小学数学教学类结构的基本课型
归纳探究型
探究式课型主要适用于小学数学中的定律、性质和公式教学。 探究式教学策略一般比较适合三年级以上的学生。在小学阶段 , 探究式课型可以分为归纳探究和转化探究两种 ( 中学阶段还有演绎探究 ) 。对于数学中的规律性知识教学 , 我们需要改变以往让学生理解、记忆定律 , 运用定律进行简便运算的演绎现象 , 期望通过对教材相关内容的还原加工和处理 , 以归纳的方式引导学生在解决问题的过程中探究和发现蕴涵其中的数学规律。我们把这种教学策略称为归纳探究 。
一、规律探索的教育价值
运用归纳探究的方式学习数学中的规律性知识 , 可以使学生从偶然现象或特殊问题出发 , 经历猜想、验证、归纳和概括 , 抽象出 一般的数学结论。在这个过程中 , 学生不仅可以了解知识创生和发展的过程 , 而且可以学会思考如何从偶然现象中发现必然规律。 学生一旦掌握了发现的一般方法 , 也就有了不断发现乃至创新的需要与可能 ; 不仅可以形成研究的科学态度 , 而且可以了解和掌握研究方法 , 体验探索的艰辛和发现的欢乐 , 感受前人的智慧和渗透其中的数学思想和方法 , 感受数学的抽象和力量。总之 , 藉助探究和发现 , 一方面可以使学生了解数学知识的来龙去脉 , 学习有意义的数学 ; 另一方面可以激发学生主动探究数学问题的欲望 , 增强学 生学习数学的内驱力 , 更重要的是 , 可以使学生养成主动思考的习惯 , 形成主动学习的心态 , 并逐渐建立起独特的思维方式。
在上述认识的基础上 , 我们把教学的总目标确定为使学生建立与形成研究意识。这里的研究意识主要包括猜想 , 举证 , 分类研究 , 确定研究范围 , 寻找和梳理研究材料 , 等等。自然 , 在建立研究意识的同时 , 还要掌握规律性知识 , 并运用规律解决相关问题。为了在教学中具体体现规律性知识的教育价值 , 我们又根据教学的总目标和相关教学内容确定了规律性知识的阶段性递进式目标 ( 见表 6.3) 。
小学数学教材中的规律性知识主要由两大部分组成 : 一部分是数运算中的定律和性质 ; 另一部分是数的整除中的特征和规律。关于数运算的定律和性质 , 也许是基于学生可能把握的考虑 , 教材只选择了一部分作为学习内容 , 如加法和乘法的交换律、结合律 , 乘法分配律 , 除法商不变性质等 , 而且将这些内容分别编排在每一种运算学习之后 。 这样的内容选择和编排方式容易让教师和学生只看见孤立的 “点 ”, 看不见有内在联系的知识整体。我们认为 , 这些 “点状 "”的定律和性质固然需要学生去记忆和运用 , 但其更重要的教育价值在于培养学生的研究意识和能力。从这个意义上说 , 加减乘除四种运算中的定律和性质都可以成为育人的载体和丰富的资源。再说 , 加减乘除四种运算之间本身就存在着紧密联系 : 第一 , 减法是加法的逆运算 , 除法是乘法的逆运算 ; 乘法是加法的简便运算 , 除法是减法的简便运算 ; 第二 , 乘法具有与加法相类比的运算定律 , 除法具有与减法相类比的运算性质 ; 第三 , 乘法与加减法之间有运算定律 , 除法与加减法之间也有运算性质。对于这些 “结构状 ”知识 , 我们不能停留在为使学生了解和掌握而教 , 还要把它作为培养学生研究意识的载体。它不但提供了学生更多的实践和反思机会 , 而且有利于学生整体认识和结构化地把握知识 ; 不但为学生的类比猜想和结构思考提供可能 , 而且有利于学生的主动探究和形成主动学习的心态 ; 更重要的是 , 可以帮助学生建立起结构意识和结构化的思维方式。基于这样的认识和思考 , 我们在学生规律性知识学习中一方面补充了相关内容 ( 见表 6.3), 另一方面对教材内容进行了结构重组。考虑到加减法运算集中在一册教材中 乘除法运算集中在另一册教材中 , 所以把加减法运算定律和性质编排在加减法运算之后集中教学 , 把乘除法运算定律和性质编排在乘除法运算之后集中教学。在教材补充和重组的基础上 , 我们采用 “ 长程两段式 ” 教学策略 , 把加法的运算定律教学作为 “教学结构 ” 阶段 , 把减法、乘法和除法的运算定律和性质教学以及数范围扩大后的规律研究教学作为 “运用结构 ”阶段 。
