§3.1 导数的概念及运算
1． 函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率
f (x 2)－f (x 1)
函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率为，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ，则平
x 2－x 1Δy
.
Δx 2． 函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数
(1)定义
称函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →
Δx 0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
lim y ＝f (x ) 在x Δx Δx →0Δx
Δx 0
＝x 0处的导数，记作f ′(x 0) 或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝lim →(2)几何意义
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
＝lim . Δx Δx →0Δx
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y ＝f (x ) 率．相应地，切线方程为y －f (x ) ． 3． 函数f (x ) 的导函数
称函数f ′(x ) ＝lim →
Δx 0
f (x ＋Δx )－f (x )
f (x ) 的导函数，导函数有时也记作y ′.
Δx
4． 基本初等函数的导数公式
5． 导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝ (2)[f (x )·g (x )]′＝ (3)⎡
f (x )⎣g (x )f ′(⎦′＝x )g (x )－f (x )g ′(x )
[g (x )] (g (x ) ≠0) ．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f ′(x 0) 与(f (x 0)) ′表示的意义相同．
( ×(2)求f ′(x 0) 时，可先求f (x 0) 再求f ′(x 0) ．
( ×(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
( √(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( ×(5)若f (x ) ＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x ) ＝3a 2＋2x . ( ×(6)函数f (x ) ＝x 2ln x 的导函数为f ′(x ) ＝2x 1
x
2.
( ×2． (2013·江西) 设函数f (x ) 在(0，＋∞) 内可导，且f (ex ) ＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.
答案 2
解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t ) ＝ln t ＋t ∴f ′(t ) ＝1
t ＋1，
∴f ′(1)＝2.
3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b ) 处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值 是 ( )
A ．－1
B ．±1
C ．1
D ．±3
) ) ) ) ) )
答案 B
解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 1
又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－＝－1，
3∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.
4． 如图所示为函数y ＝f (x ) ，y ＝g (x ) 的导函数的图象，那么y ＝f (x ) ，y ＝g (x ) 的图象可能是
(
)
答案 D
解析 由y ＝f ′(x ) 的图象知y ＝f ′(x ) 在(0，＋∞) 上单调递减，
说明函数y ＝f (x ) 的切线的斜率在(0，＋∞) 上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图象知y ＝f ′(x ) 与y ＝g ′(x ) 的图象在x ＝x 0处相交，
说明y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B. 故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝
4
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是e ＋1
________．
3
答案 [π，π)
4
－4e x －4e x 4
解析 ∵y ＝∴y ′e ＋1(e ＋1)e ＋2e ＋11
∵e x >0，∴e x 2，
e
∴y ′[－1,0) ，∴tan α[－1,0) ．
3π
又α[0，π) ，∴α[，π) ．
4
－4
. 1x
e 2
e
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f (x ) ＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x ) ＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x ) ＝x 3的交点．
思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． f (x )－f (x 0)x 3－x 30
解 f ′(x 0) ＝x lim lim →x 0x －x 0x →x 0x －x 0222＝x lim →x 0 (x ＋xx 0＋x 0) ＝3x 0.
曲线f (x ) ＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为
2y －x 3(x －x 0) ， 0＝3x 0·
即
⎪3
⎨y ＝3x 2x －2x ，由00
⎧y ＝x 3，⎪⎩y ＝3x 0x －2x 0，
2
3
得(x －x 0) 2(x ＋2x 0) ＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.
3
若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30) ，(－2x 0，－8x 0) ；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．
思维升华 求函数f (x ) 的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ； Δy f (x )－f (x )(2)＝
Δx x 2－x 1(3)计算导数f ′(x ) ＝lim →
Δx 0
Δy
Δx
1Δy
(1)函数y ＝x ＋[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率＝________；该函数在x ＝1
x Δx
处的导数是________．
(2)若函数y ＝f (x ) 在区间(a ，b ) 内可导，且x 0(a ，b ) ，则lim →
h 0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
的值为
h
( )
A ．f ′(x 0)
B ．2f ′(x 0) D ．0
C ．－2f ′(x 0)
1
答案 (1)1－ 0 (2)B
x (x ＋Δx )11
解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx ) ＋－x －x x ＋Δx －Δx 11
＝Δx ＋Δx .
x ＋Δx x x (x ＋Δx )Δy 1Δy
∴＝1－y ′|x ＝1＝lim ＝0. Δx Δx →0Δx x (x ＋Δx )(2)lim →
h 0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
h f (x 0＋h )－f (x 0－h )
2h
＝2×lim →
h 0
＝2f ′(x 0) ． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝e x ·ln x ； 11
x 2＋； (2)y ＝x ⎛x x ⎝
思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 11
解 (1)y ′＝(ex ·ln x ) ′＝e x ln x ＋e x e x (ln x ＋) ．
x x 12
(2)∵y ＝x 3＋1＋∴y ′＝3x 2－x x
思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
求下列函数的导数． (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ； x x
(2)y ＝sin (1－2cos 2) ；
24
解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.
