密 级 公 开
本科生毕业（学位）论文
有关实数完备性基本定理的循环证明
指导教师姓名： 职 称： 副教授 单 位： 数学系
专 业 名 称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2010年 月 日 论文答辩日期： 2010年 月 日 学位授予单位： 黔南民族师范学院
答辩委员会主席: 论 文 评 阅 人:
2010 年 月
日
有关实数完备性基本定理的循环证明
蒋长征 (2006051135)
(黔南民族师范学院数学系 贵州. 都匀 558000)
摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六
个循环从不同的角度证明了它们的等价性。
关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；Cauchy 收
敛准则
The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number
Completeness
Jiang Chang-zheng (2006051135)
(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800)
Abstract : This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its related content.Based on the
result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.
Key words: Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval
theorem; Finite covering theorem; Limiting point theorem; Cauchy Restraining criterion
1 实数完备性基本定理及其有关内容
1.1 有关概念 定义
我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本身的的结构有关，而且与所在数集密切相关。从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了坚实的基础。
我们常常从实数系的连续性（即实数集无间隙）出发证明实数系的完备性（即能使确界原理成立的有序域），也可从实数系的完备性出发证明实数系的连续性，所以这两个关系是等价的。因此，我们也称实数连续性为实数的完备性。下面我们就来阐述实数完备性基本定理及其有关内容，为后面的证明做铺垫。
定义1 设x =a 0. a 1 a n 为非负实数，称有理数
x n =a 0. a 1 a n
为实数x 的n 位不足近似，而有理数
x n =x n +
1 10n
称为实数x 的n 位过剩近似，n =0,1,2, 。
定义2 设S 为R 中的一个数集。若存在一个数M (L )，使得对一切x ∈S ，都有。 x ≤M (x ≥L )，则称S 为有上（下）界的数集，数M (L )称为S 的一个上界（下界）
定义3 设S 为R 中的一个数集。若数η满足： (i) 对一切x ∈S ，有x ≤η，即η是S 的上界；
(ii) 对任意数ε，存在x 0∈S ，使得x 0>η-ε，即η又是S 的最小上界， 则称η为数集S 的上确界，记作：
η=sup S
定义4 设S 为R 中的一个数集。若数ξ满足： (i) 对一切x ∈S ，有x ≥ξ，即ξ是S 的下界；
(ii) 对任意数ε，存在x 0∈S ，使得x 0
ξ=inf S
定义5 设闭区间列{[a n , b n ]}具有如下性质： (i) [a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，n =1,2, ； (ii) lim (b n -a n )=0
n →∞
则称{[a n , b n ]}为闭区间套，或简称区间套。
定义6 设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ），若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点。
定义6' 对于点集S ，点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即
U o (ξ, ε) S ≠∅，则称ξ为点集S 的一个聚点。
定义6'' 若存在各项互异的收敛数列{x n }⊂S ，则其极限lim x n =ξ称为点集S 的一
n →∞
个聚点。
注：这三个定义是等价的。
定义7 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如。若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个(α, β)的开区间）
开覆盖，或称H 覆盖S 。若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限（有限）开覆盖。
定义8 一个数列{x n }被称为Cauchy 列，如果对任给的ε>0，存在正整数N ，使得当m , n >N 时有a n -b n
1.2 实数完备性六个基本定理
定理1 （确界原理）设S 为非空数集，若S 有上（下）界，则S 必有上（下）确界。 定理2（单调有界定理）在实数系，有界的单调数列必有极限。
定理3（区间套定理）若{[a n , b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点ξ使得ξ属于{[a n , b n ]} n =1,2, 即a n ≤b n 。
推论 若ξ∈[a n , b n ] （n =1,2, ）是区间套{[a n , b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N ∈N +，使得对一切n >N 时有
[αn , βn ]⊂U (ξ; ε)。
定理4（有限覆盖定理）设H 为闭区间[a n , b n ]的一个开覆盖，则从H 中可选取有限个开区间来覆盖[a n , b n ]。
定理5（聚点定理）实数系中任一有界无限点集S 至少有一个聚点。 推论 有界数列必有收敛子列。
定理6（Cauchy 收敛准则）数列{a n }收敛的充要条件是：数列{a n }是Cauchy 列。
2 基本定理的循环证明
以上六个定理，都是描述实数集的连续性（完备性）的定理，只不过表现形式不同
