指数函数及其性质
单位 上石桥高中
姓名 罗锐
电话 [1**********]
指数函数及其性质
本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。
一、教材的地位和作用
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
二、教学目标
知识目标：①掌握指数函数的概念；
②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。
能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；
②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；
情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际
背景；
②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。
三、教学重难点
教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。
指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。
教学难点：弄清楚底数a 对函数图像的影响。
对于底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征，学生不容易归纳认识清
楚。
突破难点的关键：
通过学生间的讨论、交流及多媒体的动态演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来突破难点。
因此，在教学过程中我选择让学生自己去感受指数函数的生成过程以及从这两个特殊的指数函数入手，先描点画图，作为这一堂课的突破口。
四、学情分析及教学内容分析
1、学生知识储备
通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：
知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
素质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
2、学生的困难
本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。
五、教法分析
本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。
六、教学过程分析
根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，
即：1. 情景设置，形成概念
深理解性质 2. 发现问题，深化概念 5. 小结归纳 3. 深入探究图像，加 6. 布置作业 4. 强化训练，落实掌握
（一）情景设置，形成概念
学情分析：1、学生初中就接触过一次函数、二次函数，在第二章再次学习一次函数、二次
函数时，学生有一定的知识储备，但对于指数函数而言，学生是完全陌生的函数，
无已有经验的参考，在接受上学生有困难。
2、课本给出了两个引例以及在本章章前语也给了一个例子，分别是细胞分裂、放
射性物质省留量及“指数爆炸”，这三个例子比较好但离学生的认知仍存在一定
距离，于是我在引课这里翻查了一些参考资料，发现这样一个例子，——折纸问
题，这个引例对学生而言①便于动手操作与观察②贴近学生的生活实际。
1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸
观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=ｘ
②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），
得出结论ｙ=（1/2）
引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x 次后，木棰的剩留量与y 与x 的函数关系式。
设计意图：
（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0
（2）让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接受指数函数的形式。
2、形成概念：
形如ｙ=a（a>0且a ≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R 。
提出问题:为什么要限制a>0且a ≠1？
这一点让学生分析，互相补充。
分a ﹤0，且a=0，0﹤a ﹤1，a=1，a>1五部分讨论。
（二）发现问题、深化概念
问题1：判断下列函数是否为指数函数。
1）ｙ=-3ｘ ｘｘ22）ｙ=3 3) ｙ=3 4) ｙ=(-3) 5) ｙ=3=(1/3) 1/x1+xx -x x
设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ｙ=a（a>0且a ≠1）。
1）a 的前面系数为1， 2）自变量x 在指数位置， 3）a>0且a ≠1 x x
2、问题1中（4）ｙ=(-3)的判定，引出问题1：即指数函数的概念中为什么要规定a>0且a ≠1
1）a
2）a=0时，x>0时，a =0；x ≤0时无意义。
3）a=1时，a = 1=1是常量，没有研究的必要。
设计意图：通过问题1对a 的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同
时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。
落实掌握：1）若函数ｙ=(a -3a+3) a是指数函数，求a 值。
2）指数函数f(x)= a （a>0且a ≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、
f(1)的值。——待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）。
（三）深入研究图像，加深理解性质
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了两个环节。
第一环节：分三步
（1）让学生作图 （2）观察图像，发现指数函数的性质 （3）归纳整理
学生课前准备：利用描点法作函数y=2，y=3，以及y=(1/2）、y=(1/3)的图像。 设计意图：（1）观察总结a>1,0
（2）观察ｙ=2与ｙ=2，ｙ=3与ｙ=3图像关于y 轴对称。
x -x x -x x x x x x x xx x x x x x
（3）在第一象限指数函数的图像满足“底大图高。
