第一章总练习题
1. 求解下列不等式:
5x -81≥2.
3|5x -8|142解≥2.|5x -8|≥6,5x -8≥6或5x -8≤-6, x ≥或x ≤.
3552
(2)x -3≤3,
5
2
解-3≤x -3≤3,0≤x ≤15.
5
(3)|x +1|≥|x -2|
1
解(x +1) 2≥(x -2) 2, 2x +1≥-4x +4, x ≥.
2
1
=(y -2).
3
x 3. 4. 12n +2n +12n +4-(n +1) (n +1) +3=2-n +n +1=2-=2-, n +1n +1
2222
即等式对于n +1也成立. 故等式对于任意正整数皆成立. (2)1+2x +3x + +nx
2
n -1
1-(n +1) x n +nx n +1=(x ≠1).
(1-x ) 2
1-(1+1) x n +1x 1+1(1-x ) 2
证当n =1时==1, 等式成立. 22
(1-x ) (1-x ) 设等式对于n 成立,则1+2x +3x + +nx
2
n -1
1-(n +1) x n +nx n +1
+(n +1) x =+(n +1) x n
2
(1-x )
n
1-(n +1) x n +nx n +1+(1-x ) 2(n +1) x n =
(1-x ) 21-(n +1) x n +nx n +1+(1-2x +x 2)(n +1) x n =
(1-x ) 21-(n +1) x n +nx n +1+(x n -2x n +1+x n +2)(n +1) =
(1-x ) 21-(n +1) x n +nx n +1+(x n -2x n +1+x n +2)(n +1) =
(1-x ) 21-(n +2) x n +1+(n +1) x n +2=,
(1-x ) 2
即等式对于n +1成立. 由归纳原理, 等式对于所有正整数都成立. 5. 设f (x ) =
|2+x |-|x |-2
x
(1)求f (
-
(2)将f (x ) (3)当x →
(4)当x →解(1)f (-
4-2-2
f (2)==0. 2(2)f (x ) =(3). (4)有. x ), lim f (x ) =2.
x →-x →-2
6. 设f (x ) (1)求f (2)f (x ) (3)f (x ) 在x =?
1⎤⎛3⎫⎡9⎤⎡
解(1)f (0)=[-14]=-14, f ⎪=⎢-14⎥=⎢-6+⎥=-7. f =[-12]=-12.
4⎦⎝2⎭⎣4⎦⎣
(2)连续因为. lim f (x ) =lim[y -14]=-14=f (0).
x →0
y →0+
(3)不连续因为. f (x ) =-12, f (x ) =-11.
x x 7. 设两常数a , b 满足0≤a
b -a b -a
b n +1-a n +1(b -a )(b n +b n -1a + +a n ) 证=
b -a b -a b n +1-a n +1
类似有>(n +1) a n .
b -a ⎛1⎫⎛1⎫
8. 对n =1, 2,3, , 令a n = 1+⎪, b n = 1+⎪.
⎝n ⎭⎝n ⎭
证明:序列{a n }单调上升, 而序列{b n }单调下降,并且. a n
n +1
n
n +1
11
, b =1+, 则由7题中的不等式, n +1n
n +1
1⎫⎛- 1+⎪⎝n +1⎭11-
n n +1⎛1⎫
⎝n ⎭n
n
⎛1⎫ 1+⎪⎝n ⎭⎛1⎫ 1+⎪⎝n ⎭
n +1n +1
n +1
⎛1⎫1+ ⎪⎝n ⎭n
⎛(n +1) 1⎝⎛(n +1) 1⎝1⎛
1+ ⎝n +11⎛1+ ⎭⎝⎭⎝n +1⎭⎝2
111⎫⎛
我们证明+1+> 1+⎪.
n n +1⎝n +1⎭1121⇔+1+>1++n n +1n +1(n +1) 2
11⇔>. 最后不等式显然成立. 2
n (n +1) (n +1) ⎛1⎫⎛1⎫
当n →∞时, 1+⎪→e , 1+⎪
⎝n ⎭⎝n ⎭
9. 求极限
n
n +1
⎛1⎫⎛1⎫
→e , 故 1+⎪
⎝n ⎭⎝n ⎭
n n +1
.
