对称性在曲线积分中的应用

对称性在曲线积分中的应用

!

摘

江苏宿迁师范杨瑜

要" 本文给出了对称性在第二类曲线积分中的命题及证明#并举例说明在曲线积分计算中巧妙利用对称

性#可以减少一些繁琐的计算#提高解题的效率$

关键词" 对称性%奇偶性%曲线积分中图分类号" () *’&’一5命题及证明

根据被积函数的奇偶性和积分曲线的对称性有如下命题$

命题" 设6为平面上分段光滑的定向曲线#1#3#789:在6上连续$1#389

若6关于8轴对称#则1’3

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的证法类似, 此处略证4二

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法一+将原式分成两部分因第一个积分, 曲线G 是关于H 轴对称, 且走向相反, 被积函数为1的偶函数2第二个积分, 曲线G 关于1轴对称, 且走向相反, 被积函数为H 的偶函数, 由命题) 5+) " +知, 其值均等于:,

即∫

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&:三

在高等数学中, 巧妙利用对称性, 不仅可以简化定积分

显, 本文仅介绍对称性在第二类) 对坐标的+曲线积分计算中的应用4参考文献=

@5F 同济大学数学教研室M 高等数学) 下册+@N F

M 北京=高等教育出版社, 5O O P

@" F 毛纲源M 高等数学解题方法技巧归纳) 下册+@N F

M 武汉=华中科技大学出版社, " ::"

收稿日期=" ::Q -:O -" R

作者简介=杨瑜) 5O R P -+,

女, 江苏宿迁人, 主要从事基础数学研究

4

对称性在曲线积分中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨瑜， Yang Yu

承德职业学院学报

JOURNAL OF CHENGDE VOCATIONAL COLLEGE2005，10(4)0次

参考文献(2条)

1. 同济大学数学教研室 高等数学 19962. 毛纲源 高等数学解题方法技巧归纳 2002

相似文献(10条)

1.期刊论文 王建英 函数的奇偶性、对称性、周期性及其相关关系分析 -科技风2009,""(7)

研究初函数,免不了要研究其奇偶性、对称性、周期性,这其中每一种性质都有独特的代数体现(函数方程)和几何特征,而且,三性之间又有关联:奇偶性反映了特殊的对称关系;多重对称的函数又会呈现出周期性.文章力图说清楚两个方面的问题:其一,对每一种性质,如何正确理解其代数特征与几何物征的的关系;其二,这三种性质相关联时的代数与几何特征如何体现.

2.期刊论文 司兴海. SI Xing-hai 利用函数奇偶性和积分区域对称性计算重积分 -菏泽学院学报2009,31(2)

对于多元函数,利用函数关于某个变量的奇偶性及积分区域的对称性,可简化重积分的计算.

3.期刊论文 王洁 对称性和奇偶性在积分中的应用 -成功（教育版）2008,""(6)

在定积分和重积分的计算中,恰当地利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,可以使积分运算大大简化,并通过具体例子表明这些结论是十分有效的.

4.学位论文 王小杭 高一学生函数对称性的认知研究 2008

在我们的数学学习中,对称性是一种非常重要的思想、方法和内容。到高中时,出现最早的与对称性很密切的内容就是函数图像的对称性,它是我们研究函数时最重要的性质之一。我们通过对三所高中的131名高一学生的问卷调查和个别访谈,考察学生对数学中对称性的态度与认识和对函数对称性的认知情况,得出以下结论：

(1)有超过94％的高一学生认为对称性在数学中占有重要或者比较重要的位置,92％的学生认为对称性的思想方法对自己的数学学习有很大或者比较大的帮助,也有80％以上的学生对数学中的对称性是有所了解的,但学生对于数学中对称性的认识还大都是一种自发的状态,处于潜意识的状态,认识比较简单,知识面很窄。

(2)在学生对函数奇偶性的概念表象中,以图像认知为主,约占45％,然后是符号认知,约占31％。但是学生对概念表述相对比较单一,不能用多种数学语言进行理解和表述,严重影响了学生对函数奇偶性概念的认知水平。

(3)学生在对利用函数本身具备对称性解决问题时,判断奇偶性时对分段函数和抽象函数的应用较差：对利用函数的对称图像的一半来补全图像并分析问题的时候,很多的学生无法补全图像：对二次函数对称性的应用不够灵活；学生对使用抽象的函数符号判断推理的能力还是很差；在学生对函数图像对称的理性认知调查中,我们发现有14％的学生可以真正的理解图像的对称性并且可以用抽象的函数符号进行说明,大部分的学生对于图像对称的认识只是一种感性上的认识。

(4)对于函数图像之间的对称性的认知状况,学生对互为反函数的两个函数的对称性基本应用情况掌握比较好,但大都只处于操作的阶段,没有形成稳定的图示的认知；对其他函数之间的对称性则掌握的较差。

所以,在我们数学教学中,要让学生在理解的基础上学习函数对称性,加强对对称性这一基本的思想方法的介绍和培养,努力提高学生的数学修养和能力,提高他们学习数学的兴趣和创新精神。

5.期刊论文 陈琼. CHEN Qiong 积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用 -洛阳工业高等专科学校学报2007,17(3)

定积分的计算是高等数学的重要内容之一,但在积分计算时可以结合积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算.

