上楼问题的数学模型及推广
蒋晓云 李织兰
2 桂林师专 图书馆 广西 桂林 541001）
1
2
（1桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001
【摘要】上楼问题是一个经典名题，在我国中学数学教材和教参中它作为递推数列模型出现，同时出现在中学数学习题、考题和数学竞赛题中。查阅了许多专题文献都没发现上楼问题的通项公式。笔者对一般上楼问题作了深入讨论，用高等数学的方法彻底解决了这个问题，并“用高于下”建立了中学数学模型，丰富了高中数学新课程资源。
【关键词】上楼问题；Fibonacci 数列；递推数列
A Mathematical Model of Go Up Stairs and Its Extension
Jiang Xiao-yun1 Li Zhi-lan2
（1 Department of Mathematics and Computer Science ,Guilin Teachers’ College, Guangxi 541001,China
2 Library, Guilin Teachers’ College, Guangxi 541001,China )
Abstract: The problem of go up stairs is a classical mathematical problem. It’s often seen in mathematical teaching materials as a model of recurrence sequence of numbers. However, we don’t discover its general-term formula in such much literature. This question can be solved by advanced mathematics. And we can give a mathematical model in middle school. All these can enrich mathematical curriculum resources in high school.
Key words: a problem of go up stairs; Fibonacci sequence of numbers; recurrence sequence of numbers
我国新一轮基础教育数学课程全面实施，《普通高中数学课程标准》设置了数学建模和数学探究的学习活动，这就要求我们从事数学教育的教师对数学知识、思想、方法要更深一步理解和掌握，研究高等数学方法和中学数学方法之间的联系对于提高中学教师的专业水平，有效地进行教学设计和有针对性地对学生进行指导都有十分重要的。从方法论的角度来讲，高等数学的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起到导向作用。
人民教育出版社出版的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）•数学》第一册（上）第三章“数列”的研究性学习课题（2）“上楼问题的数列模型”（第163页）是一个经典名题，可以建立递推关系式得到它的数学模型。作为教师我们应掌握差分方程、母函数等高等数学方法来得到上楼问题的数学模型，并能从高视角审视、指导中学数学探究性活动。
1 上楼问题递归模型
上楼问题：某楼梯有n 级台阶, 某人一步最多迈三级, 问有多少种不同的方式上楼?
引进递归思想，我们就可找到简单的方法：设上ｎ级台阶的迈步方法有a n 种，某人第1步可迈一至三级。第1步迈一级，而后上n-1级，有a n -1种上法；第1步迈二级, 而后上n-2级，有a n -2种上法；第1步迈三级，而后上n-3级，有a n -3种上法。从而得a n =a n -1+a n -2+a n -3且a 1=1, a 2=2, a 3=4。
有了递推关系，计算这个数列给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算10级台阶的迈步方法数。若要计算100台阶的迈步方法数a 100的值，我们不得不求得从a 1到a 99的全部值。这时我们迫切地想知道：上楼问题数列的通项是什么？
笔者查阅许多专题文献都没有找到其通项公式及求解方法。
2 差分方程模型
我们也可由递推公式得到差分方程：a n +3-a n +2-a n +1-a n =0 ，其特征方程为：λ-λ-λ-1=0，三个特征根为:
3
2
λ1=(1+-3++333) ，
13
λ2=-(-3++333) +λ3=-(-3++3) -
13
16
13163(+333--3) i 6
3(+3--3) i 6
n n
