A 试卷
4页）
的变化情况
2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即c =a -bE , (a >0, b >0) ，请问如何达到最大经济效益？
2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程I (x ) =c 0+I (S ) 的最小正根。
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办
（1）按比例加惯例的方法; （2）Q 值法。另外如果校级优秀学 21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。
五、（本题满分16分）
大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
35⎤⎡1⎡11/41/7⎤
⎥，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为B =⎢411/2⎥，
=⎢1/3121⎢⎥⎢⎥
⎢⎢1⎥⎣72⎦⎣1/51/21⎥⎦
37⎤46⎤⎡1⎡1选择就业岗位
⎢⎥⎢⎥2=⎢1/313⎥，B 3=⎢1/412⎥。 ⎢⎢⎣1/71/31⎥⎦⎣1/61/21⎥⎦
收入 发展 声誉
岗位1 岗位2 岗位3
六、（本题满分16分）
某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退
保）。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？
0.6
16分，每小题8分） 1）得2πmr +2πω
08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答
m (m +1)
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 =vt ， 。
2
代入得t =
πωk 2
v
n 2+
πkn
v
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 (2r +ω) ， 。
ω所以2r +ω≈2r ，则得（2）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
c 3，则平均每天的生产费用为c 3r ，每天的平均费用是 ) =
c 1c 2rT 1
++c 3r ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 T 12
1使C 1(T 1) 最小，发现=
dC 1(T 1) dC (T )
=，所以 dT 1dT
2c 1
，与生产费用无关，所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 c 2r
16分，每小题8分）
1di
=μi (σs -1), 若s 0>，
σdt
di 0, i (t ) 增加; 。dt
di 时，=0, i (t ) 达到最大值i m ；
dt di 时，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
dt =(a -bE ) E ，则R =T -S =pEx -(a -bE ) E ， 。。。。。。。。。。。。。。2分
E pN 2
(1-) 代入，得 R (E ) =(pN -a ) E +(b -。。。。。。。。。。。。。。5分 E ，
r r r a -pN
得E R =⋅。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2rb -pN
14）
16分，每小题8分）
4）左边随着S 的增加单调递增，因此J (u ) 有唯一驻点u =S -x 且为最小值点。从而
J (u ) 和I (x ) 的表达式的相似性知I (x ) 也是下凸的，而且在x =S 处达最小值
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 。
I (x ) ≤c 0+I (S )}， B ={x I (x ) >c 0+I (S )}则集合A 与B 的分界点即为订货点s ，此即
=c 0+I (S ) 的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 四、（本题满分20分）
219316465
⨯20=4. 38，⨯20=6. 32，⨯20=9. 30因此比例加惯例分[1**********]0
21923162
配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，Q 1==2398.05，Q 2==2377.52
4⨯56⨯7
4652
。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 Q 3==2402.5，Q 3最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。 。
9⨯10
219316465
21个席位：（1）⨯21=4. 599，⨯21=6. 636，⨯21=9. 765因此比例加惯例分配
[1**********]0
4652
'=结果为4、7、10个。（2）三方先分得4、6、10个， Q 3=195.68，Q 1最大，按Q 值法分
10⨯11
解：20个席位：（1）、
配结果为5、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2. 。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分 五、（本题满分16分） 解：用“和法”近似计算得：
矩阵A 对应的权向量为：(0. 65, 0. 23, 0. 12) ，最大特征根为3.003697，CI =0. 0018，CR =0. 0031 矩阵B 1对应的权向量为：(0. 08, 0. 32, 0. 60) ，最大特征根为3.001982，CI =0. 001，CR =0. 0017 矩阵B 2对应的权向量为：(0. 67, 0. 24, 0. 09) ，最大特征根为3.00703，CI =0. 0035，CR =0. 006 矩阵B 3对应的权向量为：(0. 70, 0. 19, 0. 11) ，最大特征根为3.00922，CI =0. 0046，CR =0. 008
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
组合权向量为(0. 292628, 0. 283708, 0. 423664)
因此最佳的岗位为岗位3。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分 六、（本题满分16分）
T T T T T
000⎤⎡1
⎢0⎥100⎥，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸解：由题意，转移概率矩阵为⎢
⎢0. 150. 050. 7. 01⎥⎢⎥0. 030. 070. 60. 3⎣⎦
收状态，此为吸收链。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
-1⎡2⎡0. 3-0. 1⎤4
=⎢= ⎢3⎥
⎢4⎣-0. 60. 7⎦⎣
M =(I -Q )
-1
2⎤
3⎥ 2⎥⎦
11
y =Me =(5, 6) T ，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过5或6年投保人就会出现退保
33
或死亡的情况。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
⎡0. 720. 28⎤
F =MR =⎢⎥，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72
0. 660. 34⎣⎦
和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。18分
A 试卷
4页）
的变化情况
