函数与导数解题方法知识点技巧总结
1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上) 有以下题型：
（1）求曲线y =f (x ) 在某点出的切线的方程
（2）求函数的解析式
（3）讨论函数的单调性，求单调区间
（4）求函数的极值点和极值
（5）求函数的最值或值域
（6）求参数的取值范围
（7）证明不等式
（8）函数应用问题
2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
（1）曲线y =f (x ) 在x =x 0处的切线的斜率等于f '(x 0) ，且切线方程为y =f '(x 0)(x -x 0) +f (x 0) 。
（2）若可导函数y =f (x ) 在x =x 0处取得极值，则f '(x 0) =0。反之不成立。
（3）对于可导函数f (x ) ，不等式f '(x ) >0(
（4）函数f (x ) 在区间I 上递增（减）的充要条件是：∀x ∈I , f '(x ) ≥0(≤0) 恒成立（f '(x ) 不恒为0）.
（5）若函数f (x ) 在区间I 上有极值，则方程f '(x ) =0在区间I 上有实根且非二重根。（若f '(x ) 为二次
函数且I =R ，则有∆>0）。
（6）若函数f (x ) 在区间I 上不单调且不为常量函数, 则f (x ) 在I 上有极值。
（7）若∀x ∈I , f (x ) >0恒成立，则f (x ) min >0；若∀x ∈I , f (x )
（8）若∃x 0∈I 使得f (x 0) >0，则f (x ) max >0；若∃x 0∈I 使得f (x 0)
（9）设f (x ) 与g (x ) 的定义域的交集为I ，若∀x ∈I , f (x ) >g (x ) 恒成立，则有[f (x ) -g (x )]min >0.
（10）若对∀x 1∈I 1, x 2∈I 2, f (x 1) >g (x 2) 恒成立，则f (x ) min >g (x ) max .
若对∀x 1∈I 1, ∃x 2∈I 2，使得f (x 1) >g (x 2) ，则f (x ) min >g (x ) min .
若对∀x 1∈I 1, ∃x 2∈I 2，使得f (x 1)
（11）已知f (x ) 在区间I 1上的值域为A , g (x ) 在区间I 2上值域为B ，若对∀x 1∈I 1, ∃x 2∈I 2使得
f (x 1) =g (x 2) 成立，则A ⊆B 。
（12）若三次函数f (x ) 有三个零点，则方程f '(x ) =0有两个不等实根x 1, x 2且f (x 1) f (x 2)
（13）证题中常用的不等式:
①ln x ≤x -1(x >0) （仅当x =1时取“=”）
②ln(x +1) ≤x (x >-1) （仅当x =0时取“=”）
③ln(1+x 2) 0) ln x x -11) x +12
ln x 11⑤20) x 22x ④
⑥e ≥1+x
⑦e -x x ≥1-x
3. 函数与导数解答题常见题型的解法
（1）已知曲线y =f (x ) （含参数）的切线方程为y =kx +b ，求参数的值
【解法】先设切点坐标为(x 0, y 0) ，求出切线方程 y =f '(x 0)(x -x 0) +f (x 0)
⎧f '(x 0) =k 再与已知切线方程比较系数得: ⎨, 解此方程组可求参数的值 '⎩-xf (x 0) +f (x 0) =b
（2）已知函数y =f (x ) （含参数），讨论函数的单调性
【解法】先确定f (x ) 的定义域，并求出f '(x ) ，观察f '(x ) 能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果
能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令f '(x ) =0，求根x 1, x 2. 再分层讨论，是否在定义域内或讨论x 1, x 2的大小关系，再列表讨论，确定f (x ) 的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）
（3）已知函数y =f (x ) （含参数）在区间I 上有极值，求参数的取值范围.