数的整除的特征和规律 , 主要是指能被 2 、 3 、 5 整除的数的特征、素数与合数、最大公约数、最小公倍数等。许多教师认识到学生自己探索并获得规律的意义 , 期望学生在课堂中能主动探究并有所发现。然而这些规律性知识并非轻易就能被发现的 , 前人对这些规律的探索和发现或许经历了相当长的时间 , 现在要用短短的一节课让学生经历和体验这个探索发现的过程 , 并真的有所发现 , 不是一件容易的事情。为了让学生能在一节课中发现这些规律 , 有的教师冥思苦想、精心构思如何为学生的发现进行铺垫性设计 , 期望学生通过这些铺垫就能 “水到渠成 ”地发现。
如 “ 能被 3 整除的数的特征 ” 的教学引入 , 老师设计了一个投般子组数的游戏 : 请学生投 3 次般子 , 随机得到三个数字 , 用这三个数字组成一个三位数 , 记录在下表中 , 然后观察那些能被 3 整除的数的特征 , 看看能发现什么。
三个数字可以组成六个不同排列的三位数，如1，2，3三个数字可以组成 123 、 132 、 213 、 231 、 312 、 321, 这些数能被 3 整除 ;1 、 2 、 4 三个数字可以组成 124 、 142 、 214 、 241 、 412 、 421, 这些数不能被 3 整除。在这里 , 六个不同排列的三位数就成为学生发现能被 3 整除的数的特征的一个铺垫 , 老师期望有了这个铺垫 , 学生就能很容易地发现能被 3 整除的数的特征 : 与数字的排列位置没有关系 , 而是与数位上数的和有关。
然而 , 在具体的教学实践中 , 大部分学生不知道其中的奥妙所在 , 表现出很茫然的状态 : 有的学生通过投般子虽然得到了三 个数字 , 但不知道怎么填写这张表 , 就在一个空格内填写一个数字 ; 有的学生虽然知道三个数字可以组成六个三位数 , 但由于通过投锻子确定的三个数字具有随机性 , 到活动停止还没有得到能被 3 整除的数 ; 有的学生虽然比较顺利地完成了表格的填写工作 , 但表格中能被 3 整除的数只有六个 , 很难一下就寻找出其中的规律所在……凡此种种表现 , 反映了大部分学生显然不领老师的情 , 他们不太情愿进入老师设计的“ 圈套 ” 。当然 , 总是有个别学生会很配合老师 , 既填写了表格 , 又 “ 发现 ” 了能被 3 整除的数的特征 。
又如 “ 素数与合数”教学 , 老师设计了拼长方形的游戏 : 请学生用几个正方形来拼长方形 , 然后观察那些只有一种拼法的是用几个正方形拼成的 , 那些有多种拼法的又是用几个正方形拼成的。在这里 , 教师期望只有一种拼法与多种拼法的区分成为学生发现素数与合数的一个铺垫。但是 , 这个铺垫不如前例的设计那样容易“水到渠成” 。第一 , 只有一种拼法与多种拼法的区分只能将数分为两类 , 还很难与这些数的约数个数建立直接联系 ; 第二 , 按照这个铺垫设计的逻辑 ,1 就变成了素数 , 因为 1 应该属于只有一种拼法的一类 ( 正方形是特殊的长方形 ) 。这又该如何解释呢 ? 我们有的老师会自圆其说 ,“ 因为一个正方形不能拼成长方形 , 所以 1 很特殊 ”, 但这样的解答似乎又比较勉强。
不管教师的铺垫设计是巧妙 , 还是牵强 , 我们都不得不佩服教师的用心良苦。同时我们又隐隐感到这些铺垫似乎就是为了获得某个规律或结论 , 教学似乎就是为了规律。从教师直接传授知识到教师铺垫的学生自己探索和发现知识 , 自然是一种进步 , 但是我们不得不思考一系列问题 : 是否每节课都能为学生进 行这样的铺垫设计 ? 倘若离开教师的铺垫设计 , 学生如何独立探索、发现和研究 ? 前人在探索、发现和研究的过程中是否也有人为他们进行铺垫 ? 数的整除这个单元
的学习应怎样发挥载体的作用 , 培育学生怎样的研究意识和能力 ?