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
lim 1-2⎪1-2⎪1-2⎪ 1-2⎪n →∞
⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝n ⎭
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
解 1-2⎪1-2⎪1-2⎪ 1-2⎪⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝n ⎭132435n n +11n +11= =→(n →∞). 223344n n n 22
nx
10. 作函数f (x ) =lim 2(a ≠0)的图形.
n →∞nx +a
⎧0, x =0; nx
解f (x ) =lim 2=⎨
n →∞nx +a ⎩
1/x , x ≠0.
11. 在? , f (x ) 在区间[a , b ]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数|f x ) |
证设存在常数M , 1f (x ) ≤N , ∀x ∈[a , b ],取M =max{|M 1|,|N |}+1, 则有|f (x ) |
证存在M 1, M 2,|f (x ) |
1π
cos 在x =0的任一邻域内都是无界的, 但当x →0时f (x ) 不是无穷大量. x x
11
证任取一个邻域(-δ, δ), δ>0和M >0, 取正整数n , 满足M , 则f () =n >M ,
n n
1
故f (x ) 在(-δ, δ) 无界.但是xn =→0, f (x n ) =(2n +1/2) cos(2n +1/2) π=0∞,
2n +1/2
故当x →0时f (x ) 不是无穷大量.
14. 证明lim n (x -1) =ln x (x >0).
n →∞
1
1ln x
证令x -1=y n , 则ln x =ln(1+y ), n =.lim y n =lim x n -1=0.
n →∞n ln(1+y ) n →∞
1
n
1n
ln(1+y )
注意到lim =lim ln(1+y ) y =ln lim(1+y ) y =ln e =1,
y →0y →0y →0y 我们有n (x -1) =
1
n
11
y n ln x
→ln x (n →∞).
ln(1+y n )
15. 设f (x ) 及g (x ) 在实轴上有定义且连续. 证明:若f (x ) 与g (x ) 在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.
证任取一个无理数x 0, 取有理数序列x n →x 0, f (x 0) =lim f (x n ) =lim g (n ) =g (x 0).
n →∞
n →∞
16. 证明lim
1-cos x 1
=. 2x →0
x 2
1证. x 2
17. 证1(2)x ln(1+y ) lim
y →0y
=e a 18. ) 在a 点附近有
证
εM
M =ε, 故li m f (x ) g (x ) =0.
x →a
19. 设y =f (x ) 在(-∞, +∞) 中连续, 又设c 为正的常数, 定义g (x ) 如下⎧f (x ) 当|f (x ) |≤c ⎪
g (x ) =⎨c 当f (x ) >c
⎪-c 当f (x )
证(一) 若|f (x 0) |0, 当|x -x 0|
x →x 0
lim g (x ) =lim f (x ) =f (x 0) =g (x 0).
x →x 0
若f (x 0) >c , 则存在δ0>0, 当|x -x 0|c ,g(x)=c,
x →x 0
lim g (x ) =lim c =c =g (x 0).
x →x 0
若f (x 0) =c , 则g (x 0) =c . 对于任意ε>0, 不妨设ε0, 使得当|x -x 0|c , 则g (x ) =c ,|g (x ) -g (x 0) |=0
证(二) 利用g (x ) =min{f (x ), c }+max{f (x ), -c }-f (x ). max{f 1(x ), f 2(x )}=(|f 1(x ) -f 2(x ) |+f 1(x ) +f 2(x )) /2. min {f 1(x ),
f 2(x )}=(-|f 1(x ) -f 2(x ) |+(f 1(x ) +f 2(x )) /2. 1
20. 设f (x ) 在[a , b ]上连续, 又设η=[f (x 1) +f (x 2) +f (x 3)],
3
其中x 1
证若f (
(x 3)},
f (x 1) c ∈[a , b ],使得f (21. 设 kf (x ) +l g(x ) 解g (x ) =22. , 则D (x n ') →0; 证故lim x →x 0
23. (1)lim x →∞x →+∞⎝⎭
tan 5x tan 5x /x 5
(3)lim=lim ==5. x →0ln(1+x 2) +sin x x →0x [[ln(1+x 2)]/x 2]+sin x /x 1x →1
=lim(1+y ) 1/y =e .