而已。在这六个定理中有限覆盖定理着眼于区间整体，而其它五个则着眼于一点的局部，这些点分别是定理1中的确界点、定理2和定理6中的极限点、定理3中的公共点和定理
5中的聚点。从这个方面说定理4（有限覆盖定理）是其它五个定理的逆否形式。因此
不论是用定理4证明其它五个定理还是用其它五个定理证明定理4都可以用反证法来完成，其它五个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是从已知出发构造某一点，然后证明这个点就是所要求的点。
通过上述方法虽然可以证明这六个定理的等价性，但这并不意味着它们就是正确的，若其中有一个命题是假命题，则全为假命题。因此在证明它们的等价性时起点是极其重要的。在证明过程中不同的教材和参考书对起点问题的处理也不尽相同。有的直接把其中的一个当作公理，如刘玉琏等所编的《数学分析讲义》[1]就是把单调有界原理当作公理，并以此为起点证明这六个定理的等价性，很明显这样做是不够严密的。本文是基于华东师范大学数学系编著的《数学分析》[]，即用十进位小数定义证明确界原理作
2
为起点（具体过程见[2]，第7页），然后用循环证明的方法证明它们的等价性。
2.1 第一个循环
①⇒②⇒③⇒④⇒⑤⇒⑥⇒① 2.1.1 ①⇒② 参见[2]，35页 2.1.2 ②⇒③ 参见[2]，161页 2.1.3 ③⇒④ 参见[2]，165，166页 2.1.4 ④⇒⑤
证 设S 为有界无穷点集，因此存在M >0，使得S ⊂[-M , M ]。
反正法：若S 无聚点，即[-M , M ]中任何一点都不是S 的聚点，则对于任意
x ∈[-M . M ]，必有相应的δx >0，使得U (x ; δx )内至多含有有限个x ∈S (若x ∉S ，则U (x ; δx )中不含S 中的点) 。所有这些邻域的全体形成[-M , M ]的一个无限开覆盖：
H =
{(x -δ, x +δ
x
x
)x ∈[-M , M ]}。
由定理4知，H 中存在有限个开区间能覆盖[-M , M ]。记：
H =
{(x -δ
x k
, x +δx k x ∈[-M , M ], k =1,2, , N ⊂H
)
}
为[-M , M ]的一个有限开覆盖，则H 也覆盖了S 。由于每个邻域中至多含有S 有限个点，故这N 个邻域的并集也至多有S 得有限个点，因此S 为有限点集，这与题设S 为无穷点集矛盾。
2.1.5 ⑤⇒⑥
证 必要性显然下证充分性
若数列{a n }是Cauchy 列，则{a n }收敛。 即
对任意ε>0，存在N >0，当m , n >N 时，有a m -a n 0，当m , n >N 0时有
a m -a n 取m =N 0+1, n >N 0时，则
a N 0+1-1
记
M =max a 1, a 2, , a N 0, a N 0-1, a N 0+1，
{}
则对于任意n ∈N +，有a n ≤M ，即{a n }为有界数列。
(ii)有聚点定理的推论知，有界的数列必有收敛子列，故{a n }必有收敛子列a n k 。记
lim a n k =A 。
k →∞
{}
(iii)由数列{a n }是Cauchy 列，故对任意ε>0，存在N 1>0，当m , n >N 1时，有
a m -a n
k →∞
ε
2
而又由于lim a n k =A ，故存在N 2>0，当k >N 2时有
a n k -A
ε
2
取N =max {N 1, N 2}，当m , n , k >N 时有
a n -A =a n -a n k +a n k -A
ε
2
+
ε
2
=ε
即
lim a n =A
k →∞
2.1.6 ⑥⇒① 参见[2]，167页 2.2第二个循环
①⇒③⇒⑤⇒④⇒⑥⇒②⇒① 2.2.1 ①⇒③
证 由于{[a n , b n ]}，n =1,2, 构成一个区间套，于是有：
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1 (1)
且
lim (b n -a n )=0
n →∞
所以数列{a n }为单调递增的有界数列，{b n }为单调递减的有界数列。由定理1可知数列
{a n }必有上确界，数列{b n }必有下确界。
设
ξ=sup {a n }，则有对任意的n ∈N +，有a n ≤ξ (2) ξ1=inf {b n }，则有对任意的n ∈N +，有b n ≥ξ1 (3)
所以ξ, ξ1∈{[a n , b n ]}，n =1,2, 结合(1), (2), (3)可得
0≤ξ1-ξ≤b n -a n
又因为
lim (b n -a n )=0
n →∞
所以
0≤ξ1-ξ≤lim (b n -a n )=0
v →∞
即
ξ1=ξ
所以存在唯一的点ξ使得
ξ∈{[a n , b b ]}，n =1,2,
即定理3成立。
2.2.2 ③⇒⑤ 参见[2]，164页 2.2.3 ⑤⇒④（也可参见[3]，34页） 证 假设不能用H 中有限个开区间来覆盖[a , b ]。
将[a , b ]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a 1, b 1](如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，则
[a 1, b 1]⊂[a , b ]，且b 1-a 1=2(b -a )。
再将[a 1, b 1]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a 2, b 2]，且b 2-a 2=
1
(b -a )。 22
1
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
且
b n -a n =
1
→0(n →∞)， n 2
则每个[a n , b n ]，n =1,2, 都不能用H 中有限个开区间来覆盖。
由[a n , b n ]的取法可知，数列{a n }单调递增有上界，数列{b n }单调递减有下界。 且每一个[a n , b n ]（n =1,2, ）都是有界无限点集。由聚点定理可知[a n , b n ]，至少有一个聚点，设为ξ。 又因为b n -a n =
1
→0(n →∞) 2n
故对任意的ε>0，存在N ∈N +，当n >N 时，有
b n -a n
再由[a n , b n ]的取法及ξ的性质可得当n >N 时，有[a n , b n ]⊂U (ξ; ε)∈H 。这与
[a n , b n ]的取法矛盾。故假设不成立。即有定理4成立。
2.2.4 ④⇒⑥[]
6
2.2.5 ⑥⇒②
