的最大值为（ ）
A ． B ． C ． D．
5．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（ ）
A ．x 2+=1 B ．x 2
+=1（0≤x ≤1）
C ．x 2+=1（0≤y ≤2） D ．x 2+=1（0≤x ≤1，0≤y ≤2）
6．若直线
A ．7 B ．5 （t 为参数）与直线4x +ky=1垂直，则常数k=（ ） C ．4 D ．6
（t 为参数），点M 在椭圆上，对应参数t=，7．已知椭圆的参数方程
点O 为原点，则直线OM 的斜率为（ ）
A ． B ．﹣ C ．
2 D．﹣2
8．设直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数），直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，则|AB |=（ ）
A ．2 B ．1 C ． D ．
9．圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，圆M 的方程为（x ﹣2﹣5cosθ）2+（y ﹣5sinθ）2=1（θ∈R ），过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别是E ，F ，的最小值是（ ）
D ．5
（θ∈[0，2π））交与A 、则A ．12 B ．10 C ．6 10．直线y=与圆心为D 的圆
B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）
A ． B ． C ． D ．
二．填空题
11． 已知直线l
的参数方程为（t 为参数），圆C
的参数方程为
（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为 ．
12．曲线C ：（α为参数），若以点O （0，0）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．
13．若P （2，﹣1）为曲线
直线的普通方程为 ．
14．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q 为曲线
则|PQ |的最小值为 ．
15．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交为参数）上一点，（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在所得的弦长的取值范围是 ．
16．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=1，
点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作曲线C 的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为 ．
17．在直角坐标系中，参数方程为（t 为参数）的直线l ，被以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C 所截，则截得的弦长是 ．
18．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l 与曲线C ：，（α为参数）交于A ，B 两点，且|AB |=2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 ．
19．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=．
20．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．
三．解答题
21．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为，（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值．
22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C ：（α为参数）；直线l ：ρ（cosθ+sinθ）=4．
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．
23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中
的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求C 的直角坐标方程；
（2）直线l ：为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |+|EB |的值．
24．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t ）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；
（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |•|PB |=1，求实数m 的值．
25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交（φ为参数），以O 为极点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
26．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为
极坐标方程为． 为参数），曲线C 2的（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值．
27．已知在直角坐标系中，曲线的C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距
离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．
28．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
29．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
30．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为
线C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． （t 为参数，0＜α＜π），曲
2017年04月05日参数方程+大题综合（答案）
1．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（ ）
A ．2x ﹣y +4=0 B ．2x +y ﹣4=0
C ．2x ﹣y +4=0，x ∈[2，3] D ．2x +y ﹣4=0，x ∈[2，3]
【解答】解：由条件可得 cos2θ=y+1=1﹣2sin 2θ=1﹣2（x ﹣2），
化简可得2x +y ﹣4=0，x ∈[2，3]， 故选D ．
2．若曲线
A ．
2 B． C．
7（t 为参数）与曲线ρ=2 D． 相交于B ，C 两点，则|BC |
【解答】解：曲线
曲线ρ=2
∴|BC |
=（t 为参数），化为普通方程y=1﹣x ， 的直角坐标为x 2+y 2=8，y=1﹣x 代入x 2+y 2=8，可得2x 2﹣2x ﹣7=0， •=． 故选：D ．
（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ 3．若直线l 的参数方程为
A ．﹣ B．﹣ C． D ．
【解答】解：由题意得，设直线l 倾斜角为θ，直线l 的参数方程为
为参数），可化为∴，则，∵θ∈（0，π）， （t ， 故选：B ．