, a 2=2, a 3=4，来确定系λ1, λ2, λ3互不相同。因此，差分方程的通解为：a n =C 1λ1+C 2λn +C λ233。可由初始条件a 1=1
数C 1，C 2，C 3
λ12
D =λ1
3λ1λ2λ22λ32λ31λ2
λ2λ23≠0 D 1=22λ34λ332λ3λ1
2
λ23 D 2=λ1
3λ1λ33
1λ3
λ1
2
2λ23 D 3=λ1
3
4λ3λ13λ2
λ22λ32
12 4
取C 1=
D D 1D n n
, C 2=2, C 3=3。这时可以得到通项公式，a n =C 1λ1+C 2λn 2+C 3λ3。 D D D
从通项公式的表达式看出，这是一个实用性很差的“坏公式”，但毕竟有了通项公式。而且方法不宜推广到一般的台阶问题。
3 一般上楼问题模型
随着讨论的不断深入，更一般情况被提了出来：
一般上楼问题：某楼梯有ｎ(ｎ≥1) 级台阶，某人一步最多迈ｍ(ｎ≥ｍ≥1) 级, 有多少种不同的方案上楼。
设上ｎ级台阶的方案有f (n ) 种，则f (n ) =f (n -1) +f (n -2) + +f (n -m ) (ｎ≥ｍ) ，为了表述方便规定f (0) =1, 且
有f (1) =1, f (2) =2, f (k ) =
∑f (i ) (k≤m)
i =1
k -1
但推广到一般上楼问题模型，用差分方程法求解其通项公式相当复杂，几乎不可能求出通项公式。查阅许多专题文献都没有找到其通项公式。
查阅文献，求解原楼梯问题通项公式的母函数方法是一个很有用的方法，我们将它用于一般的上楼问题。 现在我们来看一般上楼问题的解f (n ) ， 作形式幂级数：
F (x ) =f (0) +f (1) x +f (2) x + +f (n ) x + =∑f (n ) x n
2
n
n =0
∞
由于有递推关系：f (n +m ) =f (n +m -1) +f (n +m -2) + +f (n ) 上式两端同乘以x
n +m
并求和：
∞
n +m -1
∑f (n +m ) x
n =0
∞
n +m
=x ∑f (n +m -1) x
n =0
+x
2
∑f (n +m -2) x
n =0
∞
n +m -2
+ +x
m
∑f (n ) x
n =0
∞
n
F (x )(1-x -x - -x )
2m
=f (0) +(f (1) -f (0)) x +(f (2) -f (1) -f (0)) x 2+(f (3) -f (2) -f (1) -f (0)) x 3+ +(f (m -1) -f (m -2) -f (m -3) - -f (1) -f (0)) x
m -1
又由于f (0) =f (1) =1, f (2) =2, f (k ) =
∑f (i ) , 从中解出母函数：
i =1
k -1
F (x ) =
1
1-x -x 2- -x m
1n
x 的形式幂级数展开式中的系数。函数的展开是有些困难的，2m
1-x -x - -x
我们得到一般上楼问题的解f (n ) 就是
表达式复杂，来之不易，但我们终于得到了通项公式：
[
n n -m ⨯i m ][]m m -1
[
n -m ⨯i m -(m -1) ⨯i m -1- -3⨯i 3
]
2
i 2=0
f (n ) =
i m =0i m -1=0
∑∑
∑
. (i 2+i 3+ +i m )! i 2+i 3+ +i m
C n -(m -1) ⨯i m -(m -2) ⨯i m -1- -2⨯i 3-i 2
i 2! ⨯i 3! ⨯ ⨯i m !
4 “用高于下”建立中学数学模型
根据上节一般上楼问题的通项公式，容易写出原上楼问题的解：
a n =∑
i =0
⎡n ⎤⎡n -3⨯i ⎤⎢3⎥⎢2⎥⎣⎦⎣⎦
∑
j =0
(i +j )! i +j
⨯C n -2⨯i -j
i ! ⨯j !
⎡⎣
⎤⎦
我们可用中学组合数学知识分析如下：
我们将所有的走法按一步走3阶的步数i(最少是0步, 最多有[n/3]步) 和一步走两阶的步数是j(最少是0步, 最多有⎢n -3⨯i ⎥步)
2
进行分类。一步走3阶时，我们将这些3阶的“捆绑”在一起，即每一步的3阶“捆绑成”一阶（称“大台阶”）；一步走2阶时，将这些2阶的“捆绑”在一起，即每一步的2阶“捆绑成”一阶（称“中台阶”），这时楼梯的“阶数”变为ｎ-2i-j ，这一类的走法我们看成两步：先从这ｎ-2i-j 阶楼梯(位置) 中找出（i+j）个位置来放置这些“大台阶”和“中台阶”的位置，其方
i +j
法数为C n “大台阶”彼此都是相同的，“中台阶”彼此都是相同的）的全-2⨯i -j ；然后在这（i+j）个位置上进行不全相异元素（
排列，其排列数为：
(i +j )! (i +j )! i +j
。所以这一类的走法为：⨯C n -2⨯i -j i ! ⨯j ! i ! ⨯j !
