知识点一：勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中
，所以
。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中
，所以
。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以
。
知识点三：勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3
22222
∴由勾股定理可得 AB=AC－BC =5－3=16 ∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在
中，
，
，
. 求：BC的长.
思路点拨：由条件
，
解析：作 ∴
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于D，则有
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
于D，则因
（
，
的两个锐角互余）
，
∴（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在
根据勾股定理，在
∴
.
中，
.
中，
.
总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P. 求证：
.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在
.
而在
中，则根据勾股定理有
.
∴又∵
∴在
（已知），
.
中，根据勾股定理有
，
中，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE
=AB²BE-
类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
==
。 。
CD²DE=
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B
点，
然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：
所以 （2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得： CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4
、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个
村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 由∠FBH＝
EA＝ED＝FB＝FC＝ ∴EF＝1－2FH＝1－
及勾股定理得：
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理）
∴ AC＝＝
答：最短路程约为１０．７７cm．
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
类型四：利用勾股定理作长为
5、作长为
、
、
的线段
的线段。
，直角边为
和1的直角三
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于角形斜边长就是，类似地可作 作法：如图所示
。
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
。斜边为
、
； 、
、
的长度就是
，这样斜边
、、、。 总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三 【变式】在数轴上表示
的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。 经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2＝202 化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝³3x³4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝
3
∴AD＝
S△ABC＝
BC²AD＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy
＝³12＝6（cm2）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2 化简得：n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。 例如：对于选择D，
∵82≠（40+39）³（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB²BC+AC²CD=36
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2
）要求出学校受影响的时间，实质是要求
拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，
∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
【答案】（1）单位正三角形的高为
，面积是
。
。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，
，故
类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求、、的值。
思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则 因为
，由勾股定理，得
，所以
，
。
，，。 总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以所以设
，则
。 。
，即
即EF的长为5cm。
，解得
。
。
在Rt△ECF中，
《勾股定理》复习题（A）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A．7，24，25 B．3
11111，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8 22222
2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 3．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若a＝
34
c，b＝c，则△ABC为直角三角形 55
D．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶2∶4，则△ABC为直角三角形
4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
5．三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（ ）A． 6 B． 36 C． 64 D． 8 6．一块木板如图2所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°， 木板的面积为( )
A．60 B．30 C．24 D．12
A 图2
C
7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）A．6cm B．8．5cm C3060
cm Dcm
1313
8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿． 12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝
13．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 14．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿． 15．直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿． 16．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．
17．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
18．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．
19．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿． 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．
三、解答题（每小题8分，共40分）
21．某车间的人字形屋架为等腰△ABC，跨度AB＝24m，上弦AC＝13m．求中柱CD（D为底AB的中点）．
22．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
23．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m
A′
A
图4
B B′
图3
24．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端
B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
25．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．
《勾股定理》复习题B
一、填空题（每题3分，共24分）
1．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（ ） A.338 B.24 C.26 D.30
3．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以 BC为边的正方形面积为（ ） A.3 B.12 C.
2716 D. 43
4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33
5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）
A.15∶12∶8 B. 15∶20∶12 C. 12∶15∶20 D.20∶15∶12 6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）
A.
252525
B. C. D.25π 8416
7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm， 现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， 则CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
D 图1
8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到 上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）
B
A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm 18cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形
图2 所拼成的长方形的面积是＿＿＿．
10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿. 11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．
12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．
13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．
14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．
15．观察下列一组数：
2
列举：3、4、5，猜想：3＝4+5；
2
列举：5、12、13，猜想：5＝12+13；
2
列举：7、24、25，猜想：7＝24+25；
图
3 „„ „„
2
列举：13、b、c，猜想：13＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.
16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB＝
（a）
（b）
（c）
图
4
E
B
C
F
图5
图6
图7 （d）
5
，则 DA的长度为＿＿＿． 3
D
A
三、解答题（共58分） 17．如图6，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．
18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?