4．点P （x ，y ）是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点，则x +2y 的最大值为（ ）
A ． B ． C ． D．
【解答】解：由椭圆2x 2+3y 2=12化为∴x +
2y== =，其中，设
，y=2sinθ， ．∴x +2y 的最大值为．故选D ．
5．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（ ）
A ．x 2+=1 B．x 2
+=1（0≤x ≤1）
C ．x 2+=1（0≤y ≤2） D ．x 2+=1（0≤x ≤1，0≤y ≤2）
【解答】解：由参数方程为，∴，解得0≤t ≤1，从而得0≤x ≤1，0≤y ≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．
因此与参数方程
为等价的普通方程
为
． 故选D ．
6．若直线
A ．7 B ．5 （t 为参数）与直线4x +ky=1垂直，则常数k=（ ） C ．4 D ．6
（t 为参数），消去参数，得x ﹣y +2=0， 【解答】解：∵直线
∵x ﹣y +2=0与直线4x +ky=1垂直，∴k=4， 故选：C ．
7．已知椭圆的参数方程（t 为参数），点M 在椭圆上，对应参数t=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为（ ）
A ． B ．﹣ C ．
2 D．﹣2
【解答】解：当
t=
∴OM 的斜率为
k=2时，点M 的坐标为（2cos ，4sin ），即M （1，2）， ． 故选：C ．
8．设直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数），直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，则|AB |=（ ）
A ．2
B ．1 C ． D ．
【解答】解：由曲线C 1：（θ为参数），化为x 2+y 2=1，
直线l ：（t 为参数），消去参数化为y=（x ﹣1），即=0． ∴圆心C 1（0，0）到直线l 的距离d=∴|AB |
=2
==． =1． 故选：B ．
9．圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，圆M 的方程为（x ﹣2﹣5cosθ）2+（y ﹣5sinθ）2=1（θ∈R ），过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别是E ，F ，的最小值是（ ）
D ．5 则A ．12 B ．10 C ．6
【解答】解：（x ﹣2）2+y 2=4的圆心C （2，0），半径等于2，
圆M （x ﹣2﹣5cosθ）2+（y ﹣5sinθ）2=1，圆心M （2+5cosθ，5sinθ）， 半径等于1．∵|CM |=
∵=•cos∠EPF ，要使
=5＞2+1，故两圆相离． 最小，需 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H 、G 两点，则|H C|=|CM |﹣1=5﹣1=4，|H E|=sin ∠
CHE=
∴==2的最小值是， ． =，∴cos ∠EHF=cos2∠CHE=1﹣2sin 2∠CHE=， ×2×=6，故选 C ． =|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
10．直线y=与圆心为D 的圆（θ∈[0，2π））交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，
由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，
故选C
11． 已知直线l
的参数方程为（t 为参数），圆C
的参数方程为
（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为
． ．
【解答】解：由直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程y=x+1．
由圆C 的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得圆C 的普通方程（x
﹣2）2+y 2=1．于是圆心C （2，0）到直线l 的距离=12．曲线C ：=．案为． （α为参数），若以点O （0，0）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ρ=4cosθ ．
【解答】解：∵曲线C ：（α为参数），
∵以点O （0，0）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C 得，ρcosθ﹣2=2cosα，ρsinθ=2sinα，消去α得，ρ=4cosθ，故答案为：ρ=4cosθ．
13．若P （2，﹣1）为曲线
直线的普通方程为 x ﹣y ﹣3=0 ．
【解答】解：∵曲线
∵P （2，﹣1）为曲线（0≤θ＜2π），∴（x ﹣1）2+y 2=25， （0≤θ＜2π）的弦的中点， （0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在
设过点P （2，﹣1）的弦与（x ﹣1）2+y 2=25交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入（x ﹣1）2+y 2=25， 得，∴，
①﹣②，得4（x 1﹣x 2）﹣2（x 1﹣x 2）﹣2（y 1﹣y 2）=0，∴k==1，
∴该弦所在直线的普通方程为y +1=x﹣2，即x ﹣y ﹣3=0．答案为：x ﹣y ﹣3=0．
14．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q 为曲线
则|PQ |的最小值为
． 为参数）上一点，
【解答】解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x ﹣y ﹣4=0．
由点到直线的距离公式可得：
|PQ |
===≥．故答案为：=． ． 当且仅当t=2时取等号．∴|PQ |的最小值为
15．直线l ：（t 为参数）与圆C ：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值
【解答】解：直线l ：
即y=tanα•x+1；圆C 的参数方程（t 为参数），化为普通方程是（θ为参数）， =，
化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=64；
∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4 ； ∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．
16．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=1，点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作曲线
C 的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小
【解答】解：∵直线l 的参数方程为（t 为参数）∴l ：x +y ﹣4=0 又∵曲线C 的极坐标方程为ρ=1∴圆C ：x 2+y 2=1
显然过过圆C 的圆心（0，0）做直线l ：x +y ﹣4=0的垂线，垂足为Q ，此时|PQ |
的值最小∴圆C 的圆心（0，0）到直线l ：x +y ﹣4=0的距离 d=∴|PQ |=即|PQ |的最小值为
故答案为
17．在直角坐标系中，参数方程为（t 为参数）的直线l ，被以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C 所截，则截得的弦
【解答】解：由题意知，直线l 的倾斜角为30°，