将所有类的走法数相加可以得到一般上楼问题的通项公式。
对一般上楼问题的通项公式也可这种“捆绑法”作类似的分析。
这一思路新颖而奇特，“捆绑法”的“奇思妙想”不是一般中学生，甚至中学数学教师能想到的，要有相当的造化才行。对某些中学数学难以解决的问题，如果先用高等数学的方法加以解决，从中受到启示后去寻找一种技巧性的中学数学方法，从思想方法上，运用这样的“高”观点将会使我们在中学数学问题解决上思路大为开阔，方法更加灵活有效，从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。
参考文献：
[1] 李辉, 吕学强. 台阶问题及其等价命题[J]. 辽宁师专学报,2000,2(3):6-7. [2] 史济怀. 母函数[M] .上海：上海教育出版社,1983
[3] 人民教育出版社中学数学室. 普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）•数学•第一册（上）. 北京：人民教育出版社，2003 [4] 刘绍学，张淑梅等. 普通高中课程标准实验教科书数学⑤（必修）[J]. 人民教育出版社,2004.
作者简介：蒋晓云，1963，男，广西桂林人，桂林师专数学与计算机科学系副教授，桂林市21世纪园丁工程导师，基础教育改革专家成员组成员，主要从事数学与计算机科学教育研究。
李织兰，1967，女，广西田阳人，桂林师专图书馆馆员，主要从事图书分类编目和情报检索
联系电话： [1**********] 0773-2855010或 3910080（桂林）
Email:[email protected] 或[email protected]
通讯地址：广西桂林市信义路桂林师专数学与计算机科学系 （邮编541001）
上楼问题的数学模型及推广
蒋晓云 李织兰
2 桂林师专 图书馆 广西 桂林 541001）
1
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（1桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001
【摘要】上楼问题是一个经典名题，在我国中学数学教材和教参中它作为递推数列模型出现，同时出现在中学数学习题、考题和数学竞赛题中。查阅了许多专题文献都没发现上楼问题的通项公式。笔者对一般上楼问题作了深入讨论，用高等数学的方法彻底解决了这个问题，并“用高于下”建立了中学数学模型，丰富了高中数学新课程资源。
【关键词】上楼问题；Fibonacci 数列；递推数列
A Mathematical Model of Go Up Stairs and Its Extension
Jiang Xiao-yun1 Li Zhi-lan2
（1 Department of Mathematics and Computer Science ,Guilin Teachers’ College, Guangxi 541001,China
2 Library, Guilin Teachers’ College, Guangxi 541001,China )
Abstract: The problem of go up stairs is a classical mathematical problem. It’s often seen in mathematical teaching materials as a model of recurrence sequence of numbers. However, we don’t discover its general-term formula in such much literature. This question can be solved by advanced mathematics. And we can give a mathematical model in middle school. All these can enrich mathematical curriculum resources in high school.
Key words: a problem of go up stairs; Fibonacci sequence of numbers; recurrence sequence of numbers
我国新一轮基础教育数学课程全面实施，《普通高中数学课程标准》设置了数学建模和数学探究的学习活动，这就要求我们从事数学教育的教师对数学知识、思想、方法要更深一步理解和掌握，研究高等数学方法和中学数学方法之间的联系对于提高中学教师的专业水平，有效地进行教学设计和有针对性地对学生进行指导都有十分重要的。从方法论的角度来讲，高等数学的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起到导向作用。
人民教育出版社出版的《普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）•数学》第一册（上）第三章“数列”的研究性学习课题（2）“上楼问题的数列模型”（第163页）是一个经典名题，可以建立递推关系式得到它的数学模型。作为教师我们应掌握差分方程、母函数等高等数学方法来得到上楼问题的数学模型，并能从高视角审视、指导中学数学探究性活动。
1 上楼问题递归模型
上楼问题：某楼梯有n 级台阶, 某人一步最多迈三级, 问有多少种不同的方式上楼?