【解法】函数f (x ) 在区间I 上有极值，可转化为方程f '(x ) =0在区间I 上有实根，且为非二重根。
从而确定参数（或其取值范围）。
（4）可导函数f (x ) （含参数）在区间I 上无极值，求参数的取值范围
【解法】f (x ) 在区间I 上无极值等价于f (x ) 在区间在上是单调函数，进而得到f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0在
I 上恒成立
（5） 函数f (x ) （含单个或多个参数）仅在x =x 0时取得极值，求参数的范围
【解法】先由f '(x ) =0，求参数间的关系，再将f '(x ) 表示成f '(x ) =(x -x 0) g (x ) ，再由g (x ) ≥0(≤0)
恒成立，求参数的范围。（此类问题中f '(x ) 一般为三次多项式函数）
（6） 函数f (x ) （含参数）在区间I 上不单调，求参数的取值范围
【解法一】转化为f (x ) 在I 上有极值。（即f '(x ) =0 在区间I 上有实根且为非二重根）。
【解法二】从反面考虑：假设f (x ) 在I 上单调则f '(x ) ≥0(≤0) 在I 上恒成立，求出参数的取值范围，
再求参数的取值范围的补集
（0成立，求参数的取值范围.
【解法一】转化为f (x ) 在I 上的最大值大于0（最小值小于0）
【解法二】从反面考虑：假设对∀x ∈I ，f (x ) ≤0(≥0) 恒成立则 f (x ) max ≤0 （f (x ) min ≥0）, 求参数
的取值范围，再求参数的取值范围的补集
（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围
【解法一】分离参数求最值
【解法二】构造函数用图像
注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化为单变量不等式恒成立
问题
（9）可导函数f (x ) （含参数）在定义域上存在单调递增(减) 区间， 求参数的范围.
（0在定义域上有解即∃x 0∈I 使f (x 0) >0成立
（1）可用分离参数法（2）利用图像及性质
（10）证明不等式
【解法】构造函数f (x ) 并确定定义域I ，考察在I 上的单调性（注意区间端点的函数值）或者求f (x ) 在
I 上的最值
注：对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式，确定要证明的函数不
2, 定式，再对自变量x 赋值，令x 分别等于1, , n , 把这些不定式累加，可得要证的不定式。）
函数与导数解题方法知识点技巧总结
1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上) 有以下题型：
（1）求曲线y =f (x ) 在某点出的切线的方程
（2）求函数的解析式
（3）讨论函数的单调性，求单调区间
（4）求函数的极值点和极值
（5）求函数的最值或值域
（6）求参数的取值范围
（7）证明不等式
（8）函数应用问题
2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
（1）曲线y =f (x ) 在x =x 0处的切线的斜率等于f '(x 0) ，且切线方程为y =f '(x 0)(x -x 0) +f (x 0) 。
（2）若可导函数y =f (x ) 在x =x 0处取得极值，则f '(x 0) =0。反之不成立。
（3）对于可导函数f (x ) ，不等式f '(x ) >0(
（4）函数f (x ) 在区间I 上递增（减）的充要条件是：∀x ∈I , f '(x ) ≥0(≤0) 恒成立（f '(x ) 不恒为0）.
（5）若函数f (x ) 在区间I 上有极值，则方程f '(x ) =0在区间I 上有实根且非二重根。（若f '(x ) 为二次
函数且I =R ，则有∆>0）。
（6）若函数f (x ) 在区间I 上不单调且不为常量函数, 则f (x ) 在I 上有极值。
（7）若∀x ∈I , f (x ) >0恒成立，则f (x ) min >0；若∀x ∈I , f (x )
（8）若∃x 0∈I 使得f (x 0) >0，则f (x ) max >0；若∃x 0∈I 使得f (x 0)
（9）设f (x ) 与g (x ) 的定义域的交集为I ，若∀x ∈I , f (x ) >g (x ) 恒成立，则有[f (x ) -g (x )]min >0.
（10）若对∀x 1∈I 1, x 2∈I 2, f (x 1) >g (x 2) 恒成立，则f (x ) min >g (x ) max .
若对∀x 1∈I 1, ∃x 2∈I 2，使得f (x 1) >g (x 2) ，则f (x ) min >g (x ) min .
