三重积分的计算方法

V ol . 13, No . 2　　　　　　　　　　高等数学研究M a r . , 2010ST U DIES IN CO L L EG E M A T H EM A TICS

三重积分的计算方法

贾建文

(山西师范大学数学与计算机科学学院, 山西临汾, 041004)

摘

要　主要探讨在直角坐标系下三重积分的计算方法与技巧. 首先将空间区域分成两大类, 并给出用不等

中图分类号　O172

式组表示它们的方法, 然后就每种区域分别列出化三重积分为累次积分的公式, 并举例加以说明.

关键词　直角坐标系; 三重积分; 积分区域; XY -型区域.

三重积分的计算核心是将其转化为累次积分, 这对初学者来说, 一般都感到困难较大, 困难的原因主要表现在不会确定累次积分的上下限(即对积分区域不能准确的认识) , 本文着重总结概括在直角坐标系下与柱面坐标系下如何将三重积分化为累次积分. 域, 并将空间区域Ψ主要分以下两大类:

(ⅰ) 　XY -型, YZ -型, XZ -型所谓Ψ是XY -型区域, 就是Ψ能表示为集合{z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ) , (x , y )∈D xy }, 其中D xy 是Ψ在X OY 平面上的投影区域,

z =z 1(x , y ) , z =z 2(x , y )

分别是Ψ的下边界曲面和上边界曲面方程. XY -型区域Ψ的几何特征是:

域可加性, 只要能计算在上述两类区域上的积分即可. 所以下面仅就上述两类区域讨论三重积分的计算.

1　直角坐标系下三重积分计算方法

计算三重积分的基本方法是将三重积分转化为

累次积分进行计算, 一般教材[1, 2]都讲到首先化为分, 从而完成计算. 那么我们自然会想到能否首先化为“先二后一”的累次积分再计算, 结果是肯定的. 现在的关键问题是面对一个三重积分如何选择使用恰当的累次积分顺序, 一般来说, 需要根据积分区域的类型和被积函数的特点综合考虑, 并正确确定出积分的上下限.

1. 1　“先一后二”法

一般地, 若积分区域Ψ属于(ⅰ) 类区域, 则采用

为了方便, 用D 表示平面区域, 用Ψ表示空间区“先一后二”的累次积分, 再将二重积分化为累次积

特征1　在XOY 平面上的投影区域D xy 为有界“先一后二”法. 比如Ψ是X Y -型区域, 采用先对z 积

闭区域; 分后对x , y 求二重积分的积分顺序, 即

特征2　过D xy 上任意点做平行于z 轴的直线与Ψ的边界曲面的交点不多于两个, 沿着z 轴的方向, 先交的点所在的曲面就是下边界曲面, 后交的点所在的曲面就是上边界曲面;

特征3　上、下边界曲面是连续曲面. Y Z -型, XZ -型区域读者可以类似地认识. (ⅱ) 　X -型, Y -型, Z -型以Z -型区域为例解释之, 即Ψ能表示为集合{a ≤z ≤b , (x , y )∈D z }, 其中[a , b ]是Ψ在z 轴上的投影区间, D z 是过[a , b ]上任意点z 且平行于X OY 坐标面的平面与区域Ψ相交的平面区域(也称截面) .

注　任意空间区域Ψ必是上述两类区域之一或能分割成上述两类区域块的并集, 根据三重积分的区

收稿日期:2009-07-10; 修改日期:2010-01-20.

基金项目:山西师范大学数学分析精品课程建设项目(2007jpkc -15) . 作者简介:贾建文(1963-) , 男, 山西运城人, 硕士, 教授, 从事微分方

, :. 2008@com .

f (x , y , z ) d x d y d z =

d z .

d x d y ∫f (x , y , z )

z (x , y )

(1)

例1　计算三重积分

及平面

x yz d V , Ψ

其中积分区域Ψ是由曲面z =xy

y =x , x =1, z =0

所围成的区域(见文[1]习题8. 2) .

