实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；
2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系
1. 行程问题：路程＝速度×时间
2. 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3. 利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，利润率=利润 100% 进价
4. 和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5. 银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6. 数字问题：
要点二、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车 ”．这一点应十分注意．
【典型例题】
类型一、行程问题
1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？
【思路点拨】设导火索要xm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式求解．
【答案与解析】
解得：
答：导火索至少要16cm 长．
【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距离做为不等量关系列不等式求解．
类型二、工程问题
2. 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少土
【答案与解析】
答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方．
【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式．
【高清课堂：实际问题与一元一次不等式】
举一反三：
【变式】某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工 个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？
【答案】29
类型三、利润问题
3. 水果店进了某中水果1t ，进价是7元/kg．售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
【答案与解析】
解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售, 根据题意得：
1t ＝1000kg
x 10001000(10⨯-7) ⨯+(10-7) ⨯≥2000 1022
解得：x ≥8
答：余下的水果可以按原定价的8折出售．
【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润做为不等量关系列不等式． 举一反三：
【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．
【答案】六
类型四、方案选择
4. (广东广州) 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案：
方案一：用168元购买会员卡成为会员，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠； 方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元?
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算．
【思路点拨】问题(1)是不购买会员卡，故需按方案二进行计算；问题(2)是问在什么条件下采用方案一更合算，这里的“更合算”揭示的是不等关系，故需建立不等式求解．
【答案与解析】
解：(1)120×0.95＝114(元) ．
(2)设购买商品的价格为x 元，由题意得
0.8x+168＜0.95x
解得x ＞1120
答：当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．
【总结升华】解答本题应抓住关键词“更合算”，就是采用方案一购买比采用方案二购买省钱．故需分别用含“x 元”的式子表示出两种方案下的支付金额列出不等式求解．
实际问题与一元一次不等式（基础）知识讲解
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；
2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】 要点一、常见的一些等量关系
1. 行程问题：路程＝速度×时间
2. 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3. 利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，利润率=利润 100% 进价
4. 和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5. 银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6. 数字问题：
要点二、列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车 ”．这一点应十分注意．
【典型例题】
类型一、行程问题
1．爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m 以外的安全地区，导火索至少需要多长？
【思路点拨】设导火索要xm 长，根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区，可列不等式求解．
【答案与解析】
解得：
答：导火索至少要16cm 长．
【总结升华】本题考查一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是以100m 的安全距离做为不等量关系列不等式求解．
类型二、工程问题
2. 一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少土
【答案与解析】
答：现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成80土方．
【总结升华】解本类工程问题，主要是找准正确的工程不等式，如本题，以天数作为基准列不等式．
【高清课堂：实际问题与一元一次不等式】
举一反三：
【变式】某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工 个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？
【答案】29
类型三、利润问题
3. 水果店进了某中水果1t ，进价是7元/kg．售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售．如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？
【答案与解析】
解：设余下的水果可以按原定价的x 折出售, 根据题意得：
1t ＝1000kg
x 10001000(10⨯-7) ⨯+(10-7) ⨯≥2000 1022
解得：x ≥8
答：余下的水果可以按原定价的8折出售．
【总结升华】本题考查一元一次不等式的应用，关键以利润做为不等量关系列不等式． 举一反三：
【变式】某商品的进价为1000元，售价为2000元，由于销售状况不好，商店决定打折出售，但又要保证利润不低于20%，则商店最多打 折．
【答案】六
类型四、方案选择
4. (广东广州) 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案：
方案一：用168元购买会员卡成为会员，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠； 方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
(1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元?
(2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算．
【思路点拨】问题(1)是不购买会员卡，故需按方案二进行计算；问题(2)是问在什么条件下采用方案一更合算，这里的“更合算”揭示的是不等关系，故需建立不等式求解．
【答案与解析】
解：(1)120×0.95＝114(元) ．
(2)设购买商品的价格为x 元，由题意得
0.8x+168＜0.95x
解得x ＞1120
答：当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．
【总结升华】解答本题应抓住关键词“更合算”，就是采用方案一购买比采用方案二购买省钱．故需分别用含“x 元”的式子表示出两种方案下的支付金额列出不等式求解．