关于财政收入的预测
--西南交通大学 刘高坤
一、问题重述
已知财政收入与国民收入(x 1) 、工业总产值(x 2) 、农业总产值(x 3) 、总人口(x 4) 、就业人数(x 5) 、固定资产投资(x 6) 等因素有关，且给出某地区原始数据如附录一，要求建立模型预测该地区2011年的财政收入。
二、假设
1、各因素间相互独立 2、财政收入函数定义为：
y =ax 1+bx 2+cx 3+dx 4+ex 5+fx 6
3、附表数据均能反映实际情况，无错误数据出现
4、2011年该地区无重大影响财政收入的事故和自然灾害发生
5、财政收入只与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人数、固定资产投资
三、符号说明
x 1：国民收入 x 2：工业总产值 x 3：农业总产值 x 4：总人口 x 5：就业人数
x 6：固定资产投资y
：财政收入
'
x i x i
：相应因素的预测值（i ：预测值的平均值（i
=1, 2, 3, 4, 5, 6
）
'
=1, 2, 3, 4, 5, 6
）
四、分析与建模
4.1 问题分析
对附表给出的1981至2010年的财政收入与各因素的原始数据，要求预测出2011年的财政收入，由于各因素的相互作用不考虑，因此用线性加权的方法可以得出财政收入与其他六个因素的函数关系式y ，然后利用多元线性回归确定权重系数，然后分别对六个影响因素进行多项式拟合[1]的方法分别进行预测，得出
x i (i =1, 2, 3, 4, 5, 6) 的预测值，代入y
对2011年的情况进行预测。最后利用平均值
来减小预测误差，并将x i ' 作为每个因素的最终预测值，代入函数关系式y 得到要求解的该地区2011年的财政收入。 4.2 建立模型
[2]
根据以上分析，我们建立以下线性模型
y =ax 1+bx 2+cx 3+dx 4+ex 5+fx 6
五、模型求解
5.1 模型求解
其中b 是系数矩阵 [3]
经过回归分析（程序和过程见附录二），得
Y =X *b
y =0.2524x 1+0.0257x 2-0.4566x 3+0.0061x 4-0.0065x 5+0.4198x 6
5.2 模型检验
由回归分析知：相关系数的平方值R 2
F =114.3, 显著性概率p =0.000 小于
=1.0
, 说明模型拟合程度相当高；
0.005，拒绝零假设，认为回归方程中至少
有一个自变量的系数不为零，回归方程有意义。 5.3 预测x i ' (i
=1, 2, 3, 4, 5, 6)
得到x i '
=1, 2, 3, 4, 5, 6) 随时间
利用多项式拟合的方法（程序见附录三）分别得出x i (i
的4、5、6、7、8、9阶函数关系式的预测值，四阶图形如下（详见附录四）。并且由不同阶数拟合图形可以看出多项式拟合阶数越高，曲线与数据贴近程度越好，但在数据边界离散程度增加，有阶跃式的突变，可能误差也较大为了进一步减小预测误差，故采用平均值法，使结果更准确。
图5.1四阶拟合图
表5.2 不同阶数预测值表 类
四阶 五阶 六阶 别
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
七阶 八阶 九阶
平均值x i '
3.00E+03 7.04E+03 1.36E+03 1.01E+05 4.53E+04 406.8976
2.96E+03 3.24E+03 3.44E+03 2.87E+03 2.77E+03 2.72E+03 7.35E+03 7.32E+03 8.04E+03 7.09E+03 5.85E+03 6.59E+03 1.31E+03 1.45E+03 1.37E+03 1.25E+03 1.51E+03 1.29E+03 9.82E+04 1.01E+05 1.04E+05 1.00E+05 1.02E+05 1.03E+05 4.25E+04 4.48E+04 4.69E+04 4.40E+04 4.47E+04 4.89E+04 467.648 447.6698 595.7338 350.9425 148.6692 430.7225
5.4 2011财政收入预测
由表5.2可知x i '
(i =1, 2, 3, 4, 5, 6)
，代入财政收入预测函数
y =0.2524x 1+0.0257x 2-0.4566x 3+0.0061x 4-0.0065x 5+0.4198x 6
得：y
=809.6
即所求的结果为：该地区2011年财政收入为809.6亿元
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，《数学模型（第三版）》，高等教育出版社，北京，2004 [2] 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，高等教育出版社，北京，2006 [3] 苏金明，王永利，《MATLAB 7.0使用指南》，电子工业出版社，北京，2005