（4）经过（0，1）点图像位置变化。
变式：去掉底数换成字母，根据图像比较底数的大小。
方法提炼：①用上面得到的规律；
②作直线x=1与指数函数图像相交的纵坐标，即为底数。
第二环节：
利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a 取不同的值时，让学生观察函数图像的变化特征，归纳总结：ｙ=a的图像与性质
x
以y=2为例，让学生用单调性的定义加以证明；
设计意图：（1）让学生由初中的“看图说话”的水平，提升到高中的严格推理的层面上来。
（2）学习用做商法比较大小。
4、奇偶性： 不具备
5、对称性：ｙ=a不具备，但底数互为倒数的两个指数函数图像关于y 轴对称。从形式上可变为y =a x 与y =a -x
总结:两个函数y=f(x),y=f(-x)关于y 轴对称。
6、交点：（1）与y 轴交于一点（0，1） （2）与x 轴无交点（x 轴为其渐近线）
7、 当x>0时,y>1；当x0时, 01
8、ｙ=a（a>0且a ≠1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）
难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。 为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：
左右无限上冲天，永与横轴不沾边。
大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。
（四）强化训练落实掌握 x x x
例1：学习了指数函数的概念，探究出它的性质以后，再回应本节课开头的问题，解决引例问题。
例2：比较下列各题中两值的大小
（1） （4/3）-0.23 与（4/3）-0.25； （2） （0.8）与（0.8） 。 2.53
方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性
（3） 与；（4） 与
方法指导：不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决。
（5）(3/4)与(5/6)；（6）（-2.1）与（-2.2）
方法指导：底不同但指数相同，结合函数图像进行比较，利用底大圈高。（6）“-”是学生的易错易混点。
（7）（0.3）与(2.3)；（8）1.7与0.9。
方法指导：底不同，指数也不同，可采用①估算（与常见数值比较如（8））②中间量如（7）（10/3）〔（10/3）或（2.3）〕(2.3)。
变式：已知下列不等式, 比较
(l)
(2)
(3)
(4) （ 且） 的大小 : 32/332/3-32/30.33.12/32/33/73/7
设计意图：（1）、（2）对指数函数单调性的应用（逆用单调性），（3）建立学生分类讨论的思想。（4）培养学生灵活运用图像的能力。
（五）归纳总结，拓展深化
请学生从知识和方法上谈谈对这一节课的认识与收获。
1、知识上：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节的关键。
2、方法上：经历从特殊→一般→特殊的认知过程，从观察中获得知识，同时了解指数函数
的实际背景和和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想。
指数函数及其性质
单位 上石桥高中
姓名 罗锐
电话 [1**********]
指数函数及其性质
本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。
一、教材的地位和作用
本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。
二、教学目标
知识目标：①掌握指数函数的概念；
②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。
能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；
②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；
情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际
背景；
②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。
三、教学重难点
教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。
指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。
教学难点：弄清楚底数a 对函数图像的影响。
对于底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征，学生不容易归纳认识清
楚。
突破难点的关键：
通过学生间的讨论、交流及多媒体的动态演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来突破难点。
因此，在教学过程中我选择让学生自己去感受指数函数的生成过程以及从这两个特殊的指数函数入手，先描点画图，作为这一堂课的突破口。
四、学情分析及教学内容分析
1、学生知识储备
通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：
知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。
技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。
素质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。
2、学生的困难
本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。
五、教法分析
本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。
六、教学过程分析
根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，
即：1. 情景设置，形成概念
深理解性质 2. 发现问题，深化概念 5. 小结归纳 3. 深入探究图像，加 6. 布置作业 4. 强化训练，落实掌握
（一）情景设置，形成概念
学情分析：1、学生初中就接触过一次函数、二次函数，在第二章再次学习一次函数、二次
函数时，学生有一定的知识储备，但对于指数函数而言，学生是完全陌生的函数，
无已有经验的参考，在接受上学生有困难。