方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ′ ＝[(x ＋1) ′(x ＋2) ＋(x ＋1)(x ＋2) ′](x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.
x x 1
(2)∵y ＝sin (－cos ＝－sin x ，
222
111
∴y ′＝(sin x ) ′x ) ′＝－x .
222题型三 导数的几何意义
例3 已知函数f (x ) ＝x 3－4x 2＋5x －4.
(1)求曲线f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2) 的曲线f (x ) 的切线方程．
思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．
解 (1)∵f ′(x ) ＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，
∴曲线f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2) ＝x －2， 即x －y －4＝0.
2
(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 0＋5x 0－4) ，
∵f ′(x 0) ＝3x 20－8x 0＋5，
∴切线方程为y －(－2) ＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2) ，
2又切线过点(x 0，x 30－4x 0＋5x 0－4) ， 32∴x 0－4x 20＋5x 0－2＝(3x 0－8x 0＋5)(x 0－2) ，
整理得(x 0－2) 2(x 0－1) ＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，
∴经过A (2，－2) 的曲线f (x ) 的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：
(1)当曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x ) 在点P (x 0，f (x 0)) 处的切线方程是y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0) ；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1) 处与直线y ＝x －3
相切，求实数a 、b 、c 的值． 解 ∵y ′＝2ax ＋b ，
∴抛物线在点Q (2，－1) 处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1. ①
又∵点P (1,1)、Q (2，－1) 在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1. ③
a ＝3，⎧⎪
联立①②③解方程组，得⎨b ＝－11，
⎪⎩c ＝9.
∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.
一审条件挖隐含
典例：(12分) 设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．
审题路线图
C 1与C 2有交点
↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)
(2x 0－2)(－2x 0＋a ) ＝－1① ↓(交点(x 0，y 0) 适合解析式)
2
⎧⎪y 0＝x 0－2x 0＋2⎨，即2x 20－(a ＋2) x 0＋2－b ＝0 ② 2
⎪y 0＝－x 0＋ax 0＋b ⎩
↓(注意隐含条件方程①②同解) 5a ＋b ＝
2↓(消元)
5⎫525－a ＝－⎛a 2＋ ab ＝a ⎛⎝2⎭⎝416525
当a ＝时，ab 最大且最大值为.
416规范解答
解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0) ，
由题意知过交点(x 0，y 0) 的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a ) ＝－1， 即4x 20－2(a ＋2) x 0＋2a －1＝0①
又点(x 0，y 0) 在C 1与C 2上，
2
⎧⎪y 0＝x 0－2x 0＋2故有⎨ 2
⎪y ＝－x ＋ax ＋b ⎩000
⇒2x 20－(a ＋2) x 0＋2－b ＝0② 5
由①②消去x 0，可得a ＋b ＝.[6分]
25
(2)由(1)知：b ＝－a ，
2
5⎫525
a ＝－⎛a －⎫2＋.[9分] ∴ab ＝a ⎛⎝2⎭⎝4⎭16525
∴当a (ab ) 最大值＝.[12分]
416
温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0) ，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程
.
方法与技巧
1． f ′(x 0) 代表函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0)) ′是函数值f (x 0) 的导数，而函数值f (x 0)
是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0)) ′＝0.
2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的
应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范
1． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者
包括了前者．
3． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别
.
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题
1． 设f (x ) ＝x ln x ，若f ′(x 0) ＝2，则x 0的值为
( )
A ．e 2 答案 B
B ．e
ln 2C. 2
D ．ln 2
解析 由f (x ) ＝x ln x 得f ′(x ) ＝ln x ＋1.
根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x ) ＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1) 等于
A ．－1 答案 B
解析 f ′(x ) ＝4ax 3＋2bx ，
∵f ′(x ) 为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1) ＝－2.
3． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为
A ．4x －y －3＝0 C ．4x －y ＋3＝0 答案 A
解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0) ，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，
即y －1＝4(x －1) ，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.
4． 曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为
1
A. 12答案 B
解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，
所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1) ， 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 2
三个交点的坐标分别是(，0) ，(1,0)，(1,1)，
3121
于是三角形的面积为(1－) ×1＝，故选B.
236
5． 已知f 1(x ) ＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x ) 是f n (x ) 的导函数，即f 2(x ) ＝f 1′(x ) ，f 3(x ) ＝f 2′(x ) ，„，f n
＋1
( )
B ．－2 C ．2 D ．0
( )
B ．x ＋4y －5＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0
( )
1B. 6
1C. 3
1D. 2
(x ) ＝f n ′(x ) ，n N *，则f 2 015(x ) 等于
( )
A ．－sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x 答案 A
B ．sin x －cos x D ．sin x ＋cos x
解析 ∵f 1(x ) ＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x ) ＝f 1′(x ) ＝cos x －sin x ， ∴f 3(x ) ＝f 2′(x ) ＝－sin x －cos x ，
∴f 4(x ) ＝f 3′(x ) ＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x ) ＝f 4′(x ) ＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x ) 是以4为周期的函数，
∴f 2 015(x ) ＝f 3(x ) ＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题
6． 已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.
答案 6
解析 对f (x ) ＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x ) ＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.
再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.
7． 已知函数y ＝f (x ) 及其导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则曲线y ＝
f (x ) 在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x ) 在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.
1
8． 若函数f (x ) ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
2
答案 [2，＋∞)
11
解析 ∵f (x ) ＝x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x ) ＝x －a ＋.
2x ∵f (x ) 存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x ) 存在零点， 11
x ＋a ＝0，∴a ＝x ＋2. x x 三、解答题
9． 求下列函数的导数．
(1)y ＝x n lg x ； 121(2)y
x x x sin x (3)y ；
x
1－
解 (1)y ′＝nx n 1lg x ＋x n
x ln 10＝x n 1(n lg x ＋
－
1
．
ln 10
121(2)y ′＝(′＋) ′＋(′ x x x ＝(x 1) ′＋(2x 2) ′＋(x 3) ′ －－－
＝－x 2－4x 3－3x 4 －－－
143＝－x x x x n (sin x )′－(x n )′sin x sin x (3)y ′＝() ′＝x x x n cos x －nx n 1sin x ＝x －
＝x cos x －n sin x ＋x 1410．已知曲线y ＝x 3＋. 33
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．
14解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝x 3＋上，且y ′＝x 2， 33
∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.
∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2) ，
即4x －y －4＝0.
1414x 0，x 3(2)设曲线y ＝x 3与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎛0，则切线的斜率为y ′|x 33⎝33
＝x 0＝x 20.
1342∴切线方程为y －30＋3＝x 0(x －x 0) ，
24即y ＝x 2x －x 30·0＋. 33
234∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－x 0＋， 33
2322即x 30－3x 0＋4＝0，∴x 0＋x 0－4x 0＋4＝0，
2∴x 0(x 0＋1) －4(x 0＋1)(x 0－1) ＝0，
∴(x 0＋1)(x 0－2) 2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，
故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
π1． 在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于4
数的点的个数是 ( )
A ．0
答案 A B ．1 C ．2 D ．3
解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′
显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的
π0，选A. 4
2． 若函数f (x ) ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x ) 的大致图象是 (
)
答案 A
b b x ＋2－c ， 解析 ∵f (x ) ＝x ＋bx ＋c ＝⎛⎝2422b 由f (x ) 的图象的顶点在第四象限得－>0，∴b
又f ′(x ) ＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.
3． 已知曲线C ：f (x ) ＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的
倾斜角互补，则a 的值为________．
答案 27 8
解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a ) ．
由题意知，f ′(x ) ＝3x 2－a ，
切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①
所以切线方程为y －(t 3－at ＋a ) ＝(3t 2－a )(x －t ) ．②
将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a ) ＝(3t 2－a )(1－t ) ，
3解之得，t ＝0或t ＝2
327分别将t ＝0和t ①式，得k ＝－a 和k ＝－a ， 24
27由题意得它们互为相反数得a ＝. 8
b 4． 设函数f (x ) ＝ax －，曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. x
(1)求f (x ) 的解析式；
(2)曲线f (x ) 上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
7解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝x －3. 4
1b 当x ＝2时，y ＝又f ′(x ) ＝a ＋， 2x ⎧于是⎨b 7a ⎩44b 12a －22 ⎧a ＝1，⎪3 解得⎨故f (x ) ＝x －x ⎪⎩b ＝3.