并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，
且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，
在Rt △OAB 中，．故答案为．
，（α为18．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l 与曲线C ：
参数）交于A ，B 两点，且|AB |=2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 ρ（cosθ﹣sinθ）=1 ．
【解答】解：设倾斜角为
曲线C ：的直线l 的方程为y=x+b ， （α为参数），即 （x ﹣2）2+（y ﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB |=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l 上，故有1=2+b ，解得b=﹣1，故直线l 的方程为 y=x﹣1，即x ﹣y ﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，
即ρ（cosθ﹣sinθ）=1故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
19．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l 与曲线C
的公共点的极径【解答】解：直线l 的参数方程为 ，普通方程为y=x+1，
曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y 2=4x，
直线l 与曲线C 联立可得（x ﹣1）2=0，∴x=1，y=2，
∴直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=20．已知曲线C 的参数方程为=．故答案为：． （t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填【解答】解：由或也得满分） （t 为参数），两式平方后相加得x 2+y 2=2，…（4分）
的圆． ∴曲线C 是以（0，0）为圆心，半径等于
C 在点（1，1）处的切线l 的方程为x +y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入x +y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，
即
，
则l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（
填
也得满分）． …（10分）
故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填21．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为或也得 ，（t 为参数）．在极坐或或标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，…（2分）
结合极坐标与直角坐标的互化公式得x 2+y 2=4x，即（x ﹣2）2+y 2=4
（Ⅱ）由直线l 的参数方程为
结合圆C 与直线l 相切，得，化为普通方程，得x ﹣y ﹣a=0． =2，解得a=﹣2或6．…（10分）
22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C ：（α为参数）；直线l ：ρ（cosθ+sinθ）=4．
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．
【解答】解：（Ⅰ）根据sin 2α+cos 2α=1将C 转化普通方程为：
利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将l 转化为直角坐标方程为：x +y ﹣4=0 （Ⅱ）在
d=它的最大值为3． 上任取一点A （=cosα，sinα），则点A 到直线的距离为 ，
23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求C 的直角坐标方程；
（2）直线l ：为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |+|EB |的值．
【解答】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x 2+y 2=2x+2y 即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2
（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2﹣t ﹣1=0，
所以|EA |+|EB |=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==．
24．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t ）
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；
（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |•|PB |=1，求实数m 的值．
【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x．
直线L 的参数方程是（t 为参数），消去参数t 可得．
（2）把（t 为参数），代入方程：x 2+y 2=2x化为：+m 2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m ＜3．∴t 1t 2=m2﹣2m ．∵|PA |•|PB |=1=|t 1t 2|， ∴m 2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．
25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3（φ为参数），以O 为极，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程
化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得． 为参数）设（ρ2，θ2）为点Q
的极坐标，由
，解得
．∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．
26．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为
极坐标方程为． 为参数），曲线C 2的（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值．
【解答】解：（1）由
由消去参数α，得曲线C 1的普通方程为得，曲线C 2的直角坐标方程为
． ．
（2）设P （2
点P cosα，2sinα），则 到曲线C 2的距离
． 为
当时，d 有最小值，所以|PQ |的最小值为．
（φ为参数），现27．已知在直角坐标系中，曲线的C 参数方程为
以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）曲线的C 参数方程为
（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4，
直线l 的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0； （φ为参数），普通方程为
（2）点P 到直线l 的距离d=∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣
