1、平移定义和规律
(1)平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移(Translation )。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。
关键:a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向,但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素:原位置、平移方向、平移距离。
(2)平移的规律(性质) :经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。 注意:平移后,原图形与平移后的图形全等。
(3)简单的平移作图:
平移作图要注意:①方向;②距离。整个平移作图,就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
2、旋转的定义和规律
(1)旋转的定义:在平面内,将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转(Circumrotate )。这个定点称为旋转中心;转动的角称为旋转角。
关键: a. 旋转不改变图形的形状和大小(但会改变图形的方向,也改变图形的位置)。
b. 图形旋转四要素:原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
(2)旋转的规律(性质) :
经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)
注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等。
(3)简单的旋转作图:
旋转作图要注意:①旋转方向; ②旋转角度。整个旋转作图,就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
3、图案的分析与设计
① 首先找到基本图案,然后分析其他图案与它的关系,即由它作何种运动变换而形成。
② 图案设计的基本手段主要有:轴对称、平移、旋转三种方法。
4、旋转对称图形:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角α满足0
5、中心对称图形:如果把一个图形绕着一个定点旋转180后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心。
6、把一个图形绕着一个定点旋转180后,与另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这点对称,也叫做这两个图形成中兴对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
7、轴对称知识回顾
(1)轴对称图形定义:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形(Axially Symmetric Figure)。折痕所在的直线叫做对称轴。
(2)两个图形关于这条直线成轴对称:如果把一个图形沿某一条直线翻,能与
另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。
(3)注意:
① 轴对称是说两个图形的位置关系;而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。
② 成轴对称的两个图形,必定是全等图形。
(4)轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分;对应线段相等;对应角相等。
(5)简单的轴对称作图:
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形,可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。后依次连结各特征点即可。
图形运动与综合练习
1,把一个图形绕______旋转一个角度α后,与初始图形_____,这种图形叫做
___________,这个定点叫做___________,旋转的角度叫做_______(0
2,把一个图形绕一个定点旋转180 后,和另一个图形_______,那么叫做___________,也叫___________,这个点叫做_______,这两个图形中的对应点叫做___________。对应点间的连线________。
3,把一个图形沿________翻折过来,直线两旁部分能够________,这个图形就叫_________。这条直线叫做它的________。
4,把一个图形沿________翻折,能与另一个图形_____,那么叫做这______________________,这条直线叫做______,两个图形的对应点叫做______________。对应点连线_________________。
5,正n 边形有____条对称轴,它的最小旋转角是_______。当n 为_____时,正n 边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,当n 为_____时,正n 边形是轴对称图形,缺不是中心对称图形。
6,两图形轴对称,找出对称轴的方法有:可以找一对对称点的__________,也可以找多对对称点的__________。找点A 关于点B 的对称点可以______________________,找点A 关于直线l 的对称点可以__________________________。
7,两图形关于某直线对称,若它们的对应线段相交,交点必在 上.
8,判断
( )1.全等的两图形必须关于某一直线对称.
( )2.关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.
( )3.等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.
( )4.若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称则两个三角形关于该直线轴对称.
( )5.轴对称图形的对称轴有且只有一条.
( )6.正方形的对称轴有四条.
( )7. 线段是既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称轴只有它的垂直平分线。
( )8. 直线不是轴对称图形。
9,草原上两个居民点A 、B 在河流l 的同旁(如图3.15-10) 汽车从A 点出发到B ,
途中需要到河边加水,汽车在哪一点加水,可使行驶路程最短,在图中画出该点
.
综合练习
1.计算:2-3=
2. 计算:(-a 3) 4÷(-a 4) 3。
x 2-13.当x = 时,分式的值为0。 x -1
x 2-44. 化简:2= 。 x +x -2
5. 当(2x -1) 0=1时,x 。
6. 正八边形 中心对称图形。(填“是”或“不是”)。
7. 用科学记数法表示-0.0000208= 。 3b 158. 3a 2b 4ab 3的最简公分母是 。
9. 计算:a +b a -b -2ab 2ab
10. 已知:x +y =10, xy =5,则x 2+y 2=
11. 若x -51-=5有增根,则增根为 。 x -44-x
12. 如果将∆ABC 向左平移3个单位长度得到∆A 1B 1C 1且点A 1是点A 的对应点,那么线段AA 1= 个单位长度.
13.紫荆花绕着它的中心最少旋转______度就可以与它自身重合.
14. 钟表上的分针绕其轴心旋转, 分针经过15分钟后, 分针转过的角度是______
15.下列运算中,正确的是 ( )
A 、 a 3⋅a 2=a 6 B、(a +b )(a -b ) =a 2-b 2
C 、 (a -b ) 2=a 2-b 2 D、(a +b )(a -2b ) =a 2+ab -2b 2
16.2009年受各种因素的影响,猪肉市场不断上升。据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍。小英妈妈用20元钱在5月份购得猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤,设今年1月份的猪肉每斤是x 元。根据题意,下列方程中正确的是 ( )
20202020=-0.4 B、=-0.4 x 1.25x 1.25x x
20202020=+0.4 C .+0.4= D、x 1.25x 1.25x x A .