分析　按照(ⅰ) 类区域的几何特征知Ψ是X Y -型区域. 将Ψ投影到X OY 面上, 得投影区域

D xy ={(x , y ) |0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 下边界曲面是

上边界曲面是

z =xy ,

于是

高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010年3月

坐标系下计算, 所以一般地, 若积分区域Ψ属于(ⅰ) 类区域, 且投影区域是圆域、圆环域或其部分, 则我们采用在柱面坐标系下计算三重积分. 区域的表示只要将投影区域在极坐标系下表示(通常表示成θ-型区域, 即先r 后θ的累次积分顺序) 即可.

例如Ψ是XY -型区域, 并且

D xy =D r θ=

{(r , θ) |θ1≤θ≤θ2, r 1(θ)≤r ≤r 2(θ) }, 此时积分区域Ψ表示为

Ψ={(r ,θ, z ) |z 1(r ,θ) ≤z ≤z 2(r ,θ) , (r ,θ) ∈D r θ}, 则有

f (x , y , z ) d V =

d θr d r r co s θ, r sin θ, z ) d z . (3) ∫∫∫f (

Ψ=((x , y , z ) |0≤z ≤x y ,(x , y )∈D xy ) . 解　由公式(1) 得

x 2yz d V =

xy 0

∫

x y d x d y = 2

d x x y d y =. ∫272

d x d y

x yz d z =

1. 2　“先二后一”法

一般地, 若积分区域Ψ属于(ⅱ)类区域, 且被积

函数形如“f (z ) ”、“f (x ) g (y , z ) ”、“f (x ) g (y ) h (z ) ”等, 则采用“先二后一”法. 比如Ψ是Z -型区域, 被积函数

f (x , y , z )=f 1(z ) g (x , y ) ,

宜采用先对x , y 求二重积分后对z 求积分的顺序. 即

f (x , y , z ) d x d y d z =

d z d x d y ∫ f (x , y , z )

Ψb a

r (θ)

z (r , θ)

θr (θ) z (r , θ)

例3　计算三重积分

z Ψ

和平面(2)

+y d V ,

其中积分区域Ψ是由圆锥面

x 2+y 2=z 2

z =1

围成(见文[1]P 179例6) .

分析　容易判断此积分区域既是Z -型区域, 也是XY -型区域. 下面就分别按这两种认识解之, 读者比较之.

解法1(先二后一法) 　将Ψ看作Z -型区域, Ψ={(x , y , z ) |0≤z ≤1, (x , y )∈D z },

D z ={(x , y ) |x 2+y 2≤z 2}.

“先二”积分是对x , y 积分, 而被积函数含有“x +y ”, 故此二重积分适宜用极坐标, 所以将D z 表示成

D z ={(r , θ) |0≤θ≤2π, 0≤r ≤z }, 于是由(2) 式得

注　此种方法在一些特殊情形下显得非常简

便. 比如Ψ是Z -型区域, D z 都是圆形区域或易求其面积, 被积函数

f (x , y , z )=f (z ) .

例2　计算三重积分

z d V ,

2Ψ

其中积分区域Ψ为球面

x 2+y 2+z 2=2z 所围.

分析　此区域既是(ⅰ) 类区域, 也是(ⅱ) 类区域. 按公式(1) 计算比较繁琐. 注意到被积函数是一元函数, 更适合按公式(2) 计算.

解　首先将区域按Z -型表示:

Ψ={(x , y , z ) |0≤z ≤2,(x , y )∈D z }, D z =((x , y ) |x +y ≤2z -z ) . 于是由公式(2) 得

z d z ∫ d x d y =z d z d θr ·r d r =π.∫∫∫15

d V =

1010

2π0

∫

z ·π(2z -z ) d z =. ∫4

z d V =Ψ20

解法2(柱面坐标法) 　将Ψ看作XY -型区域, 即采用“先一后二”的顺序, 由于后二的积分变元是x , y , 而被积函数含有“x +y ”, 故此二重积分适宜用极坐标, 此即通常教材上所说的按柱面坐标系来计算. Ψ在X OY 面上的投影区域