2、课本给出了两个引例以及在本章章前语也给了一个例子，分别是细胞分裂、放
射性物质省留量及“指数爆炸”，这三个例子比较好但离学生的认知仍存在一定
距离，于是我在引课这里翻查了一些参考资料，发现这样一个例子，——折纸问
题，这个引例对学生而言①便于动手操作与观察②贴近学生的生活实际。
1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸
观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=ｘ
②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），
得出结论ｙ=（1/2）
引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x 次后，木棰的剩留量与y 与x 的函数关系式。
设计意图：
（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a>1②0
（2）让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接受指数函数的形式。
2、形成概念：
形如ｙ=a（a>0且a ≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈R 。
提出问题:为什么要限制a>0且a ≠1？
这一点让学生分析，互相补充。
分a ﹤0，且a=0，0﹤a ﹤1，a=1，a>1五部分讨论。
（二）发现问题、深化概念
问题1：判断下列函数是否为指数函数。
1）ｙ=-3ｘ ｘｘ22）ｙ=3 3) ｙ=3 4) ｙ=(-3) 5) ｙ=3=(1/3) 1/x1+xx -x x
设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达式中ｙ=a（a>0且a ≠1）。
1）a 的前面系数为1， 2）自变量x 在指数位置， 3）a>0且a ≠1 x x
2、问题1中（4）ｙ=(-3)的判定，引出问题1：即指数函数的概念中为什么要规定a>0且a ≠1
1）a
2）a=0时，x>0时，a =0；x ≤0时无意义。
3）a=1时，a = 1=1是常量，没有研究的必要。
设计意图：通过问题1对a 的范围的具体分析，有利于学生对指数函数一般形式的掌握，同
时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。
落实掌握：1）若函数ｙ=(a -3a+3) a是指数函数，求a 值。
2）指数函数f(x)= a （a>0且a ≠1）的图像经过点（3，9），求f(x)、f(0)、
f(1)的值。——待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）。
（三）深入研究图像，加深理解性质
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了两个环节。
第一环节：分三步
（1）让学生作图 （2）观察图像，发现指数函数的性质 （3）归纳整理
学生课前准备：利用描点法作函数y=2，y=3，以及y=(1/2）、y=(1/3)的图像。 设计意图：（1）观察总结a>1,0
（2）观察ｙ=2与ｙ=2，ｙ=3与ｙ=3图像关于y 轴对称。
x -x x -x x x x x x x xx x x x x x
（3）在第一象限指数函数的图像满足“底大图高。
（4）经过（0，1）点图像位置变化。
变式：去掉底数换成字母，根据图像比较底数的大小。
方法提炼：①用上面得到的规律；
②作直线x=1与指数函数图像相交的纵坐标，即为底数。
第二环节：
利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a 取不同的值时，让学生观察函数图像的变化特征，归纳总结：ｙ=a的图像与性质
x
以y=2为例，让学生用单调性的定义加以证明；
设计意图：（1）让学生由初中的“看图说话”的水平，提升到高中的严格推理的层面上来。
（2）学习用做商法比较大小。
4、奇偶性： 不具备
5、对称性：ｙ=a不具备，但底数互为倒数的两个指数函数图像关于y 轴对称。从形式上可变为y =a x 与y =a -x
总结:两个函数y=f(x),y=f(-x)关于y 轴对称。
6、交点：（1）与y 轴交于一点（0，1） （2）与x 轴无交点（x 轴为其渐近线）
7、 当x>0时,y>1；当x0时, 01
8、ｙ=a（a>0且a ≠1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）
难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。 为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：
左右无限上冲天，永与横轴不沾边。
大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。
（四）强化训练落实掌握 x x x
例1：学习了指数函数的概念，探究出它的性质以后，再回应本节课开头的问题，解决引例问题。
例2：比较下列各题中两值的大小
（1） （4/3）-0.23 与（4/3）-0.25； （2） （0.8）与（0.8） 。 2.53
方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性
（3） 与；（4） 与
方法指导：不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决。
（5）(3/4)与(5/6)；（6）（-2.1）与（-2.2）
方法指导：底不同但指数相同，结合函数图像进行比较，利用底大圈高。（6）“-”是学生的易错易混点。
（7）（0.3）与(2.3)；（8）1.7与0.9。
方法指导：底不同，指数也不同，可采用①估算（与常见数值比较如（8））②中间量如（7）（10/3）〔（10/3）或（2.3）〕(2.3)。
变式：已知下列不等式, 比较
(l)
(2)
(3)
(4) （ 且） 的大小 : 32/332/3-32/30.33.12/32/33/73/7
设计意图：（1）、（2）对指数函数单调性的应用（逆用单调性），（3）建立学生分类讨论的思想。（4）培养学生灵活运用图像的能力。
（五）归纳总结，拓展深化
请学生从知识和方法上谈谈对这一节课的认识与收获。
1、知识上：学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节的关键。
2、方法上：经历从特殊→一般→特殊的认知过程，从观察中获得知识，同时了解指数函数
的实际背景和和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想。