最新人教版数学八年级上册 分式方程
1．分式方程的概念
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．
x －31＋x 13x 2【例1】 下列方程：①1，②＝2，③＋＝5. 其中是分5x 2x 5＋x 2
式方程的有( ) ． A ．①② B ．②③
C ．③④ D ．②③④
解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.
答案：D
2. 分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路： 去分母分式方程――→整式方程． 转化
(2)解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解这个整式方程；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．
(3)对分式方程解法的理解：
①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；
②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；
③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；
④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．
解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．
【例2】 解下列方程：
736＋＝； x ＋x x －x x －1
x 5(2)－1＝2x －55－2x
解：(1)方程两边同乘x (x ＋1)(x －1) ，得7(x －1) ＋3(x ＋1) ＝6x .
解这个方程，得x ＝1.
检验：当x ＝1时，x (x ＋1)(x －1) ＝0，所以x ＝1是原方程的增根，即原方程无解．
(2)方程两边同乘2x －5，得x －(2x －5) ＝－5.
解这个方程，得x ＝10.
检验：当x ＝10时，2x －5≠0，所以x ＝10是原方程的解．
3．分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．
列分式方程解应用题的一般步骤：
①审：审清题意；
②找：找出相等关系；
③设：设未知数；
④列：列出方程；
⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意； ⑦答：写出答案．
解技巧 构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分) 题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．
【例3】 今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
解：设原计划每天生产x 吨纯净水，
1 8001 800则依据题意，得x 1.5x ＝3，
整理，得4.5x ＝900，
解之，得x ＝200.
把x ＝200代入原方程，成立，
∴x ＝200是原方程的解．
答：原计划每天生产200吨纯净水．
(1)4．分式方程无解型问题
解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值) 代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程) ，从而
最新人教版数学八年级上册 分式方程
1．分式方程的概念
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．
x －31＋x 13x 2【例1】 下列方程：①1，②＝2，③＋＝5. 其中是分5x 2x 5＋x 2
式方程的有( ) ． A ．①② B ．②③
C ．③④ D ．②③④
解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.
答案：D
2. 分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路： 去分母分式方程――→整式方程． 转化
(2)解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解这个整式方程；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．
(3)对分式方程解法的理解：
①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；
②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；
③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；
④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．
解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．
【例2】 解下列方程：
736＋＝； x ＋x x －x x －1
x 5(2)－1＝2x －55－2x
解：(1)方程两边同乘x (x ＋1)(x －1) ，得7(x －1) ＋3(x ＋1) ＝6x .
解这个方程，得x ＝1.
检验：当x ＝1时，x (x ＋1)(x －1) ＝0，所以x ＝1是原方程的增根，即原方程无解．
(2)方程两边同乘2x －5，得x －(2x －5) ＝－5.
解这个方程，得x ＝10.
检验：当x ＝10时，2x －5≠0，所以x ＝10是原方程的解．
3．分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．
列分式方程解应用题的一般步骤：
①审：审清题意；
②找：找出相等关系；
③设：设未知数；
④列：列出方程；
⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意； ⑦答：写出答案．
解技巧 构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分) 题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．
【例3】 今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
解：设原计划每天生产x 吨纯净水，
1 8001 800则依据题意，得x 1.5x ＝3，
整理，得4.5x ＝900，
解之，得x ＝200.
把x ＝200代入原方程，成立，
∴x ＝200是原方程的解．
答：原计划每天生产200吨纯净水．
(1)4．分式方程无解型问题
解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值) 代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程) ，从而