19．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A处看见小岛C在船北偏东 60°.40分钟后，渔船行至 B处，此时看见小岛 C在船的北偏东30°，已知小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？
20．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P、Q在AB上，且∠PCQ＝45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗？若能试判断这个三角形的形状．
21．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：
图8
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由． ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
参考答案：A卷：一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C 二、11．13 12．48 13．18 14．12 15．3、4、5 16．8 17．5 18．13 19．2400 20．20
三、21．5米 22．设门高为x尺，则竹杆长为(x+1)尺，依题意由勾股定理，得x2+42＝(x+1)2，解得x＝7．5，所以门高为7．5尺，则竹杆长为8．5尺． 23．设旗杆在离底部xm位置断裂，则根据题意，得(x+1)2－x2＝64，解得x＝6，即旗杆在离底部6m位置断裂．24．在Rt△ABO中，梯子AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53．在Rt△A′B′O中，梯子A′B′2＝53＝A′O2+B′O2＝32+B′O2，所以，B′O
所以BB′＝OB－OB′＜1．
＞2×3＝6．
25．因
为a2＝n4－2n2+1，b2＝4n，c2＝n4+2n2+1，a2+b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，∠C为直角．
参考答案b卷：一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．D.提示：由三角形面积公式，可得
1
2
·AB·CD＝
1
2
·BC·AC.设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，则5k·CD
＝2k·4k.所以CD＝
1312
k.所以AC∶BC∶CD＝4k∶3k∶k＝20∶15∶12；6．A.提示：在Rt△ABC中，由勾股定理可以得到AB2＝42+32＝25，所以AB＝5.所55
2
15
以半圆的面积S＝π22
＝
25
π；7．B 8
8．B.
二、9．108 10．13 11．12 12．由勾股定理，可以得到AB2+BC2＝AC2，因为AB＝30，BC＝20×2＝40，所以302+202＝AC2，所以AC＝50，即AC间的距离为50海里；13．3 14．13cm
，30cm2或
5
2
2
15．84、85 16
、
52
. 三、17．(1)在Rt△ABC
中，由勾股定理可以得到AF2＝AB2+BF2，也就是 102＝82+BF2.所以BF＝6，FC＝4(cm) (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，可以得到EF2＝FC2+(8－EF)2.也就是EF2＝42+(8－EF)2.所以EF＝5(cm) 18．10米； 19．设小岛C与AB的垂直距离为a，则易求得a2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；
20．能组成一个三角形，且是一个以PQ为斜边的直角三角形.理由是：可将△CBQ绕点C顺时针旋转90°，则CB与CA重合，Q点变换到Q′点，此时，AQ′＝BQ，△APQ′是直角三角形，即AP2＋AQ′2＝PQ′2，另一方面，可证得△CPQ′≌△CPQ（SAS），于是，PQ′＝PQ，则AP2＋BQ2＝PQ2.
21．①能.设AP＝x米，由于BP2＝16+x2，CP2＝16+(10－x)2，而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2＝BC2，即16+x2+16+(10－x)2＝100，所以x2－10x+16＝0，即(x－5)2＝9，所以x－5＝±3，所以x＝8，x＝2，即AP＝8或2，②能.仿照①可求得AP＝4.
知识点一：勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中
，所以
。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中
，所以
。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以
。
知识点三：勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3
22222
∴由勾股定理可得 AB=AC－BC =5－3=16 ∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在
中，
，
，
. 求：BC的长.
思路点拨：由条件
，
解析：作 ∴
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于D，则有
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
于D，则因
（
，
的两个锐角互余）
，
∴（在中，如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在
根据勾股定理，在
∴
.
中，
.
中，
.
总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P. 求证：
.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系. 解析：连结BM，根据勾股定理，在
.
而在
中，则根据勾股定理有
.
∴又∵
∴在
（已知），
.