D xy ={(x , y ) |x 2+y 2≤1},

d z 0

z 2d x d y =

2　柱面坐标系下三重积分计算法

在柱面坐标系下计算三重积分实质就是采用“先

V ol . 13, No . 2　　　　　　　　　　高等数学研究M a r . , 2010ST U DIES IN CO L L EG E M A T H EM A TICS

教学随议

关于高等代数教学的思考与探索

李成杰

(枣庄学院数学与信息科学系, 山东枣庄, 277160)

摘

要　针对高等代数教学过程中教学内容与实际课时引发的问题, 主张下放教学内容, 并采用灵活的教学

模式:在教学中本着“点”、“线”、“面”的教学思想, 按照人的认识规律进行教学; 让学生也参与教学, 形成师生互动的局面; 利用三“导”合一的教学方法, 整合高等代数的知识内容节省教学时数; 注意作业实践.

关键词　教学理念; 教学改革; 思维模式; 单一化; 布置格局.

中图分类号　G642. 1

高等教育蓬勃发展, 教育改革不断深入, 高等代数(也包括线性代数) 作为理科学生的基础课, 其教学理念、教学内容及教学方法也孕育在这次改革之中, 但其教学改革一直未引起人们的足够重视. 通过对文[1, 2, 3, 4]进行分析, 并结合实际教学经验, 可以发现在高等代数(线性代数) 的教学过程中会出现以下问题:

问题1　高等代数的教材内容给教学带来了一

些困扰

高等数学的教学改革一直备受人们的关注, 许多高校从教学内容和教学理念上都对高等数学作了深入的理论研究和实践探索, 并且也取得了很多成果, 但是人们对高等代数的教学却未给予足够的重视. 在高中数学的教材中虽然对微、积分的内容做了一些简

收稿日期:2007-12-19; 修改日期:2010-02-02.

作者简介:李成杰(1979-) , 男, 山东枣庄人, 硕士, 助教, 从事课程和

教学论的研究, Email :ju nhongabc @126. com .

单的探讨, 但是对高等代数的内容很少提及, 因此在大学的高等代数教学课堂上老师发现学生不能适应高等代数的思维模式, 这给教学带来了一些困难.

问题2　高等代数课时的压缩是本课程教学的

又一难点

许多高等院校对高等代数和线性代数的教学时数进行了压缩, 有些高等院校把高等代数的教学时数压缩到120学时, 把线性代数的教学时数压缩到38学时, 要在这么短的学时内让学生既接受紧凑的课堂知识又养成新的数学思维模式, 这是我们在教学时面临的又一难题.

作者在从事高等代数教学过程中针对以上不足, 并结合自己的实践, 按照人的认识规律对以上问题的解决方法做了一些探讨.

方法1　可以把高等代数的教学内容进行下放数学是一门科学性、系统性、逻辑性很强的学科, 在教师教学中要求循序渐进. 在新课改后的高中教材

z =

即

x ,

是按照柱面坐标系的方法给学生讲解, 学生一般很难弄明白. 其实, 柱面坐标系下计算三重积分的方法完全没有必要单独列出, 其实质无非也是采用“先一后二”与“先二后一”的方法.

z =r ,

上边界曲面是平面

z =1,

在柱面坐标系下Ψ表示为

{(r ,θ, z ) |r ≤z ≤1, 0≤θ≤2π, 0≤r ≤1}, 于是由(3) 式得

参考文献

[1]四川大学数学系. 高等数学(第二册) [M ]. 2版. 北京:高

等教育出版社, 1988:163-174.

[2]华东师范大学数学系. 数学分析(下册) [M ]. 3版. 北京:

高等教育出版社, 2001:243-251.

[3]同济大学应用数学系. 高等数学(下册) [M ]. 5版. 北京:

高等教育出版社, 2002:101-120.

d θr d r z ·r dz =π.∫∫∫15

z Ψ

d V =

2π0

注　文[1]对例3的解法就是这里的解法1, 但

V ol . 13, No . 2　　　　　　　　　　高等数学研究M a r . , 2010ST U DIES IN CO L L EG E M A T H EM A TICS

三重积分的计算方法

贾建文

(山西师范大学数学与计算机科学学院, 山西临汾, 041004)

摘

要　主要探讨在直角坐标系下三重积分的计算方法与技巧. 首先将空间区域分成两大类, 并给出用不等

中图分类号　O172

式组表示它们的方法, 然后就每种区域分别列出化三重积分为累次积分的公式, 并举例加以说明.