引进递归思想，我们就可找到简单的方法：设上ｎ级台阶的迈步方法有a n 种，某人第1步可迈一至三级。第1步迈一级，而后上n-1级，有a n -1种上法；第1步迈二级, 而后上n-2级，有a n -2种上法；第1步迈三级，而后上n-3级，有a n -3种上法。从而得a n =a n -1+a n -2+a n -3且a 1=1, a 2=2, a 3=4。
有了递推关系，计算这个数列给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算10级台阶的迈步方法数。若要计算100台阶的迈步方法数a 100的值，我们不得不求得从a 1到a 99的全部值。这时我们迫切地想知道：上楼问题数列的通项是什么？
笔者查阅许多专题文献都没有找到其通项公式及求解方法。
2 差分方程模型
我们也可由递推公式得到差分方程：a n +3-a n +2-a n +1-a n =0 ，其特征方程为：λ-λ-λ-1=0，三个特征根为:
3
2
λ1=(1+-3++333) ，
13
λ2=-(-3++333) +λ3=-(-3++3) -
13
16
13163(+333--3) i 6
3(+3--3) i 6
n n
, a 2=2, a 3=4，来确定系λ1, λ2, λ3互不相同。因此，差分方程的通解为：a n =C 1λ1+C 2λn +C λ233。可由初始条件a 1=1
数C 1，C 2，C 3
λ12
D =λ1
3λ1λ2λ22λ32λ31λ2
λ2λ23≠0 D 1=22λ34λ332λ3λ1
2
λ23 D 2=λ1
3λ1λ33
1λ3
λ1
2
2λ23 D 3=λ1
3
4λ3λ13λ2
λ22λ32
12 4
取C 1=
D D 1D n n
, C 2=2, C 3=3。这时可以得到通项公式，a n =C 1λ1+C 2λn 2+C 3λ3。 D D D
从通项公式的表达式看出，这是一个实用性很差的“坏公式”，但毕竟有了通项公式。而且方法不宜推广到一般的台阶问题。
3 一般上楼问题模型
随着讨论的不断深入，更一般情况被提了出来：
一般上楼问题：某楼梯有ｎ(ｎ≥1) 级台阶，某人一步最多迈ｍ(ｎ≥ｍ≥1) 级, 有多少种不同的方案上楼。
设上ｎ级台阶的方案有f (n ) 种，则f (n ) =f (n -1) +f (n -2) + +f (n -m ) (ｎ≥ｍ) ，为了表述方便规定f (0) =1, 且
有f (1) =1, f (2) =2, f (k ) =
∑f (i ) (k≤m)
i =1
k -1
但推广到一般上楼问题模型，用差分方程法求解其通项公式相当复杂，几乎不可能求出通项公式。查阅许多专题文献都没有找到其通项公式。
查阅文献，求解原楼梯问题通项公式的母函数方法是一个很有用的方法，我们将它用于一般的上楼问题。 现在我们来看一般上楼问题的解f (n ) ， 作形式幂级数：
F (x ) =f (0) +f (1) x +f (2) x + +f (n ) x + =∑f (n ) x n
2
n
n =0
∞
由于有递推关系：f (n +m ) =f (n +m -1) +f (n +m -2) + +f (n ) 上式两端同乘以x
n +m
并求和：
∞
n +m -1
∑f (n +m ) x
n =0
∞
n +m
=x ∑f (n +m -1) x
n =0
+x
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∑f (n +m -2) x
n =0
∞
n +m -2
+ +x
m
∑f (n ) x
n =0
∞
n
F (x )(1-x -x - -x )
2m
=f (0) +(f (1) -f (0)) x +(f (2) -f (1) -f (0)) x 2+(f (3) -f (2) -f (1) -f (0)) x 3+ +(f (m -1) -f (m -2) -f (m -3) - -f (1) -f (0)) x
m -1
又由于f (0) =f (1) =1, f (2) =2, f (k ) =
∑f (i ) , 从中解出母函数：
i =1
k -1
F (x ) =
1
1-x -x 2- -x m
1n
x 的形式幂级数展开式中的系数。函数的展开是有些困难的，2m
1-x -x - -x
我们得到一般上楼问题的解f (n ) 就是
表达式复杂，来之不易，但我们终于得到了通项公式：
[
n n -m ⨯i m ][]m m -1
[
n -m ⨯i m -(m -1) ⨯i m -1- -3⨯i 3
]
2
i 2=0
f (n ) =
i m =0i m -1=0
∑∑
∑
. (i 2+i 3+ +i m )! i 2+i 3+ +i m
C n -(m -1) ⨯i m -(m -2) ⨯i m -1- -2⨯i 3-i 2
i 2! ⨯i 3! ⨯ ⨯i m !