中，根据勾股定理有
，
中，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE
=AB²BE-
类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
==
。 。
CD²DE=
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B
点，
然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。 解析：（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180° ∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得：
所以 （2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m ∴∠CAB=30° ∵∠DAB=60° ∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ， 与地面交于H． 解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得： CD＝＝＝０.６米， CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4
、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个
村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3 图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH 由∠FBH＝
EA＝ED＝FB＝FC＝ ∴EF＝1－2FH＝1－
及勾股定理得：
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理）
∴ AC＝＝
答：最短路程约为１０．７７cm．
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
类型四：利用勾股定理作长为
5、作长为
、
、
的线段
的线段。
，直角边为
和1的直角三
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于角形斜边长就是，类似地可作 作法：如图所示
。
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
。斜边为
、
； 、
、
的长度就是
，这样斜边
、、、。 总结升华：（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三 【变式】在数轴上表示
的点。
解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．•（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确） 总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 ∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。 经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2＝202 化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝³3x³4x＝6x2＝96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD＝BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等） ∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝
3
∴AD＝
S△ABC＝
BC²AD＝
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由（1）得：x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49 (3) (3)－(2)，得：xy＝12
∴直角三角形的面积是xy
＝³12＝6（cm2）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2 化简得：n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。 例如：对于选择D，
∵82≠（40+39）³（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。 【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB²BC+AC²CD=36
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2
）要求出学校受影响的时间，实质是要求
拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°， AP＝160，
∴ AB＝AP＝80。 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） ∵点 A到直线MN的距离小于100m, ∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100(m)， 由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m), ∴CD＝120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/s t＝120m÷5m/s＝24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
解析：他们原来走的路为3+4＝7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为7－5＝2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
【答案】（1）单位正三角形的高为
，面积是
。
。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，
，故
类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD． 解：连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线， 所以AD=DC=DB．AD⊥BC． 且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°． 所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）． 所以AE=FC=5． 同理：AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求、、的值。
思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， 则 因为
，由勾股定理，得
，所以
，
。
，，。 总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°， 在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以所以设
，则
。 。
，即
即EF的长为5cm。
，解得
。
。
在Rt△ECF中，
《勾股定理》复习题（A）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A．7，24，25 B．3
11111，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8 22222
2．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 3．在下列说法中是错误的（ ）
A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若a＝
34
c，b＝c，则△ABC为直角三角形 55
D．在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶2∶4，则△ABC为直角三角形
4．四组数:①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a＞0)中，可以构成直角三角形的边长的有( ) A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
5．三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（ ）A． 6 B． 36 C． 64 D． 8 6．一块木板如图2所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°， 木板的面积为( )
A．60 B．30 C．24 D．12
A 图2
C
7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）A．6cm B．8．5cm C3060
cm Dcm
1313
8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm
9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝40，CB＝9，M、N在AB上且AM＝AC，BN＝BC，则MN的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（每小题3分，共30分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿． 12．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10，a∶b＝3∶4，则ab＝
13．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 14．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿． 15．直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿． 16．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．
17．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
18．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．
19．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿． 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．
三、解答题（每小题8分，共40分）
21．某车间的人字形屋架为等腰△ABC，跨度AB＝24m，上弦AC＝13m．求中柱CD（D为底AB的中点）．
22．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
23．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m
A′
A
图4
B B′
图3
24．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端
B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?
25．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．
《勾股定理》复习题B
一、填空题（每题3分，共24分）
1．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（ ） A.338 B.24 C.26 D.30
3．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以 BC为边的正方形面积为（ ） A.3 B.12 C.
2716 D. 43
4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ）
A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33
5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）
A.15∶12∶8 B. 15∶20∶12 C. 12∶15∶20 D.20∶15∶12 6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）
A.
252525
B. C. D.25π 8416
7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm， 现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， 则CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
D 图1
8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到 上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）
B
A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm 18cm 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形
图2 所拼成的长方形的面积是＿＿＿．
10．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿. 11．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．
12．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．
13．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．
14．已知两条线段长分别为5cm、12cm，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．
15．观察下列一组数：
2
列举：3、4、5，猜想：3＝4+5；
2
列举：5、12、13，猜想：5＝12+13；
2
列举：7、24、25，猜想：7＝24+25；
图
3 „„ „„
2
列举：13、b、c，猜想：13＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.