其实 , 当我们的视角从一个个的知识点中跳出 , 整体地分析和研究整个单元知识的结构和联系 , 我们就会发现 , 数的整除这个单元实际是对自然数范围内数的特性展开研究。要对数的特 性展开研究 , 大多离不开具体研究的路径、范围、材料的确定。 例如 , 研究能被 3 整除的数的特征 , 首先要确定研究的路径。因为一个能被 3 整除的数一定是 3 的倍数 , 所以不妨从 3 的倍数出发去研究它们的特征所在。其次是确定研究的范围 , 一般可以先确定一个相对较小的范围进行研究 , 如果能发现结论 , 再验证这个结论在其他范围内是否都能成立 , 如果不能发现结论 , 还要再适当扩大范围。这时 , 可以利用 4 人小组合作研究的有利条件 , 每个人研究一个范围 ,4 个人连续的小范围就构成一个相 对较大的研究范围。如第一人从 50-100, 第二人从 loo-150, 第三人从 150-200, 第四人从 200-250,4 个人合起来的研究范围就是 50-250 之间。确定了研究范围之后 , 就可以有序地罗列 这个范围内 3 的倍数口之所以要有顺序地排列 , 是因为排列有规律才容易观察和发现。如果排列杂乱无章 , 即使有发现 , 也可能是出于偶然 。
在数的整除这个单元教学中 , 几乎所有知识的学习都可以确定相关的研究路径、研究范围和研究材料 , 这样我们就找到了这些知识之间的内在关联。如果藉助数的整除这个单元的知识学习 , 使学生把握这种研究方法 , 那么教学的载体作用和育人价值就有可能得以具体体现。为此 , 我们可以运用 " 长程两段式 " 教学策略 , 在能被 2 、 3 和 5 整除的数的特征教学结构中 , 在以后知识的学习 中 , 让学生运用结构独立开展研究。该教学的阶段性目标也一并 在表 6.3 中列出。
二、规律探索教学结构
规律探索教学过程可以概括为下凰所示的教学流程
:
为了更清晰地说明上述流程 , 尚需对四个环节作简要说明。
第一环节 : 提出问题。这是归纳探究式教学的关键之处。前人的许多发现和发明都源自于一个偶然的问题或现象 , 从中我们 可以得到启示 , 通过提出一个开放的问题 , 引导学生从一个偶然问 题出发 , 经历从偶然中突然发现必然的过程。可以说这种一刹那间的突然发现所带来的惊喜 , 不但可以增强学生的自信心 , 而且可以激发学生进一步研究的欲望 o
提出问题可根据教学内容的需要采用不同方式。主要路径有以下几种。一是根据生活中的现实
材料。如在 200 米比赛中 , 运动员为什么不在同一起跑线上 ? 二是对数学历史材料改造、处理 和加工。如 , 将尺、量角器、圆周率等历史材料改造后引入课题。 三是通过类比猜想。如乘法结合律教学 , 可让学生类比加法结合律进行联想 , 将 “ 乘法运算中是否也存在这样的规律 ” 作为探究主题。四是对教材中的知识进行还原处理 , 即把教材中的应用问题提前到知识教学前直接作为课堂引入的问题。例如小学三年级加法结合律教学 , 可提出问题 "37+75 十 25=? 你有几种解决问题的方法 ? 哪一种比较方便 ?" 对于这样的问题 , 许多学生可能会利用已有基础从左到右依次运算 : 先算 37+75=112, 再计算 112+25 =137( 三年级学生计算这个题目时还需要借助竖式笔算 , 比较麻烦 ); 也有学生可能先计算 75+25=100, 再计算 100+37=137, 这不需要笔算 , 直接口算就可得到同样结果。第二种可能的存在 , 不排除以下两个因素 : 一是部分学生可能已经事先预习教材或通 过其他途径 ( 如课外兴趣班 ) 知道了加法结合律 ; 二是部分学生在 确实不知道加法结合律的前提下 , 由于对 75+25=100 的敏感 , 直觉反应是先算 75+25=100, 再算 100+37=137 比较简便。 对于这种敏感与直觉 , 数学教学中要花大力气去培养 , 这取决于教师是否有这方面的教学意识。我们之所以提出这样的问题 , 是希望教师能够注意培养学生对问题的敏感与直觉。部分学生已经知道加法结合律 , 但教师千万不能以个别学生替代全体 , 轻易地加以认同 , 因为这些学生可能只知道结论 , 并不知道结论产生的过程以及隐藏在结论背后的思想方法 , 要引导他们去了解结论 是如何产生的并获得一般方法 。 教师可在引导学生比较两种计算方法哪种简便的基础上提出本课研究的关键性问题 , 即 “ 第二种计算方法实际是改变了运算顺序 , 得到的结果与原来一样。 这是不是一种偶然的巧合 ? 是只有在 37+75+25 这个题目中 , 还是在所有的三个数连加运算中都能改变运算顺序 ”, 引导学生从一个特殊、偶然的问题出发 , 去归纳探究内在于其中的一般又是必然的规律口总之 , 无论用哪一种方式 , 教师都要注意 : 一是需要学生探究的问题要清晰明了 ; 二是要激发学生研究的欲望 , 营造研究的氛围。
