三角函数知识点汇总
三角函数知识框架图
知识要点:
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆
l
心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|α|=, 其中r 是圆
r
的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x , y ），到原点的距离为r, 则正弦函数
y x y s in α=, 余弦函数co s α=, 正切函数tan α=,
r r x
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角
⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几
⎧π⎫
象限角．第一象限角的集合为αk ⋅360
2⎩⎭
{}
⎧π⎫
第二象限角的集合为αk ⋅360+90
2⎩⎭
{}
第三象限角的集合为αk ⋅360+180
{}
- 1 -
第四象限角的集合为αk ⋅360+270
{}
{}
终边在y 轴上的角的集合为{α=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{αα=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
终边在x 轴上的角的集合为αα=k ⋅180, k ∈Z 4、已知α是第几象限角，确定
α
(n ∈N)所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的n
*
正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为边所落在的区域．
5、弧度制与角度制的换算公式：2π=360，
1=
α终n
⎛180⎫，1= ≈57.3． ⎪180⎝π⎭
π
6、若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r ，
11
lr =αr 2． 22
7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)
⎛π⎫
8、三角函数线：sin α=MP，cos α=OM，tan α=AT．若x ∈ 0, ⎪，则s inx
⎝2⎭C =2r +l ，S =
9、同角三角函数的基本关系：(1)sin 2α+cos 2α=1(sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)；;
(2)
sin α
=tan αcos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．
tan α⎝⎭
10、三角函数的诱导公式：
k π
±α形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 1. 诱导公式（把角写成2
⎧sin(2k π+x ) =sin x 1）⎪⎨cos(2k π+x ) =cos x
⎪tan(2k π+x ) =tan x ⎩
⎧sin(-x ) =-sin x ⎧sin(π+x ) =-sin x ⎪
2）⎨cos(-x ) =cos x 3） ⎪⎨cos(π+x ) =-cos x
⎪tan(-x ) =-tan x ⎪tan(π+x ) =tan x ⎩⎩
π⎧π⎧⎧sin(π-x ) =sin x -α) =cos αsin(+α) =cos α⎪⎪⎪⎪2⎪24）⎨cos(π-x ) =-cos x 5）⎨ 6）⎨
π⎪tan(⎪-α) =sin α⎪π+α) =-sin απ-x ) =-tan x ⎩⎪⎪2⎩2⎩
11、两角和与差的三角函数公式：
⑴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β；⑵cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β； ⑶sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β；⑷sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β；
- 2 -
⑸tan (α-β)=
tan α-tan β
（tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β)）；
1+tan αtan β
tan α+tan β
（tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)）．
1-tan αtan β
⑹tan (α+β)=
12、和差化积与积化和差公式:
⎛α+β⎫⎛α-β⎫⎛α+β⎫⎛α-β⎫
⎪co s ⎪,s in α-s in β=2cos ⎪sin ⎪, 2222⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛α+β⎫⎛α-β⎫⎛α+β⎫⎛α-β⎫
co s α+co s β=2co s ⎪co s ⎪, co s α-co s β=-2sin ⎪s in ⎪,
2222⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11
s in αco s β=[sin (α+β)+sin (α-β)],co s αs in β=[sin (α+β)-s in (α-β)],
2211
co s αco s β=[co s(α+β)+co s(α-β)],sin αs in β=-[co s(α+β)-co s(α-β)].