，1﹣）． =（k ∈Z ），距离的最小值为2， ﹣2，点P 的直角坐标（1+
28．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为
移项后两边平方可得（α为参数）， +y 2=1；
cosθ）=2， +y 2=cos2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：）=2，即有ρ（曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+
sinθ+
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x +y ﹣4=0，即有C 2的直角方程为直线x +y ﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x +y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ |取得最值．设与直线x +y ﹣4=0平行的直线方程为x +y +t=0， 联立可得4x 2+6tx +3t 2﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t 2﹣3）=0，解得t=±2，
显然t=﹣2时，|PQ |取得最小值，即有|PQ |=此时4x 2﹣12x +9=0，解得x=，即为P （，）．
另解：设P （cosα，sinα），
=
，此时可取α=， ，即有P （，）． =， 由P 到直线的距离为d=当sin （α+）=1时，|PQ |的最小值为
29．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
【解答】解：（I ）∵∴圆C 的直角坐标方程为
即，∴， ，∴圆心直角坐标为
，
，
（10分） ．（5分） ， （II ）∵直线l 的普通方程为圆心C 到直线l 距离是∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是
30．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等
的长度单位．已知直线l 的参数方程为
线C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （t 为参数，0＜α＜π），曲
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．
【解答】解：（I ）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，
∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x．
（II ）将直线l 的参数方程代入y 2=4x，得t 2sin 2α﹣4tcosα﹣4=0．
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，
则t 1+t 2=，t 1t 2=﹣，
==， ∴|AB |=|t 1﹣t 2|=当
α=
时，|AB |的最小值为4．
2017年04月05日参数方程+大题综合
一．选择题
1．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（ ）
A ．2x ﹣y +4=0 B ．2x +y ﹣4=0
C ．2x ﹣y +4=0，x ∈[2，3] D ．2x +y ﹣4=0，x ∈[2，3]
2．若曲线
A ．
2 B． C．
7（t 为参数）与曲线ρ=2 D． 相交于B ，C 两点，则|BC |
3．若直线l 的参数方程为
A ．﹣ B．﹣ C． D ． （t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（
4．点P （x ，y ）是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点，则x +2y 的最大值为（ ）
A ． B ． C ． D．
5．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（ ）
A ．x 2+=1 B ．x 2
+=1（0≤x ≤1）
C ．x 2+=1（0≤y ≤2） D ．x 2+=1（0≤x ≤1，0≤y ≤2）
6．若直线
A ．7 B ．5 （t 为参数）与直线4x +ky=1垂直，则常数k=（ ） C ．4 D ．6
（t 为参数），点M 在椭圆上，对应参数t=，7．已知椭圆的参数方程
点O 为原点，则直线OM 的斜率为（ ）
A ． B ．﹣ C ．
2 D．﹣2
8．设直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数），直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，则|AB |=（ ）
A ．2 B ．1 C ． D ．
9．圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，圆M 的方程为（x ﹣2﹣5cosθ）2+（y ﹣5sinθ）2=1（θ∈R ），过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别是E ，F ，的最小值是（ ）
D ．5
（θ∈[0，2π））交与A 、则A ．12 B ．10 C ．6 10．直线y=与圆心为D 的圆
B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）
A ． B ． C ． D ．
二．填空题
11． 已知直线l
的参数方程为（t 为参数），圆C
的参数方程为
（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为 ．
12．曲线C ：（α为参数），若以点O （0，0）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．
13．若P （2，﹣1）为曲线
直线的普通方程为 ．
14．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q 为曲线
则|PQ |的最小值为 ．
15．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交为参数）上一点，（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在所得的弦长的取值范围是 ．
16．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=1，
点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作曲线C 的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小值为 ．
17．在直角坐标系中，参数方程为（t 为参数）的直线l ，被以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C 所截，则截得的弦长是 ．
18．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l 与曲线C ：，（α为参数）交于A ，B 两点，且|AB |=2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 ．
19．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=．
20．已知曲线C 的参数方程为（t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．
三．解答题