3(2)设P (x 0，y 0) 为曲线上任一点，由y ′＝1＋知曲线在点P (x 0，y 0) 处的切线方程为y －x 31＋(x －x 0) ， y 0＝⎛⎝x 0
33x 0－＝⎛1＋(x －x 0) ． 即y －⎛x ⎝x ⎝00
6令x ＝0，得y ＝－， x 0
60，－. 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎛x ⎝0
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0, 2x 0) ．
61－⎪|2x 0|所以点P (x 0，y 0) 处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝⎪2⎪x 0⎪
＝6.
故曲线y ＝f (x ) 上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
95． 设有抛物线C ：y ＝－x 2＋－4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． 2
(1)求k 的值；
(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．
解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1) ，则y 1＝kx 1，①
9y 1＝－x 2＋－4，② 121
9①代入②得x 2＋(k －) x ＋4＝0. 121
9171∵P 为切点，∴Δ＝(k －2－16＝0得k ＝k ＝. 222
17当k ＝时，x 1＝－2，y 1＝－17. 2
1当k ＝x 1＝2，y 1＝1. 2
1∵P 在第一象限，∴所求的斜率k 2
(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. ③ 将③代入抛物线方程得x 2－13x ＋9＝0. 2
设Q 点的坐标为(x 2，y 2) ，即2x 2＝9，
∴x ＝922，y 2＝－4.
∴Q 点的坐标为924) ．
§3.1 导数的概念及运算
1． 函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率
f (x 2)－f (x 1)
函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率为，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ，则平
x 2－x 1Δy
.
Δx 2． 函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的导数
(1)定义
称函数y ＝f (x ) 在x ＝x 0处的瞬时变化率lim →
Δx 0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
lim y ＝f (x ) 在x Δx Δx →0Δx
Δx 0
＝x 0处的导数，记作f ′(x 0) 或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0) ＝lim →(2)几何意义
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δy
＝lim . Δx Δx →0Δx
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是在曲线y ＝f (x ) 率．相应地，切线方程为y －f (x ) ． 3． 函数f (x ) 的导函数
称函数f ′(x ) ＝lim →
Δx 0
f (x ＋Δx )－f (x )
f (x ) 的导函数，导函数有时也记作y ′.
Δx
4． 基本初等函数的导数公式
5． 导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝ (2)[f (x )·g (x )]′＝ (3)⎡
f (x )⎣g (x )f ′(⎦′＝x )g (x )－f (x )g ′(x )
[g (x )] (g (x ) ≠0) ．
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f ′(x 0) 与(f (x 0)) ′表示的意义相同．
( ×(2)求f ′(x 0) 时，可先求f (x 0) 再求f ′(x 0) ．
( ×(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
( √(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( ×(5)若f (x ) ＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x ) ＝3a 2＋2x . ( ×(6)函数f (x ) ＝x 2ln x 的导函数为f ′(x ) ＝2x 1
x
2.
( ×2． (2013·江西) 设函数f (x ) 在(0，＋∞) 内可导，且f (ex ) ＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.
答案 2
解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t ) ＝ln t ＋t ∴f ′(t ) ＝1
t ＋1，
∴f ′(1)＝2.
3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b ) 处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值 是 ( )
A ．－1
B ．±1
C ．1
D ．±3
) ) ) ) ) )
答案 B
解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 1
又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－＝－1，
3∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.
4． 如图所示为函数y ＝f (x ) ，y ＝g (x ) 的导函数的图象，那么y ＝f (x ) ，y ＝g (x ) 的图象可能是
(
)
答案 D
解析 由y ＝f ′(x ) 的图象知y ＝f ′(x ) 在(0，＋∞) 上单调递减，
说明函数y ＝f (x ) 的切线的斜率在(0，＋∞) 上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图象知y ＝f ′(x ) 与y ＝g ′(x ) 的图象在x ＝x 0处相交，
说明y ＝f (x ) 与y ＝g (x ) 的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B. 故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝
4
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是e ＋1
________．
3
答案 [π，π)
4
－4e x －4e x 4
解析 ∵y ＝∴y ′e ＋1(e ＋1)e ＋2e ＋11
∵e x >0，∴e x 2，
e
∴y ′[－1,0) ，∴tan α[－1,0) ．
3π
又α[0，π) ，∴α[，π) ．
4
－4
. 1x
e 2
e
题型一 利用定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f (x ) ＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x ) ＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x ) ＝x 3的交点．
思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． f (x )－f (x 0)x 3－x 30
解 f ′(x 0) ＝x lim lim →x 0x －x 0x →x 0x －x 0222＝x lim →x 0 (x ＋xx 0＋x 0) ＝3x 0.