附录
附录二：回归分析程序及结果
[b,bint,r,rint,stats,]=regress(y,x) b =
0.2524 0.0257 -0.4566 0.0061 -0.0065 0.4198
bint =
-0.1682 0.6731 -0.0492 0.1005 -1.0647 0.1516 -0.0074 0.0197 -0.0411 0.0282 -0.0719 0.9115 r =
-3.1001 12.7434 10.4710 20.6926 -4.5549 14.4371 -2.1336 -33.5690 -10.6401 -48.7530 -34.0211 -11.2812 11.5151 16.3817 42.6099 -22.8072 -55.8275 -6.8650
11.9506 21.3092 49.7598 -16.6283 19.2480 -77.0564 19.7712 166.8581 40.2228 -60.3320 -92.5433 9.0526
rint =
-102.3100 96.1098 -86.4002 111.8869 -88.5548 109.4967 -77.6792 119.0645 -102.3914 93.2816 -83.6250 112.4991 -78.2458 73.9786 -127.3371 60.1991 -93.3033 72.0231 -140.5808 43.0748 -120.8934 52.8513 -108.5666 86.0042 -90.4390 113.4693 -88.4505 121.2139 -59.0492 144.2690 -122.4063 76.7919 -149.5930 37.9380 -105.9803 92.2503 -89.3080 113.2091 -79.7276 122.3459 -44.8789 144.3985 -112.1252 78.8685 -82.8896 121.3855 -175.4278 21.3150 -77.2214 116.7638 98.7695 234.9466 -56.9969 137.4426 -151.7542 31.0902
-177.8696 -7.2171 -77.0782 95.1834
stats =
1.0e+003 *
0.0010 0.1143 0.0000 2.6475
附录三： A=[598 349 461 57482 20729 44 586 455 475 58796 21364 89 707 520 491 60266 21832 97 737 558 529 61465 22328 98 825 715 556 62828 23081 150 837 798 575 64653 23711 139 1028 1235 598 65994 26600 256 1114 1681 509 67207 26173 338 1079 1870 444 66207 25880 380 757 1156 434 65859 25590 138 677 964 461 67295 25110 66 779 1046 514 69172 26640 85 943 1250 584 70499 27736 129 1152 1581 632 72538 28670 175 1322 1911 687 74542 29805 212 1249 1647 697 76368 30814 156 1187 1565 680 78534 31915 127 1372 2101 688 80671 33225 207 1638 2747 767 82992 34432 312 1780 3156 790 85992 35620 355 1833 3365 789 87177 35854 354 1978 3684 855 89211 36652 374 1993 3696 891 90859 37369 393 2121 4254 932 92421 38168 462 2052 4309 955 93717 38834 443 2189 4925 971 94974 39377 454 2475 5590 1058 96259 39856 550 2702 6065 1150 97542 40581 564 2791 6592 1194 98705 41896 568 2927 6862 1273 100072 43280 496] %多项式拟合医疗费用
for i=1:6 figure x1=1:30; for j=1:6
y11=A(:,j)'; subplot(3,2,j)
[p,s]=polyfit(x1,y11,i+3); x11=1:31;
z=polyval(p,x11);%预测 zz=z(31)
plot(x1,y11,'o',x11,z,'r:') end end