21．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为，（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值．
22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C ：（α为参数）；直线l ：ρ（cosθ+sinθ）=4．
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．
23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中
的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求C 的直角坐标方程；
（2）直线l ：为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |+|EB |的值．
24．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t ）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；
（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |•|PB |=1，求实数m 的值．
25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交（φ为参数），以O 为极点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
26．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为
极坐标方程为． 为参数），曲线C 2的（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值．
27．已知在直角坐标系中，曲线的C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距
离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．
28．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
29．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
30．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为
线C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值． （t 为参数，0＜α＜π），曲
2017年04月05日参数方程+大题综合（答案）
1．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（ ）
A ．2x ﹣y +4=0 B ．2x +y ﹣4=0
C ．2x ﹣y +4=0，x ∈[2，3] D ．2x +y ﹣4=0，x ∈[2，3]
【解答】解：由条件可得 cos2θ=y+1=1﹣2sin 2θ=1﹣2（x ﹣2），
化简可得2x +y ﹣4=0，x ∈[2，3]， 故选D ．
2．若曲线
A ．
2 B． C．
7（t 为参数）与曲线ρ=2 D． 相交于B ，C 两点，则|BC |
【解答】解：曲线
曲线ρ=2
∴|BC |
=（t 为参数），化为普通方程y=1﹣x ， 的直角坐标为x 2+y 2=8，y=1﹣x 代入x 2+y 2=8，可得2x 2﹣2x ﹣7=0， •=． 故选：D ．
（t 为参数），则直线l 倾斜角的余弦值为（ 3．若直线l 的参数方程为
A ．﹣ B．﹣ C． D ．
【解答】解：由题意得，设直线l 倾斜角为θ，直线l 的参数方程为
为参数），可化为∴，则，∵θ∈（0，π）， （t ， 故选：B ．
4．点P （x ，y ）是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点，则x +2y 的最大值为（ ）
A ． B ． C ． D．
【解答】解：由椭圆2x 2+3y 2=12化为∴x +
2y== =，其中，设
，y=2sinθ， ．∴x +2y 的最大值为．故选D ．
5．与参数方程为（t 为参数）等价的普通方程为（ ）
A ．x 2+=1 B．x 2
+=1（0≤x ≤1）
C ．x 2+=1（0≤y ≤2） D ．x 2+=1（0≤x ≤1，0≤y ≤2）
【解答】解：由参数方程为，∴，解得0≤t ≤1，从而得0≤x ≤1，0≤y ≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．
因此与参数方程
为等价的普通方程
为
． 故选D ．
6．若直线
A ．7 B ．5 （t 为参数）与直线4x +ky=1垂直，则常数k=（ ） C ．4 D ．6
（t 为参数），消去参数，得x ﹣y +2=0， 【解答】解：∵直线
∵x ﹣y +2=0与直线4x +ky=1垂直，∴k=4， 故选：C ．
7．已知椭圆的参数方程（t 为参数），点M 在椭圆上，对应参数t=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为（ ）
A ． B ．﹣ C ．
2 D．﹣2
【解答】解：当
t=
∴OM 的斜率为
k=2时，点M 的坐标为（2cos ，4sin ），即M （1，2）， ． 故选：C ．
8．设直线l ：（t 为参数），曲线C 1：（θ为参数），直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，则|AB |=（ ）
A ．2
B ．1 C ． D ．
【解答】解：由曲线C 1：（θ为参数），化为x 2+y 2=1，
直线l ：（t 为参数），消去参数化为y=（x ﹣1），即=0． ∴圆心C 1（0，0）到直线l 的距离d=∴|AB |
=2
==． =1． 故选：B ．
9．圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，圆M 的方程为（x ﹣2﹣5cosθ）2+（y ﹣5sinθ）2=1（θ∈R ），过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别是E ，F ，的最小值是（ ）
D ．5 则A ．12 B ．10 C ．6
【解答】解：（x ﹣2）2+y 2=4的圆心C （2，0），半径等于2，
圆M （x ﹣2﹣5cosθ）2+（y ﹣5sinθ）2=1，圆心M （2+5cosθ，5sinθ）， 半径等于1．∵|CM |=
∵=•cos∠EPF ，要使
=5＞2+1，故两圆相离． 最小，需 最小，且∠EPF 最大，
如图所示，设直线CM 和圆M 交于H 、G 两点，则|H C|=|CM |﹣1=5﹣1=4，|H E|=sin ∠
CHE=
∴==2的最小值是， ． =，∴cos ∠EHF=cos2∠CHE=1﹣2sin 2∠CHE=， ×2×=6，故选 C ． =|H E|•|H E|•cos∠EHF=2
10．直线y=与圆心为D 的圆（θ∈[0，2π））交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，
由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，
故选C
11． 已知直线l
的参数方程为（t 为参数），圆C
的参数方程为
（θ为参数），则圆心C 到直线l 的距离为
． ．
【解答】解：由直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程y=x+1．
由圆C 的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得圆C 的普通方程（x