曲线f (x ) ＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为
2y －x 3(x －x 0) ， 0＝3x 0·
即
⎪3
⎨y ＝3x 2x －2x ，由00
⎧y ＝x 3，⎪⎩y ＝3x 0x －2x 0，
2
3
得(x －x 0) 2(x ＋2x 0) ＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.
3
若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30) ，(－2x 0，－8x 0) ；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．
思维升华 求函数f (x ) 的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2) －f (x 1) ； Δy f (x )－f (x )(2)＝
Δx x 2－x 1(3)计算导数f ′(x ) ＝lim →
Δx 0
Δy
Δx
1Δy
(1)函数y ＝x ＋[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率＝________；该函数在x ＝1
x Δx
处的导数是________．
(2)若函数y ＝f (x ) 在区间(a ，b ) 内可导，且x 0(a ，b ) ，则lim →
h 0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
的值为
h
( )
A ．f ′(x 0)
B ．2f ′(x 0) D ．0
C ．－2f ′(x 0)
1
答案 (1)1－ 0 (2)B
x (x ＋Δx )11
解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx ) ＋－x －x x ＋Δx －Δx 11
＝Δx ＋Δx .
x ＋Δx x x (x ＋Δx )Δy 1Δy
∴＝1－y ′|x ＝1＝lim ＝0. Δx Δx →0Δx x (x ＋Δx )(2)lim →
h 0
f (x 0＋h )－f (x 0－h )
h f (x 0＋h )－f (x 0－h )
2h
＝2×lim →
h 0
＝2f ′(x 0) ． 题型二 导数的运算 例2 求下列函数的导数：
(1)y ＝e x ·ln x ； 11
x 2＋； (2)y ＝x ⎛x x ⎝
思维启迪 求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导． 11
解 (1)y ′＝(ex ·ln x ) ′＝e x ln x ＋e x e x (ln x ＋) ．
x x 12
(2)∵y ＝x 3＋1＋∴y ′＝3x 2－x x
思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；
求下列函数的导数． (1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ； x x
(2)y ＝sin (1－2cos 2) ；
24
解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.
方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ′ ＝[(x ＋1) ′(x ＋2) ＋(x ＋1)(x ＋2) ′](x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3) ＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.
x x 1
(2)∵y ＝sin (－cos ＝－sin x ，
222
111
∴y ′＝(sin x ) ′x ) ′＝－x .
222题型三 导数的几何意义
例3 已知函数f (x ) ＝x 3－4x 2＋5x －4.
(1)求曲线f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2) 的曲线f (x ) 的切线方程．
思维启迪 由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．
解 (1)∵f ′(x ) ＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，
∴曲线f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2) ＝x －2， 即x －y －4＝0.
2
(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 0＋5x 0－4) ，
∵f ′(x 0) ＝3x 20－8x 0＋5，
∴切线方程为y －(－2) ＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2) ，
2又切线过点(x 0，x 30－4x 0＋5x 0－4) ， 32∴x 0－4x 20＋5x 0－2＝(3x 0－8x 0＋5)(x 0－2) ，
整理得(x 0－2) 2(x 0－1) ＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，
∴经过A (2，－2) 的曲线f (x ) 的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华 导数几何意义的应用，需注意以下两点：
(1)当曲线y ＝f (x ) 在点(x 0，f (x 0)) 处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x ) 在点P (x 0，f (x 0)) 处的切线方程是y －f (x 0) ＝f ′(x 0)(x －x 0) ；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1) 处与直线y ＝x －3
相切，求实数a 、b 、c 的值． 解 ∵y ′＝2ax ＋b ，
∴抛物线在点Q (2，－1) 处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝2＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1. ①
又∵点P (1,1)、Q (2，－1) 在抛物线上，∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1. ③
a ＝3，⎧⎪
联立①②③解方程组，得⎨b ＝－11，
⎪⎩c ＝9.
∴实数a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.