若对∀x 1∈I 1, ∃x 2∈I 2，使得f (x 1)
（11）已知f (x ) 在区间I 1上的值域为A , g (x ) 在区间I 2上值域为B ，若对∀x 1∈I 1, ∃x 2∈I 2使得
f (x 1) =g (x 2) 成立，则A ⊆B 。
（12）若三次函数f (x ) 有三个零点，则方程f '(x ) =0有两个不等实根x 1, x 2且f (x 1) f (x 2)
（13）证题中常用的不等式:
①ln x ≤x -1(x >0) （仅当x =1时取“=”）
②ln(x +1) ≤x (x >-1) （仅当x =0时取“=”）
③ln(1+x 2) 0) ln x x -11) x +12
ln x 11⑤20) x 22x ④
⑥e ≥1+x
⑦e -x x ≥1-x
3. 函数与导数解答题常见题型的解法
（1）已知曲线y =f (x ) （含参数）的切线方程为y =kx +b ，求参数的值
【解法】先设切点坐标为(x 0, y 0) ，求出切线方程 y =f '(x 0)(x -x 0) +f (x 0)
⎧f '(x 0) =k 再与已知切线方程比较系数得: ⎨, 解此方程组可求参数的值 '⎩-xf (x 0) +f (x 0) =b
（2）已知函数y =f (x ) （含参数），讨论函数的单调性
【解法】先确定f (x ) 的定义域，并求出f '(x ) ，观察f '(x ) 能否恒大于或等于（恒小于或等于）0，如果
能，则求参数的范围，讨论便从这里开始，当参数在上述范围以外取值时，令f '(x ) =0，求根x 1, x 2. 再分层讨论，是否在定义域内或讨论x 1, x 2的大小关系，再列表讨论，确定f (x ) 的单调区间。（大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此讨论函数单调性问题又往往是讨论二次函数在某一区间上的符号问题）
（3）已知函数y =f (x ) （含参数）在区间I 上有极值，求参数的取值范围.
【解法】函数f (x ) 在区间I 上有极值，可转化为方程f '(x ) =0在区间I 上有实根，且为非二重根。
从而确定参数（或其取值范围）。
（4）可导函数f (x ) （含参数）在区间I 上无极值，求参数的取值范围
【解法】f (x ) 在区间I 上无极值等价于f (x ) 在区间在上是单调函数，进而得到f '(x ) ≥0或f '(x ) ≤0在
I 上恒成立
（5） 函数f (x ) （含单个或多个参数）仅在x =x 0时取得极值，求参数的范围
【解法】先由f '(x ) =0，求参数间的关系，再将f '(x ) 表示成f '(x ) =(x -x 0) g (x ) ，再由g (x ) ≥0(≤0)
恒成立，求参数的范围。（此类问题中f '(x ) 一般为三次多项式函数）
（6） 函数f (x ) （含参数）在区间I 上不单调，求参数的取值范围
【解法一】转化为f (x ) 在I 上有极值。（即f '(x ) =0 在区间I 上有实根且为非二重根）。
【解法二】从反面考虑：假设f (x ) 在I 上单调则f '(x ) ≥0(≤0) 在I 上恒成立，求出参数的取值范围，
再求参数的取值范围的补集
（0成立，求参数的取值范围.
【解法一】转化为f (x ) 在I 上的最大值大于0（最小值小于0）
【解法二】从反面考虑：假设对∀x ∈I ，f (x ) ≤0(≥0) 恒成立则 f (x ) max ≤0 （f (x ) min ≥0）, 求参数
的取值范围，再求参数的取值范围的补集
（8）含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围
【解法一】分离参数求最值
【解法二】构造函数用图像
注：对于多变量不等式恒成立，先将不等式变形，利用函数的最值消变元，转化为单变量不等式恒成立
问题
（9）可导函数f (x ) （含参数）在定义域上存在单调递增(减) 区间， 求参数的范围.
（0在定义域上有解即∃x 0∈I 使f (x 0) >0成立
（1）可用分离参数法（2）利用图像及性质
（10）证明不等式
【解法】构造函数f (x ) 并确定定义域I ，考察在I 上的单调性（注意区间端点的函数值）或者求f (x ) 在
I 上的最值
注：对于含有正整数n 的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式，确定要证明的函数不
2, 定式，再对自变量x 赋值，令x 分别等于1, , n , 把这些不定式累加，可得要证的不定式。）