附录四：预测图形
四阶 五阶
六阶 八阶
七阶
九阶
关于财政收入的预测
--西南交通大学 刘高坤
一、问题重述
已知财政收入与国民收入(x 1) 、工业总产值(x 2) 、农业总产值(x 3) 、总人口(x 4) 、就业人数(x 5) 、固定资产投资(x 6) 等因素有关，且给出某地区原始数据如附录一，要求建立模型预测该地区2011年的财政收入。
二、假设
1、各因素间相互独立 2、财政收入函数定义为：
y =ax 1+bx 2+cx 3+dx 4+ex 5+fx 6
3、附表数据均能反映实际情况，无错误数据出现
4、2011年该地区无重大影响财政收入的事故和自然灾害发生
5、财政收入只与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人数、固定资产投资
三、符号说明
x 1：国民收入 x 2：工业总产值 x 3：农业总产值 x 4：总人口 x 5：就业人数
x 6：固定资产投资y
：财政收入
'
x i x i
：相应因素的预测值（i ：预测值的平均值（i
=1, 2, 3, 4, 5, 6
）
'
=1, 2, 3, 4, 5, 6
）
四、分析与建模
4.1 问题分析
对附表给出的1981至2010年的财政收入与各因素的原始数据，要求预测出2011年的财政收入，由于各因素的相互作用不考虑，因此用线性加权的方法可以得出财政收入与其他六个因素的函数关系式y ，然后利用多元线性回归确定权重系数，然后分别对六个影响因素进行多项式拟合[1]的方法分别进行预测，得出
x i (i =1, 2, 3, 4, 5, 6) 的预测值，代入y
对2011年的情况进行预测。最后利用平均值
来减小预测误差，并将x i ' 作为每个因素的最终预测值，代入函数关系式y 得到要求解的该地区2011年的财政收入。 4.2 建立模型
[2]
根据以上分析，我们建立以下线性模型
y =ax 1+bx 2+cx 3+dx 4+ex 5+fx 6
五、模型求解
5.1 模型求解
其中b 是系数矩阵 [3]
经过回归分析（程序和过程见附录二），得
Y =X *b
y =0.2524x 1+0.0257x 2-0.4566x 3+0.0061x 4-0.0065x 5+0.4198x 6
5.2 模型检验
由回归分析知：相关系数的平方值R 2
F =114.3, 显著性概率p =0.000 小于
=1.0
, 说明模型拟合程度相当高；
0.005，拒绝零假设，认为回归方程中至少
有一个自变量的系数不为零，回归方程有意义。 5.3 预测x i ' (i
=1, 2, 3, 4, 5, 6)
得到x i '
=1, 2, 3, 4, 5, 6) 随时间
利用多项式拟合的方法（程序见附录三）分别得出x i (i
的4、5、6、7、8、9阶函数关系式的预测值，四阶图形如下（详见附录四）。并且由不同阶数拟合图形可以看出多项式拟合阶数越高，曲线与数据贴近程度越好，但在数据边界离散程度增加，有阶跃式的突变，可能误差也较大为了进一步减小预测误差，故采用平均值法，使结果更准确。
图5.1四阶拟合图
表5.2 不同阶数预测值表 类
四阶 五阶 六阶 别
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
七阶 八阶 九阶
平均值x i '
3.00E+03 7.04E+03 1.36E+03 1.01E+05 4.53E+04 406.8976
2.96E+03 3.24E+03 3.44E+03 2.87E+03 2.77E+03 2.72E+03 7.35E+03 7.32E+03 8.04E+03 7.09E+03 5.85E+03 6.59E+03 1.31E+03 1.45E+03 1.37E+03 1.25E+03 1.51E+03 1.29E+03 9.82E+04 1.01E+05 1.04E+05 1.00E+05 1.02E+05 1.03E+05 4.25E+04 4.48E+04 4.69E+04 4.40E+04 4.47E+04 4.89E+04 467.648 447.6698 595.7338 350.9425 148.6692 430.7225
5.4 2011财政收入预测
由表5.2可知x i '
(i =1, 2, 3, 4, 5, 6)
，代入财政收入预测函数
y =0.2524x 1+0.0257x 2-0.4566x 3+0.0061x 4-0.0065x 5+0.4198x 6
得：y
=809.6
即所求的结果为：该地区2011年财政收入为809.6亿元
参考文献
[1] 姜启源，谢金星，《数学模型（第三版）》，高等教育出版社，北京，2004 [2] 韩中庚，《数学建模方法及其应用》，高等教育出版社，北京，2006 [3] 苏金明，王永利，《MATLAB 7.0使用指南》，电子工业出版社，北京，2005
附录
附录二：回归分析程序及结果