y →0
24. 设函数y =f (x ) 在[0,+∞) 内连续, 且满足0≤f (x ) ≤x . 设a 1≥0是一任意数, 并假定a 2=f (a 1), a 3=f (a 2), , 一般地a n +1=f (a n ). 试证明{a n }单调递减, 且极限lim a n 存在.
n →∞
若l =lim a n , 则l 是方程f (x ) =x 的根, 即f (l ) =l .
n →∞
证a n +1=f (a n ) ≤a n ,{a n }单调递减.又a n +1=f (a n ) ≥0(n =1, 2,),{a n }单调递减有下界,
故a n 有极限.设l =lim a n , 则l =lim a n +1=lim f (a n ) =f (lima n ) =f (l ).
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
25. 设函数y =E (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义且处处连续, 并且满足下列条件:E (0)=1, E (1)=e , E (x +y ) =E (x ) E (y ). 证明E (x ) =e x (∀x ∈(-∞, +∞)).
证用数学归纳法易得E (x 1+ +x n ) =E (x 1) E (x n ). 于是E (nx ) =E (x ) n . 设n 是正整数, 则E (n ) =E (1+ +1) =E (1)n =e n .
1=E (0)=E (n +(-n )) =E (n ) E (-n ) =e n E (-n ), E (-n ) =e -n . 于对于任意整数E (n ) =e n .
1
1111n
对于任意整数n , E (1)=E (n ) =E (n ) E () =e E (), E () =e n .
n n n n m ⎛1⎫m 1⎛1⎫
E () =E (m ) = E () ⎪= e n ⎪=e n . 即对于所有有理数r , E (r ) n n ⎝n ⎭⎝⎭
对于无理数x , 取有理数列xn →x , 由E (x ) 的连续性,
m
m
E (x ) =lim E (x n ) =lim e =e
n →∞
n →∞
x n
n →∞
lim x n
(e x 的连续性) =e x .
第一章总练习题
1. 求解下列不等式:
5x -81≥2.
3|5x -8|142解≥2.|5x -8|≥6,5x -8≥6或5x -8≤-6, x ≥或x ≤.
3552
(2)x -3≤3,
5
2
解-3≤x -3≤3,0≤x ≤15.
5
(3)|x +1|≥|x -2|
1
解(x +1) 2≥(x -2) 2, 2x +1≥-4x +4, x ≥.
2
1
=(y -2).
3
x 3. 4. 12n +2n +12n +4-(n +1) (n +1) +3=2-n +n +1=2-=2-, n +1n +1
2222
即等式对于n +1也成立. 故等式对于任意正整数皆成立. (2)1+2x +3x + +nx
2
n -1
1-(n +1) x n +nx n +1=(x ≠1).
(1-x ) 2
1-(1+1) x n +1x 1+1(1-x ) 2
证当n =1时==1, 等式成立. 22
(1-x ) (1-x ) 设等式对于n 成立,则1+2x +3x + +nx
2
n -1
1-(n +1) x n +nx n +1
+(n +1) x =+(n +1) x n
2
(1-x )
n
1-(n +1) x n +nx n +1+(1-x ) 2(n +1) x n =
(1-x ) 21-(n +1) x n +nx n +1+(1-2x +x 2)(n +1) x n =
(1-x ) 21-(n +1) x n +nx n +1+(x n -2x n +1+x n +2)(n +1) =
(1-x ) 21-(n +1) x n +nx n +1+(x n -2x n +1+x n +2)(n +1) =
(1-x ) 21-(n +2) x n +1+(n +1) x n +2=,
(1-x ) 2
即等式对于n +1成立. 由归纳原理, 等式对于所有正整数都成立. 5. 设f (x ) =
|2+x |-|x |-2
x
(1)求f (
-
(2)将f (x ) (3)当x →
(4)当x →解(1)f (-
4-2-2
f (2)==0. 2(2)f (x ) =(3). (4)有. x ), lim f (x ) =2.
x →-x →-2
6. 设f (x ) (1)求f (2)f (x ) (3)f (x ) 在x =?