关键词　直角坐标系; 三重积分; 积分区域; XY -型区域.

(ⅰ) 　XY -型, YZ -型, XZ -型所谓Ψ是XY -型区域, 就是Ψ能表示为集合{z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ) , (x , y )∈D xy }, 其中D xy 是Ψ在X OY 平面上的投影区域,

z =z 1(x , y ) , z =z 2(x , y )

分别是Ψ的下边界曲面和上边界曲面方程. XY -型区域Ψ的几何特征是:

域可加性, 只要能计算在上述两类区域上的积分即可. 所以下面仅就上述两类区域讨论三重积分的计算.

1　直角坐标系下三重积分计算方法

计算三重积分的基本方法是将三重积分转化为

1. 1　“先一后二”法

一般地, 若积分区域Ψ属于(ⅰ) 类区域, 则采用

为了方便, 用D 表示平面区域, 用Ψ表示空间区“先一后二”的累次积分, 再将二重积分化为累次积

特征1　在XOY 平面上的投影区域D xy 为有界“先一后二”法. 比如Ψ是X Y -型区域, 采用先对z 积

闭区域; 分后对x , y 求二重积分的积分顺序, 即

注　任意空间区域Ψ必是上述两类区域之一或能分割成上述两类区域块的并集, 根据三重积分的区

收稿日期:2009-07-10; 修改日期:2010-01-20.

基金项目:山西师范大学数学分析精品课程建设项目(2007jpkc -15) . 作者简介:贾建文(1963-) , 男, 山西运城人, 硕士, 教授, 从事微分方

, :. 2008@com .

f (x , y , z ) d x d y d z =

d z .

d x d y ∫f (x , y , z )

z (x , y )

(1)

例1　计算三重积分

及平面

x yz d V , Ψ

其中积分区域Ψ是由曲面z =xy

y =x , x =1, z =0

所围成的区域(见文[1]习题8. 2) .

分析　按照(ⅰ) 类区域的几何特征知Ψ是X Y -型区域. 将Ψ投影到X OY 面上, 得投影区域

D xy ={(x , y ) |0≤y ≤x , 0≤x ≤1}, 下边界曲面是

上边界曲面是

z =xy ,

于是

高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　2010年3月

例如Ψ是XY -型区域, 并且

D xy =D r θ=

{(r , θ) |θ1≤θ≤θ2, r 1(θ)≤r ≤r 2(θ) }, 此时积分区域Ψ表示为

Ψ={(r ,θ, z ) |z 1(r ,θ) ≤z ≤z 2(r ,θ) , (r ,θ) ∈D r θ}, 则有

f (x , y , z ) d V =

d θr d r r co s θ, r sin θ, z ) d z . (3) ∫∫∫f (

Ψ=((x , y , z ) |0≤z ≤x y ,(x , y )∈D xy ) . 解　由公式(1) 得

x 2yz d V =

xy 0

∫

x y d x d y = 2

d x x y d y =. ∫272

d x d y

x yz d z =

1. 2　“先二后一”法

一般地, 若积分区域Ψ属于(ⅱ)类区域, 且被积

函数形如“f (z ) ”、“f (x ) g (y , z ) ”、“f (x ) g (y ) h (z ) ”等, 则采用“先二后一”法. 比如Ψ是Z -型区域, 被积函数

f (x , y , z )=f 1(z ) g (x , y ) ,

宜采用先对x , y 求二重积分后对z 求积分的顺序. 即

f (x , y , z ) d x d y d z =

d z d x d y ∫ f (x , y , z )

Ψb a

r (θ)

z (r , θ)

θr (θ) z (r , θ)

例3　计算三重积分

z Ψ

和平面(2)

+y d V ,

其中积分区域Ψ是由圆锥面

x 2+y 2=z 2

z =1

围成(见文[1]P 179例6) .