证 设数列{a n }为单调Cauchy 列，可改述为：“ε>0，存在N >0，当n >N 时，满足a n -a N m >N ，恒有
a n -a m ≤a n -a N
倘若{a n }不收敛，由Cauchy 准则的否定陈述：存在ε0>0，对一切N ，存在n >N ，使
a n -a N =a n -a N ≥ε0
依次取
N 1=1，存在n 1>N 1，使a n 1-a 1≥ε0； N 1=n 1，存在n 2>N 2，使a n 2-a n 1≥ε0；
N k =n k -1，存在n k >N k ，使a n k -a n k -1≥ε0；
把它们相加, 得到a n k -a 1≥k ε0． 故当k >
M -a 1
ε0
时，可使a n k >M ，矛盾．所以单调递增有上界数列{a n }必定有极限．
同理可证单调递减有下界的数列必定有极限。
2.2.6 ②⇒①
证 设S ≠∅, 若S 有最大值，则最大值就是S 的上确界，下设S 无最大值。令M 为
S 的一个上界．取x 0∈S ，设
[a 1, b 1]=[x 0, M ]，且b 1-a 1=M -x 0；
将[a 1, b 1]二等分，若右半区间中含有S 中的点，则令它为[a 2, b 2]，否则令左半区间为[a 2, b 2]，如此得到[a 2, b 2]且有
[a 2, b 2]⊂[a 1, b 1]，b 2-a 2=
如此无限进行下去，得到一闭区间列
M -x 0
； 2
{[a , b ]}，
n
n
其中
[a n +1, b n +1]⊂[a n , b n ]，b n -a n =
则有
M -x 0
→0，(n →∞)。 2n -1
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
于是数列{a n }为单调递增的有界数列。
由定理2可知，数列{a n }必有极限。设
lim a n =ξ，
n →∞
由[a n , b n ]的构造法则可知，[a n , b n ]的右边没有S 中的点。 则对任意n ∈N +，有a n ≤ξ，且任给ε>0，存在n 0∈N +，有
a n 0>ξ-ε
所以ξ为S 的上确界。
同理可证有下界的数集必有下确界。
2.3第三个循环
①⇒④⇒②⇒⑤⇒⑥⇒③⇒① 2.3.1 ①⇒④
证 假设不能用H 中有限个开区间来覆盖[a , b ]。
将[a , b ]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a 1, b 1](如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，则
[a 1, b 1]⊂[a , b ]，且b 1-a 1=
1
(b -a )。 2
再将[a 1, b 1]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为
1
[a 2, b 2]，且b 2-a 2=22(b -a )。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
且
b n -a n =
1
→0(n →∞)， n 2
则每个[a n , b n ]，n =1,2, 都不能用H 中有限个开区间来覆盖。
由[a n , b n ]的取法可知，数列{a n }单调递增有上界，数列{b n }单调递减有下界。 根据定理1数列{a n }有上确界设为ξ，数列{b n }有下确界设为ξ1，于是有
ξ≤ξ1
且对任意n ∈N +，都有：
a n ≤ξ，b n ≥ξ1
且对任给ε>0，存在n 1, n 2∈N +，使得
ξ-ε
1
2
故令N =max {n 1, n 2}，当对任意n >N 时，有
ξ-ε
1
2
于是再令α=ξ-ε，β=ξ1+ε，则(α, β)∈H 。
这表明当n 充分大时[a n , b n ]已被开区间(α, β)所覆盖。这与[a n , b n ]的本质矛盾。故假设不成立，即[a , b ]可由H 中有限个开区间（至多有N +1个）所覆盖。
2.3.2 ④⇒②
证 设数列{x n }单调递增有上界M ，考虑区间[x 1, M ]，显然任给x ∈[x 1, M ] (i)当x 是数列{x n }的上界时，必有更小的上界x '
(ii)当x 不是数列{x n }的上界时，必存在n ∈N +，使得x n >x 。因而有x n 的开邻域
∆x ，其中∆x 的每一点都不是{x n }的上界。
对于数列{x n }中的每一点，及[x 1, M ]中的其它点都存在一个开邻域∆x (对于x n 的每一个开邻域U (x n )除中心外与{x n }的交集为空集) 它要么属于第一类，要么属于第二类。
那么，这一切邻域H ={∆x x ∈[x 1, M ]}将[x 1, M ]覆盖，由定理4可知，存在H 的有限个开区间{∆1, ∆2, , ∆N }将[x 1, M ]覆盖且U (x n )必在其中。若{x n }不收敛，显然与有限个开区间的本质矛盾。（因为数列{x n }中有无限个点，而每个点的邻域
U (x n )∈{∆1, ∆2, , ∆N }，左边无限，右边有限，故必有U (x n )除中心外与{x n }交集非空
的点。）所以{x n }收敛。
2.3.3 ②⇒⑤
证 设S 为有界无穷点集，因此存在M >0，使得S ⊂[-M , M ]。记[a 1, b 1]=[-M , M ]。 将[a 1, b 1]二等分，因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点记此区间为[a 1, b 1] (如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，且
b 2-a 2=
1
(b 1-a 1)=M 。 2
再将[a 2, b 2]二等分，两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点。记这个子区间为[a 3, b 3]，且
b 3-a 3=
1M b -a =。 ()11222
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足
b n -a n =
M
→0(n →∞)， 2n -1
且每一个[a n , b n ]都含有S 中无穷多个点。
由{[a n , b n ]}的构造法则可知，{a n }为单调递增的有界数列，{b n }为单调递减的有界数列，且
a 1≤a 2≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
由定理2可知数列{a n }，{b n }极限都存在，设
lim a n =ξ，lim b n =ξ' ，
