东芝杯〃中国师范大学师范专业 理科大学生教学技能创新实践大赛
参 赛 教 案
选用教材：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 （人教A 版）第29-31页 授课对象：高中二年级学生 参赛选手：***
选手专业：数学与应用数学（师范） 指导教师：***
教育不在于使人知其所未知， 而在于按其所未行而行。
【主题】 二项式定理的发现
【教材内容】 1.3.1二项式定理 【教学对象】 高中二年级学生 【教学目标】 ✧ 知识与技能：
识记二项式定理，能够正确写出简单情况下的二项式的展开式；掌握二项展开式的特征（项数，结构，系数等）；了解二项展开式系数的几何排列规律（杨辉三角）；理解二项式定理是乘法公式的推广。 ✧ 过程与方法：
经历二项式定理的发现过程，掌握特殊化的分析方法，发展观察、归纳、猜想的能力，发展数学交流的能力，发展抽象概括的数学思维能力，掌握二项式展开的基本方法，领悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。 ✧ 情感态度价值观：
积极参与二项式定理的发现过程，养成独立思考、合作探究、数学表达的学习习惯，体验发现的乐趣，享受成功的喜悦。欣赏二项式定理内在的结构之美，体验杨辉三角独特的文化魅力，增强民族自豪感。
【教学重点】分析(a +b ) 2, (a +b ) 3的展开式，归纳得出二项式定理。了解二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质。
n
【教学难点】根据展开式(a +b ) 2, (a +b ) 3的特征，得出(a +b ) 展开式猜想。 【教学过程设计】 一、设计理念
二、教学过程
三、设计说明
在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙。将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面表明(a +b ) n 的展开式与分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的知识具有密切的联系，同时它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为下一章进一步学习随机变量及其分布作准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，在推导出二项式定理的过程中，也可以深化学生对组合数的认识，体会其本质。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。
二项式定理研究的是(a +b ) n 的展开式。教科书设计了如下过程：（1）将二项式的展开式与“计数问题”联系在一起是不容易的，因此教科书首先采用合情推理的方法，在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出(a +b ) 2, (a +b ) 3, (a +b ) 4的展开式问题；（2）详细写出用多项式乘法法则得到(a +b ) 2展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开式进行分析，概括出系数以及项的形式。用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得到用组合数表示的(a +b ) 2的展开式；（3）让学生模仿上述过程推导(a +b ) 3, (a +b ) 4的展开式；并在此基础上，得出关于(a +b ) n 的展开式的猜想，最后给出说理性的证明。
在上述过程中，第（2）步是关键，并且也是难点。其中，既要利用计数原理分析二项式的展开过程，也要发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。课程标准要求，二项式定理的教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力，这——挑战高中生的智力水平。为此，本片段搭建了一个“脚手架”：棋盘问题。由于该问题的解答结果就是二项式系数，且与杨辉三角内在一致，借助路线图的直观操作，巧妙设置问题，把有关的知识内容联系起来，既有助于学生的数学思维在问题引导下不断深入，从具体到一般，从直观到抽象，也让学生在解决问题的过程中感受发现的乐趣，体验数学的魅力。
东芝杯〃中国师范大学师范专业 理科大学生教学技能创新实践大赛
参 赛 教 案
选用教材：普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 （人教A 版）第29-31页 授课对象：高中二年级学生 参赛选手：***
选手专业：数学与应用数学（师范） 指导教师：***
教育不在于使人知其所未知， 而在于按其所未行而行。
【主题】 二项式定理的发现
【教材内容】 1.3.1二项式定理 【教学对象】 高中二年级学生 【教学目标】 ✧ 知识与技能：
识记二项式定理，能够正确写出简单情况下的二项式的展开式；掌握二项展开式的特征（项数，结构，系数等）；了解二项展开式系数的几何排列规律（杨辉三角）；理解二项式定理是乘法公式的推广。 ✧ 过程与方法：
经历二项式定理的发现过程，掌握特殊化的分析方法，发展观察、归纳、猜想的能力，发展数学交流的能力，发展抽象概括的数学思维能力，掌握二项式展开的基本方法，领悟从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。 ✧ 情感态度价值观：
积极参与二项式定理的发现过程，养成独立思考、合作探究、数学表达的学习习惯，体验发现的乐趣，享受成功的喜悦。欣赏二项式定理内在的结构之美，体验杨辉三角独特的文化魅力，增强民族自豪感。
【教学重点】分析(a +b ) 2, (a +b ) 3的展开式，归纳得出二项式定理。了解二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质。
n
【教学难点】根据展开式(a +b ) 2, (a +b ) 3的特征，得出(a +b ) 展开式猜想。 【教学过程设计】 一、设计理念
二、教学过程
三、设计说明
在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的公式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙。将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面表明(a +b ) n 的展开式与分类加法计数原理、分步乘法计数原理以及排列、组合的知识具有密切的联系，同时它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面也为下一章进一步学习随机变量及其分布作准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，在推导出二项式定理的过程中，也可以深化学生对组合数的认识，体会其本质。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。
二项式定理研究的是(a +b ) n 的展开式。教科书设计了如下过程：（1）将二项式的展开式与“计数问题”联系在一起是不容易的，因此教科书首先采用合情推理的方法，在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出(a +b ) 2, (a +b ) 3, (a +b ) 4的展开式问题；（2）详细写出用多项式乘法法则得到(a +b ) 2展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开式进行分析，概括出系数以及项的形式。用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得到用组合数表示的(a +b ) 2的展开式；（3）让学生模仿上述过程推导(a +b ) 3, (a +b ) 4的展开式；并在此基础上，得出关于(a +b ) n 的展开式的猜想，最后给出说理性的证明。
在上述过程中，第（2）步是关键，并且也是难点。其中，既要利用计数原理分析二项式的展开过程，也要发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。课程标准要求，二项式定理的教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推导过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力，这——挑战高中生的智力水平。为此，本片段搭建了一个“脚手架”：棋盘问题。由于该问题的解答结果就是二项式系数，且与杨辉三角内在一致，借助路线图的直观操作，巧妙设置问题，把有关的知识内容联系起来，既有助于学生的数学思维在问题引导下不断深入，从具体到一般，从直观到抽象，也让学生在解决问题的过程中感受发现的乐趣，体验数学的魅力。