3(2)集合的运算(全集,补集)

1. 3(2)集合的运算（全集、补集）

上海市松江一中 潘勇

一、教学内容分析

子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念。而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。

正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。

补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念。

正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题。 因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在于个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力。

二、教学目标设计

了解全集与补集的意义；掌握补集符号“CUA”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。

三、教学重点与难点

补集的概念及有关运算。

补集的有关性质。

四、教学流程设计

五、教学过程设计 一、复习回顾

1、集合的子集、真子集概念、求法？

2、两个集合相等应满足的条件是什么？

二、讲授新课

1、概念引入

事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系。

回答下列问题

例:A={班上所有参加足球队的同学

}

B={班上没有参加足球队的同学}

U={全班同学}

那么U、A、B三集合关系如何？

集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合。即图中阴影部分。

2、概念形成

 全集定义

如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U。

[说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R看作全集U，有时把有理数集Q看作全集U，有时把正整数集合看作全集U。  补集定义

一般地，设U为全集，A是U的一个子集（即AU），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈u，且xA}，读作“A补”。

（上图阴影部分即表示A在U中补集CuA。）

 举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合。

3、概念深化

补集的性质(补)

① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu（CuA）=A

[说明]A的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某

个全集中的补集。

4、例题解析

例1、 若U={2，3，4}，A={4，3}，则CUA=_________。

例2：设U=R，A=x（课本P14x2，写出CuA。例5）

解：CuA=xx1或x2

[说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的好习惯。②强调补

集何时在端点处可以取得等号，何时不能取得等号。

例3：若集合A=xx2，当全集U分别取下列集合时，写出CuA。（补充）

① U={xxR} ② U={xx0} ③U={xx2}(画数轴)

解：① CuA={xx2} ② U={x0x2} ③U={xx2}

[说明]补集是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集

是什么？全集不同，导致补集不同。

例4：设U={a，b，c，d，e}，A={a，b}，B={b，c，d}，

① 求CuA∩CuB，Cu(A∩B)，Cu(A∪B)，CuA∪CuB(课本P14例5) ②从上述结论中，你发现有什么结论？（补）

③对任意的集合A，B，请你用集合的图示法说明是否有以上结论。 （习题1.3（3）第2题）

[说明]①通过练习，引导学生发现如下结论：CuA∩CuB=Cu(A∪B),CuA∪

CuB=Cu(A∩B) 。②结合实例及图示帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。

三、巩固练习

（1）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）

班的学生干部}，求A，B，AB的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3））

(2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。

（3）若U={1，2，4，8}，A=ø，则CuA= 。

（4）若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。

(5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。 解答：

（1）：CuA={高一（1）班的男生}，CuB={高一（1）班的所有不是学生干部的学生}，Cu（AB）={高一（1）班所有除了学生干部的女生的同学}

（2）：CuB={直角三角形或钝角三角形}。

（3）：CuA=U

（4）：a2+2a+1=5；a=-1±5

（5）：利用文恩图，B={1，4}。

四、课堂小结

1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。

2、能熟练求解一个给定集合的补集。

3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。

五、课后作业

1、课本P15 习题1.3——8，9，10

2、思考题：已知全集U={x

B={x0x10,xN},A={x0x10,x为偶数} x10,x为奇数},求CU(AB)的所有元素之积及CU(AB)的所有

元素之和。

六、教学设计说明

（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义。全集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义。其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质。

（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，“

UA是A在全

集U中的补集”，不能把它简单地说成

UA是A的补集，因为补集的概念是

相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的。

（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

举例如下，请同学们思考其结果。

填充：

⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA=_________。

⑵若S={三角形}，A={锐角三角形}，则CSB=_________。

⑶若S={1，2，4，8}，A=，则CSA=_________。

⑷若U={1，3，a+2 a +1}，A={1，3}，则CuA={5},则a =_______。 2

⑸已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，则CSB={-1，0，2}，求B=_______。 ⑹设全集U={2，3，m2+2 m -3}，A={|m+1|,2}，则CuA=5,求m= _______。 ⑺设全集U={1，2，3，4}，A={ x | x 2-5 x +m=0，x U}，求CUA、m。 评析：

例⑴解：CSA={2}

主要是比较A及S的区别。

例⑵解：CSB={直角三角形或钝角三角形}

注意三角形分类

例⑶解：CSA=S

空集的定义运用

例⑷解：a2+2 a +1=5，a =-1利用集合元素的特征。

例⑸解：利用文恩图由A及CuA先求U={-1，0，1，2，3}，再求B={1，4} 例⑹解：由题m2+2 m –3=5且|m+1|=3

解之m=4或m=2

例⑺解：将x =1，2，3，4代入 x 2-5 x +m=0中，得m=4或m=6

2 当m=4时，x-5 x +4=0，即A={1，4}

当m=6时，x 2-5 x +6=0，即A={2，3}

故满足条件：即CUA={1，4}，m=4；CUB={2，3}，m=6。 此题解决过程中渗透分类讨论思想。

Ⅲ 课堂练习：课本P10练习1、2。

1. 3(2)集合的运算（全集、补集）

上海市松江一中 潘勇

一、教学内容分析

子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念。而与这些子集相对应的某个确定的集合就是全集。

正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错。

补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念。

正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题。 因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这些概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在于个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力。