n →∞
n →∞
则有
ξ≤ξ'
所以
0≤ξ' -ξ≤b n -a n
又
b n -a n =
1M b -a = ()11222n -1
则有
0≤ξ' -ξ≤lim (b n -a n )=0，
n →∞
即
ξ' =ξ
所以，对任意的ε>0，存在N >0，当n >N 时有[a n , b n ]⊂U (ξ; ε)。从而U (ξ; ε)内含有S 的无穷多个点，按定义6，ξ是S 的一个聚点。
2.3.4 ⑤⇒⑥ 见2.1.5 2.3.5 ⑥⇒③
证 设{[a n , b n ]}是满足定理3条件的区间列。 则
任给ε>0，存在正整数N ，当n >m >N 时有
εε
b m -a m
22由上式及数列{a n }与{b n }的单调性可得：
b n -b m ≤b n -a n +a n -b m ≤b n -a n +a m -b m
所以数列{a n }与{b n }都是Cauchy 列。故数列{a n }与{b n }都收敛。 又
lim (b n -a n )=0
n →∞
所以
lim b n =lim a n =ξ，且ξ∈ [a n , b n ]。
n →∞
b →∞
∞
n =1
下证唯一性
设另有一点ξ' 使得：
ξ∈ [a n , b n ]，
'
n =1
∞
则有
b n -a n ≥ξ-ξ' ，
这与lim (b n -a n )=0矛盾，即存在唯一的点ξ使得：ξ∈ [a n , b n ]
n →∞
∞
n =1
2.3.6 ③⇒①
证 设S ≠∅, 有上界M ．取x 0∈S ，令
[a 1, b 1]=[x 0, M ]，且b 1-a 1=M -x 0；
将[a 1, b 1]二等分，若右半区间中含有S 中的点，则令它为[a 2, b 2]，否则令左半区间为[a 2, b 2]，如此得到[a 2, b 2]且有
[a 2, b 2]⊂[a 1, b 1]，b 2-a 2=
M -x 0
； 2
如此无限进行下去，得到一闭区间列{[a n , b n ]}，其中
[a n +1, b n +1]⊂[a n , b n ] n =1,2, ，b n -a n =
由区间套定义可知，{[a n , b n ]}构成一区间套。 根据定理3，存在唯一的实数ξ∈ [a n , b n ]．
n =1∞
M -x 0
→0 (n →∞)。 n -1
2
下证ξ=sup S ：因b n 恒为S 的上界，且lim b n =ξ，故任意x ∈S ，必有x ≤b n ，则x ≤ξ
n →∞
这说明ξ是S 的上界；又因lim a n =ξ，故任给ε>0，存在a n ，使得a n >ξ-ε，而a n 都
n →∞
不是S 的上界，因此ξ-ε更不是S 的上界．所以ξ=sup S 成立．
2.4第四个循环
①⇒⑤⇒②⇒④⇒③⇒⑥⇒① 2.4.1 ①⇒⑤
证 设S 为有界无穷点集，因此存在M >0，使得S ⊂[-M , M ]。记
[a 1, b 1]=[-M , M ]。
将[a 1, b 1]二等分，因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点记此区间为[a 2, b 2] (如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，有
[a 1, b 1]⊃[a 2, b 2]，
且
b 2-a 2=
1
(b 1-a 1)=M 。 2
再将[a 2, b 2]二等分，则两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点。记这个子区间为[a 3, b 3]，有
[a 2, b 2]⊃[a 3, b 3]
且
b 3-a 3=
1M b -a =。 1)2(122
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足 (i)[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1] (ii)b n -a n =
M
， n 2
所以每一个[a n , b n ]都含有S 中无穷多个点且，
[-M , M ]⊃[a n , b n ]，n =1,2,
由{[a n , b n ]}的构造法则可知，{a n }，{b n }为有界数列，且
a 1≤a 2≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
由定理1，可知数列{a n }必有上确界，数列{b n }下确界，设
sup {a n }=ξ，
则有
①对任意的n >0，总有a n ≤ξ；
②对任意的ε>0，存在N ∈N +，使得ξ-εN 时有
ξ-ε
所以，对任意的ε>0，存在N >0，当n >N 时有{a n }⊂U (ξ; ε)。从而U (ξ; ε)内含有S 的无穷多个点，按定义6，ξ是S 的一个聚点。
2.4.2 ⑤⇒②
证 设数列{a n }单调递增有上界M ，则{a n }⊂[a 1, M ]。将[a 1, M ]二等分，如果右半
密 级 公 开
本科生毕业（学位）论文
有关实数完备性基本定理的循环证明
指导教师姓名： 职 称： 副教授 单 位： 数学系
专 业 名 称： 数学与应用数学 论文提交日期： 2010年 月 日 论文答辩日期： 2010年 月 日 学位授予单位： 黔南民族师范学院
答辩委员会主席: 论 文 评 阅 人:
2010 年 月
日
有关实数完备性基本定理的循环证明
蒋长征 (2006051135)
(黔南民族师范学院数学系 贵州. 都匀 558000)
摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六
个循环从不同的角度证明了它们的等价性。
关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；Cauchy 收
敛准则
The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real Number
Completeness
Jiang Chang-zheng (2006051135)
(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800)
Abstract : This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its related content.Based on the
result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.