一审条件挖隐含
典例：(12分) 设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．
审题路线图
C 1与C 2有交点
↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)
(2x 0－2)(－2x 0＋a ) ＝－1① ↓(交点(x 0，y 0) 适合解析式)
2
⎧⎪y 0＝x 0－2x 0＋2⎨，即2x 20－(a ＋2) x 0＋2－b ＝0 ② 2
⎪y 0＝－x 0＋ax 0＋b ⎩
↓(注意隐含条件方程①②同解) 5a ＋b ＝
2↓(消元)
5⎫525－a ＝－⎛a 2＋ ab ＝a ⎛⎝2⎭⎝416525
当a ＝时，ab 最大且最大值为.
416规范解答
解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，[1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分] 设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0) ，
由题意知过交点(x 0，y 0) 的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a ) ＝－1， 即4x 20－2(a ＋2) x 0＋2a －1＝0①
又点(x 0，y 0) 在C 1与C 2上，
2
⎧⎪y 0＝x 0－2x 0＋2故有⎨ 2
⎪y ＝－x ＋ax ＋b ⎩000
⇒2x 20－(a ＋2) x 0＋2－b ＝0② 5
由①②消去x 0，可得a ＋b ＝.[6分]
25
(2)由(1)知：b ＝－a ，
2
5⎫525
a ＝－⎛a －⎫2＋.[9分] ∴ab ＝a ⎛⎝2⎭⎝4⎭16525
∴当a (ab ) 最大值＝.[12分]
416
温馨提醒 审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0) ，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程
.
方法与技巧
1． f ′(x 0) 代表函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0)) ′是函数值f (x 0) 的导数，而函数值f (x 0)
是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0)) ′＝0.
2． 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的
应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 失误与防范
1． 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2． 求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者
包括了前者．
3． 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别
.
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题
1． 设f (x ) ＝x ln x ，若f ′(x 0) ＝2，则x 0的值为
( )
A ．e 2 答案 B
B ．e
ln 2C. 2
D ．ln 2
解析 由f (x ) ＝x ln x 得f ′(x ) ＝ln x ＋1.
根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2． 若函数f (x ) ＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1) 等于
A ．－1 答案 B
解析 f ′(x ) ＝4ax 3＋2bx ，
∵f ′(x ) 为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1) ＝－2.
3． 若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为
A ．4x －y －3＝0 C ．4x －y ＋3＝0 答案 A
解析 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0) ，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，
即y －1＝4(x －1) ，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.
4． 曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为
1
A. 12答案 B
解析 求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，
所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1) ， 结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 2
三个交点的坐标分别是(，0) ，(1,0)，(1,1)，
3121
于是三角形的面积为(1－) ×1＝，故选B.
236
5． 已知f 1(x ) ＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x ) 是f n (x ) 的导函数，即f 2(x ) ＝f 1′(x ) ，f 3(x ) ＝f 2′(x ) ，„，f n
＋1
( )
B ．－2 C ．2 D ．0
( )
B ．x ＋4y －5＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0
( )
1B. 6
1C. 3
1D. 2
(x ) ＝f n ′(x ) ，n N *，则f 2 015(x ) 等于
( )
A ．－sin x －cos x C ．－sin x ＋cos x 答案 A
B ．sin x －cos x D ．sin x ＋cos x
解析 ∵f 1(x ) ＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x ) ＝f 1′(x ) ＝cos x －sin x ， ∴f 3(x ) ＝f 2′(x ) ＝－sin x －cos x ，
∴f 4(x ) ＝f 3′(x ) ＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x ) ＝f 4′(x ) ＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x ) 是以4为周期的函数，
∴f 2 015(x ) ＝f 3(x ) ＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题
6． 已知函数f (x ) 的导函数为f ′(x ) ，且满足f (x ) ＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.
答案 6
解析 对f (x ) ＝3x 2＋2xf ′(2)求导， 得f ′(x ) ＝6x ＋2f ′(2)． 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.
再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.
7． 已知函数y ＝f (x ) 及其导函数y ＝f ′(x ) 的图象如图所示，则曲线y ＝
f (x ) 在点P 处的切线方程是__________． 答案 x －y －2＝0
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x ) 在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)， 所以切线方程为x －y －2＝0.
1
8． 若函数f (x ) ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
2
答案 [2，＋∞)
11
解析 ∵f (x ) ＝x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x ) ＝x －a ＋.