6.期刊论文 温和群. 王绍峰 函数的奇偶性、对称性、周期性三者关系的探究 -教育实践与研究2006,""(10)

函数的奇偶性、对称性、周期性是函数的重要性质,这三种之间是否存在着某种联系,本文对此进行了探索.

7.期刊论文 马巧云. 胡丽平. Ma Qiaoyun. Hu Liping 区域对称性和函数奇偶性在积分计算中的应用 -河南科学2008,26(12)

积分区域的对称性和被积函数的奇偶性不仅体现了数学美,而且可以使积分的计算变得简单又方便,通过对积分区域的对称性和被积函数的奇偶性的讨论,从积分区域关于坐标平面、坐标轴和坐标原点对称出发,建立了简化各类积分计算的常见公式,并用例子展示了公式的有效性.

8.期刊论文 王胜忠 利用对称变化,探究函数推导问题 -中国科技纵横2010,""(1)

对称性是函数的一个重要性质,利用函数的对称性可进行函数的最值推导、取值范围的推导,单调区间的确定和解析式的确定.同时还有函数图形对称性的证明,这些都是中学数学的重要内容.都有待我们去深入探究.本文利用二次函数的对称性和函数奇偶性的对称性进行推导,并试图进行函数图象的对称性证明.

9.期刊论文 刘洁. 戴长城. LIU Jie. DAI Chang-cheng 对称性在积分计算中的应用 -邵阳学院学报(自然科学版)2008,5(4)

本文给出了被积函数的奇偶性、积分区域的对称性及轮换对称性计算积分的几个定理和性质.并介绍了这些定理和性质在各种积分中的应用.

10.期刊论文 徐海娜 对称性在曲线积分计算中的应用 -科技信息（学术版）2008,""(3)

针对如何简化曲线积分的计算,提出了利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性及利用积分曲线关于积分变量的轮换对称性这两种方法,在解题中适当使用,能达到"事半功倍 "的效果.

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_cdmzzyjsxyxb200504039.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d0a283fe-5d52-4916-b374-9dc9015f18d8

下载时间：2010年8月5日

对称性在曲线积分中的应用

!

摘

江苏宿迁师范杨瑜

要" 本文给出了对称性在第二类曲线积分中的命题及证明#并举例说明在曲线积分计算中巧妙利用对称

性#可以减少一些繁琐的计算#提高解题的效率$

关键词" 对称性%奇偶性%曲线积分中图分类号" () *’&’一5命题及证明

根据被积函数的奇偶性和积分曲线的对称性有如下命题$

命题" 设6为平面上分段光滑的定向曲线#1#3#789:在6上连续$1#389

若6关于8轴对称#则1’3

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其中#’为6在右半平面或上半面部分$6

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同理可以证明" +, 由5+, " +又可以推出; +, 对于命题) " +) ; +的证明, 与) 5+

的证法类似, 此处略证4二

例5=计算>?-) %"

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解=由于曲线G 关于H 轴对称, 且

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A B C " %. 是关于1的偶函数2

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解=由于G 关于1轴对称, 且" . " , %J

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法一+将原式分成两部分因第一个积分, 曲线G 是关于H 轴对称, 且走向相反, 被积函数为1的偶函数2第二个积分, 曲线G 关于1轴对称, 且走向相反, 被积函数为H 的偶函数, 由命题) 5+) " +知, 其值均等于:,

即∫

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&:) 法二+如图, G 关于原点对称, 且#) %, . +&I ) %, . +&L %L 6L . L 6%

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是关于) H , 1+的偶函数,

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&:三

在高等数学中, 巧妙利用对称性, 不仅可以简化定积分

显, 本文仅介绍对称性在第二类) 对坐标的+曲线积分计算中的应用4参考文献=

@5F 同济大学数学教研室M 高等数学) 下册+@N F

M 北京=高等教育出版社, 5O O P

@" F 毛纲源M 高等数学解题方法技巧归纳) 下册+@N F

M 武汉=华中科技大学出版社, " ::"

收稿日期=" ::Q -:O -" R

作者简介=杨瑜) 5O R P -+,

女, 江苏宿迁人, 主要从事基础数学研究

4

对称性在曲线积分中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

杨瑜， Yang Yu

承德职业学院学报

JOURNAL OF CHENGDE VOCATIONAL COLLEGE2005，10(4)0次

参考文献(2条)

1. 同济大学数学教研室 高等数学 19962. 毛纲源 高等数学解题方法技巧归纳 2002

相似文献(10条)

1.期刊论文 王建英 函数的奇偶性、对称性、周期性及其相关关系分析 -科技风2009,""(7)

研究初函数,免不了要研究其奇偶性、对称性、周期性,这其中每一种性质都有独特的代数体现(函数方程)和几何特征,而且,三性之间又有关联:奇偶性反映了特殊的对称关系;多重对称的函数又会呈现出周期性.文章力图说清楚两个方面的问题:其一,对每一种性质,如何正确理解其代数特征与几何物征的的关系;其二,这三种性质相关联时的代数与几何特征如何体现.