1⎤⎛3⎫⎡9⎤⎡
解(1)f (0)=[-14]=-14, f ⎪=⎢-14⎥=⎢-6+⎥=-7. f =[-12]=-12.
4⎦⎝2⎭⎣4⎦⎣
(2)连续因为. lim f (x ) =lim[y -14]=-14=f (0).
x →0
y →0+
(3)不连续因为. f (x ) =-12, f (x ) =-11.
x x 7. 设两常数a , b 满足0≤a
b -a b -a
b n +1-a n +1(b -a )(b n +b n -1a + +a n ) 证=
b -a b -a b n +1-a n +1
类似有>(n +1) a n .
b -a ⎛1⎫⎛1⎫
8. 对n =1, 2,3, , 令a n = 1+⎪, b n = 1+⎪.
⎝n ⎭⎝n ⎭
证明:序列{a n }单调上升, 而序列{b n }单调下降,并且. a n
n +1
n
n +1
11
, b =1+, 则由7题中的不等式, n +1n
n +1
1⎫⎛- 1+⎪⎝n +1⎭11-
n n +1⎛1⎫
⎝n ⎭n
n
⎛1⎫ 1+⎪⎝n ⎭⎛1⎫ 1+⎪⎝n ⎭
n +1n +1
n +1
⎛1⎫1+ ⎪⎝n ⎭n
⎛(n +1) 1⎝⎛(n +1) 1⎝1⎛
1+ ⎝n +11⎛1+ ⎭⎝⎭⎝n +1⎭⎝2
111⎫⎛
我们证明+1+> 1+⎪.
n n +1⎝n +1⎭1121⇔+1+>1++n n +1n +1(n +1) 2
11⇔>. 最后不等式显然成立. 2
n (n +1) (n +1) ⎛1⎫⎛1⎫
当n →∞时, 1+⎪→e , 1+⎪
⎝n ⎭⎝n ⎭
9. 求极限
n
n +1
⎛1⎫⎛1⎫
→e , 故 1+⎪
⎝n ⎭⎝n ⎭
n n +1
.
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
lim 1-2⎪1-2⎪1-2⎪ 1-2⎪n →∞
⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝n ⎭
1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛
解 1-2⎪1-2⎪1-2⎪ 1-2⎪⎝2⎭⎝3⎭⎝4⎭⎝n ⎭132435n n +11n +11= =→(n →∞). 223344n n n 22
nx
10. 作函数f (x ) =lim 2(a ≠0)的图形.
n →∞nx +a
⎧0, x =0; nx
解f (x ) =lim 2=⎨
n →∞nx +a ⎩
1/x , x ≠0.
11. 在? , f (x ) 在区间[a , b ]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数|f x ) |
证设存在常数M , 1f (x ) ≤N , ∀x ∈[a , b ],取M =max{|M 1|,|N |}+1, 则有|f (x ) |
证存在M 1, M 2,|f (x ) |
1π
cos 在x =0的任一邻域内都是无界的, 但当x →0时f (x ) 不是无穷大量. x x
11
证任取一个邻域(-δ, δ), δ>0和M >0, 取正整数n , 满足M , 则f () =n >M ,
n n
1
故f (x ) 在(-δ, δ) 无界.但是xn =→0, f (x n ) =(2n +1/2) cos(2n +1/2) π=0∞,
2n +1/2
故当x →0时f (x ) 不是无穷大量.
14. 证明lim n (x -1) =ln x (x >0).
n →∞
1
1ln x
证令x -1=y n , 则ln x =ln(1+y ), n =.lim y n =lim x n -1=0.
n →∞n ln(1+y ) n →∞
1
n
1n
ln(1+y )
注意到lim =lim ln(1+y ) y =ln lim(1+y ) y =ln e =1,
y →0y →0y →0y 我们有n (x -1) =
1
n
11
y n ln x
→ln x (n →∞).
ln(1+y n )
15. 设f (x ) 及g (x ) 在实轴上有定义且连续. 证明:若f (x ) 与g (x ) 在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.