2x ∵f (x ) 存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x ) 存在零点， 11
x ＋a ＝0，∴a ＝x ＋2. x x 三、解答题
9． 求下列函数的导数．
(1)y ＝x n lg x ； 121(2)y
x x x sin x (3)y ；
x
1－
解 (1)y ′＝nx n 1lg x ＋x n
x ln 10＝x n 1(n lg x ＋
－
1
．
ln 10
121(2)y ′＝(′＋) ′＋(′ x x x ＝(x 1) ′＋(2x 2) ′＋(x 3) ′ －－－
＝－x 2－4x 3－3x 4 －－－
143＝－x x x x n (sin x )′－(x n )′sin x sin x (3)y ′＝() ′＝x x x n cos x －nx n 1sin x ＝x －
＝x cos x －n sin x ＋x 1410．已知曲线y ＝x 3＋. 33
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．
14解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝x 3＋上，且y ′＝x 2， 33
∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4.
∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2) ，
即4x －y －4＝0.
1414x 0，x 3(2)设曲线y ＝x 3与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎛0，则切线的斜率为y ′|x 33⎝33
＝x 0＝x 20.
1342∴切线方程为y －30＋3＝x 0(x －x 0) ，
24即y ＝x 2x －x 30·0＋. 33
234∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－x 0＋， 33
2322即x 30－3x 0＋4＝0，∴x 0＋x 0－4x 0＋4＝0，
2∴x 0(x 0＋1) －4(x 0＋1)(x 0－1) ＝0，
∴(x 0＋1)(x 0－2) 2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，
故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
π1． 在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于4
数的点的个数是 ( )
A ．0
答案 A B ．1 C ．2 D ．3
解析 依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′
显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的
π0，选A. 4
2． 若函数f (x ) ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x ) 的大致图象是 (
)
答案 A
b b x ＋2－c ， 解析 ∵f (x ) ＝x ＋bx ＋c ＝⎛⎝2422b 由f (x ) 的图象的顶点在第四象限得－>0，∴b
又f ′(x ) ＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.
3． 已知曲线C ：f (x ) ＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的
倾斜角互补，则a 的值为________．
答案 27 8
解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a ) ．
由题意知，f ′(x ) ＝3x 2－a ，
切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①
所以切线方程为y －(t 3－at ＋a ) ＝(3t 2－a )(x －t ) ．②
将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a ) ＝(3t 2－a )(1－t ) ，
3解之得，t ＝0或t ＝2
327分别将t ＝0和t ①式，得k ＝－a 和k ＝－a ， 24
27由题意得它们互为相反数得a ＝. 8
b 4． 设函数f (x ) ＝ax －，曲线y ＝f (x ) 在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. x
(1)求f (x ) 的解析式；
(2)曲线f (x ) 上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
7解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝x －3. 4
1b 当x ＝2时，y ＝又f ′(x ) ＝a ＋， 2x ⎧于是⎨b 7a ⎩44b 12a －22 ⎧a ＝1，⎪3 解得⎨故f (x ) ＝x －x ⎪⎩b ＝3.
3(2)设P (x 0，y 0) 为曲线上任一点，由y ′＝1＋知曲线在点P (x 0，y 0) 处的切线方程为y －x 31＋(x －x 0) ， y 0＝⎛⎝x 0
33x 0－＝⎛1＋(x －x 0) ． 即y －⎛x ⎝x ⎝00
6令x ＝0，得y ＝－， x 0
60，－. 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎛x ⎝0
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，
从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0, 2x 0) ．
61－⎪|2x 0|所以点P (x 0，y 0) 处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝⎪2⎪x 0⎪
＝6.
故曲线y ＝f (x ) 上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
95． 设有抛物线C ：y ＝－x 2＋－4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． 2
(1)求k 的值；
(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．
解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1) ，则y 1＝kx 1，①
9y 1＝－x 2＋－4，② 121
9①代入②得x 2＋(k －) x ＋4＝0. 121
9171∵P 为切点，∴Δ＝(k －2－16＝0得k ＝k ＝. 222
17当k ＝时，x 1＝－2，y 1＝－17. 2
1当k ＝x 1＝2，y 1＝1. 2
1∵P 在第一象限，∴所求的斜率k 2
(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. ③ 将③代入抛物线方程得x 2－13x ＋9＝0. 2
设Q 点的坐标为(x 2，y 2) ，即2x 2＝9，
∴x ＝922，y 2＝－4.
∴Q 点的坐标为924) ．