Key words: Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval
theorem; Finite covering theorem; Limiting point theorem; Cauchy Restraining criterion
1 实数完备性基本定理及其有关内容
1.1 有关概念 定义
我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。一个数列是否存在极限不仅与数列本身的的结构有关，而且与所在数集密切相关。从运算的角度来说，实数集关于极限的运算是封闭的，它反映了实数集的完备性，这是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了坚实的基础。
我们常常从实数系的连续性（即实数集无间隙）出发证明实数系的完备性（即能使确界原理成立的有序域），也可从实数系的完备性出发证明实数系的连续性，所以这两个关系是等价的。因此，我们也称实数连续性为实数的完备性。下面我们就来阐述实数完备性基本定理及其有关内容，为后面的证明做铺垫。
定义1 设x =a 0. a 1 a n 为非负实数，称有理数
x n =a 0. a 1 a n
为实数x 的n 位不足近似，而有理数
x n =x n +
1 10n
称为实数x 的n 位过剩近似，n =0,1,2, 。
定义2 设S 为R 中的一个数集。若存在一个数M (L )，使得对一切x ∈S ，都有。 x ≤M (x ≥L )，则称S 为有上（下）界的数集，数M (L )称为S 的一个上界（下界）
定义3 设S 为R 中的一个数集。若数η满足： (i) 对一切x ∈S ，有x ≤η，即η是S 的上界；
(ii) 对任意数ε，存在x 0∈S ，使得x 0>η-ε，即η又是S 的最小上界， 则称η为数集S 的上确界，记作：
η=sup S
定义4 设S 为R 中的一个数集。若数ξ满足： (i) 对一切x ∈S ，有x ≥ξ，即ξ是S 的下界；
(ii) 对任意数ε，存在x 0∈S ，使得x 0
ξ=inf S
定义5 设闭区间列{[a n , b n ]}具有如下性质： (i) [a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1]，n =1,2, ； (ii) lim (b n -a n )=0
n →∞
则称{[a n , b n ]}为闭区间套，或简称区间套。
定义6 设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S ），若ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点。
定义6' 对于点集S ，点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即
U o (ξ, ε) S ≠∅，则称ξ为点集S 的一个聚点。
定义6'' 若存在各项互异的收敛数列{x n }⊂S ，则其极限lim x n =ξ称为点集S 的一
n →∞
个聚点。
注：这三个定义是等价的。
定义7 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如。若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个(α, β)的开区间）
开覆盖，或称H 覆盖S 。若H 中开区间的个数是无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限（有限）开覆盖。
定义8 一个数列{x n }被称为Cauchy 列，如果对任给的ε>0，存在正整数N ，使得当m , n >N 时有a n -b n
1.2 实数完备性六个基本定理
定理1 （确界原理）设S 为非空数集，若S 有上（下）界，则S 必有上（下）确界。 定理2（单调有界定理）在实数系，有界的单调数列必有极限。
定理3（区间套定理）若{[a n , b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点ξ使得ξ属于{[a n , b n ]} n =1,2, 即a n ≤b n 。
推论 若ξ∈[a n , b n ] （n =1,2, ）是区间套{[a n , b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N ∈N +，使得对一切n >N 时有
[αn , βn ]⊂U (ξ; ε)。
定理4（有限覆盖定理）设H 为闭区间[a n , b n ]的一个开覆盖，则从H 中可选取有限个开区间来覆盖[a n , b n ]。
定理5（聚点定理）实数系中任一有界无限点集S 至少有一个聚点。 推论 有界数列必有收敛子列。
定理6（Cauchy 收敛准则）数列{a n }收敛的充要条件是：数列{a n }是Cauchy 列。
2 基本定理的循环证明
以上六个定理，都是描述实数集的连续性（完备性）的定理，只不过表现形式不同
而已。在这六个定理中有限覆盖定理着眼于区间整体，而其它五个则着眼于一点的局部，这些点分别是定理1中的确界点、定理2和定理6中的极限点、定理3中的公共点和定理
5中的聚点。从这个方面说定理4（有限覆盖定理）是其它五个定理的逆否形式。因此
不论是用定理4证明其它五个定理还是用其它五个定理证明定理4都可以用反证法来完成，其它五个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是从已知出发构造某一点，然后证明这个点就是所要求的点。