﹣2）2+y 2=1．于是圆心C （2，0）到直线l 的距离=12．曲线C ：=．案为． （α为参数），若以点O （0，0）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ρ=4cosθ ．
【解答】解：∵曲线C ：（α为参数），
∵以点O （0，0）为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C 得，ρcosθ﹣2=2cosα，ρsinθ=2sinα，消去α得，ρ=4cosθ，故答案为：ρ=4cosθ．
13．若P （2，﹣1）为曲线
直线的普通方程为 x ﹣y ﹣3=0 ．
【解答】解：∵曲线
∵P （2，﹣1）为曲线（0≤θ＜2π），∴（x ﹣1）2+y 2=25， （0≤θ＜2π）的弦的中点， （0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在
设过点P （2，﹣1）的弦与（x ﹣1）2+y 2=25交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入（x ﹣1）2+y 2=25， 得，∴，
①﹣②，得4（x 1﹣x 2）﹣2（x 1﹣x 2）﹣2（y 1﹣y 2）=0，∴k==1，
∴该弦所在直线的普通方程为y +1=x﹣2，即x ﹣y ﹣3=0．答案为：x ﹣y ﹣3=0．
14．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P 为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q 为曲线
则|PQ |的最小值为
． 为参数）上一点，
【解答】解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x ﹣y ﹣4=0．
由点到直线的距离公式可得：
|PQ |
===≥．故答案为：=． ． 当且仅当t=2时取等号．∴|PQ |的最小值为
15．直线l ：（t 为参数）与圆C ：
（θ为参数）相交所得的弦长的取值
【解答】解：直线l ：
即y=tanα•x+1；圆C 的参数方程（t 为参数），化为普通方程是（θ为参数）， =，
化为普通方程是（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=64；
∵直线过定点（0，1），∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4 ； ∴弦长的取值范围是[4，16]．故答案为：[4，16]．
16．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=1，点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作曲线
C 的切线，切点为Q ，则|PQ |的最小
【解答】解：∵直线l 的参数方程为（t 为参数）∴l ：x +y ﹣4=0 又∵曲线C 的极坐标方程为ρ=1∴圆C ：x 2+y 2=1
显然过过圆C 的圆心（0，0）做直线l ：x +y ﹣4=0的垂线，垂足为Q ，此时|PQ |
的值最小∴圆C 的圆心（0，0）到直线l ：x +y ﹣4=0的距离 d=∴|PQ |=即|PQ |的最小值为
故答案为
17．在直角坐标系中，参数方程为（t 为参数）的直线l ，被以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ=2cosθ的曲线C 所截，则截得的弦
【解答】解：由题意知，直线l 的倾斜角为30°，
并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，
且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，
在Rt △OAB 中，．故答案为．
，（α为18．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l 与曲线C ：
参数）交于A ，B 两点，且|AB |=2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 ρ（cosθ﹣sinθ）=1 ．
【解答】解：设倾斜角为
曲线C ：的直线l 的方程为y=x+b ， （α为参数），即 （x ﹣2）2+（y ﹣1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
由于弦长|AB |=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l 上，故有1=2+b ，解得b=﹣1，故直线l 的方程为 y=x﹣1，即x ﹣y ﹣1=0．
再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，
即ρ（cosθ﹣sinθ）=1故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1．
19．已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l 与曲线C
的公共点的极径【解答】解：直线l 的参数方程为 ，普通方程为y=x+1，
曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y 2=4x，
直线l 与曲线C 联立可得（x ﹣1）2=0，∴x=1，y=2，
∴直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=20．已知曲线C 的参数方程为=．故答案为：． （t 为参数），C 在点（1，1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填【解答】解：由或也得满分） （t 为参数），两式平方后相加得x 2+y 2=2，…（4分）
的圆． ∴曲线C 是以（0，0）为圆心，半径等于
C 在点（1，1）处的切线l 的方程为x +y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入x +y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，
即
，
则l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（
填
也得满分）． …（10分）
故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填21．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为或也得 ，（t 为参数）．在极坐或或标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点o 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，…（2分）
结合极坐标与直角坐标的互化公式得x 2+y 2=4x，即（x ﹣2）2+y 2=4
（Ⅱ）由直线l 的参数方程为
结合圆C 与直线l 相切，得，化为普通方程，得x ﹣y ﹣a=0． =2，解得a=﹣2或6．…（10分）
22．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C ：（α为参数）；直线l ：ρ（cosθ+sinθ）=4．
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．
【解答】解：（Ⅰ）根据sin 2α+cos 2α=1将C 转化普通方程为：
利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将l 转化为直角坐标方程为：x +y ﹣4=0 （Ⅱ）在