第二环节 : 发现和猜想。这是探究获得结论的前提。这里尤其要注意避免让学生凭空瞎猜 , 这种情况在教学中不是不存在。 一般来说 , 可通过以下三种方式提供学生合理猜想的依据 : 根据直觉猜想 , 根据归纳推理猜想 , 根据类比推理猜想。例如加法结合律教学 , 在发现 37+75+25 改变运算顺序后计算比较简便之后 , 要研究其他题目是否也可以这样改变运算顺序。这时 , 教师可再出 示 28+137+63 和 68+54+46, 让学生观察三个题目之间的联系 , 通过归纳推理作出猜想。
第三环节 : 验证猜想。这是对猜想正确与否进行事实举证。 小学一般以不完全归纳的方式通过举例来验证猜想。首先 , 教师要注意引导学生研究一般情况 , 尤其要注意打开学生的研究思路 ,因为许多学生在这里会受前面特殊问题的影响或类比内容的局 限。如在加法结合律的举例验证中 ( 验证时可利用计算器 ), 学生往往只例举与前面特殊问题同样的事例进行研究 , 而不注意例举 一般事例 , 这就使研究质量大打折扣。其次 , 教师要注意引导学生研究特殊情况 , 如 0
和 1 等。学生如果在加法运算定律、减法运算 性质教学中经历了特殊情况的研究 , 那么在乘法运算定律、除法运算性质教学中就可能自觉、主动地对 O 的情况加以思考。再次 , 教师要注意观察学生对研究过程的记录情况和验证格式。因为有些学生因不知道怎样验证而机械模仿 , 有些学生为图方便 , 就例举一 些很容易计算的例子。为了使学生知道怎样验证 , 要规范研究记录格式。
第四环节 : 归纳概括结论。这是一个从特殊问题出发 , 归纳和 抽象出普遍存在的一般规律的概括提升过程。教师不要期望学生 说得和教材中的结论一模一样 , 而是要鼓励学生用自己的语言表 述自己研究获得的结论。一方面注意提供学生表述和实践的机会 , 另一方面要利用学生的错误资源 , 引导学生学会严密地表述。 同时 , 还要注意提供机会让学生体验数学化的过程。
一般把加法运算规律教学作为教学结构阶段。在教学结构阶段 , 主要目标是既引导学生进行合理猜想 , 又着力于让学生了 解探究规律从发现猜想、验证猜想到形成结论所要经历的一般过程 , 从而形成学习这类知识的方法结构。就一节课而言 , 归纳究主要由两个层次构成。一是基本研究 , 指围绕基本问题和基本结论的研究 , 由提出问题、发现和猜想、验证或证明、概括结论四个步骤构成 。二是拓展研究 , 指围绕第一层次获得的基本结论作纵向延伸性或横向扩展性研究口例如小学数学教学中加法结合律的教学 , 可以先研究自然数范围内三个加数之间的加法结合律 , 然后纵向延伸到研究自然数范围内 n 个加数之间的加 法结合律是否存在 , 横向扩展到研究类比加法结合律 , 减法、乘法 与除法运算中是否存在这个规律 ( 随着学生认识数范围的扩大 , 还可以进一步扩展研究结合律在整数、小数、分数范围是否成立 ) 。 在第一层次基础上对新问题展开的第二层次研究 , 一般要重复经历第一层次中的四个步骤 ( 如果发现结论不成立则举出反例加以 否定 ) 。在一节课中 , 这种循环随着新问题的形成和不断深入可以重复多次 , 使课堂教学不断向纵深推进 , 从而在质和量上保证探究的效果。