4 “用高于下”建立中学数学模型
根据上节一般上楼问题的通项公式，容易写出原上楼问题的解：
a n =∑
i =0
⎡n ⎤⎡n -3⨯i ⎤⎢3⎥⎢2⎥⎣⎦⎣⎦
∑
j =0
(i +j )! i +j
⨯C n -2⨯i -j
i ! ⨯j !
⎡⎣
⎤⎦
我们可用中学组合数学知识分析如下：
我们将所有的走法按一步走3阶的步数i(最少是0步, 最多有[n/3]步) 和一步走两阶的步数是j(最少是0步, 最多有⎢n -3⨯i ⎥步)
2
进行分类。一步走3阶时，我们将这些3阶的“捆绑”在一起，即每一步的3阶“捆绑成”一阶（称“大台阶”）；一步走2阶时，将这些2阶的“捆绑”在一起，即每一步的2阶“捆绑成”一阶（称“中台阶”），这时楼梯的“阶数”变为ｎ-2i-j ，这一类的走法我们看成两步：先从这ｎ-2i-j 阶楼梯(位置) 中找出（i+j）个位置来放置这些“大台阶”和“中台阶”的位置，其方
i +j
法数为C n “大台阶”彼此都是相同的，“中台阶”彼此都是相同的）的全-2⨯i -j ；然后在这（i+j）个位置上进行不全相异元素（
排列，其排列数为：
(i +j )! (i +j )! i +j
。所以这一类的走法为：⨯C n -2⨯i -j i ! ⨯j ! i ! ⨯j !
将所有类的走法数相加可以得到一般上楼问题的通项公式。
对一般上楼问题的通项公式也可这种“捆绑法”作类似的分析。
这一思路新颖而奇特，“捆绑法”的“奇思妙想”不是一般中学生，甚至中学数学教师能想到的，要有相当的造化才行。对某些中学数学难以解决的问题，如果先用高等数学的方法加以解决，从中受到启示后去寻找一种技巧性的中学数学方法，从思想方法上，运用这样的“高”观点将会使我们在中学数学问题解决上思路大为开阔，方法更加灵活有效，从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。
参考文献：
[1] 李辉, 吕学强. 台阶问题及其等价命题[J]. 辽宁师专学报,2000,2(3):6-7. [2] 史济怀. 母函数[M] .上海：上海教育出版社,1983
[3] 人民教育出版社中学数学室. 普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）•数学•第一册（上）. 北京：人民教育出版社，2003 [4] 刘绍学，张淑梅等. 普通高中课程标准实验教科书数学⑤（必修）[J]. 人民教育出版社,2004.
作者简介：蒋晓云，1963，男，广西桂林人，桂林师专数学与计算机科学系副教授，桂林市21世纪园丁工程导师，基础教育改革专家成员组成员，主要从事数学与计算机科学教育研究。
李织兰，1967，女，广西田阳人，桂林师专图书馆馆员，主要从事图书分类编目和情报检索
联系电话： [1**********] 0773-2855010或 3910080（桂林）
Email:[email protected] 或[email protected]
通讯地址：广西桂林市信义路桂林师专数学与计算机科学系 （邮编541001）