d=它的最大值为3． 上任取一点A （=cosα，sinα），则点A 到直线的距离为 ，
23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求C 的直角坐标方程；
（2）直线l ：为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |+|EB |的值．
【解答】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x 2+y 2=2x+2y 即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2
（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2﹣t ﹣1=0，
所以|EA |+|EB |=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|==．
24．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是（t ）
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；
（2）设点P （m ，0），若直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |•|PB |=1，求实数m 的值．
【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x．
直线L 的参数方程是（t 为参数），消去参数t 可得．
（2）把（t 为参数），代入方程：x 2+y 2=2x化为：+m 2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m ＜3．∴t 1t 2=m2﹣2m ．∵|PA |•|PB |=1=|t 1t 2|， ∴m 2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．
25．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程
点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3（φ为参数），以O 为极，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
【解答】解：（I ）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程
化为（x ﹣1）2+y 2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II ）设（ρ1，θ1）为点P 的极坐标，由，解得． 为参数）设（ρ2，θ2）为点Q
的极坐标，由
，解得
．∵θ1=θ2，∴|PQ |=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ |=2．
26．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为
极坐标方程为． 为参数），曲线C 2的（1）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线C 1上一点，Q 曲线C 2上一点，求|PQ |的最小值．
【解答】解：（1）由
由消去参数α，得曲线C 1的普通方程为得，曲线C 2的直角坐标方程为
． ．
（2）设P （2
点P cosα，2sinα），则 到曲线C 2的距离
． 为
当时，d 有最小值，所以|PQ |的最小值为．
（φ为参数），现27．已知在直角坐标系中，曲线的C 参数方程为
以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=．
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）曲线的C 参数方程为
（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4，
直线l 的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0； （φ为参数），普通方程为
（2）点P 到直线l 的距离d=∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣
，1﹣）． =（k ∈Z ），距离的最小值为2， ﹣2，点P 的直角坐标（1+
28．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．
（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．
【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为
移项后两边平方可得（α为参数）， +y 2=1；
cosθ）=2， +y 2=cos2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：）=2，即有ρ（曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+
sinθ+
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x +y ﹣4=0，即有C 2的直角方程为直线x +y ﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x +y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，
|PQ |取得最值．设与直线x +y ﹣4=0平行的直线方程为x +y +t=0， 联立可得4x 2+6tx +3t 2﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t 2﹣3）=0，解得t=±2，
显然t=﹣2时，|PQ |取得最小值，即有|PQ |=此时4x 2﹣12x +9=0，解得x=，即为P （，）．
另解：设P （cosα，sinα），
=
，此时可取α=， ，即有P （，）． =， 由P 到直线的距离为d=当sin （α+）=1时，|PQ |的最小值为
29．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
【解答】解：（I ）∵∴圆C 的直角坐标方程为
即，∴， ，∴圆心直角坐标为
，
，
（10分） ．（5分） ， （II ）∵直线l 的普通方程为圆心C 到直线l 距离是∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是
30．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等
的长度单位．已知直线l 的参数方程为
线C 的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （t 为参数，0＜α＜π），曲
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．
【解答】解：（I ）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，
∴曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x．
（II ）将直线l 的参数方程代入y 2=4x，得t 2sin 2α﹣4tcosα﹣4=0．
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，
则t 1+t 2=，t 1t 2=﹣，
==， ∴|AB |=|t 1﹣t 2|=当
α=
时，|AB |的最小值为4．