一般可以把减法、乘法和除法运算规律的教学作为 “运用结构” 阶段。这个阶段的主要目标是既要形成学生自觉合理猜想的意识与能力 , 又要形成学生严谨和周密的研究态度。教师一方面可引导学生利用加减乘除法之间的内在关系 , 充分展开合理的猜想与联想 , 另一方面要注意学生探究、发现是否积极和主动 , 方法运用是否自如和灵活 , 研究态度是否严谨和周密 , 考虑如何通过有效回应使学生的猜想更合理、研究更严谨、思维更周密、表述更严密。这些努力都旨在使学生形成初步的研究意识、 主动的学习心态以及研究问题的思维方式。在数运算规律教学的基础上 , 数的整除教学也可作为 “ 运用结构 ” 阶段 , 只是在学生运用结构迁移之前 , 教师要指导学生如何寻找研究材料 ( 包括怎 样确定研究路径、研究范围和材料有序罗列 ), 这也是研究方法 的重要组成部分。此外 , 教师还要注意提供变式情境 ( 参见表 6.3 中的补充内容 ), 使学生逐步学会在变式情境中按步骤自觉、 灵活地展开研究。
本文摘自《小学数学教学新视野》·吴亚萍·上海教育出版社
小学数学教学类结构的基本课型
归纳探究型
探究式课型主要适用于小学数学中的定律、性质和公式教学。 探究式教学策略一般比较适合三年级以上的学生。在小学阶段 , 探究式课型可以分为归纳探究和转化探究两种 ( 中学阶段还有演绎探究 ) 。对于数学中的规律性知识教学 , 我们需要改变以往让学生理解、记忆定律 , 运用定律进行简便运算的演绎现象 , 期望通过对教材相关内容的还原加工和处理 , 以归纳的方式引导学生在解决问题的过程中探究和发现蕴涵其中的数学规律。我们把这种教学策略称为归纳探究 。
一、规律探索的教育价值
运用归纳探究的方式学习数学中的规律性知识 , 可以使学生从偶然现象或特殊问题出发 , 经历猜想、验证、归纳和概括 , 抽象出 一般的数学结论。在这个过程中 , 学生不仅可以了解知识创生和发展的过程 , 而且可以学会思考如何从偶然现象中发现必然规律。 学生一旦掌握了发现的一般方法 , 也就有了不断发现乃至创新的需要与可能 ; 不仅可以形成研究的科学态度 , 而且可以了解和掌握研究方法 , 体验探索的艰辛和发现的欢乐 , 感受前人的智慧和渗透其中的数学思想和方法 , 感受数学的抽象和力量。总之 , 藉助探究和发现 , 一方面可以使学生了解数学知识的来龙去脉 , 学习有意义的数学 ; 另一方面可以激发学生主动探究数学问题的欲望 , 增强学 生学习数学的内驱力 , 更重要的是 , 可以使学生养成主动思考的习惯 , 形成主动学习的心态 , 并逐渐建立起独特的思维方式。
在上述认识的基础上 , 我们把教学的总目标确定为使学生建立与形成研究意识。这里的研究意识主要包括猜想 , 举证 , 分类研究 , 确定研究范围 , 寻找和梳理研究材料 , 等等。自然 , 在建立研究意识的同时 , 还要掌握规律性知识 , 并运用规律解决相关问题。为了在教学中具体体现规律性知识的教育价值 , 我们又根据教学的总目标和相关教学内容确定了规律性知识的阶段性递进式目标 ( 见表 6.3) 。
小学数学教材中的规律性知识主要由两大部分组成 : 一部分是数运算中的定律和性质 ; 另一部分是数的整除中的特征和规律。关于数运算的定律和性质 , 也许是基于学生可能把握的考虑 , 教材只选择了一部分作为学习内容 , 如加法和乘法的交换律、结合律 , 乘法分配律 , 除法商不变性质等 , 而且将这些内容分别编排在每一种运算学习之后 。 这样的内容选择和编排方式容易让教师和学生只看见孤立的 “点 ”, 看不见有内在联系的知识整体。我们认为 , 这些 “点状 "”的定律和性质固然需要学生去记忆和运用 , 但其更重要的教育价值在于培养学生的研究意识和能力。从这个意义上说 , 加减乘除四种运算中的定律和性质都可以成为育人的载体和丰富的资源。再说 , 加减乘除四种运算之间本身就存在着紧密联系 : 第一 , 减法是加法的逆运算 , 除法是乘法的逆运算 ; 乘法是加法的简便运算 , 除法是减法的简便运算 ; 第二 , 乘法具有与加法相类比的运算定律 , 除法具有与减法相类比的运算性质 ; 第三 , 乘法与加减法之间有运算定律 , 除法与加减法之间也有运算性质。对于这些 “结构状 ”知识 , 我们不能停留在为使学生了解和掌握而教 , 还要把它作为培养学生研究意识的载体。它不但提供了学生更多的实践和反思机会 , 而且有利于学生整体认识和结构化地把握知识 ; 不但为学生的类比猜想和结构思考提供可能 , 而且有利于学生的主动探究和形成主动学习的心态 ; 更重要的是 , 可以帮助学生建立起结构意识和结构化的思维方式。基于这样的认识和思考 , 我们在学生规律性知识学习中一方面补充了相关内容 ( 见表 6.3), 另一方面对教材内容进行了结构重组。考虑到加减法运算集中在一册教材中 乘除法运算集中在另一册教材中 , 所以把加减法运算定律和性质编排在加减法运算之后集中教学 , 把乘除法运算定律和性质编排在乘除法运算之后集中教学。在教材补充和重组的基础上 , 我们采用 “ 长程两段式 ” 教学策略 , 把加法的运算定律教学作为 “教学结构 ” 阶段 , 把减法、乘法和除法的运算定律和性质教学以及数范围扩大后的规律研究教学作为 “运用结构 ”阶段 。
