环形单级倒立摆起摆控制研究_张姝

第3卷第5期　　　2004年10月Vol.3　No.5江南大学学报(自然科学版)

　　　Oct.

　2004文章编号:1671-7147(2004)05-0482-04　

环形单级倒立摆起摆控制研究

张姝,　朱善安

(浙江大学电气工程学院,浙江杭州310027)

摘　要:针对倒立摆的起摆控制,建立了环形单级倒立摆基于拉格朗日方程的运动方程,在此基础上提出了能量控制的概念,并将能量补偿控制应用在环形单级倒立摆系统上.仿真和实际控制结果表明了所提出方法的有效性和可行性.

关键词:环形倒立摆;运动方程;起摆控制;能量补偿中图分类号:TP393

文献标识码:A

StudyonSwing-UpControlofRotaryInvertedPendulum

ZHANGShu,　ZHUShan-an

(CollegeofElectricalEngineering,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

Abstract:Theswing-upcontrolofaninvertedpendulumisinvestigatedinthepaper.TheequationofmotionoftherotaryinvertedpendulumisestablishedbasedonLagrangemethod.Theconceptofenergycontrolispresentedandenergycompensationcontrolisappliedtoswinguptherotaryinvertedpendulum.Boththesimulationandtherealtimecontrolresultsprovetheeffectivenessandfeasibilityofthecontrolstrategy.

Keywords:rotaryinvertedpendulum;equationofmotion;swing-upcontrol;energycompensation

　　倒立摆系统是典型的严重不稳定系统,所以一直是控制理论界关注的焦点.关于倒立摆的研究有两个问题:一是如何快速使得倒立摆从初始位置达到工作位置的起摆控制;二是在工作平衡点的稳定控制[1].最优控制等控制算法已成功实现倒立摆工作平衡点的稳定控制.倒立摆的起摆控制是非线性控制问题,因此很多常用的线性控制理论都不适用.文献[1]基于最优化原理研究倒立摆的起摆问

　　收稿日期:2004-04-14;　修订日期:2004-06-18.

[2～5]

题,但仅限于仿真.作者基于能量并采用能量补偿控制方法,实现了环形单级倒立摆的起摆.

1　环形单级倒立摆模型

环形单级倒立摆模型由1个摆杆,1个连杆和1

个质量块组成,如图1所示.在距摆杆转动中心距离为l处取一小段dl,这一小段的坐标为

　　作者简介:张姝(1980-),女,安徽绩溪人,自动化专业硕士研究生.

朱善安(1952-),男,浙江温州人,工学博士,教授,博士生导师.主要从事预测自适应控制理论与工业应用;PID自整定理论与工业应用;微机故障诊断系统及信息传输与自动化等研究.

　第5期张姝等:环形单级倒立摆起摆控制研究

x=l1sinθ1-lsinθ2cosθ1y=l1cosθ1+lsinθ2sinθ1z=lcosθ2

参数m1m2m3

连杆的质量摆杆的质量质量块的质量连杆长度

摆杆转动中心到杆质心的距离重力加速度

表1　倒立摆系统各参数的意义及其数值

483

Tab.1　Notationsandvaluesofthesystemparameters

意义

参数值0.234kg0.13kg0.178kg0.221m0.1975m9.8m/s

其中,θ1为连杆与水平Y轴的夹角,θ2为摆杆与垂直向上方向的夹角,顺时针为正.则这一小段的动能dT=2m2

+dt

l1l2g

2222

θθθ﹒θθ1+l﹒1sinθ2+l2﹒2-2l1l1﹒2cosθ2)22lm2(l1﹒

2　基于能量的起摆控制

如图2所示,把坐标系O-X′Y′建立在摆杆上,摆杆与连杆的连接点定为坐标原点O.如果定义倒立摆竖直倒立时参考能量Eref为0,则可得在

此非惯性系下倒立摆系统的能量

图1　环形倒立摆模型图

Fig.1　Modelofrotaryinvertedpendulum

J﹒θ+m2gl2(cosθ2-1)22

　　摆杆的动能为

Tm2=

∫

2l0

dT=

m2l2θ1﹒1+2

=J﹒θ2¨θ2-m2gl2﹒θ2sinθ2=dt

　　　　　　m2l2﹒θl1¨θl2﹒θ2cosθ2(11sinθ2)3

222

m2l2θ﹒θ-m2l1l2﹒θθ2(1sinθ2+﹒2)1﹒2cosθ23

连杆的动能为

Tm1=J1ωm1l2θ1=1﹒1

质量块的动能为

d(l1θ12

Tm3=m3=m3l2θ1﹒1

22dt

系统总动能为

T=Tm1+Tm2+Tm3以摆杆静止下垂时的质心为0势能位置,则系统的势能为

V=Vm1+Vm2+Vm3=

m1gl2+m3gl2+m2gl2(1+cosθ2)