17.下列说法正确的是 ( )
A .平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B 、平移和旋转的共同点是图形的形状和大小不变,而图形的位置可能改变
C 、图形可以向某一个方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离.
D 、由平移得到的图形也一定可由旋转得到.
18、如果xy 中的x 、y 都扩大4倍,那么下列说法中,正确的是( ) 2x +y
A .分式的值不变 B、分式的值扩大4倍
C 、分式的值缩小4倍 D、分式的值缩小8倍
19.计算: 1-2x -y x 2+y 231), -1+(2008-π) +(-3) +() -(-2) 2), -2232x +2y x -y 40-1
x 2-1x 2+3x +2÷(x +1) ⋅3),2 4),解分式方程:x +4x +4x -1
346-= x x -1x -x 2
20. 因式分解
1),x 3+3x 2-9x -27
2),(x 2-x ) 2-(18x 2) -x 72+
C 21.长方形ABCD 绕点C 逆时针方向旋转450后得到A ' B ' C ' D ' . 请回答下列问题:
(1)点A 的对应点是点___,线段AB 的对应线段是______,∠D 的对应角是_____.
(2)旋转中心是____,∠BCB ' 的大小是____,四边形A ' B ' C ' D ' 的形状是________ ;
(3)在四边形A ' B ' C ' D ' 中与线段AD 相等的线段有_______________.
22,已知:四边形ABCD(如图)
(1)画出四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 关于直线MN 成轴对称.
(2)画出四边形A 2B 2C 2D 2使四边形A 2B 2C 2D 2与四边形ABCD 关于点0成中心对称;
(3)四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2是对称图形吗? 请在图上画出对称轴或对称中心.
24.打台球问题.在一个长方形球台ABCD 上, 点P 、点Q 各放着一个球, 现在要求点P 的球先碰AB 边, 反弹BC 边, 最后反弹碰到Q 的球, 问点P 的球应该撞击AB 的哪一点, 才能够达到上述要求
.
A B
1、平移定义和规律
(1)平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移(Translation )。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。
关键:a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向,但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素:原位置、平移方向、平移距离。
(2)平移的规律(性质) :经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。 注意:平移后,原图形与平移后的图形全等。
(3)简单的平移作图:
平移作图要注意:①方向;②距离。整个平移作图,就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
2、旋转的定义和规律
(1)旋转的定义:在平面内,将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转(Circumrotate )。这个定点称为旋转中心;转动的角称为旋转角。
关键: a. 旋转不改变图形的形状和大小(但会改变图形的方向,也改变图形的位置)。
b. 图形旋转四要素:原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
(2)旋转的规律(性质) :
经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)
注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等。
(3)简单的旋转作图:
旋转作图要注意:①旋转方向; ②旋转角度。整个旋转作图,就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
3、图案的分析与设计
① 首先找到基本图案,然后分析其他图案与它的关系,即由它作何种运动变换而形成。
② 图案设计的基本手段主要有:轴对称、平移、旋转三种方法。
4、旋转对称图形:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角α满足0
5、中心对称图形:如果把一个图形绕着一个定点旋转180后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心。
6、把一个图形绕着一个定点旋转180后,与另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这点对称,也叫做这两个图形成中兴对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
7、轴对称知识回顾
(1)轴对称图形定义:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形(Axially Symmetric Figure)。折痕所在的直线叫做对称轴。
(2)两个图形关于这条直线成轴对称:如果把一个图形沿某一条直线翻,能与
另一个图形重合,那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。
(3)注意:
① 轴对称是说两个图形的位置关系;而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。
② 成轴对称的两个图形,必定是全等图形。
(4)轴对称的性质:对应点所连的线段被对称轴垂直平分;对应线段相等;对应角相等。
(5)简单的轴对称作图:
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形,可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。后依次连结各特征点即可。
图形运动与综合练习
1,把一个图形绕______旋转一个角度α后,与初始图形_____,这种图形叫做
___________,这个定点叫做___________,旋转的角度叫做_______(0
2,把一个图形绕一个定点旋转180 后,和另一个图形_______,那么叫做___________,也叫___________,这个点叫做_______,这两个图形中的对应点叫做___________。对应点间的连线________。
3,把一个图形沿________翻折过来,直线两旁部分能够________,这个图形就叫_________。这条直线叫做它的________。
4,把一个图形沿________翻折,能与另一个图形_____,那么叫做这______________________,这条直线叫做______,两个图形的对应点叫做______________。对应点连线_________________。
5,正n 边形有____条对称轴,它的最小旋转角是_______。当n 为_____时,正n 边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,当n 为_____时,正n 边形是轴对称图形,缺不是中心对称图形。
6,两图形轴对称,找出对称轴的方法有:可以找一对对称点的__________,也可以找多对对称点的__________。找点A 关于点B 的对称点可以______________________,找点A 关于直线l 的对称点可以__________________________。
7,两图形关于某直线对称,若它们的对应线段相交,交点必在 上.