[b,bint,r,rint,stats,]=regress(y,x) b =
0.2524 0.0257 -0.4566 0.0061 -0.0065 0.4198
bint =
-0.1682 0.6731 -0.0492 0.1005 -1.0647 0.1516 -0.0074 0.0197 -0.0411 0.0282 -0.0719 0.9115 r =
-3.1001 12.7434 10.4710 20.6926 -4.5549 14.4371 -2.1336 -33.5690 -10.6401 -48.7530 -34.0211 -11.2812 11.5151 16.3817 42.6099 -22.8072 -55.8275 -6.8650
11.9506 21.3092 49.7598 -16.6283 19.2480 -77.0564 19.7712 166.8581 40.2228 -60.3320 -92.5433 9.0526
rint =
-102.3100 96.1098 -86.4002 111.8869 -88.5548 109.4967 -77.6792 119.0645 -102.3914 93.2816 -83.6250 112.4991 -78.2458 73.9786 -127.3371 60.1991 -93.3033 72.0231 -140.5808 43.0748 -120.8934 52.8513 -108.5666 86.0042 -90.4390 113.4693 -88.4505 121.2139 -59.0492 144.2690 -122.4063 76.7919 -149.5930 37.9380 -105.9803 92.2503 -89.3080 113.2091 -79.7276 122.3459 -44.8789 144.3985 -112.1252 78.8685 -82.8896 121.3855 -175.4278 21.3150 -77.2214 116.7638 98.7695 234.9466 -56.9969 137.4426 -151.7542 31.0902
-177.8696 -7.2171 -77.0782 95.1834
stats =
1.0e+003 *
0.0010 0.1143 0.0000 2.6475
附录三： A=[598 349 461 57482 20729 44 586 455 475 58796 21364 89 707 520 491 60266 21832 97 737 558 529 61465 22328 98 825 715 556 62828 23081 150 837 798 575 64653 23711 139 1028 1235 598 65994 26600 256 1114 1681 509 67207 26173 338 1079 1870 444 66207 25880 380 757 1156 434 65859 25590 138 677 964 461 67295 25110 66 779 1046 514 69172 26640 85 943 1250 584 70499 27736 129 1152 1581 632 72538 28670 175 1322 1911 687 74542 29805 212 1249 1647 697 76368 30814 156 1187 1565 680 78534 31915 127 1372 2101 688 80671 33225 207 1638 2747 767 82992 34432 312 1780 3156 790 85992 35620 355 1833 3365 789 87177 35854 354 1978 3684 855 89211 36652 374 1993 3696 891 90859 37369 393 2121 4254 932 92421 38168 462 2052 4309 955 93717 38834 443 2189 4925 971 94974 39377 454 2475 5590 1058 96259 39856 550 2702 6065 1150 97542 40581 564 2791 6592 1194 98705 41896 568 2927 6862 1273 100072 43280 496] %多项式拟合医疗费用
for i=1:6 figure x1=1:30; for j=1:6
y11=A(:,j)'; subplot(3,2,j)
[p,s]=polyfit(x1,y11,i+3); x11=1:31;
z=polyval(p,x11);%预测 zz=z(31)
plot(x1,y11,'o',x11,z,'r:') end end
附录四：预测图形
四阶 五阶
六阶 八阶
七阶
九阶