例谈比较大小的方法
7244025 陕西汉中市宁强巴山中学 崔子荣 [1**********]
初中有许多比较大小的题目，一般的比较方法很难区分大小。下面举例说明一些比较大小的特殊方法。 一、 利用特殊值比较大小
mn 2之间的大小关系为_______. 例1 已知m
分析 此题可通过确定符合条件的特殊值比较大小。可令
111
m =-1, n =-, 则mn =, mn 2=-
224
所以m
二、 利用数轴比较大小
例2 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示。若
A=-a-b,B=a+b,C=-a+b，则A 、B 、C 的大小关系是
_______.
分析 从数轴上可以看出a|b|，则A=-a-b>0, B=a+b
C=-a+b>0, -a+bC>B。
三、 利用作差比较大小：对于两个正数a 、b ，若a-b>0⇔
a>b,a-b
分析 两式相减后结果为-x 2，因为—x 2≤0，所以
3x 2+4x +5≤4x (x +1) +5
例4 比较
m +n 2m n
与≠n ,m>0,n>0)的大小。 2m +n
分析 本题既可用带值法解答，又可用作差法比较大小。
m +n 2mn (m+n)2-4mn (m -n ) 2m +n 2mn —=>0,所以>。 =2m +n 2m +n 2(m +n ) 2(m +n )
四、 应用倒数比较大小：若m>n,则
11>. m n
1m 1n 1m 1n
例5 若四个有理数a 、b 、c 、d ，满足
1111
===，则a 、b 、c 、d 的大小关系a-2007b +2008c -2009d +2010
是_________.
分析 由条件可知 a-2007=b+2008=c-2009=d+2010,
解得a=b+4015=c-2=d+4017.故c>a>b>d.
x 2x
, b =例6 若x 是不为零的实数，且a =4，则a 、b
x +3x 2+1x 2+x +1
的大小关系是（ ）。
1x 4+3x 2+11122
分析 由题意得==x +3+=(x +) +1,
a x 2x 2x
2
1x +x +11
==x ++1
b x x
因为x 是不为零的实数，所以(x +) 2>x +，即>, 那么a
五、 利用作商比较大小：对于两个正数a 、b ，
b b b
若〉1⇔a 〈b ; =1⇔a =b ; 〈1⇔a 〉b a a a
1
x 1x 1a 1b
332113
例7 已知：m=33, n =30. 那么m 、n 的大小关系是______
33m 3323301
分析 因为=33⨯3=
n 31133
六、 利用不等式性质
a 〈b
进行
a +b
比
b -a
较
〈
m a
：
,
a b
b
. m
a+ma a-m
〉, b+mb b-m
2007720088
例8。 比较-, -, -, -的大小。 2008820099
对于正数a 、b 、m, 有分析 因为
20072000+720082001+781+7
===，20082000+820092001+891+82001+72000+71+[1**********]7
所以〉〉〉。即〉〉〉。
2001+82000+81+[***********]0787
所以-〈-〈-〈-。
2009200898
例9 已知s=
a b c d
+++, 其中a 、b 、c 、d 均为
a+b+da +b +c b +c +d a +c +d
正数。求证1〈s 〈2.
证明 因为a 、b 、c 、d 均为正数，所以
a b c d a b
+++〉+
a+b+da +b +c b +c +d a +c +d a +b +c +d a +b +c +d
c d a +b +c +d ++, s 〉, 即s 〉1. a +b +c +d a +b +c +d a +b +c +d
s=
a b c d a +b c +d
+++, s 〈+. 即s 〈2.
a +b a +b c +d c +d a +b c +d
∴1〈s 〈2. 又
s 〈
七、 利用判别式比较大小
例10 甲、乙二人从A 地到B 地，甲前一半路程中的速度为v 1，后一
半路程中的速度为v 2；乙前一半时间中的速度为v 1，后一半时间中的速度为v 2。设 甲、乙二人在全程中的平均速度分别为
v 甲和v 乙，则v 甲和v 乙的大小关系是什么？
解 设从A 地到B 地的路程为2S ，则 v 甲=
2s +v 1v 2
=
2v 1v 2
, 即v 甲（v 1+v 2）=2v 1v 2 。 v 1+v 2
设 乙从A 地到B 地的时间为2t ，则
v 1t +v 2t v 1+v 2
=, 即v 1+v 2=2v 乙
2t 2
∴v 1v 2=v 甲v 乙
v 乙=
v 1≠v 2, ∴∆=(-2v 乙) 2-4v 甲v 乙〉0. ∴v 甲〈v 乙.