数的整除的特征和规律 , 主要是指能被 2 、 3 、 5 整除的数的特征、素数与合数、最大公约数、最小公倍数等。许多教师认识到学生自己探索并获得规律的意义 , 期望学生在课堂中能主动探究并有所发现。然而这些规律性知识并非轻易就能被发现的 , 前人对这些规律的探索和发现或许经历了相当长的时间 , 现在要用短短的一节课让学生经历和体验这个探索发现的过程 , 并真的有所发现 , 不是一件容易的事情。为了让学生能在一节课中发现这些规律 , 有的教师冥思苦想、精心构思如何为学生的发现进行铺垫性设计 , 期望学生通过这些铺垫就能 “水到渠成 ”地发现。
如 “ 能被 3 整除的数的特征 ” 的教学引入 , 老师设计了一个投般子组数的游戏 : 请学生投 3 次般子 , 随机得到三个数字 , 用这三个数字组成一个三位数 , 记录在下表中 , 然后观察那些能被 3 整除的数的特征 , 看看能发现什么。
三个数字可以组成六个不同排列的三位数，如1，2，3三个数字可以组成 123 、 132 、 213 、 231 、 312 、 321, 这些数能被 3 整除 ;1 、 2 、 4 三个数字可以组成 124 、 142 、 214 、 241 、 412 、 421, 这些数不能被 3 整除。在这里 , 六个不同排列的三位数就成为学生发现能被 3 整除的数的特征的一个铺垫 , 老师期望有了这个铺垫 , 学生就能很容易地发现能被 3 整除的数的特征 : 与数字的排列位置没有关系 , 而是与数位上数的和有关。
然而 , 在具体的教学实践中 , 大部分学生不知道其中的奥妙所在 , 表现出很茫然的状态 : 有的学生通过投般子虽然得到了三 个数字 , 但不知道怎么填写这张表 , 就在一个空格内填写一个数字 ; 有的学生虽然知道三个数字可以组成六个三位数 , 但由于通过投锻子确定的三个数字具有随机性 , 到活动停止还没有得到能被 3 整除的数 ; 有的学生虽然比较顺利地完成了表格的填写工作 , 但表格中能被 3 整除的数只有六个 , 很难一下就寻找出其中的规律所在……凡此种种表现 , 反映了大部分学生显然不领老师的情 , 他们不太情愿进入老师设计的“ 圈套 ” 。当然 , 总是有个别学生会很配合老师 , 既填写了表格 , 又 “ 发现 ” 了能被 3 整除的数的特征 。
又如 “ 素数与合数”教学 , 老师设计了拼长方形的游戏 : 请学生用几个正方形来拼长方形 , 然后观察那些只有一种拼法的是用几个正方形拼成的 , 那些有多种拼法的又是用几个正方形拼成的。在这里 , 教师期望只有一种拼法与多种拼法的区分成为学生发现素数与合数的一个铺垫。但是 , 这个铺垫不如前例的设计那样容易“水到渠成” 。第一 , 只有一种拼法与多种拼法的区分只能将数分为两类 , 还很难与这些数的约数个数建立直接联系 ; 第二 , 按照这个铺垫设计的逻辑 ,1 就变成了素数 , 因为 1 应该属于只有一种拼法的一类 ( 正方形是特殊的长方形 ) 。这又该如何解释呢 ? 我们有的老师会自圆其说 ,“ 因为一个正方形不能拼成长方形 , 所以 1 很特殊 ”, 但这样的解答似乎又比较勉强。
不管教师的铺垫设计是巧妙 , 还是牵强 , 我们都不得不佩服教师的用心良苦。同时我们又隐隐感到这些铺垫似乎就是为了获得某个规律或结论 , 教学似乎就是为了规律。从教师直接传授知识到教师铺垫的学生自己探索和发现知识 , 自然是一种进步 , 但是我们不得不思考一系列问题 : 是否每节课都能为学生进 行这样的铺垫设计 ? 倘若离开教师的铺垫设计 , 学生如何独立探索、发现和研究 ? 前人在探索、发现和研究的过程中是否也有人为他们进行铺垫 ? 数的整除这个单元
的学习应怎样发挥载体的作用 , 培育学生怎样的研究意识和能力 ?