2.期刊论文 司兴海. SI Xing-hai 利用函数奇偶性和积分区域对称性计算重积分 -菏泽学院学报2009,31(2)

对于多元函数,利用函数关于某个变量的奇偶性及积分区域的对称性,可简化重积分的计算.

3.期刊论文 王洁 对称性和奇偶性在积分中的应用 -成功（教育版）2008,""(6)

在定积分和重积分的计算中,恰当地利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,可以使积分运算大大简化,并通过具体例子表明这些结论是十分有效的.

4.学位论文 王小杭 高一学生函数对称性的认知研究 2008

在我们的数学学习中,对称性是一种非常重要的思想、方法和内容。到高中时,出现最早的与对称性很密切的内容就是函数图像的对称性,它是我们研究函数时最重要的性质之一。我们通过对三所高中的131名高一学生的问卷调查和个别访谈,考察学生对数学中对称性的态度与认识和对函数对称性的认知情况,得出以下结论：

(1)有超过94％的高一学生认为对称性在数学中占有重要或者比较重要的位置,92％的学生认为对称性的思想方法对自己的数学学习有很大或者比较大的帮助,也有80％以上的学生对数学中的对称性是有所了解的,但学生对于数学中对称性的认识还大都是一种自发的状态,处于潜意识的状态,认识比较简单,知识面很窄。

(2)在学生对函数奇偶性的概念表象中,以图像认知为主,约占45％,然后是符号认知,约占31％。但是学生对概念表述相对比较单一,不能用多种数学语言进行理解和表述,严重影响了学生对函数奇偶性概念的认知水平。

(3)学生在对利用函数本身具备对称性解决问题时,判断奇偶性时对分段函数和抽象函数的应用较差：对利用函数的对称图像的一半来补全图像并分析问题的时候,很多的学生无法补全图像：对二次函数对称性的应用不够灵活；学生对使用抽象的函数符号判断推理的能力还是很差；在学生对函数图像对称的理性认知调查中,我们发现有14％的学生可以真正的理解图像的对称性并且可以用抽象的函数符号进行说明,大部分的学生对于图像对称的认识只是一种感性上的认识。

(4)对于函数图像之间的对称性的认知状况,学生对互为反函数的两个函数的对称性基本应用情况掌握比较好,但大都只处于操作的阶段,没有形成稳定的图示的认知；对其他函数之间的对称性则掌握的较差。

所以,在我们数学教学中,要让学生在理解的基础上学习函数对称性,加强对对称性这一基本的思想方法的介绍和培养,努力提高学生的数学修养和能力,提高他们学习数学的兴趣和创新精神。

5.期刊论文 陈琼. CHEN Qiong 积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用 -洛阳工业高等专科学校学报2007,17(3)

定积分的计算是高等数学的重要内容之一,但在积分计算时可以结合积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算.

6.期刊论文 温和群. 王绍峰 函数的奇偶性、对称性、周期性三者关系的探究 -教育实践与研究2006,""(10)

函数的奇偶性、对称性、周期性是函数的重要性质,这三种之间是否存在着某种联系,本文对此进行了探索.

7.期刊论文 马巧云. 胡丽平. Ma Qiaoyun. Hu Liping 区域对称性和函数奇偶性在积分计算中的应用 -河南科学2008,26(12)

积分区域的对称性和被积函数的奇偶性不仅体现了数学美,而且可以使积分的计算变得简单又方便,通过对积分区域的对称性和被积函数的奇偶性的讨论,从积分区域关于坐标平面、坐标轴和坐标原点对称出发,建立了简化各类积分计算的常见公式,并用例子展示了公式的有效性.

8.期刊论文 王胜忠 利用对称变化,探究函数推导问题 -中国科技纵横2010,""(1)

对称性是函数的一个重要性质,利用函数的对称性可进行函数的最值推导、取值范围的推导,单调区间的确定和解析式的确定.同时还有函数图形对称性的证明,这些都是中学数学的重要内容.都有待我们去深入探究.本文利用二次函数的对称性和函数奇偶性的对称性进行推导,并试图进行函数图象的对称性证明.

9.期刊论文 刘洁. 戴长城. LIU Jie. DAI Chang-cheng 对称性在积分计算中的应用 -邵阳学院学报(自然科学版)2008,5(4)

本文给出了被积函数的奇偶性、积分区域的对称性及轮换对称性计算积分的几个定理和性质.并介绍了这些定理和性质在各种积分中的应用.

10.期刊论文 徐海娜 对称性在曲线积分计算中的应用 -科技信息（学术版）2008,""(3)

针对如何简化曲线积分的计算,提出了利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性及利用积分曲线关于积分变量的轮换对称性这两种方法,在解题中适当使用,能达到"事半功倍 "的效果.

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_cdmzzyjsxyxb200504039.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d0a283fe-5d52-4916-b374-9dc9015f18d8

下载时间：2010年8月5日