二、教学目标设计

了解全集与补集的意义；掌握补集符号“CUA”，会求一个集合的补集；知道有关补集的性质。

三、教学重点与难点

补集的概念及有关运算。

补集的有关性质。

四、教学流程设计

五、教学过程设计 一、复习回顾

1、集合的子集、真子集概念、求法？

2、两个集合相等应满足的条件是什么？

二、讲授新课

1、概念引入

事物都是相对的，集合中的部分元素与集合中所有元素之间关系就是部分与整体的关系。

回答下列问题

例:A={班上所有参加足球队的同学

}

B={班上没有参加足球队的同学}

U={全班同学}

那么U、A、B三集合关系如何？

集合B就是集合U中除去集合A之后余下来的集合。即图中阴影部分。

2、概念形成

 全集定义

如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U。

[说明]①在研究集合与集合之间关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合就是全集。②解决某些数学问题时，有时把实数集R看作全集U，有时把有理数集Q看作全集U，有时把正整数集合看作全集U。  补集定义

一般地，设U为全集，A是U的一个子集（即AU），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈u，且xA}，读作“A补”。

（上图阴影部分即表示A在U中补集CuA。）

 举例说明：解决某些数学问题时，如果把实数集看作是全集U，那么有理数集Q的补集CuQ就是全体无理数的集合。

3、概念深化

补集的性质(补)

① A∩CuA=φ ② A∪CuA=U ③ Cu（CuA）=A

[说明]A的补集是相对于全集而言的，补集的叙述要完整，必须指明是在某

个全集中的补集。

4、例题解析

例1、 若U={2，3，4}，A={4，3}，则CUA=_________。

例2：设U=R，A=x（课本P14x2，写出CuA。例5）

解：CuA=xx1或x2

[说明] ①通过例题巩固补集的概念，并养成“图解”的好习惯。②强调补

集何时在端点处可以取得等号，何时不能取得等号。

例3：若集合A=xx2，当全集U分别取下列集合时，写出CuA。（补充）

① U={xxR} ② U={xx0} ③U={xx2}(画数轴)

解：① CuA={xx2} ② U={x0x2} ③U={xx2}

[说明]补集是相对于某个确定全集而言的，因此讨论补集的前提就是全集

是什么？全集不同，导致补集不同。

例4：设U={a，b，c，d，e}，A={a，b}，B={b，c，d}，

① 求CuA∩CuB，Cu(A∩B)，Cu(A∪B)，CuA∪CuB(课本P14例5) ②从上述结论中，你发现有什么结论？（补）

③对任意的集合A，B，请你用集合的图示法说明是否有以上结论。 （习题1.3（3）第2题）

[说明]①通过练习，引导学生发现如下结论：CuA∩CuB=Cu(A∪B),CuA∪

CuB=Cu(A∩B) 。②结合实例及图示帮助学生理解结论。③提高符号表达能力。

三、巩固练习

（1）U={高一（1）班的所有学生}，A={高一（1）班的女生}，B={高一（1）

班的学生干部}，求A，B，AB的补集并说明其实际意义。（课本P15习题1.3（3））

(2) 若U={三角形}，B={锐角三角形}，则CuB= 。

（3）若U={1，2，4，8}，A=ø，则CuA= 。

（4）若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CuA={5}，则a= 。

(5) 已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，CuB={-1，0，2}，求B= 。 解答：

（1）：CuA={高一（1）班的男生}，CuB={高一（1）班的所有不是学生干部的学生}，Cu（AB）={高一（1）班所有除了学生干部的女生的同学}

（2）：CuB={直角三角形或钝角三角形}。

（3）：CuA=U

（4）：a2+2a+1=5；a=-1±5

（5）：利用文恩图，B={1，4}。

四、课堂小结

1、全集与补集的概念、全集与补集的表示。

2、能熟练求解一个给定集合的补集。

3、注重一些特殊结论在以后解题中应用。

五、课后作业

1、课本P15 习题1.3——8，9，10

2、思考题：已知全集U={x

B={x0x10,xN},A={x0x10,x为偶数} x10,x为奇数},求CU(AB)的所有元素之积及CU(AB)的所有

元素之和。

六、教学设计说明

（1）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义。全集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义。其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明全集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质。

（2）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；例如，“

UA是A在全

集U中的补集”，不能把它简单地说成

UA是A的补集，因为补集的概念是

相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的。

（3）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用。

本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号。

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举例如下，请同学们思考其结果。

填充：

⑴若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA=_________。

⑵若S={三角形}，A={锐角三角形}，则CSB=_________。

⑶若S={1，2，4，8}，A=，则CSA=_________。

⑷若U={1，3，a+2 a +1}，A={1，3}，则CuA={5},则a =_______。 2

⑸已知A={0，2，4}，CuA={-1，1}，则CSB={-1，0，2}，求B=_______。 ⑹设全集U={2，3，m2+2 m -3}，A={|m+1|,2}，则CuA=5,求m= _______。 ⑺设全集U={1，2，3，4}，A={ x | x 2-5 x +m=0，x U}，求CUA、m。 评析：

例⑴解：CSA={2}

主要是比较A及S的区别。

例⑵解：CSB={直角三角形或钝角三角形}

注意三角形分类

例⑶解：CSA=S

空集的定义运用

例⑷解：a2+2 a +1=5，a =-1利用集合元素的特征。

例⑸解：利用文恩图由A及CuA先求U={-1，0，1，2，3}，再求B={1，4} 例⑹解：由题m2+2 m –3=5且|m+1|=3

解之m=4或m=2

例⑺解：将x =1，2，3，4代入 x 2-5 x +m=0中，得m=4或m=6

2 当m=4时，x-5 x +4=0，即A={1，4}

当m=6时，x 2-5 x +6=0，即A={2，3}

故满足条件：即CUA={1，4}，m=4；CUB={2，3}，m=6。 此题解决过程中渗透分类讨论思想。

Ⅲ 课堂练习：课本P10练习1、2。