22
13、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2α=2sin αcos α．
1-cos 2α1+cos 2α
⑵cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α（cos 2α=，sin 2α=）．
22
s in α+sin β=2sin
⑶tan 2α=
2tan α
．
1-tan 2α
(1-cos α) α1+cos α⎛α⎫
14、半角公式:sin ⎪=±；cos =±
222⎝2⎭tan
α
2
=±
1-cos αsin α1-cos α ==
1+cos α1+cos αsin α
B
． A
15、辅助角公式
:Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=16、万能公式
2tan
sin α=
α
，cos α=
1-tan 21+tan 2
α，tan α=2
2tan
α
1+tan 2
2
1-tan 2
2
17、函数y =sin x 的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的|
1
ω
|倍（纵坐标不变），
得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象． 函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
- 3 -
ϕ
y =sin ωx 的图象；再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左（右）平移||个单位长度，得到函
ω数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
例：以y =sin x 变换到y =4sin(3x +π) 为例
3
y =sin x 向左平移
π
个单位 （左加右减）
π⎫⎛
y =s i n x + ⎪
3⎭⎝
横坐标变为原来的
1π⎫⎛
倍（纵坐标不变） y =sin 3x +⎪ 33⎭⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
1
y =sin x 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）y =sin (3x )
向左平移
ππ⎫π⎫⎛⎛
个单位 （左加右减） y =sin 3 x +⎪=sin 3x +⎪ 9⎭3⎭⎝⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
注意：在变换中改变的始终是x 。 函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质： ①振幅：A；②周期：T=
2π
ω
；③频率：f =
1ω=；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：ϕ． T2π
函数y =Asin (ωx +ϕ)+B ，当x =x 1时，取得最小值为y min ；当x =x 2时，取得最大值为
y max ，则A=
11T
(y max -y min )，B=(y max +y min )，=x 2-x 1(x 1
- 4 -
三角函数题型分类总结
一．
三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： a) 常数代换法：如：1=sin 2α+cos 2α
b) 配角方法：α=(α+β) -β, 2α=(α+β) +(α-β), α=
α+β
2
+
α-β
2
, β=
α+β
2
-
α-β
2
- 5 -
正弦定理，余弦定理
1、正弦定理：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边，R 为∆ABC 的外接圆的半径，
a b c
===2R ． sin Asin Bsin C
2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ；
a b c
②sin A=，sin B=，sin C =；
2R 2R 2R
③a :b :c =sin A:sin B:sin C ；
a +b +c a b c
===④．
sin A+sin B+sin C sin Asin Bsin C
111
3、三角形面积公式：S ∆ABC =bc sin A=ab sin C =ac sin B．
222
则有
4、余弦定理：在∆ABC 中，有a =b +c -2bc cos A， b =a +c -2ac cos B， c =a +b -2ab cos C ．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
5、余弦定理的推论：cos A=，cos B=，cos C =．
2bc 2ab 2ac
6、设a 、b 、c 是∆ABC 的角A、B、C 的对边，则：①若a +b =c ，则C =90； ②若a +b >c ，则C 90．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 6 -
三角函数知识点汇总
三角函数知识框架图
知识要点:
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆
l
心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|α|=, 其中r 是圆
r
的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x , y ），到原点的距离为r, 则正弦函数
y x y s in α=, 余弦函数co s α=, 正切函数tan α=,
r r x
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角
⎪
1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角
⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几
⎧π⎫
象限角．第一象限角的集合为αk ⋅360
2⎩⎭
{}
⎧π⎫
第二象限角的集合为αk ⋅360+90
2⎩⎭
{}
第三象限角的集合为αk ⋅360+180
{}
- 1 -
第四象限角的集合为αk ⋅360+270
{}
{}
终边在y 轴上的角的集合为{α=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{αα=k ⋅90, k ∈Z}
3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
终边在x 轴上的角的集合为αα=k ⋅180, k ∈Z 4、已知α是第几象限角，确定
α
(n ∈N)所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的n
*
正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为边所落在的区域．
5、弧度制与角度制的换算公式：2π=360，
1=
α终n
⎛180⎫，1= ≈57.3． ⎪180⎝π⎭
π
6、若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r ，
11
lr =αr 2． 22
7、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦)
⎛π⎫
8、三角函数线：sin α=MP，cos α=OM，tan α=AT．若x ∈ 0, ⎪，则s inx
⎝2⎭C =2r +l ，S =
9、同角三角函数的基本关系：(1)sin 2α+cos 2α=1(sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)；;
(2)
sin α
=tan αcos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．
tan α⎝⎭
10、三角函数的诱导公式：
k π
±α形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 1. 诱导公式（把角写成2
⎧sin(2k π+x ) =sin x 1）⎪⎨cos(2k π+x ) =cos x
⎪tan(2k π+x ) =tan x ⎩
⎧sin(-x ) =-sin x ⎧sin(π+x ) =-sin x ⎪
2）⎨cos(-x ) =cos x 3） ⎪⎨cos(π+x ) =-cos x
⎪tan(-x ) =-tan x ⎪tan(π+x ) =tan x ⎩⎩
π⎧π⎧⎧sin(π-x ) =sin x -α) =cos αsin(+α) =cos α⎪⎪⎪⎪2⎪24）⎨cos(π-x ) =-cos x 5）⎨ 6）⎨
π⎪tan(⎪-α) =sin α⎪π+α) =-sin απ-x ) =-tan x ⎩⎪⎪2⎩2⎩
11、两角和与差的三角函数公式：
⑴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β；⑵cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β； ⑶sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β；⑷sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β；
- 2 -
⑸tan (α-β)=
tan α-tan β
（tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β)）；
1+tan αtan β
tan α+tan β
（tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)）．
1-tan αtan β
⑹tan (α+β)=
12、和差化积与积化和差公式:
⎛α+β⎫⎛α-β⎫⎛α+β⎫⎛α-β⎫
⎪co s ⎪,s in α-s in β=2cos ⎪sin ⎪, 2222⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛α+β⎫⎛α-β⎫⎛α+β⎫⎛α-β⎫
co s α+co s β=2co s ⎪co s ⎪, co s α-co s β=-2sin ⎪s in ⎪,
2222⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11
s in αco s β=[sin (α+β)+sin (α-β)],co s αs in β=[sin (α+β)-s in (α-β)],
2211
co s αco s β=[co s(α+β)+co s(α-β)],sin αs in β=-[co s(α+β)-co s(α-β)].