16．已知：正方形的边长为1.（1）如图4（a），可以计算出正方形的对角线长为；如图（b），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿.（2）若把（c）（d）两图拼成如图5“L”形，过C作直线交DE于A，交DF于B.若DB＝
（a）
（b）
（c）
图
4
E
B
C
F
图5
图6
图7 （d）
5
，则 DA的长度为＿＿＿． 3
D
A
三、解答题（共58分） 17．如图6，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．
18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图7所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?
19．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A处看见小岛C在船北偏东 60°.40分钟后，渔船行至 B处，此时看见小岛 C在船的北偏东30°，已知小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？
20．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，P、Q在AB上，且∠PCQ＝45°试猜想分别以线段AP、BQ、PQ为边能组成一个三角形吗？若能试判断这个三角形的形状．
21．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：
图8
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由． ②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．
参考答案：A卷：一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．C 二、11．13 12．48 13．18 14．12 15．3、4、5 16．8 17．5 18．13 19．2400 20．20
三、21．5米 22．设门高为x尺，则竹杆长为(x+1)尺，依题意由勾股定理，得x2+42＝(x+1)2，解得x＝7．5，所以门高为7．5尺，则竹杆长为8．5尺． 23．设旗杆在离底部xm位置断裂，则根据题意，得(x+1)2－x2＝64，解得x＝6，即旗杆在离底部6m位置断裂．24．在Rt△ABO中，梯子AB2＝AO2+BO2＝22+72＝53．在Rt△A′B′O中，梯子A′B′2＝53＝A′O2+B′O2＝32+B′O2，所以，B′O
所以BB′＝OB－OB′＜1．
＞2×3＝6．
25．因
为a2＝n4－2n2+1，b2＝4n，c2＝n4+2n2+1，a2+b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，∠C为直角．
参考答案b卷：一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．D.提示：由三角形面积公式，可得
1
2
·AB·CD＝
1
2
·BC·AC.设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k，则5k·CD
＝2k·4k.所以CD＝
1312
k.所以AC∶BC∶CD＝4k∶3k∶k＝20∶15∶12；6．A.提示：在Rt△ABC中，由勾股定理可以得到AB2＝42+32＝25，所以AB＝5.所55
2
15
以半圆的面积S＝π22
＝
25
π；7．B 8
8．B.
二、9．108 10．13 11．12 12．由勾股定理，可以得到AB2+BC2＝AC2，因为AB＝30，BC＝20×2＝40，所以302+202＝AC2，所以AC＝50，即AC间的距离为50海里；13．3 14．13cm
，30cm2或
5
2
2
15．84、85 16
、
52
. 三、17．(1)在Rt△ABC
中，由勾股定理可以得到AF2＝AB2+BF2，也就是 102＝82+BF2.所以BF＝6，FC＝4(cm) (2)在Rt△ABC中，由勾股定理，可以得到EF2＝FC2+(8－EF)2.也就是EF2＝42+(8－EF)2.所以EF＝5(cm) 18．10米； 19．设小岛C与AB的垂直距离为a，则易求得a2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；
20．能组成一个三角形，且是一个以PQ为斜边的直角三角形.理由是：可将△CBQ绕点C顺时针旋转90°，则CB与CA重合，Q点变换到Q′点，此时，AQ′＝BQ，△APQ′是直角三角形，即AP2＋AQ′2＝PQ′2，另一方面，可证得△CPQ′≌△CPQ（SAS），于是，PQ′＝PQ，则AP2＋BQ2＝PQ2.
21．①能.设AP＝x米，由于BP2＝16+x2，CP2＝16+(10－x)2，而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2＝BC2，即16+x2+16+(10－x)2＝100，所以x2－10x+16＝0，即(x－5)2＝9，所以x－5＝±3，所以x＝8，x＝2，即AP＝8或2，②能.仿照①可求得AP＝4.