分析　容易判断此积分区域既是Z -型区域, 也是XY -型区域. 下面就分别按这两种认识解之, 读者比较之.

解法1(先二后一法) 　将Ψ看作Z -型区域, Ψ={(x , y , z ) |0≤z ≤1, (x , y )∈D z },

D z ={(x , y ) |x 2+y 2≤z 2}.

“先二”积分是对x , y 积分, 而被积函数含有“x +y ”, 故此二重积分适宜用极坐标, 所以将D z 表示成

D z ={(r , θ) |0≤θ≤2π, 0≤r ≤z }, 于是由(2) 式得

注　此种方法在一些特殊情形下显得非常简

便. 比如Ψ是Z -型区域, D z 都是圆形区域或易求其面积, 被积函数

f (x , y , z )=f (z ) .

例2　计算三重积分

z d V ,

2Ψ

其中积分区域Ψ为球面

x 2+y 2+z 2=2z 所围.

分析　此区域既是(ⅰ) 类区域, 也是(ⅱ) 类区域. 按公式(1) 计算比较繁琐. 注意到被积函数是一元函数, 更适合按公式(2) 计算.

解　首先将区域按Z -型表示:

Ψ={(x , y , z ) |0≤z ≤2,(x , y )∈D z }, D z =((x , y ) |x +y ≤2z -z ) . 于是由公式(2) 得

z d z ∫ d x d y =z d z d θr ·r d r =π.∫∫∫15

d V =

1010

2π0

∫

z ·π(2z -z ) d z =. ∫4

z d V =Ψ20

D xy ={(x , y ) |x 2+y 2≤1},

d z 0

z 2d x d y =

2　柱面坐标系下三重积分计算法

在柱面坐标系下计算三重积分实质就是采用“先

V ol . 13, No . 2　　　　　　　　　　高等数学研究M a r . , 2010ST U DIES IN CO L L EG E M A T H EM A TICS

教学随议

关于高等代数教学的思考与探索

李成杰

(枣庄学院数学与信息科学系, 山东枣庄, 277160)

摘

要　针对高等代数教学过程中教学内容与实际课时引发的问题, 主张下放教学内容, 并采用灵活的教学

关键词　教学理念; 教学改革; 思维模式; 单一化; 布置格局.

中图分类号　G642. 1

问题1　高等代数的教材内容给教学带来了一

些困扰

收稿日期:2007-12-19; 修改日期:2010-02-02.

作者简介:李成杰(1979-) , 男, 山东枣庄人, 硕士, 助教, 从事课程和

教学论的研究, Email :ju nhongabc @126. com .

单的探讨, 但是对高等代数的内容很少提及, 因此在大学的高等代数教学课堂上老师发现学生不能适应高等代数的思维模式, 这给教学带来了一些困难.

问题2　高等代数课时的压缩是本课程教学的

又一难点

作者在从事高等代数教学过程中针对以上不足, 并结合自己的实践, 按照人的认识规律对以上问题的解决方法做了一些探讨.

方法1　可以把高等代数的教学内容进行下放数学是一门科学性、系统性、逻辑性很强的学科, 在教师教学中要求循序渐进. 在新课改后的高中教材

z =

即

x ,

z =r ,

上边界曲面是平面

z =1,

在柱面坐标系下Ψ表示为

{(r ,θ, z ) |r ≤z ≤1, 0≤θ≤2π, 0≤r ≤1}, 于是由(3) 式得

参考文献

[1]四川大学数学系. 高等数学(第二册) [M ]. 2版. 北京:高

等教育出版社, 1988:163-174.

[2]华东师范大学数学系. 数学分析(下册) [M ]. 3版. 北京:

高等教育出版社, 2001:243-251.

[3]同济大学应用数学系. 高等数学(下册) [M ]. 5版. 北京:

高等教育出版社, 2002:101-120.

d θr d r z ·r dz =π.∫∫∫15

z Ψ

d V =

2π0

注　文[1]对例3的解法就是这里的解法1, 但

三重积分的计算方法

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