22
13、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2α=2sin αcos α．
1-cos 2α1+cos 2α
⑵cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α（cos 2α=，sin 2α=）．
22
s in α+sin β=2sin
⑶tan 2α=
2tan α
．
1-tan 2α
(1-cos α) α1+cos α⎛α⎫
14、半角公式:sin ⎪=±；cos =±
222⎝2⎭tan
α
2
=±
1-cos αsin α1-cos α ==
1+cos α1+cos αsin α
B
． A
15、辅助角公式
:Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=16、万能公式
2tan
sin α=
α
，cos α=
1-tan 21+tan 2
α，tan α=2
2tan
α
1+tan 2
2
1-tan 2
2
17、函数y =sin x 的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的|
1
ω
|倍（纵坐标不变），
得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象． 函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数
- 3 -
ϕ
y =sin ωx 的图象；再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左（右）平移||个单位长度，得到函
ω数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．
例：以y =sin x 变换到y =4sin(3x +π) 为例
3
y =sin x 向左平移
π
个单位 （左加右减）
π⎫⎛
y =s i n x + ⎪
3⎭⎝
横坐标变为原来的
1π⎫⎛
倍（纵坐标不变） y =sin 3x +⎪ 33⎭⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
1
y =sin x 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）y =sin (3x )
向左平移
ππ⎫π⎫⎛⎛
个单位 （左加右减） y =sin 3 x +⎪=sin 3x +⎪ 9⎭3⎭⎝⎝
π⎫
纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）y =4sin ⎛3x + ⎪
3⎭⎝
注意：在变换中改变的始终是x 。 函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质： ①振幅：A；②周期：T=
2π
ω
；③频率：f =
1ω=；④相位：ωx +ϕ；⑤初相：ϕ． T2π
函数y =Asin (ωx +ϕ)+B ，当x =x 1时，取得最小值为y min ；当x =x 2时，取得最大值为
y max ，则A=
11T
(y max -y min )，B=(y max +y min )，=x 2-x 1(x 1
- 4 -
三角函数题型分类总结
一．
三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有： a) 常数代换法：如：1=sin 2α+cos 2α
b) 配角方法：α=(α+β) -β, 2α=(α+β) +(α-β), α=
α+β
2
+
α-β
2
, β=
α+β
2
-
α-β
2
- 5 -
正弦定理，余弦定理
1、正弦定理：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为角A、B、C 的对边，R 为∆ABC 的外接圆的半径，
a b c
===2R ． sin Asin Bsin C
2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A，b =2R sin B，c =2R sin C ；
a b c
②sin A=，sin B=，sin C =；
2R 2R 2R
③a :b :c =sin A:sin B:sin C ；
a +b +c a b c
===④．
sin A+sin B+sin C sin Asin Bsin C
111
3、三角形面积公式：S ∆ABC =bc sin A=ab sin C =ac sin B．
222
则有
4、余弦定理：在∆ABC 中，有a =b +c -2bc cos A， b =a +c -2ac cos B， c =a +b -2ab cos C ．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2
5、余弦定理的推论：cos A=，cos B=，cos C =．
2bc 2ab 2ac
6、设a 、b 、c 是∆ABC 的角A、B、C 的对边，则：①若a +b =c ，则C =90； ②若a +b >c ，则C 90．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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