8,判断
( )1.全等的两图形必须关于某一直线对称.
( )2.关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.
( )3.等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.
( )4.若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称则两个三角形关于该直线轴对称.
( )5.轴对称图形的对称轴有且只有一条.
( )6.正方形的对称轴有四条.
( )7. 线段是既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称轴只有它的垂直平分线。
( )8. 直线不是轴对称图形。
9,草原上两个居民点A 、B 在河流l 的同旁(如图3.15-10) 汽车从A 点出发到B ,
途中需要到河边加水,汽车在哪一点加水,可使行驶路程最短,在图中画出该点
.
综合练习
1.计算:2-3=
2. 计算:(-a 3) 4÷(-a 4) 3。
x 2-13.当x = 时,分式的值为0。 x -1
x 2-44. 化简:2= 。 x +x -2
5. 当(2x -1) 0=1时,x 。
6. 正八边形 中心对称图形。(填“是”或“不是”)。
7. 用科学记数法表示-0.0000208= 。 3b 158. 3a 2b 4ab 3的最简公分母是 。
9. 计算:a +b a -b -2ab 2ab
10. 已知:x +y =10, xy =5,则x 2+y 2=
11. 若x -51-=5有增根,则增根为 。 x -44-x
12. 如果将∆ABC 向左平移3个单位长度得到∆A 1B 1C 1且点A 1是点A 的对应点,那么线段AA 1= 个单位长度.
13.紫荆花绕着它的中心最少旋转______度就可以与它自身重合.
14. 钟表上的分针绕其轴心旋转, 分针经过15分钟后, 分针转过的角度是______
15.下列运算中,正确的是 ( )
A 、 a 3⋅a 2=a 6 B、(a +b )(a -b ) =a 2-b 2
C 、 (a -b ) 2=a 2-b 2 D、(a +b )(a -2b ) =a 2+ab -2b 2
16.2009年受各种因素的影响,猪肉市场不断上升。据调查今年5月份的价格是1月份猪肉价格的1.25倍。小英妈妈用20元钱在5月份购得猪肉比在1月份购得的猪肉少0.4斤,设今年1月份的猪肉每斤是x 元。根据题意,下列方程中正确的是 ( )
20202020=-0.4 B、=-0.4 x 1.25x 1.25x x
20202020=+0.4 C .+0.4= D、x 1.25x 1.25x x A .
17.下列说法正确的是 ( )
A .平移不改变图形的形状和大小,而旋转则改变图形的形状和大小
B 、平移和旋转的共同点是图形的形状和大小不变,而图形的位置可能改变
C 、图形可以向某一个方向平移一定距离,也可以向某方向旋转一定距离.
D 、由平移得到的图形也一定可由旋转得到.
18、如果xy 中的x 、y 都扩大4倍,那么下列说法中,正确的是( ) 2x +y
A .分式的值不变 B、分式的值扩大4倍
C 、分式的值缩小4倍 D、分式的值缩小8倍
19.计算: 1-2x -y x 2+y 231), -1+(2008-π) +(-3) +() -(-2) 2), -2232x +2y x -y 40-1
x 2-1x 2+3x +2÷(x +1) ⋅3),2 4),解分式方程:x +4x +4x -1
346-= x x -1x -x 2
20. 因式分解
1),x 3+3x 2-9x -27
2),(x 2-x ) 2-(18x 2) -x 72+
C 21.长方形ABCD 绕点C 逆时针方向旋转450后得到A ' B ' C ' D ' . 请回答下列问题:
(1)点A 的对应点是点___,线段AB 的对应线段是______,∠D 的对应角是_____.
(2)旋转中心是____,∠BCB ' 的大小是____,四边形A ' B ' C ' D ' 的形状是________ ;
(3)在四边形A ' B ' C ' D ' 中与线段AD 相等的线段有_______________.
22,已知:四边形ABCD(如图)
(1)画出四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 关于直线MN 成轴对称.
(2)画出四边形A 2B 2C 2D 2使四边形A 2B 2C 2D 2与四边形ABCD 关于点0成中心对称;
(3)四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2是对称图形吗? 请在图上画出对称轴或对称中心.
24.打台球问题.在一个长方形球台ABCD 上, 点P 、点Q 各放着一个球, 现在要求点P 的球先碰AB 边, 反弹BC 边, 最后反弹碰到Q 的球, 问点P 的球应该撞击AB 的哪一点, 才能够达到上述要求
.
A B