通过上述方法虽然可以证明这六个定理的等价性，但这并不意味着它们就是正确的，若其中有一个命题是假命题，则全为假命题。因此在证明它们的等价性时起点是极其重要的。在证明过程中不同的教材和参考书对起点问题的处理也不尽相同。有的直接把其中的一个当作公理，如刘玉琏等所编的《数学分析讲义》[1]就是把单调有界原理当作公理，并以此为起点证明这六个定理的等价性，很明显这样做是不够严密的。本文是基于华东师范大学数学系编著的《数学分析》[]，即用十进位小数定义证明确界原理作
2
为起点（具体过程见[2]，第7页），然后用循环证明的方法证明它们的等价性。
2.1 第一个循环
①⇒②⇒③⇒④⇒⑤⇒⑥⇒① 2.1.1 ①⇒② 参见[2]，35页 2.1.2 ②⇒③ 参见[2]，161页 2.1.3 ③⇒④ 参见[2]，165，166页 2.1.4 ④⇒⑤
证 设S 为有界无穷点集，因此存在M >0，使得S ⊂[-M , M ]。
反正法：若S 无聚点，即[-M , M ]中任何一点都不是S 的聚点，则对于任意
x ∈[-M . M ]，必有相应的δx >0，使得U (x ; δx )内至多含有有限个x ∈S (若x ∉S ，则U (x ; δx )中不含S 中的点) 。所有这些邻域的全体形成[-M , M ]的一个无限开覆盖：
H =
{(x -δ, x +δ
x
x
)x ∈[-M , M ]}。
由定理4知，H 中存在有限个开区间能覆盖[-M , M ]。记：
H =
{(x -δ
x k
, x +δx k x ∈[-M , M ], k =1,2, , N ⊂H
)
}
为[-M , M ]的一个有限开覆盖，则H 也覆盖了S 。由于每个邻域中至多含有S 有限个点，故这N 个邻域的并集也至多有S 得有限个点，因此S 为有限点集，这与题设S 为无穷点集矛盾。
2.1.5 ⑤⇒⑥
证 必要性显然下证充分性
若数列{a n }是Cauchy 列，则{a n }收敛。 即
对任意ε>0，存在N >0，当m , n >N 时，有a m -a n 0，当m , n >N 0时有
a m -a n 取m =N 0+1, n >N 0时，则
a N 0+1-1
记
M =max a 1, a 2, , a N 0, a N 0-1, a N 0+1，
{}
则对于任意n ∈N +，有a n ≤M ，即{a n }为有界数列。
(ii)有聚点定理的推论知，有界的数列必有收敛子列，故{a n }必有收敛子列a n k 。记
lim a n k =A 。
k →∞
{}
(iii)由数列{a n }是Cauchy 列，故对任意ε>0，存在N 1>0，当m , n >N 1时，有
a m -a n
k →∞
ε
2
而又由于lim a n k =A ，故存在N 2>0，当k >N 2时有
a n k -A
ε
2
取N =max {N 1, N 2}，当m , n , k >N 时有
a n -A =a n -a n k +a n k -A
ε
2
+
ε
2
=ε
即
lim a n =A
k →∞
2.1.6 ⑥⇒① 参见[2]，167页 2.2第二个循环
①⇒③⇒⑤⇒④⇒⑥⇒②⇒① 2.2.1 ①⇒③
证 由于{[a n , b n ]}，n =1,2, 构成一个区间套，于是有：
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1 (1)
且
lim (b n -a n )=0
n →∞
所以数列{a n }为单调递增的有界数列，{b n }为单调递减的有界数列。由定理1可知数列
{a n }必有上确界，数列{b n }必有下确界。
设
ξ=sup {a n }，则有对任意的n ∈N +，有a n ≤ξ (2) ξ1=inf {b n }，则有对任意的n ∈N +，有b n ≥ξ1 (3)
所以ξ, ξ1∈{[a n , b n ]}，n =1,2, 结合(1), (2), (3)可得
0≤ξ1-ξ≤b n -a n
又因为
lim (b n -a n )=0
n →∞
所以
0≤ξ1-ξ≤lim (b n -a n )=0
v →∞
即
ξ1=ξ
所以存在唯一的点ξ使得
ξ∈{[a n , b b ]}，n =1,2,
即定理3成立。
2.2.2 ③⇒⑤ 参见[2]，164页 2.2.3 ⑤⇒④（也可参见[3]，34页） 证 假设不能用H 中有限个开区间来覆盖[a , b ]。
将[a , b ]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a 1, b 1](如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，则
[a 1, b 1]⊂[a , b ]，且b 1-a 1=2(b -a )。
再将[a 1, b 1]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a 2, b 2]，且b 2-a 2=
1
(b -a )。 22
1
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
且
b n -a n =
1
→0(n →∞)， n 2
则每个[a n , b n ]，n =1,2, 都不能用H 中有限个开区间来覆盖。
由[a n , b n ]的取法可知，数列{a n }单调递增有上界，数列{b n }单调递减有下界。 且每一个[a n , b n ]（n =1,2, ）都是有界无限点集。由聚点定理可知[a n , b n ]，至少有一个聚点，设为ξ。 又因为b n -a n =
1
→0(n →∞) 2n
故对任意的ε>0，存在N ∈N +，当n >N 时，有
b n -a n
再由[a n , b n ]的取法及ξ的性质可得当n >N 时，有[a n , b n ]⊂U (ξ; ε)∈H 。这与
[a n , b n ]的取法矛盾。故假设不成立。即有定理4成立。
