函数值域的多种解法
函数值域是函数知识的一个重要内容，也是高考中重点考查的内容之一．本文通过对一道例题的挖掘，归纳出函数值域的通常求法．以培养学生的发散思维和归纳概括能力．
1
例求函数y=x+x +1（x ≠0）的值域。
解法一换元法
∴y≤－1或y≥3．
小结本法体现了化归的数学思想．此法通常用于求分式形态和无理式形态的函数的极值．换元的目的就是将函数解析式中的分式形态和无理式形态转化为整式形态．归结为求整式形态的函数解析式的值域．关键是求出引进参数(本题中的t) 的取值范围． 解法二判别式法
∵方程有实根，∴△=(1－y)2－4≥0．
∴y －1≤－2或y －1≥2．
于是y≤－1或y≥3．
当x=－1时y=－1；当x=1时，y=3．
1
综上所述可知，y=x+x +1的值域为
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了方程的思想．此法通常用于分式或某些含根式形态的函数求值域．其目的是通过移项、平方、去分母等恒等变形技巧化归为以函数为参数的关于自变量的二次方程．关键是利用判别式△≥0确定值域．但需注意x 值在原函数的定义域内才有效． 解法三利用平均值不等式法
当x ＞0时有
当x ＜0时有
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了分类讨论的数学思想．此法通常用于函数中某些项可以利用基本不等式建立新的不等式．其目的是先求出函数的最值，并结合函数值的变化趋势来确定函数的值域．关键是利用“几个正函数的算术平均值不小于其几何平均值”，但需注意的是取等号时条件是否能得到满足．
解法四配方法
分x ＞0和x ＜0两种情况：
1°当x ＞0时：
即x=1时y=3．
2°当x ＜0时：
即x=－1时y=－1．
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了分类讨论的数学思想和配方的数学方法．本法通常用于函数解析表达式中，凡含x 的项能配成完全平方时，以此来求函数的值域．但必须注意考察完全平方项的取值范围，防止出现疏漏．
解法五利用单调性法
∴当x ∈(0，1]时，g(x)为减函数，当x ∈[1，＋∞)时，g(x)为增函数．
∴当x ∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)=2．
∴当x ∈(0，＋∞)时，f(x)≥3．
又g(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，
∴当x ∈(－∞，0) 时，g(x)≤g(－1)=－2，
∴当x ∈(－∞，－1) 时，f(x)≤－1，
故原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了函数的思想．此法通过增、减函数的和或倒数等基本运算，分析原函数的组成部分的单调性来复合得出原函数整体的单调性，从而依据定义域得出原函数的值域．
解法六数形结合法
∴可看成是通过A(x，x2) ，B(0，－1) 两点的直线的斜率．
即点A 在抛物线x2=y上．
设lAB ∶y=kx－1，
得x2－kx ＋1=0，
∵直线lAB 与抛物线相切，
∴△=0，即k=±2．
∴g(x)≤－2或g(x)≥2，
∴f(x)≤－1或f(x)≥3．
(－∞，1) ∪[3，＋∞)．
小结本法体现了数形结合的数学思想．此法通过正确运用函数的几何意义，直接画出函数的图象．利用数形结合，转化对函数式进行斜率、截距、距离、复数模、勾股关系等的讨论来确定函数的值域，从而使问题获得解决．
通过以上一题多解，既培养了同学们的发散思维，挖掘、复习了中学数学常见的数学思想和方法，加强了知识的横向联系，提高了同学们的解题能力，又归纳了求函效值域的常用方法．
函数值域的多种解法
函数值域是函数知识的一个重要内容，也是高考中重点考查的内容之一．本文通过对一道例题的挖掘，归纳出函数值域的通常求法．以培养学生的发散思维和归纳概括能力．
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例求函数y=x+x +1（x ≠0）的值域。
解法一换元法
∴y≤－1或y≥3．
小结本法体现了化归的数学思想．此法通常用于求分式形态和无理式形态的函数的极值．换元的目的就是将函数解析式中的分式形态和无理式形态转化为整式形态．归结为求整式形态的函数解析式的值域．关键是求出引进参数(本题中的t) 的取值范围． 解法二判别式法
∵方程有实根，∴△=(1－y)2－4≥0．
∴y －1≤－2或y －1≥2．
于是y≤－1或y≥3．
当x=－1时y=－1；当x=1时，y=3．
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综上所述可知，y=x+x +1的值域为
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了方程的思想．此法通常用于分式或某些含根式形态的函数求值域．其目的是通过移项、平方、去分母等恒等变形技巧化归为以函数为参数的关于自变量的二次方程．关键是利用判别式△≥0确定值域．但需注意x 值在原函数的定义域内才有效． 解法三利用平均值不等式法
当x ＞0时有
当x ＜0时有
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了分类讨论的数学思想．此法通常用于函数中某些项可以利用基本不等式建立新的不等式．其目的是先求出函数的最值，并结合函数值的变化趋势来确定函数的值域．关键是利用“几个正函数的算术平均值不小于其几何平均值”，但需注意的是取等号时条件是否能得到满足．
解法四配方法
分x ＞0和x ＜0两种情况：
1°当x ＞0时：
即x=1时y=3．
2°当x ＜0时：
即x=－1时y=－1．
(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了分类讨论的数学思想和配方的数学方法．本法通常用于函数解析表达式中，凡含x 的项能配成完全平方时，以此来求函数的值域．但必须注意考察完全平方项的取值范围，防止出现疏漏．
解法五利用单调性法
∴当x ∈(0，1]时，g(x)为减函数，当x ∈[1，＋∞)时，g(x)为增函数．
∴当x ∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)=2．
∴当x ∈(0，＋∞)时，f(x)≥3．
又g(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，
∴当x ∈(－∞，0) 时，g(x)≤g(－1)=－2，
∴当x ∈(－∞，－1) 时，f(x)≤－1，
故原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
小结本法体现了函数的思想．此法通过增、减函数的和或倒数等基本运算，分析原函数的组成部分的单调性来复合得出原函数整体的单调性，从而依据定义域得出原函数的值域．
解法六数形结合法
∴可看成是通过A(x，x2) ，B(0，－1) 两点的直线的斜率．
即点A 在抛物线x2=y上．
设lAB ∶y=kx－1，
得x2－kx ＋1=0，
∵直线lAB 与抛物线相切，
∴△=0，即k=±2．
∴g(x)≤－2或g(x)≥2，
∴f(x)≤－1或f(x)≥3．
(－∞，1) ∪[3，＋∞)．
小结本法体现了数形结合的数学思想．此法通过正确运用函数的几何意义，直接画出函数的图象．利用数形结合，转化对函数式进行斜率、截距、距离、复数模、勾股关系等的讨论来确定函数的值域，从而使问题获得解决．
通过以上一题多解，既培养了同学们的发散思维，挖掘、复习了中学数学常见的数学思想和方法，加强了知识的横向联系，提高了同学们的解题能力，又归纳了求函效值域的常用方法．