证任取一个无理数x 0, 取有理数序列x n →x 0, f (x 0) =lim f (x n ) =lim g (n ) =g (x 0).
n →∞
n →∞
16. 证明lim
1-cos x 1
=. 2x →0
x 2
1证. x 2
17. 证1(2)x ln(1+y ) lim
y →0y
=e a 18. ) 在a 点附近有
证
εM
M =ε, 故li m f (x ) g (x ) =0.
x →a
19. 设y =f (x ) 在(-∞, +∞) 中连续, 又设c 为正的常数, 定义g (x ) 如下⎧f (x ) 当|f (x ) |≤c ⎪
g (x ) =⎨c 当f (x ) >c
⎪-c 当f (x )
证(一) 若|f (x 0) |0, 当|x -x 0|
x →x 0
lim g (x ) =lim f (x ) =f (x 0) =g (x 0).
x →x 0
若f (x 0) >c , 则存在δ0>0, 当|x -x 0|c ,g(x)=c,
x →x 0
lim g (x ) =lim c =c =g (x 0).
x →x 0
若f (x 0) =c , 则g (x 0) =c . 对于任意ε>0, 不妨设ε0, 使得当|x -x 0|c , 则g (x ) =c ,|g (x ) -g (x 0) |=0
证(二) 利用g (x ) =min{f (x ), c }+max{f (x ), -c }-f (x ). max{f 1(x ), f 2(x )}=(|f 1(x ) -f 2(x ) |+f 1(x ) +f 2(x )) /2. min {f 1(x ),
f 2(x )}=(-|f 1(x ) -f 2(x ) |+(f 1(x ) +f 2(x )) /2. 1
20. 设f (x ) 在[a , b ]上连续, 又设η=[f (x 1) +f (x 2) +f (x 3)],
3
其中x 1
证若f (
(x 3)},
f (x 1) c ∈[a , b ],使得f (21. 设 kf (x ) +l g(x ) 解g (x ) =22. , 则D (x n ') →0; 证故lim x →x 0
23. (1)lim x →∞x →+∞⎝⎭
tan 5x tan 5x /x 5
(3)lim=lim ==5. x →0ln(1+x 2) +sin x x →0x [[ln(1+x 2)]/x 2]+sin x /x 1x →1
=lim(1+y ) 1/y =e .
y →0
24. 设函数y =f (x ) 在[0,+∞) 内连续, 且满足0≤f (x ) ≤x . 设a 1≥0是一任意数, 并假定a 2=f (a 1), a 3=f (a 2), , 一般地a n +1=f (a n ). 试证明{a n }单调递减, 且极限lim a n 存在.
n →∞
若l =lim a n , 则l 是方程f (x ) =x 的根, 即f (l ) =l .
n →∞
证a n +1=f (a n ) ≤a n ,{a n }单调递减.又a n +1=f (a n ) ≥0(n =1, 2,),{a n }单调递减有下界,
故a n 有极限.设l =lim a n , 则l =lim a n +1=lim f (a n ) =f (lima n ) =f (l ).
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
25. 设函数y =E (x ) 在(-∞, +∞) 内有定义且处处连续, 并且满足下列条件:E (0)=1, E (1)=e , E (x +y ) =E (x ) E (y ). 证明E (x ) =e x (∀x ∈(-∞, +∞)).
证用数学归纳法易得E (x 1+ +x n ) =E (x 1) E (x n ). 于是E (nx ) =E (x ) n . 设n 是正整数, 则E (n ) =E (1+ +1) =E (1)n =e n .
1=E (0)=E (n +(-n )) =E (n ) E (-n ) =e n E (-n ), E (-n ) =e -n . 于对于任意整数E (n ) =e n .
1
1111n
对于任意整数n , E (1)=E (n ) =E (n ) E () =e E (), E () =e n .
n n n n m ⎛1⎫m 1⎛1⎫
E () =E (m ) = E () ⎪= e n ⎪=e n . 即对于所有有理数r , E (r ) n n ⎝n ⎭⎝⎭
对于无理数x , 取有理数列xn →x , 由E (x ) 的连续性,
m
m
E (x ) =lim E (x n ) =lim e =e
n →∞
n →∞
x n
n →∞
lim x n
(e x 的连续性) =e x .