2.2.4 ④⇒⑥[]
6
2.2.5 ⑥⇒②
证 设数列{a n }为单调Cauchy 列，可改述为：“ε>0，存在N >0，当n >N 时，满足a n -a N m >N ，恒有
a n -a m ≤a n -a N
倘若{a n }不收敛，由Cauchy 准则的否定陈述：存在ε0>0，对一切N ，存在n >N ，使
a n -a N =a n -a N ≥ε0
依次取
N 1=1，存在n 1>N 1，使a n 1-a 1≥ε0； N 1=n 1，存在n 2>N 2，使a n 2-a n 1≥ε0；
N k =n k -1，存在n k >N k ，使a n k -a n k -1≥ε0；
把它们相加, 得到a n k -a 1≥k ε0． 故当k >
M -a 1
ε0
时，可使a n k >M ，矛盾．所以单调递增有上界数列{a n }必定有极限．
同理可证单调递减有下界的数列必定有极限。
2.2.6 ②⇒①
证 设S ≠∅, 若S 有最大值，则最大值就是S 的上确界，下设S 无最大值。令M 为
S 的一个上界．取x 0∈S ，设
[a 1, b 1]=[x 0, M ]，且b 1-a 1=M -x 0；
将[a 1, b 1]二等分，若右半区间中含有S 中的点，则令它为[a 2, b 2]，否则令左半区间为[a 2, b 2]，如此得到[a 2, b 2]且有
[a 2, b 2]⊂[a 1, b 1]，b 2-a 2=
如此无限进行下去，得到一闭区间列
M -x 0
； 2
{[a , b ]}，
n
n
其中
[a n +1, b n +1]⊂[a n , b n ]，b n -a n =
则有
M -x 0
→0，(n →∞)。 2n -1
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
于是数列{a n }为单调递增的有界数列。
由定理2可知，数列{a n }必有极限。设
lim a n =ξ，
n →∞
由[a n , b n ]的构造法则可知，[a n , b n ]的右边没有S 中的点。 则对任意n ∈N +，有a n ≤ξ，且任给ε>0，存在n 0∈N +，有
a n 0>ξ-ε
所以ξ为S 的上确界。
同理可证有下界的数集必有下确界。
2.3第三个循环
①⇒④⇒②⇒⑤⇒⑥⇒③⇒① 2.3.1 ①⇒④
证 假设不能用H 中有限个开区间来覆盖[a , b ]。
将[a , b ]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a 1, b 1](如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，则
[a 1, b 1]⊂[a , b ]，且b 1-a 1=
1
(b -a )。 2
再将[a 1, b 1]二等分，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为
1
[a 2, b 2]，且b 2-a 2=22(b -a )。
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足
a 1≤a 2≤ ≤a n ≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
且
b n -a n =
1
→0(n →∞)， n 2
则每个[a n , b n ]，n =1,2, 都不能用H 中有限个开区间来覆盖。
由[a n , b n ]的取法可知，数列{a n }单调递增有上界，数列{b n }单调递减有下界。 根据定理1数列{a n }有上确界设为ξ，数列{b n }有下确界设为ξ1，于是有
ξ≤ξ1
且对任意n ∈N +，都有：
a n ≤ξ，b n ≥ξ1
且对任给ε>0，存在n 1, n 2∈N +，使得
ξ-ε
1
2
故令N =max {n 1, n 2}，当对任意n >N 时，有
ξ-ε
1
2
于是再令α=ξ-ε，β=ξ1+ε，则(α, β)∈H 。
这表明当n 充分大时[a n , b n ]已被开区间(α, β)所覆盖。这与[a n , b n ]的本质矛盾。故假设不成立，即[a , b ]可由H 中有限个开区间（至多有N +1个）所覆盖。
2.3.2 ④⇒②
证 设数列{x n }单调递增有上界M ，考虑区间[x 1, M ]，显然任给x ∈[x 1, M ] (i)当x 是数列{x n }的上界时，必有更小的上界x '
(ii)当x 不是数列{x n }的上界时，必存在n ∈N +，使得x n >x 。因而有x n 的开邻域
∆x ，其中∆x 的每一点都不是{x n }的上界。
对于数列{x n }中的每一点，及[x 1, M ]中的其它点都存在一个开邻域∆x (对于x n 的每一个开邻域U (x n )除中心外与{x n }的交集为空集) 它要么属于第一类，要么属于第二类。
那么，这一切邻域H ={∆x x ∈[x 1, M ]}将[x 1, M ]覆盖，由定理4可知，存在H 的有限个开区间{∆1, ∆2, , ∆N }将[x 1, M ]覆盖且U (x n )必在其中。若{x n }不收敛，显然与有限个开区间的本质矛盾。（因为数列{x n }中有无限个点，而每个点的邻域
U (x n )∈{∆1, ∆2, , ∆N }，左边无限，右边有限，故必有U (x n )除中心外与{x n }交集非空
的点。）所以{x n }收敛。
2.3.3 ②⇒⑤
证 设S 为有界无穷点集，因此存在M >0，使得S ⊂[-M , M ]。记[a 1, b 1]=[-M , M ]。 将[a 1, b 1]二等分，因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点记此区间为[a 1, b 1] (如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，且