2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数， 即c =a -bE , (a >0, b >0) ，请问如何达到最大经济效益？
2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程I (x ) =c 0+I (S ) 的最小正根。
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办
（1）按比例加惯例的方法; （2）Q 值法。另外如果校级优秀学 21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。
五、（本题满分16分）
大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就 业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个 业岗位可供选择。层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
35⎤⎡1⎡11/41/7⎤
⎥，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为B =⎢411/2⎥，
=⎢1/3121⎢⎥⎢⎥
⎢⎢1⎥⎣72⎦⎣1/51/21⎥⎦
37⎤46⎤⎡1⎡1选择就业岗位
⎢⎥⎢⎥2=⎢1/313⎥，B 3=⎢1/412⎥。 ⎢⎢⎣1/71/31⎥⎦⎣1/61/21⎥⎦
收入 发展 声誉
岗位1 岗位2 岗位3
六、（本题满分16分）
某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退
保）。 保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？
0.6
16分，每小题8分） 1）得2πmr +2πω
08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答
m (m +1)
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 =vt ， 。
2
代入得t =
πωk 2
v
n 2+
πkn
v
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 (2r +ω) ， 。
ω所以2r +ω≈2r ，则得（2）。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
c 3，则平均每天的生产费用为c 3r ，每天的平均费用是 ) =
c 1c 2rT 1
++c 3r ， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 T 12
1使C 1(T 1) 最小，发现=
dC 1(T 1) dC (T )
=，所以 dT 1dT
2c 1
，与生产费用无关，所以不考虑。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 c 2r
16分，每小题8分）
1di
=μi (σs -1), 若s 0>，
σdt
di 0, i (t ) 增加; 。dt
di 时，=0, i (t ) 达到最大值i m ；
dt di 时，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
dt =(a -bE ) E ，则R =T -S =pEx -(a -bE ) E ， 。。。。。。。。。。。。。。2分
E pN 2
(1-) 代入，得 R (E ) =(pN -a ) E +(b -。。。。。。。。。。。。。。5分 E ，
r r r a -pN
得E R =⋅。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
2rb -pN
14）
16分，每小题8分）
4）左边随着S 的增加单调递增，因此J (u ) 有唯一驻点u =S -x 且为最小值点。从而
J (u ) 和I (x ) 的表达式的相似性知I (x ) 也是下凸的，而且在x =S 处达最小值
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 。
I (x ) ≤c 0+I (S )}， B ={x I (x ) >c 0+I (S )}则集合A 与B 的分界点即为订货点s ，此即
=c 0+I (S ) 的最小正根 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 四、（本题满分20分）
219316465
⨯20=4. 38，⨯20=6. 32，⨯20=9. 30因此比例加惯例分[1**********]0
21923162
配结果为5、6、9个。（2）三方先分得4、6、9个，Q 1==2398.05，Q 2==2377.52
4⨯56⨯7
4652
。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 Q 3==2402.5，Q 3最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。 。
9⨯10
219316465
21个席位：（1）⨯21=4. 599，⨯21=6. 636，⨯21=9. 765因此比例加惯例分配
[1**********]0
4652
'=结果为4、7、10个。（2）三方先分得4、6、10个， Q 3=195.68，Q 1最大，按Q 值法分
10⨯11
解：20个席位：（1）、
配结果为5、6、10个。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2. 。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20分 五、（本题满分16分） 解：用“和法”近似计算得：
矩阵A 对应的权向量为：(0. 65, 0. 23, 0. 12) ，最大特征根为3.003697，CI =0. 0018，CR =0. 0031 矩阵B 1对应的权向量为：(0. 08, 0. 32, 0. 60) ，最大特征根为3.001982，CI =0. 001，CR =0. 0017 矩阵B 2对应的权向量为：(0. 67, 0. 24, 0. 09) ，最大特征根为3.00703，CI =0. 0035，CR =0. 006 矩阵B 3对应的权向量为：(0. 70, 0. 19, 0. 11) ，最大特征根为3.00922，CI =0. 0046，CR =0. 008
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
组合权向量为(0. 292628, 0. 283708, 0. 423664)
因此最佳的岗位为岗位3。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。16分 六、（本题满分16分）
T T T T T
000⎤⎡1
⎢0⎥100⎥，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸解：由题意，转移概率矩阵为⎢
⎢0. 150. 050. 7. 01⎥⎢⎥0. 030. 070. 60. 3⎣⎦
收状态，此为吸收链。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
-1⎡2⎡0. 3-0. 1⎤4
=⎢= ⎢3⎥
⎢4⎣-0. 60. 7⎦⎣
M =(I -Q )
-1
2⎤
3⎥ 2⎥⎦
11
y =Me =(5, 6) T ，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过5或6年投保人就会出现退保
33
或死亡的情况。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
⎡0. 720. 28⎤
F =MR =⎢⎥，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72
0. 660. 34⎣⎦
和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。18分