其实 , 当我们的视角从一个个的知识点中跳出 , 整体地分析和研究整个单元知识的结构和联系 , 我们就会发现 , 数的整除这个单元实际是对自然数范围内数的特性展开研究。要对数的特 性展开研究 , 大多离不开具体研究的路径、范围、材料的确定。 例如 , 研究能被 3 整除的数的特征 , 首先要确定研究的路径。因为一个能被 3 整除的数一定是 3 的倍数 , 所以不妨从 3 的倍数出发去研究它们的特征所在。其次是确定研究的范围 , 一般可以先确定一个相对较小的范围进行研究 , 如果能发现结论 , 再验证这个结论在其他范围内是否都能成立 , 如果不能发现结论 , 还要再适当扩大范围。这时 , 可以利用 4 人小组合作研究的有利条件 , 每个人研究一个范围 ,4 个人连续的小范围就构成一个相 对较大的研究范围。如第一人从 50-100, 第二人从 loo-150, 第三人从 150-200, 第四人从 200-250,4 个人合起来的研究范围就是 50-250 之间。确定了研究范围之后 , 就可以有序地罗列 这个范围内 3 的倍数口之所以要有顺序地排列 , 是因为排列有规律才容易观察和发现。如果排列杂乱无章 , 即使有发现 , 也可能是出于偶然 。
在数的整除这个单元教学中 , 几乎所有知识的学习都可以确定相关的研究路径、研究范围和研究材料 , 这样我们就找到了这些知识之间的内在关联。如果藉助数的整除这个单元的知识学习 , 使学生把握这种研究方法 , 那么教学的载体作用和育人价值就有可能得以具体体现。为此 , 我们可以运用 " 长程两段式 " 教学策略 , 在能被 2 、 3 和 5 整除的数的特征教学结构中 , 在以后知识的学习 中 , 让学生运用结构独立开展研究。该教学的阶段性目标也一并 在表 6.3 中列出。
二、规律探索教学结构
规律探索教学过程可以概括为下凰所示的教学流程
:
为了更清晰地说明上述流程 , 尚需对四个环节作简要说明。
第一环节 : 提出问题。这是归纳探究式教学的关键之处。前人的许多发现和发明都源自于一个偶然的问题或现象 , 从中我们 可以得到启示 , 通过提出一个开放的问题 , 引导学生从一个偶然问 题出发 , 经历从偶然中突然发现必然的过程。可以说这种一刹那间的突然发现所带来的惊喜 , 不但可以增强学生的自信心 , 而且可以激发学生进一步研究的欲望 o
提出问题可根据教学内容的需要采用不同方式。主要路径有以下几种。一是根据生活中的现实
材料。如在 200 米比赛中 , 运动员为什么不在同一起跑线上 ? 二是对数学历史材料改造、处理 和加工。如 , 将尺、量角器、圆周率等历史材料改造后引入课题。 三是通过类比猜想。如乘法结合律教学 , 可让学生类比加法结合律进行联想 , 将 “ 乘法运算中是否也存在这样的规律 ” 作为探究主题。四是对教材中的知识进行还原处理 , 即把教材中的应用问题提前到知识教学前直接作为课堂引入的问题。例如小学三年级加法结合律教学 , 可提出问题 "37+75 十 25=? 你有几种解决问题的方法 ? 哪一种比较方便 ?" 对于这样的问题 , 许多学生可能会利用已有基础从左到右依次运算 : 先算 37+75=112, 再计算 112+25 =137( 三年级学生计算这个题目时还需要借助竖式笔算 , 比较麻烦 ); 也有学生可能先计算 75+25=100, 再计算 100+37=137, 这不需要笔算 , 直接口算就可得到同样结果。第二种可能的存在 , 不排除以下两个因素 : 一是部分学生可能已经事先预习教材或通 过其他途径 ( 如课外兴趣班 ) 知道了加法结合律 ; 二是部分学生在 确实不知道加法结合律的前提下 , 由于对 75+25=100 的敏感 , 直觉反应是先算 75+25=100, 再算 100+37=137 比较简便。 对于这种敏感与直觉 , 数学教学中要花大力气去培养 , 这取决于教师是否有这方面的教学意识。我们之所以提出这样的问题 , 是希望教师能够注意培养学生对问题的敏感与直觉。部分学生已经知道加法结合律 , 但教师千万不能以个别学生替代全体 , 轻易地加以认同 , 因为这些学生可能只知道结论 , 并不知道结论产生的过程以及隐藏在结论背后的思想方法 , 要引导他们去了解结论 是如何产生的并获得一般方法 。 教师可在引导学生比较两种计算方法哪种简便的基础上提出本课研究的关键性问题 , 即 “ 第二种计算方法实际是改变了运算顺序 , 得到的结果与原来一样。 这是不是一种偶然的巧合 ? 是只有在 37+75+25 这个题目中 , 还是在所有的三个数连加运算中都能改变运算顺序 ”, 引导学生从一个特殊、偶然的问题出发 , 去归纳探究内在于其中的一般又是必然的规律口总之 , 无论用哪一种方式 , 教师都要注意 : 一是需要学生探究的问题要清晰明了 ; 二是要激发学生研究的欲望 , 营造研究的氛围。