b 2-a 2=
1
(b 1-a 1)=M 。 2
再将[a 2, b 2]二等分，两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点。记这个子区间为[a 3, b 3]，且
b 3-a 3=
1M b -a =。 ()11222
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足
b n -a n =
M
→0(n →∞)， 2n -1
且每一个[a n , b n ]都含有S 中无穷多个点。
由{[a n , b n ]}的构造法则可知，{a n }为单调递增的有界数列，{b n }为单调递减的有界数列，且
a 1≤a 2≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
由定理2可知数列{a n }，{b n }极限都存在，设
lim a n =ξ，lim b n =ξ' ，
n →∞
n →∞
则有
ξ≤ξ'
所以
0≤ξ' -ξ≤b n -a n
又
b n -a n =
1M b -a = ()11222n -1
则有
0≤ξ' -ξ≤lim (b n -a n )=0，
n →∞
即
ξ' =ξ
所以，对任意的ε>0，存在N >0，当n >N 时有[a n , b n ]⊂U (ξ; ε)。从而U (ξ; ε)内含有S 的无穷多个点，按定义6，ξ是S 的一个聚点。
2.3.4 ⑤⇒⑥ 见2.1.5 2.3.5 ⑥⇒③
证 设{[a n , b n ]}是满足定理3条件的区间列。 则
任给ε>0，存在正整数N ，当n >m >N 时有
εε
b m -a m
22由上式及数列{a n }与{b n }的单调性可得：
b n -b m ≤b n -a n +a n -b m ≤b n -a n +a m -b m
所以数列{a n }与{b n }都是Cauchy 列。故数列{a n }与{b n }都收敛。 又
lim (b n -a n )=0
n →∞
所以
lim b n =lim a n =ξ，且ξ∈ [a n , b n ]。
n →∞
b →∞
∞
n =1
下证唯一性
设另有一点ξ' 使得：
ξ∈ [a n , b n ]，
'
n =1
∞
则有
b n -a n ≥ξ-ξ' ，
这与lim (b n -a n )=0矛盾，即存在唯一的点ξ使得：ξ∈ [a n , b n ]
n →∞
∞
n =1
2.3.6 ③⇒①
证 设S ≠∅, 有上界M ．取x 0∈S ，令
[a 1, b 1]=[x 0, M ]，且b 1-a 1=M -x 0；
将[a 1, b 1]二等分，若右半区间中含有S 中的点，则令它为[a 2, b 2]，否则令左半区间为[a 2, b 2]，如此得到[a 2, b 2]且有
[a 2, b 2]⊂[a 1, b 1]，b 2-a 2=
M -x 0
； 2
如此无限进行下去，得到一闭区间列{[a n , b n ]}，其中
[a n +1, b n +1]⊂[a n , b n ] n =1,2, ，b n -a n =
由区间套定义可知，{[a n , b n ]}构成一区间套。 根据定理3，存在唯一的实数ξ∈ [a n , b n ]．
n =1∞
M -x 0
→0 (n →∞)。 n -1
2
下证ξ=sup S ：因b n 恒为S 的上界，且lim b n =ξ，故任意x ∈S ，必有x ≤b n ，则x ≤ξ
n →∞
这说明ξ是S 的上界；又因lim a n =ξ，故任给ε>0，存在a n ，使得a n >ξ-ε，而a n 都
n →∞
不是S 的上界，因此ξ-ε更不是S 的上界．所以ξ=sup S 成立．
2.4第四个循环
①⇒⑤⇒②⇒④⇒③⇒⑥⇒① 2.4.1 ①⇒⑤
证 设S 为有界无穷点集，因此存在M >0，使得S ⊂[-M , M ]。记
[a 1, b 1]=[-M , M ]。
将[a 1, b 1]二等分，因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点记此区间为[a 2, b 2] (如果两个半区间都是如此，可任选其一) ，有
[a 1, b 1]⊃[a 2, b 2]，
且
b 2-a 2=
1
(b 1-a 1)=M 。 2
再将[a 2, b 2]二等分，则两个子区间中至少有一个含有S 的无穷多个点。记这个子区间为[a 3, b 3]，有
[a 2, b 2]⊃[a 3, b 3]
且
b 3-a 3=
1M b -a =。 1)2(122
重复上述步骤不断进行下去，则得到一个闭区间列{[a n , b n ]}，它满足 (i)[a n , b n ]⊃[a n +1, b n +1] (ii)b n -a n =
M
， n 2
所以每一个[a n , b n ]都含有S 中无穷多个点且，
[-M , M ]⊃[a n , b n ]，n =1,2,
由{[a n , b n ]}的构造法则可知，{a n }，{b n }为有界数列，且
a 1≤a 2≤ ≤b n ≤ ≤b 2≤b 1
由定理1，可知数列{a n }必有上确界，数列{b n }下确界，设
sup {a n }=ξ，
则有
①对任意的n >0，总有a n ≤ξ；
②对任意的ε>0，存在N ∈N +，使得ξ-εN 时有
ξ-ε
所以，对任意的ε>0，存在N >0，当n >N 时有{a n }⊂U (ξ; ε)。从而U (ξ; ε)内含有S 的无穷多个点，按定义6，ξ是S 的一个聚点。
2.4.2 ⑤⇒②
证 设数列{a n }单调递增有上界M ，则{a n }⊂[a 1, M ]。将[a 1, M ]二等分，如果右半