拉格朗日算子L=T-V,系统广义坐标q={θ1,

θ2},在广义坐标θ2上无外力作用,由拉格朗日方程

-(i=1,2)dt q﹒i qi=fi　　

可得系统的运动方程为

J¨θθ2-m2l1l2¨1cosθ2-m2gl2sinθ2-2

m2l2θ(1)2﹒1sinθ2cosθ2=03

其中,J为摆杆1绕转动中心的转动惯量,J=ml2.上面表达式中各参数的数值见表1.3

图2　非惯性坐标系及惯性离心力

Fig.2　Non-inertialframeandinertialcentrifugalforce

应用李亚普诺夫方法,令

则

=(E-Erefdtdt

(E-Eref)2

484　　　　　　　　　　江南大学学报(自然科学版)　　　　　　　　　　　第3卷　由于¨θ在本系统中是可调的输入,因此在条件|¨θ≥1|

4l22﹒1sinθθ的符号2成立的情况下,3l1dt

心力作的功摆到最高点,即是能量补偿控制.

4　仿真及实际控制

在仿真和实际控制中,式(2)中的ng取0.2g,

采样时间取5ms.起摆成功之后自然是希望能将倒立摆一直稳定在竖直倒立状态,因此在仿真和实际控制中,当采用能量补偿控制实现倒立摆起摆成功后,采用LQR控制器将倒立摆稳定在竖直倒立状态.由于本文重点是论述起摆算法,因此LQR控制算法从略.

图3是环形倒立摆从起摆到控制整个过程中控制输入、连杆角度和摆杆角度的仿真曲线.实际控制曲线如图4所示.

完全取决于m2l1l2¨θθ参照文献[6]1﹒2cosθ2的符号.中对于小车直线摆的结论书写格式,取

l1¨θ1=-ng·sign(E-Eref)θ﹒2cosθ2

则

(2)

能量Eref.其中

sign(x1,

-1,

x≥0x

ng代表施加在倒立摆上的最大加速度,为用户在实验过程中设定的常数.

3　能量补偿控制

文献[6]提出了关于直线摆的起摆控制策略,其基本原理是通过控制小车的加速度,使系统能量从-2mgl增为0,一旦系统能量到达0,则置小车的加速度为0.系统的动能转换为势能,摆杆摆到最高点.如果环形倒立摆仍采用这种控制策略,仿真和实际控制均表明此法是不可行的,原因就在于忽略了惯性离心力.因此提出能量补偿控制,对惯性离心力做功进行补偿.

首先分析惯性离心力做功.取dl作为考察对象,在图2所建立的非惯性系中,距摆杆转动中心为l处取一小段dl,dl受到惯性离心力dF,且有

dF=dm·ωR=

m22

dl·﹒θ1R.2l2

其中ω为dl绕Z轴转动的角速度,R为dl到Z轴的距离.

将dF分解为dFτ′和dFz′,则

dFτ′=dF·cosφ=

dFτ′所做的功为

dW=dFτd(lsinθdθ′2)=cosθ2dFτ′2

摆杆如果从θ2摆到最高点,则离心力所做的功为

02l

﹒1l2sinθθ2dl2l2

图3　环形单级倒立摆的仿真曲线

Fig.3　Simulationcurvesofrotaryinvertedpendulum

∫θ0

m22﹒θ-m2l21l2sinθ2cosθ2dldθ=22l23

θ﹒1sinθ2

可以看出,倒立摆不再被施加控制加速度之后,如果要使摆杆摆到最高点,则需给倒立摆系统补偿能量,该能量必须大于|W|.因此采用的起摆策略为给摆杆施加加速度,使摆的能量E逐步增加,当E+

　第5期张姝等:环形单级倒立摆起摆控制研究485

5　结　语

作者采用数学积分及lagrange方程建立了环形单级倒立摆的运动方程,在此基础上提出了能量控制的概念,并将能量补偿控制应用在环形单级倒立摆系统上,建模过程避开了牛顿力学中的繁琐内

容,简单明了.起摆算法与一些文献中的最优算法相比,简明有效.文中加入了能量补偿控制的起摆算法,弥补了普通的基于能量的控制算法仅适用于直线摆的缺点.

仿真和实际控制结果表明,提出的能量补偿控制方法应用于环形倒立摆上是有效和可行的.

图4　环形单级倒立摆的实际控制曲线

Fig.4　Actualcontrolcurvesofrotarydoubleinverted

pendulum

参考文献:

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[6]ASTROMKJ,FURUTAK.Swingingupapendulumbyenergycontrol[J].Automatica,2000,36(2):287-295.

(责任编辑:彭守敏)