第二环节 : 发现和猜想。这是探究获得结论的前提。这里尤其要注意避免让学生凭空瞎猜 , 这种情况在教学中不是不存在。 一般来说 , 可通过以下三种方式提供学生合理猜想的依据 : 根据直觉猜想 , 根据归纳推理猜想 , 根据类比推理猜想。例如加法结合律教学 , 在发现 37+75+25 改变运算顺序后计算比较简便之后 , 要研究其他题目是否也可以这样改变运算顺序。这时 , 教师可再出 示 28+137+63 和 68+54+46, 让学生观察三个题目之间的联系 , 通过归纳推理作出猜想。
第三环节 : 验证猜想。这是对猜想正确与否进行事实举证。 小学一般以不完全归纳的方式通过举例来验证猜想。首先 , 教师要注意引导学生研究一般情况 , 尤其要注意打开学生的研究思路 ,因为许多学生在这里会受前面特殊问题的影响或类比内容的局 限。如在加法结合律的举例验证中 ( 验证时可利用计算器 ), 学生往往只例举与前面特殊问题同样的事例进行研究 , 而不注意例举 一般事例 , 这就使研究质量大打折扣。其次 , 教师要注意引导学生研究特殊情况 , 如 0
和 1 等。学生如果在加法运算定律、减法运算 性质教学中经历了特殊情况的研究 , 那么在乘法运算定律、除法运算性质教学中就可能自觉、主动地对 O 的情况加以思考。再次 , 教师要注意观察学生对研究过程的记录情况和验证格式。因为有些学生因不知道怎样验证而机械模仿 , 有些学生为图方便 , 就例举一 些很容易计算的例子。为了使学生知道怎样验证 , 要规范研究记录格式。
第四环节 : 归纳概括结论。这是一个从特殊问题出发 , 归纳和 抽象出普遍存在的一般规律的概括提升过程。教师不要期望学生 说得和教材中的结论一模一样 , 而是要鼓励学生用自己的语言表 述自己研究获得的结论。一方面注意提供学生表述和实践的机会 , 另一方面要利用学生的错误资源 , 引导学生学会严密地表述。 同时 , 还要注意提供机会让学生体验数学化的过程。
一般把加法运算规律教学作为教学结构阶段。在教学结构阶段 , 主要目标是既引导学生进行合理猜想 , 又着力于让学生了 解探究规律从发现猜想、验证猜想到形成结论所要经历的一般过程 , 从而形成学习这类知识的方法结构。就一节课而言 , 归纳究主要由两个层次构成。一是基本研究 , 指围绕基本问题和基本结论的研究 , 由提出问题、发现和猜想、验证或证明、概括结论四个步骤构成 。二是拓展研究 , 指围绕第一层次获得的基本结论作纵向延伸性或横向扩展性研究口例如小学数学教学中加法结合律的教学 , 可以先研究自然数范围内三个加数之间的加法结合律 , 然后纵向延伸到研究自然数范围内 n 个加数之间的加 法结合律是否存在 , 横向扩展到研究类比加法结合律 , 减法、乘法 与除法运算中是否存在这个规律 ( 随着学生认识数范围的扩大 , 还可以进一步扩展研究结合律在整数、小数、分数范围是否成立 ) 。 在第一层次基础上对新问题展开的第二层次研究 , 一般要重复经历第一层次中的四个步骤 ( 如果发现结论不成立则举出反例加以 否定 ) 。在一节课中 , 这种循环随着新问题的形成和不断深入可以重复多次 , 使课堂教学不断向纵深推进 , 从而在质和量上保证探究的效果。
一般可以把减法、乘法和除法运算规律的教学作为 “运用结构” 阶段。这个阶段的主要目标是既要形成学生自觉合理猜想的意识与能力 , 又要形成学生严谨和周密的研究态度。教师一方面可引导学生利用加减乘除法之间的内在关系 , 充分展开合理的猜想与联想 , 另一方面要注意学生探究、发现是否积极和主动 , 方法运用是否自如和灵活 , 研究态度是否严谨和周密 , 考虑如何通过有效回应使学生的猜想更合理、研究更严谨、思维更周密、表述更严密。这些努力都旨在使学生形成初步的研究意识、 主动的学习心态以及研究问题的思维方式。在数运算规律教学的基础上 , 数的整除教学也可作为 “ 运用结构 ” 阶段 , 只是在学生运用结构迁移之前 , 教师要指导学生如何寻找研究材料 ( 包括怎 样确定研究路径、研究范围和材料有序罗列 ), 这也是研究方法 的重要组成部分。此外 , 教师还要注意提供变式情境 ( 参见表 6.3 中的补充内容 ), 使学生逐步学会在变式情境中按步骤自觉、 灵活地展开研究。
本文摘自《小学数学教学新视野》·吴亚萍·上海教育出版社