即v 1、v 2是方程x 2-2v 乙x+v 甲v 乙=0的实数根。
作者简介
崔子荣，男，现任教于陕西省汉中市宁强县巴山中学。先后在《数学大世界》、《初中数学教与学》等刊物上发表论文近20篇。
例谈比较大小的方法
7244025 陕西汉中市宁强巴山中学 崔子荣 [1**********]
初中有许多比较大小的题目，一般的比较方法很难区分大小。下面举例说明一些比较大小的特殊方法。 一、 利用特殊值比较大小
mn 2之间的大小关系为_______. 例1 已知m
分析 此题可通过确定符合条件的特殊值比较大小。可令
111
m =-1, n =-, 则mn =, mn 2=-
224
所以m
二、 利用数轴比较大小
例2 已知a 、b 在数轴上的位置如图所示。若
A=-a-b,B=a+b,C=-a+b，则A 、B 、C 的大小关系是
_______.
分析 从数轴上可以看出a|b|，则A=-a-b>0, B=a+b
C=-a+b>0, -a+bC>B。
三、 利用作差比较大小：对于两个正数a 、b ，若a-b>0⇔
a>b,a-b
分析 两式相减后结果为-x 2，因为—x 2≤0，所以
3x 2+4x +5≤4x (x +1) +5
例4 比较
m +n 2m n
与≠n ,m>0,n>0)的大小。 2m +n
分析 本题既可用带值法解答，又可用作差法比较大小。
m +n 2mn (m+n)2-4mn (m -n ) 2m +n 2mn —=>0,所以>。 =2m +n 2m +n 2(m +n ) 2(m +n )
四、 应用倒数比较大小：若m>n,则
11>. m n
1m 1n 1m 1n
例5 若四个有理数a 、b 、c 、d ，满足
1111
===，则a 、b 、c 、d 的大小关系a-2007b +2008c -2009d +2010
是_________.
分析 由条件可知 a-2007=b+2008=c-2009=d+2010,
解得a=b+4015=c-2=d+4017.故c>a>b>d.
x 2x
, b =例6 若x 是不为零的实数，且a =4，则a 、b
x +3x 2+1x 2+x +1
的大小关系是（ ）。
1x 4+3x 2+11122
分析 由题意得==x +3+=(x +) +1,
a x 2x 2x
2
1x +x +11
==x ++1
b x x
因为x 是不为零的实数，所以(x +) 2>x +，即>, 那么a
五、 利用作商比较大小：对于两个正数a 、b ，
b b b
若〉1⇔a 〈b ; =1⇔a =b ; 〈1⇔a 〉b a a a
1
x 1x 1a 1b
332113
例7 已知：m=33, n =30. 那么m 、n 的大小关系是______
33m 3323301
分析 因为=33⨯3=
n 31133
六、 利用不等式性质
a 〈b
进行
a +b
比
b -a
较
〈
m a
：
,
a b
b
. m
a+ma a-m
〉, b+mb b-m
2007720088
例8。 比较-, -, -, -的大小。 2008820099
对于正数a 、b 、m, 有分析 因为
20072000+720082001+781+7
===，20082000+820092001+891+82001+72000+71+[1**********]7
所以〉〉〉。即〉〉〉。
2001+82000+81+[***********]0787
所以-〈-〈-〈-。
2009200898
例9 已知s=
a b c d
+++, 其中a 、b 、c 、d 均为
a+b+da +b +c b +c +d a +c +d
正数。求证1〈s 〈2.
证明 因为a 、b 、c 、d 均为正数，所以
a b c d a b
+++〉+
a+b+da +b +c b +c +d a +c +d a +b +c +d a +b +c +d
c d a +b +c +d ++, s 〉, 即s 〉1. a +b +c +d a +b +c +d a +b +c +d
s=
a b c d a +b c +d
+++, s 〈+. 即s 〈2.
a +b a +b c +d c +d a +b c +d
∴1〈s 〈2. 又
s 〈
七、 利用判别式比较大小
例10 甲、乙二人从A 地到B 地，甲前一半路程中的速度为v 1，后一
半路程中的速度为v 2；乙前一半时间中的速度为v 1，后一半时间中的速度为v 2。设 甲、乙二人在全程中的平均速度分别为
v 甲和v 乙，则v 甲和v 乙的大小关系是什么？
解 设从A 地到B 地的路程为2S ，则 v 甲=
2s +v 1v 2
=
2v 1v 2
, 即v 甲（v 1+v 2）=2v 1v 2 。 v 1+v 2
设 乙从A 地到B 地的时间为2t ，则
v 1t +v 2t v 1+v 2
=, 即v 1+v 2=2v 乙
2t 2
∴v 1v 2=v 甲v 乙
v 乙=
v 1≠v 2, ∴∆=(-2v 乙) 2-4v 甲v 乙〉0. ∴v 甲〈v 乙.
即v 1、v 2是方程x 2-2v 乙x+v 甲v 乙=0的实数根。
作者简介
崔子荣，男，现任教于陕西省汉中市宁强县巴山中学。先后在《数学大世界》、《初中数学教与学》等刊物上发表论文近20篇。